1、导数导数 导数的概念是微积分的核心概念之一，它有极其丰富的实际背景和广泛的应 用在本专题中，我们将复习导数的概念及其运算，体会导数的思想及其内涵；应用导数探 索函数的单调性、极值等性质，感受导数在解决数学问题和实际问题中的作用导数的相关 问题主要围绕以下三个方面：导数的概念与运算，导数的应用，定积分与微积分基本定理 4 41 1 导数概念与导数的运算导数概念与导数的运算 【知识要点】【知识要点】 1导数概念： (1)平均变化率：对于函数yf(x)，定义 12 12 )()( xx xfxf 为函数yf(x)从x1到x2的平 均变化率 换言之， 如果自变量x在x0处有增量x， 那么函数f(x)相
2、应地有增量f(x0x) f(x0)，则比值 x xfxxf )()( 00 就叫做函数yf(x)从x0到x0x之间的平均变化 率 (2)函数yf(x)在xx0处的导数：函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率是 x xfxxf x )()( lim 00 0 ，我们称它为函数yf(x)在xx0处的导数，记作f(x0)，即 x xfxxf xf x )()( lim)( 00 0 0 . (3)函数yf(x)的导函数(导数)：当x变化时，f(x)是x的一个函数，我们称它为 函数yf(x)的导函数(简称导数)，即 x xfxxf xf x )()( lim)( 0 . 2导数的几何意义： 函数yf(x
3、)在点x0处的导数 f (x0)就是曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线的斜率， 即k f (x0) 3导数的运算： (1)几种常见函数的导数： (C)0(C为常数)； (x n)nxn1(x0，nQ Q*)； (sinx)cosx； (cosx)sinx； (e x)ex； (a x)axlna(a0，且 a1)； x x 1 )(ln； e x x aa log 1 )(log(a0，且a1) (2)导数的运算法则： u(x)v(x)u(x)v(x)； u(x)v(x)u(x)v(x)u(x)v(x)； )0)( )( )()()()( )( )( 2 xv xv xvxuxvxu
4、 xv xu . (3)简单的复合函数(仅限于形如f(axb)的导数： 设函数yf(u)，ug(x)， 则函数yf(u)fg(x)称为复合函数 其求导步骤是： x y u f x g ， 其中 u f 表示f对u求导， x g 表示g对x求导f对u求导后应把u换成g(x) 【复习要求】【复习要求】 1了解导数概念的实际背景； 2理解导数的几何意义； 3能根据导数定义求函数yC，yx，yx 2，yx3， xy x y, 1 的导数； 4能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数； 5理解简单复合函数(仅限于形如f(axb)导数的求法 【例题分析】【例题分析】 例例 1
5、 1 求下列函数的导数： (1)y(x1)(x 21)； (2) 1 1 x x y； (3)ysin2x； (4)ye xlnx 解：解：(1)方法一：y(x1)(x 21)(x1)(x21)x21(x1)2x3x22x 1 方法二：y(x1)(x 21)x3x2x1，y(x3x2x1)3x22x1 (2)方法一： 222 ) 1( 2 ) 1( ) 1() 1( ) 1( ) 1)(1() 1() 1( ) 1 1 ( xx xx x xxxx x x y 方法二： 1 2 1 1 1 . xx x y， 2 ) 1( 2 ) 1 2 () 1 2 1 ( xxx y. (3)方法一： y
6、(sin2x)(2sinx cosx)2(sinx) cosxsinx (cosx)2(cos 2xsin2x) 2cos2x 方法二：y(sin2x)(2x)cos2x22cos2x (4)(lneln)e (xxy xx x x x x x x xe) 1 (ln e lne 【评析】【评析】 理解和掌握求导法则和式子的结构特点是求导运算的前提条件 运用公式和求 导法则求导数的基本步骤为： 分析函数yf(x)的结构特征； 选择恰当的求导法则和导数公式求导数； 化简整理结果 应注意：在可能的情况下，求导时应尽量减少使用乘法的求导法则，可在求导前利用代 数、三角恒等变形等方法对函数式进行化简，
