1、第 1 页 共 8 页 勾股定理勾股定理全章复习与巩固（全章复习与巩固（提高提高） 【学习目标】【学习目标】 1.了解勾股定理的历史，掌握勾股定理的证明方法； 2.理解并掌握勾股定理及逆定理的内容； 3.能应用勾股定理及逆定理解决有关的实际问题. 【知识网络】【知识网络】 【要点梳理】【要点梳理】 要要点一、勾股定理点一、勾股定理 1.1.勾股定理：勾股定理： 直角三角形两直角边ab、的平方和等于斜边c的平方.（即： 222 abc） 2.2.勾股定理的应用勾股定理的应用 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系， 是直角三角形的重要性质之一， 其主要 应用是： （1）已知直角三角形的两边，求第
2、三边； （2）利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题； （3）解决与勾股定理有关的面积计算； （4）勾股定理在实际生活中的应用 要要点二、勾股定理的逆定理点二、勾股定理的逆定理 1 1. .勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长abc、 、，满足 222 abc，那么这个三角形是直角三角形. 要点诠释：要点诠释： 应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤： （1）首先确定最大边，不妨设最大边长为c； （2）验证： 22 ab与 2 c是否具有相等关系： 若 222 abc，则ABC 是以C 为 90的直角三角形； 若 222 abc时，ABC 是锐角三角形
3、； 若 222 abc时，ABC 是钝角三角形 第 2 页 共 8 页 2 2. .勾股数勾股数 满足不定方程 222 xyz的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数） ， 显然，以xyz、 、为三边长的三角形一定是直角三角形. 要点诠释：要点诠释： 常见的勾股数：3、4、5； 5、12、13；8、15、17；7、24、25；9、40、41. 如果(abc、 、)是勾股数，当 t 为正整数时，以atbtct、 、为三角形的三边长，此三 角形必为直角三角形. 观察上面的、四组勾股数，它们具有以下特征： 1.较小的直角边为连续奇数； 2.较长的直角边与对应斜边相差 1. 3.假设三个数分
4、别为abc、 、，且abc，那么存在 2 abc成立.（例如中存 在 2 72425、 2 94041 等） 要要点三、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系点三、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系 区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理； 联系： 勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反， 两者互为逆定理， 都与直角三角形有关. 【典型例题】【典型例题】 类型一、勾股定理及逆定理的应用类型一、勾股定理及逆定理的应用 1、如图所示，等腰直角ABC 中，ACB90，E、F 为 AB 上两点(E 左 F 右)，且 ECF45，求证： 222 AEBFEF . 【思路点拨】【思路点
5、拨】由于ACB90，ECF45，所以ACEBCF45，若将ACE 和 BCF 合在一起则为一特殊角 45， 于是想到将ACE 旋转到BCF 的右外侧合并， 或将BCF 绕 C 点旋转到ACE 的左外侧合并，旋转后的 BF 边与 AE 边组成一个直角，联想勾股定理即 可证明 【答案【答案与解析与解析】 解：(1) 222 AEBFEF，理由如下： 将BCF 绕点 C 旋转得ACF，使BCF 的 BC 与 AC 边重合， 即ACFBCF， 在ABC 中，ACB90，ACBC， CAFB45， EAF90 ECF45， ACEBCF45 ACFBCF， ECF45 在ECF 和ECF中 第 3 页
