1、 第 1 页 共 6 页 两条直线的位置关系两条直线的位置关系（提高提高）知识讲解）知识讲解 【学习目标】【学习目标】 1. 初步理解同一平面内的两直线的位置关系，初步认识相交线和平行线； 2.了解对顶角、补角、余角，知道对顶角相等、等角的余角相等、等角的补角相等，并能 解决一些实际问题； 3. 理解垂直作为两条直线相交的特殊情形，掌握垂直的定义及性质； 4. 理解点到直线的距离的概念，并会度量点到直线的距离. 【要点梳理】【要点梳理】 要要点一、点一、同一平面内两条直线的位置关系同一平面内两条直线的位置关系 同一平面内，同一平面内，两条直线的位置关系：两条直线的位置关系：相交和平行. 要点诠
2、释：要点诠释： （1）平行线：平行线：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线.两直线平行，用符号“”表 示. 如下图，两条直线互相平行，记作 ABCD 或 ab. （2）互相重合的直线通常看做一条直线，两条线段或射线平行是指它们所在的直线平行. （3）相交线：相交线：若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为相交线，这个公共点叫做 交点. 两条直线相交只有一个交点. 要点二、对顶角、补角、余角要点二、对顶角、补角、余角 1. .余角与补角余角与补角 （1 1）定义：定义：如果两个角的和是 180，那么这两个角互为补角，简称互补，其中一个角叫 做另一个角的补角 类似地，如果两个角的和是 90
3、，那么这两个角互为余角简称互余，其中一 个角叫做另一个角的余角 （2 2）性质：）性质：同角（等角）的余角相等同角（等角）的补角相等 要点诠释：要点诠释： (1)互余互补指的是两个角的数量关系，而与它们的位置无关 (2)一个锐角的补角比它的余角大 90 2 2. .对顶角对顶角 （1）定义：）定义：由两条直线相交构成的四个角中，有公共顶点没有公共边(相对)的两个角，互 为对顶角 要点诠释：要点诠释： (1)对顶角满足的条件：相等的两个角；有公共顶点且一角的两边是另一角两边的反向 延长线. (2)只有两条直线相交时，才能产生对顶角两条直线相交时，除了产生对顶角外，还会产 生邻补角，邻补角满足的条
4、件：有公共顶点；有一条公共边，另一边互为反向延长线. （3）邻补角一定互为补角，但互为补角的角不一定是邻补角. （2）性质：）性质：对顶角相等 要要点三点三、垂线、垂线 第 2 页 共 6 页 1 1垂线的定义：垂线的定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就称这两条直线互相 垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足如下图 要点诠释：要点诠释： (1)记法：直线a与b垂直，记作：ab； 直线 AB 和 CD 垂直于点 O，记作：ABCD 于点 O. (2) 垂直的定义具有二重性，既可以作垂直的判定，又可以作垂直的性质，即有： 90AOC 判定 性质 CDAB 2 2
5、垂线的垂线的画法：画法：过一点画已知直线的垂线，可通过直角三角板来画，具体方法是使直角三 角板的一条直角边和已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过已知点， 沿此直角边画直线，则所画直线就为已知直线的垂线(如图所示) 要点诠释：要点诠释： (1)如果过一点画已知射线或线段的垂线时， 指的是它所在直线的垂线， 垂足可能在射线的 反向延长线上，也可能在线段的延长线上 (2)过直线外一点作已知直线的垂线，这点与垂足间的线段为垂线段垂线段 3 3垂线的垂线的性质：性质： （1）平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 （2）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短简单说成：
6、垂线段最短 要点诠释：要点诠释： （1）性质（1）成立的前提是在“同一平面内” ， “有”表示存在， “只有”表示唯一， “有且 只有”说明了垂线的存在性和唯一性 （2）性质（2）是“垂线段最短 ”实际上，连接直线外一点和直线上各点的线段有无数条， 但只有一条最短，即垂线段最短在实际问题中经常应用其“最短性”解决问题 4 4点到直线的距离：点到直线的距离： 定义：定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离 要点诠释：要点诠释： （1） 点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，不能说垂线段是距离； （2）求点到直线的距离时，要从已知条件中找出垂线段或画出垂线段，然后计算或度量