7、然后再求导，这样可减少运算量(如(1)(2) 题的方法二较方法一简捷) 对于(3)，方法一是使用积的导数运算公式求解，即使用三角公式将 sin2x表示为 sinx 和 cosx的乘积形式，然后求导数；方法二是从复合函数导数的角度求解方法二较方法一 简捷 对利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数要熟练、准 确 例例 2 2 (1)求曲线yx 2在点(1，1)处的切线方程； (2)过点(1，3)作曲线yx 2的切线，求切线的方程 【分析】【分析】对于(1)，根据导数的几何意义：函数yf(x)在点x0处的导数f (x0)就是曲 线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线的斜率
8、，可求出切线的斜率，进而由直线方程的点斜式 求得切线方程 对于(2)，注意到点(1，3)不在曲线yx 2 上，所以可设出切点，并通过导数的几何 意义确定切点的坐标，进而求出切线方程 解：解：(1)曲线yx 2在点(1，1)处的切线斜率为 y2xx12， 从而切线的方程为y12(x1)，即 2xy10 (2)设切点的坐标为),( 2 00 xx 根据导数的几何意义知，切线的斜率为y2x| 0 xx 2x0，从而切线的方程为 ).(2 00 2 0 xxxxy 因为这条切线过点(1，3)，所以有)1 (23 00 2 0 xxx， 整理得032 0 2 0 xx，解得x01，或x03 从而切线的方
9、程为y12(x1)，或y96(x3)， 即切线的方程为 2xy10，或 6xy90 【评析】【评析】用导数求曲线的切线方程，常依据的条件是： 函数yf(x)在点x0处的导数f (x0)就是曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线的 斜率， 即kf (x0)； 切点既在切线上又在曲线上，即切点的坐标同时满足切线与曲线的方程 例例 3 3 设函数f(x)ax 3bxc(a0)为奇函数，其图象在点(1，f(1)处的切线与直线 x6y70 垂直，导函数f (x)的最小值为12求a，b，c的值 【分析】【分析】本题考查函数的奇偶性、二次函数的最值、导数的几何意义等基础知识，以及 推理能力和运算能力题
10、目涉及到三个未知数，而题设中有三个独立的条件，因此，通过解 方程组来确定参数a、b、c的值 解：解：f(x)为奇函数， f(x)f(x)， 即ax 3bxcax3bxc， c0 f (x)3ax 2b 的最小值为12， b12 又直线x6y70 的斜率为 6 1 ，因此，f (1)3ab6， a2 综上,a2，b12，c0 例例 4 4 已知a0，函数a x xf 1 )(，x(0，)设 a x 2 0 1 ，记曲线yf(x) 在点M(x1，f(x1)处的切线为l (1)求l的方程； (2)设l与x轴的交点是(x2，0)，证明： a x 1 0 2 . 【分析】【分析】对于(1)，根据导数的几
11、何意义，不难求出l的方程；对于(2)，涉及到不等式 的证明，依题意求出用x1表示的x2后，将x2视为x1的函数，即x2g(x1)，结合要证明的结 论进行推理 解：解：(1)对f(x)求导数，得 2 1 )( x xf，由此得切线l的方程为： )( 1 ) 1 ( 1 2 11 xx x a x y (2)依题意，切线方程中令y0，得 2 111 1 2 12 2) 1 (axxxa x xx 由 a x 2 0 1 ，及)2(2 11 2 112 axxaxxx，有x20； 另一方面， aa xaaxxx 1 ) 1 (2 2 1 2 112 ， 从而有 a x 1 0 2 ，当且仅当 a x
12、 1 1 时， a x 1 2 . 【评析】【评析】本题考查的重点是导数的概念和计算、导数的几何意义及不等式的证明涉及 的基础知识都比较基本，题目难度也不大，但把导数的相关知识与不等式等内容有机整合， 具有一定新意，体现了导数作为工具分析和解决一些函数性质问题的方法 本题中的(2)在证明 a x 1 0 2 时，还可用如下方法： 作法，. 0)1 ( 1 2 11 2 1 2 112 ax a axx a x a 利用平均值不等式， a axax a axax a axxx 1 ) 2 2 ( 1 )2)( 1 )2( 2 11 11112 例例 5 5 设函数),( 1 )( Z ba bx