6、共 8 页 45 CECE ECFECF CFCF ECFECF(SAS)， EFEF 在 RtAEF中， 222 AEFAFE， 222 AEBFEF 【总结升华总结升华】若一个角的内部含有同顶点的半角，(如平角内含直角，90角内含 45角， 120角内含 60角)，则常常利用旋转法将剩下的部分拼接在一起组成又一个半角，然后 利用角平分线、全等三角形等知识解决问题 举一反三：举一反三： 【变式】已知凸四边形 ABCD 中，ABC30，ADC60，ADDC， 求证： 222 BDABBC. 【答案】【答案】 解：将ABD 绕点 D 顺时针旋转 60 由于 DCAD，故点 A 转至点 C点 B
7、转至点 E，连结 BE BDDE，BDE60 BDE 为等边三角形，BEBD 易证DABDCE，A2，CEAB 四边形 ADCB 中ADC60，ABC30 A13606030270 121A270 3360(12)90 222 BCCEBE 222 BCABBD 2、 如图， 在ABC 中， ACB=90， AC=BC， P 是ABC 内的一点， 且 PB=1， PC=2， PA=3，求BPC 的度数 【答案【答案与解析与解析】 第 4 页 共 8 页 解：如图，做ECB=PCA，且使 CE=CP，连结 EP，EB 在APC 和BEC 中 PCAECB ACBC PCEC APCBEC PCE
8、 为等腰直角三角形 CPE=45，PE2=PC2+CE2=8 又PB2=1，BE2=9 PE2+ PB2= BE2 则BPE=90 BPC=135 【总结升华总结升华】本题考查了勾股定理的逆定理，通过观察所要求的角度，作出辅助线，把 PA、 PB、PC 的长度转化为一个三角形三条边，构造出直角三角形是解题的关键，当然此题也可 以利用旋转的思想来解，即将APC 绕点 C 旋转，使 CA 与 CB 重合即APCBEC. 类型二、勾股定理及逆定理的综合应用类型二、勾股定理及逆定理的综合应用 3、(1)已知：如图 1，求证： (2)运用(1)的结论可以证明下列命题： 已知：如图 2，设 M 是ABC
9、内部任意一点，于 G，于 K， 于，BD=BE，CE=CF，求证：AD=AF 图 图 【答案【答案与解析与解析】 (1)证明： CDAB，AOC=BOD=90 (2)证明：连结 AM，BM，CM ABDM 1 第 5 页 共 8 页 2 3 把123 三式相加，得 222222 DBAMCEBMAFCM 222222 ADBMBECMCFAM 又 ， 【总结升华总结升华】此题（1）考察的是勾股定理（2）的关键是能够构造出四边形利用（1）的结 论，从而证得线段相等. 4、如图：正方形 ABCD 中，E 是 DC 中点，F 是 EC 中点.求证：BAF=2EAD. 【答案【答案与解析与解析】 证明
10、：取 BC 中点 G，连结 AG 并延长交 DC 延长线于 H ABG=HCG，BG=CG，AGB=HGC GABHCG GAB=H，AB=CH 又 AB=AD，B=D，BG=DE ABGADE GAB=DAE 在RtADF中，设ADa，由勾股定理得： 222222 32 5 () 416 5 4 AFADDFaaa AFa 又 5 44 a HFCHCFaa 第 6 页 共 8 页 AF=HF FAH=H FAH=DAE BAF=2DAE 【总结升华总结升华】要证BAF=2EAD，一般方法是在BAF 中取一个角使之等于EAD，再 证明另一个角也等于EAD，另一种方法是把小角扩大一倍，看它是否
11、等于较大的角. 举一反三：举一反三： 【变式】 如图， 已知等腰ABC的底边BC=20cm， D是腰AB上一点， 且CD=16cm， BD=12cm， 求ABC 的周长. 【答案】【答案】 解：BC=20cm，CD=16cm，BD=12cm， BD2+DC2=122+162=202=BC2， BDC=90， 又AC=AB=BD+AD=12+AD， 在 RtADC 中，AC2=AD2+DC2，即(12+AD)2=AD2+162，解得 AD=14 3 ， 故ABC 的周长为：2AB+BC= 1 53 3 cm 类型三、勾股定理的实际应用类型三、勾股定理的实际应用 5、如图所示，牧童在 A 处放牛，