7、垂线 段的长度 【典型例题】【典型例题】 第 3 页 共 6 页 类型一、类型一、两条直线的位置关系两条直线的位置关系 1. 平面上有 10 条直线，其中 4 条直线交于一点，另有 4 条直线互相平行，这 10 条直 线最多有几个交点？ 【答案与解析】 解：如图，图中共有 34 个交点 【总结升华】10 条直线中有八条直线的位置已经确定，要使 10 条直线的交点最多，就要使 剩下的两条直线与前八条直线均相交. 举一反三：举一反三： 【变式】不重合的两条直线的位置关系有 （ ） A平行或垂直 B平行或相交 C不相交或相交 D平行、垂直或相交 【答案】C 类型二类型二、对顶角、补角、余角、对顶角、
8、补角、余角 2如图所示，已知直线 AB、CD 相交于点 O，OE 平分BOD，OF 平分COE， 2:14:l，求AOF 【思路点拨】涉及有比值的题设条件，如 a:bm:n，在解题时设amx，bnx，这是常 用的用方程思想解题的方法 【答案与解析】 解：设1x，则24x OE 平分BOD， BOD212x 2+BOD180，即 4x+2x180， x30 DOE+COE180，COE150 又 OF 平分COE， COF 1 2 COE75 AOCBOD60， AOFAOC+COF60+75135 【总结升华】两条直线相交所成的四个角中，只要已知其中一个角，就可以求出另外三角 第 4 页 共
9、6 页 类型三类型三、垂线垂线 3下列语句： 两条直线相交，若其中一个交角是直角，那么这两条直线垂直. 一条直线的垂线有无数条. 空间内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； 两条直线相交成四个角，如果有两个角相等，那么这两条直线垂直. 其中正确的是. 【思路点拨】解此题必须严格按照垂线的定义“两条直线相交成直角”及垂线的性质“过平 面内任意一点，即过直线上或直线外任意一点，有且仅有一条直线与已知直线垂直”来作判 断. 【答案】 【解析】正确；正确，过任意一点都可以作；对于只有在“同一平面内”才成立，因 为空间内，当这点在直线上时，过这点并非只有一条直线与已知直线垂直，故错误；错 误，必须是两
10、个邻角相等，如下图： 【总结升华】 “过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”成立的前提是“在同一平面内” ， 若改为在“空间” ，则过一点有无数条直线与已知直线垂直（以后学到）. 举一反三：举一反三： 【变式】在铁路旁有一城镇，现打算从城镇修一条和铁路垂直的道路，这种方案是唯一的， 是因为( ) A经过两点有且只有一条直线 B两点之问的所有连线中，线段最短 C在同一平面内，两直线同时垂直同一条直线，则这两直线也互相垂直 D在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】D 提示：注意区分直线性质与垂线性质 4. 如图，直线 AB 与 CD 相交于点 O，OECD，OFAB，DOF6
11、5，求BOE 与 AOC 的度数. 【答案与解析】 解：OFAB，OECD(已知) BOFDOE90(垂直定义) BODBOFDOF906525 BOEDOEBOD902565. 第 5 页 共 6 页 AOCAOBBOECOE 180659025. 【总结升华】 利用垂直的定义， 及同一条直线上的三点组成一个平角可以帮助我们求解图中 某些角的大小. 举一反三：举一反三： 【变式】如图，若 OM 平分AOB，且 OM ON，求证：ON 平分BOC. 【答案】 证明：如图， OM 平分AOB 1=2 又OM ON 3=902 由图可得：4=180223=18022 （902）=902 3=4 O
12、N 平分BOC 5.如图所示，一辆汽车在直线形公路 AB 上由 A 向 B 行驶，M、N 分别是位于公路两 侧的村庄 (1)设汽车行驶到公路 AB 上点 P 位置时，距离村庄 M 最近；行驶到点 Q 位置时，距 离村庄 N 最近，请在图中的公路 AB 上分别画出点 P 和点 Q 的位置(保留作图痕迹) (2)当汽车从 A 出发向 B 行驶时，在公路 AB 的哪一段路上距离 M、N 两村庄都越来越 近?在哪一段路上距离村庄 N 越来越近，而离村庄 M 越来越远?(分别用文字表述你的结论， 不必说明) 【答案与解析】 解：(1)过点 M 作 MPAB，垂足为 P，过点 N 作 NQAB，垂足为 Q，点 P、Q 就是要画 的两点，如图所示 (2)当汽车从 A 向 B 行驶时，在 AP 这段路上，离两个村庄越来越近；在 PQ 这段路上， 第 6 页 共 6 页 离村庄 M 越来越远，离村庄 N 越来越近 【总结升华】利用垂线段最短解决实际问题是常用的一种方法 举一反三：举一反三： 【变式】点 P 为直线l外一点：点 A、B、C 为直线l上三点，PA4 cm，PB5 cm，PC2 cm，则点 P 到直线l的距离是 ( ) A2 cm B4 cm C5 cm D不超过 2 cm 【答案】D
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