13、 axxf，曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程 为y3 (1)求f(x)的解析式； (2)证明：曲线yf(x)的图象是一个中心对称图形，并求其对称中心； (3)证明：曲线yf(x)上任一点处的切线与直线x1 和直线yx所围三角形的面积为 定值，并求出此定值 解：解：(1) 2 )( 1 )( bx axf ， 于是 , 0 )2( 1 , 1 2 1 2 2 b a b a 解得 , 1 , 1 b a 或 . 3 8 , 4 9 b a 因为a，bZ Z，所以 1 1 )( x xxf (2)证明：已知函数y1x， x y 1 2 都是奇函数， 所以函数 x xxg 1 )(也是奇
14、函数，其图象是以原点为中心的中心对称图形 而1 1 1 1)( x xxf， 可知，函数g(x)的图象按向量a a(1，1)平移，即得到函数f(x)的图象，故函数f(x) 的图象是以点(1，1)为中心的中心对称图形 (3)证明：在曲线上任取一点) 1 1 ,( 0 00 x xx 由 2 0 0 ) 1( 1 1)( x xf知，过此点的切线方程为 )( ) 1( 1 1 1 1 0 2 00 0 2 0 xx xx xx y 令x1 得 1 1 0 0 x x y，切线与直线x1 交点为) 1 1 , 1 ( 0 0 x x ； 令yx得y2x01，切线与直线yx交点为(2x01，2x01)
15、 直线x1 与直线yx的交点为(1，1)； 从而所围三角形的面积为2|22| 1 2 | 2 1 | 112| 1 1 1 | 2 1 0 0 0 0 0 x x x x x 所以，所围三角形的面积为定值 2 练习练习 4 41 1 一、选择题：一、选择题： 1(tanx)等于( ) (A) x 2 sin 1 (B) x 2 sin 1 (C) x 2 cos 1 (D) x 2 cos 1 2设f(x)xlnx，若f (x0)2，则x0等于( ) (A)e 2 (B)e (C) 2 2ln (D)ln2 3函数yax 21 的图象与直线 yx相切，则a等于( ) (A) 8 1 (B) 4
16、 1 (C) 2 1 (D)1 4曲线 x y 2 1 e在点(4，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( ) (A) 2 e 2 9 (B)4e 2 (C)2e 2 (D)e 2 二、填空题：二、填空题： 5f (x)是12 3 1 )( 3 xxxf的导函数，则f (1)_ 6若函数yf(x)的图象在点M(1，f(1)处的切线方程是yx2，则f(1)f (1) _ 7过原点作曲线ye x的切线，则切点的坐标为_；切线的斜率为_ 8设函数f(x)xe kx(k0)，则曲线 yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程是_ 三、解答题：三、解答题： 9求下列函数的导数： (1)yxe x；
17、(2)yx 3cosx； (3)y(x1)(x2)(x3)； (4) x x y ln 10已知抛物线yax 2bxc 经过点A(1，1)，B(2，1)，且该曲线在点B处的切线方程 为yx3，求a、b、c的值 11求曲线2 4 1 2 1 2 32 xyxy与在交点处的两条切线的夹角的大小 4 42 2 导数的应用导数的应用 【知识要点【知识要点】 1利用导数判断函数的单调性： (1)函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：设函数f(x)在区间(a，b)内可导， 如果恒有f (x)0，那么函数f(x)在区间(a，b)内单调递增； 如果恒有f (x)0，那么函数f(x)在区间(a，b)内单调递减
18、 值得注意的是，若函数f(x)在区间(a，b)内有f (x)0(或f (x)0)，但其中只有 有限个点使得f (x)0，则函数f(x)在区间(a，b)内仍是增函数(或减函数) (2)一般地，如果一个函数在某一范围内的导数的绝对值越大，说明这个函数在这个范 围内变化得快 这时函数的图象就比较 “陡峭” (向上或向下)； 反之， 函数的图象就比较 “平 缓” 2利用导数研究函数的极值： (1)设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近所有的点，都有f(x)f(x0)，就说 f(x0)是函数f(x)的一个极大值，x0是极大值点； 如果对x0附近所有的点， 都有f(x)f(x0)， 就说f(x0