12、其家在 B 处，A、B 到河岸的距离分别为 AC400 米， BD200 米，CD800 米，牧童从 A 处把牛牵到河边饮水后再回家试问在何处饮水，所走 路程最短？最短路程是多少？ 【思路点拨】【思路点拨】作点 A 关于直线 CD 的对称点 G，连接 GB，交 CD 于点 E，利用“两点之间 线段最短”可知应在 E 处饮水，再根据对称性知 GB 的长为所走的最短路程，然后构造直角 三角形，利用勾股定理可解决 【答案【答案与解析与解析】 第 7 页 共 8 页 解：作点 A 关于直线 CD 的对称点 G，连接 GB 交 CD 于点 E，由“两点之间线段最短”可以知 道在 E 点处饮水，所走路程最
13、短说明如下： 在直线 CD 上任意取一异于点 E 的点 I，连接 AI、AE、BE、BI、GI、GE 点 G、A 关于直线 CD 对称， AIGI，AEGE 由“两点之间线段最短”或“三角形中两边之和大于第三边”可得 GIBIGBAE BE，于是得证 最短路程为 GB 的长，自点 B 作 CD 的垂线，自点 G 作 BD 的垂线交于点 H，在直角三角 形 GHB 中， GHCD800，BHBDDHBDGCBDAC200400600， 由勾股定理得 22222 8006001000000GBGHBH GB1000，即最短路程为 1000 米 【总结升华总结升华】这是一道有关极值的典型题目解决这类
14、题目，一方面要考虑“两点之间线段 最短” ；另一方面，证明最值，常常另选一个量，通过与求证的那个“最大” “最小”的量进 行比较来证明，如本题中的 I 点本题体现了勾股定理在实际生活中的应用 举一反三：举一反三： 【变式】如图所示，正方形 ABCD 的 AB 边上有一点 E，AE3，EB1，在 AC 上有一点 P，使 EPBP 最短求 EPBP 的最小值 【答案】【答案】 解：根据正方形的对称性可知：BPDP，连接 DE，交 AC 于 P，EDEPDPEPBP， 即最短距离 EPBP 也就是 ED AE3，EB1， ABAEEB4， AD4，根据勾股定理得： 22222 3425EDAEAD
15、第 8 页 共 8 页 ED0， ED5， 最短距离 EPBP5 6、 台风是一种自然灾害， 它以台风中心为圆心， 在周围数十千米范围内形成气旋风暴， 有极强的破坏力如图台风中心在我国台湾海峡的 B 处，在沿海城市福州 A 的正南方向 240 千米，其中心风力为 12 级，每远离台风中心 25 千米，台风就会减弱一级，如图所示，该台 风中心正以 20 千米/时的速度沿北偏东 30方向向 C 移动，且台风中心的风力不变，若城 市所受风力达到或超过 4 级，则称受台风影响试问： （1）该城市是否会受到台风影响？请说明理由 （2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？ （3）该城市受
16、到台风影响的最大风力为几级？ 【答案【答案与解析与解析】 解：（1）该城市会受到台风影响 理由：如图，过点 A 作 ADBC 于 D 点， 则 AD 即为该城市距离台风中心的最短距离 在 RtABD 中，因为B=30，AB=240 AD 1 2 AB= 1 2 240120（千米） 由题可知，距台风中心在（12-4）25=200（千米）以内时，则会受到台风影响 因为 120200，因此该城市将会受到影响 （2）依题（1）可知，当点 A 距台风中心不超过 200 千米时，会受台风影响，故在 BC 上作 AE=AF=200；台风中心从点 E 移动到点 F 处时，该城市会处在台风影响范围之内（如图） 由勾股定理得， 22222 20012025600DEAEAD DE160（千米） 所以 EF=2160=320（千米） 又知台风中心以 20 千米/时的速度移动 所以台风影响该城市 32020=16（小时） （3）AD 距台风中心最近， 该城市受到这次台风最大风力为：12-（12025）=7.2（级） 答：该城市受台风影响最大风力 7.2 级 【总结升华总结升华】 本题是将实际问题转化为直角三角形中的数学问题， 可通过作辅助线构造直角 三角形，再把条件和问题转化到直角三角形中，运用勾股定理使问题解决
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