19、)是函数f(x)的一个极小值，x0是极小值点 (2)需要注意，可导函数的极值点必是导数为零的点，但导数为零的点不一定是极值 点如yx 3在 x0 处的导数值为零，但x0 不是函数yx 3的极值点也就是说可导函 数f(x)在x0处的导数f (x0)0 是该函数在x0处取得极值的必要但不充分条件 (3)函数f(x)在区间a，b上的最值：f(x)在区间a，b上的最大值(或最小值)是f(x) 在区间(a，b)内的极大值(或极小值)及f(a)、f(b)中的最大者(或最小者) (4)应注意，极值只是相对一点附近的局部性质，而最值是相对整个定义域内的整体性 质 【复习要求】【复习要求】 1了解函数单调性和导
20、数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区 间(对多项式函数一般不超过三次)； 2了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小 值(对多项式函数一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(对多项式函数一 般不超过三次)； 3会利用导数解决某些实际问题 【例题分析】【例题分析】 例例 1 1 求下列函数的单调区间： (1)f(x)x 33x； (2)f(x)3x 22lnx； (3) 2 ) 1( 2 )( x bx xf 解：解：(1)f(x)的定义域是 R R，且f (x)3x 23， 令f (x)0，得x11，x21列表分析如下： x (，1
21、) 1 (1，1) 1 (1，) f (x) 0 0 f(x) 所以函数f(x)的减区间是(1，1)，增区间是(，1)和(1，) (2)f(x)的定义域是(0，)，且 x xxf 2 6)(， 令f(x)0，得 3 3 , 3 3 21 xx列表分析如下： x ) 3 3 , 0( 3 3 ), 3 3 ( f (x) 0 f(x) 所以函数f(x)的减区间是) 3 3 , 0(，增区间是), 3 3 ( (3)f(x)的定义域为(，1)(1，)，求导数得 334 2 ) 1( )1(2 ) 1( 222 ) 1( ) 1(2)2() 1(2 )( x xb x bx x xbxx xf 令f
22、(x)0，得xb1 当b11，即b2 时，f(x)的变化情况如下表： x (，b1) b1 (b1，1) (1，) f (x) 0 所以，当b2 时，函数f(x)在(，b1)上单调递减，在(b1，1)上单调递增， 在(1，)上单调递减 当b11，即b2 时，f(x)的变化情况如下表： x (，1) (1，b1) b1 (b1，) f (x) 0 所以，当b2 时，f(x)在(，1)上单调递减，在(1，b1)上单调递增，在(b1， )上单调递减 当b11，即b2 时， 1 2 )( x xf，所以f(x)在(，1)上单调递减，在(1， )上单调递减 【评析】【评析】求函数f(x)的单调区间的步骤
23、是： 确定f(x)的定义域(这一步必不可少，单调区间是定义域的子集)； 计算导数f(x)； 求出方程f(x)0 的根； 列表考察f(x)的符号，进而确定f(x)的单调区间(必要时要进行分类讨论) 例例 2 2 求函数44 3 1 3 xxy的极值 解：解：yx 24(x2)(x2)，令 y0，解得x12，x22 列表分析如下： x (，2) 2 (2，2) 2 (2，) y 0 0 y 极大值 3 28 极小值 3 4 所以当x2 时，y有极大值 3 28 ；当x2 时，y有极小值 3 4 【评析】【评析】求函数f(x)的极值的步骤是： 计算导数f(x)； 求出方程f(x)0 的根； 列表考察
24、f(x)0 的根左右值的符号：如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得 极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值 例例 3 3 已知函数f(x)x 33x29xa (1)求f(x)的单调递减区间； (2)若f(x)在区间2，2上的最大值为 20，求它在该区间上的最小值 解：解：(1)f(x)3x 26x9 令f(x)0，解得x1 或x3 所以函数f(x)的单调递减区间为(，1)，(3，) (2)因为f(2)81218a2a，f(2)81218a22a，所以f(2) f(2) 因为在(1，3)上f(x)0，所以f(x)在1，2上单调递增，又由于f(x)在2， 1上单调递减，因此f(
25、2)和f(1)分别是f(x)在区间2，2上的最大值和最小值 于是有 22a20，解得a2 故f(x)x 33x29x2，因此 f(1)13927， 即函数f(x)在区间2，2上的最小值为7 【评析】【评析】求函数f(x)在闭区间a，b上最值的方法： 计算导数f(x)； 求出方程f(x)0 的根x1，x2，； 比较函数值f(x1)，f(x2)，及f(a)、f(b)的大小，其中的最大(小)者就是f(x)在 闭区间a，b上最大(小)值 例例 4 4 设f(x)，g(x)分别是定义在 R R 上的奇函数和偶函数，当x0 时，f(x)g(x) f(x)g(x)0，且g(3)0，则不等式f(x)g(x)0
26、 的解集是( ) A(3，0)(3，) B(3，0)(0，3) C(，3)(3，) D(，3)(0，3) 【分析】【分析】本题给出的信息量较大，并且还都是抽象符号函数解答时，首先要标出重要 的已知条件，从这些条件入手，不断深入研究由f(x)g(x)f(x)g(x)0 你能产生什 么联想?它和积的导数公式很类似，整理可得f(x)g(x)0令h(x)f(x)g(x)，则当x 0 时，h(x)是增函数再考虑奇偶性，函数h(x)是奇函数还有一个已知条件g(3)0， 进而可得h(3)f(3)g(3)0， 这样我们就可以画出函数h(x)的示意图， 借助直观求 解 答案：D. 例例 5 5 求证：当x0 时
27、，1xe x 分析分析：不等式两边都是关于x的函数，且函数类型不同，故可考虑构造函数f(x)1 xe x，通过研究函数 f(x)的单调性来辅助证明不等式 证明：证明：构造函数f(x)1xe x，则 f(x)1e x 当x0 时，有 e x1，从而 f(x)1e x0， 所以函数f(x)1xe x在(0，)上单调递减， 从而当x0 时，f(x)f(0)0， 即当x0 时，1xe x 【评析】【评析】通过构造函数，利用函数的单调性证明不等式是常用方法之一，而借助导数研 究函数单调性辅助证明不等式突出了导数的工具性作用 例例 6 6 用总长 14.8 m的钢条制作一个长方体容器的框架， 如果容器底面
28、的长比宽多 0.5 m， 那么长和宽分别为多少时容器的容积最大?并求出它的最大容积 解：解：设容器底面长方形宽为x m，则长为(x0.5)m， 依题意，容器的高为xxx22 . 3)5 . 0(448 .14 4 1 显然 , 022 . 3 , 0 x x 0x1.6，即x的取值范围是(0，1.6) 记容器的容积为y m 3， 则yx(x0.5)(3.22x)2x 32.2x21.6x x(0，1.6) 对此函数求导得，y6x 24.4x1.6 令y0，解得 0x1；令y0，解得 1x1.6 所以，当x1 时，y取得最大值 1.8，这时容器的长为 10.51.5 答：容器底面的长为 1.5m
29、、宽为 1m 时，容器的容积最大，最大容积为 1.8m 3 【评析】【评析】 解决实际优化问题的关键在于建立数学模型(目标函数)， 通过把题目中的主要 关系(等量和不等量关系)形式化，把实际问题抽象成数学问题，再选择适当的方法求解 例例 7 7 已知f(x)ax 3cxd(a0)是 R R 上的奇函数，当 x1 时，f(x)取得极值2 (1)求f(x)的解析式； (2)证明对任意x1、x2(1，1)，不等式f(x1)f(x2)4 恒成立 【分析】【分析】对于(1)题目涉及到三个未知数，而题设中有三个独立的条件，因此，通过解 方程组来确定参数a、c、d的值；对于(2)可通过研究函数f(x)的最值
30、加以解决 解：解：(1)由f(x)ax 3cxd(a0)是 R R 上的奇函数，知 f(0)0，解得d0， 所以f(x)ax 3cx(a0)，f(x)3ax2c(a0) 由当x1 时，f(x)取得极值2，得f(1)ac2，且f(1)3ac0，解得 a1，c3， 所以f(x)x 33x (2)令f(x)0，解得x1，或x1；令f(x)0，解得1x1， 从而函数f(x)在区间(，1)内为增函数，(1，1)内为减函数，在(1，)内 为增函数 故当x1，1时，f(x)的最大值是f(1)2，最小值是f(1)2， 所以，对任意x1、x2(1，1)，|f(x1)f(x2)|2(2)4 【评析】【评析】 使用
31、导数判断函数的单调性， 进而解决极值(最值)问题是常用方法， 较为简便 例例 8 8 已知函数f(x)xlnx (1)求f(x)的最小值； (2)若对所有x1 都有f(x)ax1，求实数a的取值范围 解：解：(1)f(x)的定义域为(0，)，f(x)的导数f(x)1lnx 令f(x)0，解得 e 1 x； 令f(x)0，解得 e 1 0 x 从而f(x)在) e 1 , 0(单调递减，在), e 1 (单调递增 所以，当 e 1 x时，f(x)取得最小值 e 1 (2)解法一：令g(x)f(x)(ax1)，则g(x)f(x)a1alnx， 若a1，当x1 时，g(x)1alnx1a0， 故g(
32、x)在(1，)上为增函数， 所以，x1 时，g(x)g(1)1a0，即f(x)ax1 若a1，方程g(x)0 的根为x0e a1， 此时，若x(1，x0)，则g(x)0，故g(x)在该区间为减函数 所以，x(1，x0)时，g(x)g(1)1a0， 即f(x)ax1，与题设f(x)ax1 相矛盾 综上，满足条件的a的取值范围是(，1 解法二：依题意，得f(x)ax1 在1，)上恒成立， 即不等式 x xa 1 ln对于x1，)恒成立 令 x xxg 1 ln)(，则) 1 1 ( 111 )( 2 xxxx xg 当x1 时，因为0) 1 1 ( 1 )( xx xg， 故g(x)是(1，)上的
33、增函数，所以g(x)的最小值是g(1)1， 从而a的取值范围是(，1 例例 9 9 已知函数) 1ln( )1 ( 1 )( xa x xf n ，其中nN N *，a 为常数 (1)当n2 时，求函数f(x)的极值； (2)当a1 时，证明：对任意的正整数n，当x2 时，有f(x)x1 解：解：(1)由已知得函数f(x)的定义域为xx1， 当n2 时，) 1ln( )1 ( 1 )( 2 xa x xf，所以 3 2 )1 ( )1 (2 )( x xa xf 当a0 时，由f(x)0 得1 2 1, 1 2 1 21 a x a x， 此时 3 21 )1 ( )( )( x xxxxa
34、xf 当x(1，x1)时，f(x)0，f(x)单调递减； 当x(x1，)时，f(x)0，f(x)单调递增 当a0，f(x)0 恒成立，所以f(x)无极值 综上所述，n2 时， 当a0 时，f(x)在 a x 2 1处取得极小值，极小值为) 2 ln1 ( 2 ) 2 1 ( a a a f 当a0 时，f(x)无极值 (2)证法一：因为a1，所以) 1ln( )1 ( 1 )( x x xf n 当n为偶数时，令) 1ln( )1 ( 1 1)( x x xxg n ， 则)2(0 ) 1(1 2 1 1 ) 1( 1)( 11 x x n x x xx n xg nn 所以当x2 时，g(x
35、)单调递增，又g(2)0， 因此0)2() 1ln( ) 1( 1 1)( gx x xxg n 恒成立， 所以f(x)x1 成立 当n为奇数时，要证f(x)x1，由于0 )1 ( 1 n x ，所以只需证 ln(x1)x1， 令h(x)x1ln(x1)， 则)2(0 1 2 1 1 1)( x x x x xh 所以，当x2 时，h(x)x1ln(x1)单调递增，又h(2)10， 所以，当x2 时，恒有h(x)0，即 ln(x1)x1 成立 综上所述，结论成立 证法二：当a1 时，) 1ln( )1 ( 1 )( x x xf n . 当x2 时，对任意的正整数n，恒有1 )1 ( 1 n
36、x ， 故只需证明 1ln(x1)x1 令h(x)x11ln(x1)x2ln(x1)，x2，)， 则 1 2 1 1 1)( x x x xh， 当x2 时，h(x)0，故h(x)在2，)上单调递增， 因此当x2 时，h(x)h(2)0，即 1ln(x1)x1 成立 故当x2 时，有1) 1ln( )1 ( 1 xx x n ， 即f(x)x1 练习练习 4 42 2 一、选择题：一、选择题： 1函数y13xx 3有( ) (A)极小值2，极大值 2 (B)极小值2，极大值 3 (C)极小值1，极大值 1 (D)极小值1，极大值 3 2f (x)是函数yf(x)的导函数，yf (x)图象如图所
37、示，则yf(x)的图象最有可能 是( ) 3函数f(x)ax 3x 在 R R 上为减函数，则a的取值范围是( ) (A)a0 (B)a0 (C) 3 1 a (D) 3 1 a 4设aR R，若函数f(x)e xax，xR R 有大于零的极值点，则 a的取值范围是( ) (A)a1 (B)a1 (C) e 1 a (D) e 1 a 二、填空题：二、填空题： 5函数f(x)x 33ax22bx 在x1 处取得极小值1，则ab_ 6函数yx(1x 2)在0，1上的最大值为_ 7已知函数f(x)2x 36x2a 在2，2上的最小值为37，则实数a_ 8有一块边长为 6m 的正方形铁板，现从铁板的
38、四个角各截去一个相同的小正方形，做成一 个长方体形的无盖容器，为使其容积最大，截下的小正方形边长为_m 三、解答题：三、解答题： 9已知函数f(x)x 3ax2bx(a， bR R)的图象过点P(1，2)，且在点P处的切线斜率为 8 (1)求a，b的值； (2)求函数f(x)的单调区间； (3)求函数f(x)在区间1，1上的最大值与最小值 10当) 2 , 0(x时，证明：tanxx 11已知函数f(x)e xex (1)证明：f(x)的导数f (x)2； (2)若对所有x0 都有f(x)ax，求a的取值范围 参考答案参考答案 练习练习 4 41 1 一、选择题：一、选择题： 1C 2B 3B
39、 4D 二、填空题：二、填空题： 53 64 7(1，e)；e 8yx 三、解答题：三、解答题： 9(1)y1e x；(2)y3x2sinx；(3)y3x212x11；(4) 2 ln1 x x y 10略解：因为抛物线yax 2bxc 经过点A(1，1)，B(2，1)两点，所以 abc1 4a2bc1 因为y2axb，所以yx24ab故 4ab1 联立、，解得a3，b11，c9 11解：由0162 2 4 1 2 1 2 23 3 2 xx xy xy ， 所以(x2)(x 24x8)0，故 x2，所以两条曲线只有一个交点(2，0) 对函数 2 2 1 2xy求导数，得yx， 从而曲线 2
40、2 1 2xy在点(2，0)处切线的斜率是2 对函数2 4 1 3 xy求导数，得 2 4 3 xy ， 从而曲线2 4 1 3 xy在点(2，0)处切线的斜率是 3 设两条切线的夹角为 ，则1| 3)2(1 32 |tan ， 所以两条切线的夹角的大小是 45 练习练习 4 42 2 一一、选择题：、选择题： 1D 2C 3B 4A 二、填空题：二、填空题： 5 6 1 6 9 32 73 81 三、解答题：三、解答题： 9解：(1)a4，b3 (2)函数f(x)的单调增区间为(，3)，), 3 1 (；减区间为) 3 1 , 3( (3)函数f(x)在1，1上的最小值为 27 14 ，最大
41、值为 6 10证明：设f(x)tanxx，) 2 , 0(x 则0tan1 cos 1 1) cos sin ()( 2 . 2 x xx x xf， 所以函数f(x)tanxx在区间) 2 , 0(内单调递增 又f(0)0，从而当) 2 , 0(x时，f(x)f(0)恒成立， 即当) 2 , 0(x时，tanxx 11解：(1)f(x)的导数f (x)e xex 由于2ee2ee xxxx ，故f (x）2，当且仅当x0 时，等号成立 (2)令g(x)f(x)ax，则 g(x)f(x)ae xexa， 若a2，当x0 时，g(x)e xexa2a0， 故g(x)在(0，)上为增函数， 所以，
42、x0 时，g(x)g(0)，即f(x)ax 若a2，方程g(x)0 的正根为 2 4 ln 2 1 aa x， 此时，若x(0，x1)，则g(x)0，故g(x)在该区间为减函数 所以，x(0，x1)时，g(x)g(0)0，即f(x)ax，与题设f(x)ax相矛盾 综上，满足条件的a的取值范围是(，2 习题习题 4 4 一、选择题：一、选择题： 1B 2B 3A 4D 5C 二、填空题：二、填空题： 61 72 85；15 9y3x 10 6 1 三、解答题：三、解答题： 11(1)f (x)(1kx)e kx，令(1kx)ekx0，得 )0( 1 k k x 若k0， 则当) 1 ,( k x时，f (x)0， 函数f(x)单调递减； 当), 1 ( k x时， f (x)0，函数f(x)单调递增 若k0， 则当) 1 ,( k x时，f (x)0， 函数f(x)单调递增； 当), 1 ( k x时， f (x)0，函数f(x)单调递减
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