1、第 1 页 共 7 页 勾股定理勾股定理全章复习与巩固全章复习与巩固（基础）（基础） 【学习目标】【学习目标】 1.了解勾股定理的历史，掌握勾股定理的证明方法； 2.理解并掌握勾股定理及逆定理的内容； 3.能应用勾股定理及逆定理解决有关的实际问题. 【知识网络】【知识网络】 【要点梳理】【要点梳理】 要要点一、点一、勾股定理勾股定理 1.1.勾股定理：勾股定理： 直角三角形两直角边ab、的平方和等于斜边c的平方.（即： 222 abc） 2.2.勾股定理的应用勾股定理的应用 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系， 是直角三角形的重要性质之一， 其主要 应用是： （1）已知直角三角形的两边，求
2、第三边； （2）利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题； （3）解决与勾股定理有关的面积计算； （4）勾股定理在实际生活中的应用 要要点二、勾股定理的逆定理点二、勾股定理的逆定理 1 1. .勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长abc、 、，满足 222 abc，那么这个三角形是直角三角形. 要点诠释：要点诠释： 应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤： （1）首先确定最大边，不妨设最大边长为c； （2）验证： 22 ab与 2 c是否具有相等关系： 若 222 abc，则ABC 是以C 为 90的直角三角形； 若 222 abc时，ABC 是锐角三角
3、形； 若 222 abc时，ABC 是钝角三角形 第 2 页 共 7 页 2 2. .勾股数勾股数 满足不定方程 222 xyz的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数） ， 显然，以xyz、 、为三边长的三角形一定是直角三角形. 要点诠释：要点诠释： 常见的勾股数：3、4、5； 5、12、13；8、15、17；7、24、25；9、40、41. 如果(abc、 、)是勾股数，当 t 为正整数时，以atbtct、 、为三角形的三边长，此三 角形必为直角三角形. 观察上面的、四组勾股数，它们具有以下特征： 1.较小的直角边为连续奇数； 2.较长的直角边与对应斜边相差 1. 3.假设三个数
4、分别为abc、 、，且abc，那么存在 2 abc成立.（例如中存 在 2 72425、 2 94041 等） 要要点三、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系点三、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系 区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理； 联系： 勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反， 两者互为逆定理， 都与直角三角形有关. 【典型例题】【典型例题】 类型一、类型一、勾股定理及逆定理的简单应用勾股定理及逆定理的简单应用 1、已知直角三角形的两边长分别为 6 和 8，求第三边的平方长 【答案【答案与解析与解析】 解：设第三边为x 当x为斜边时，由勾股定理得 222 68
5、100x 当x为直角边时，由勾股定理，得 222 68x 2 28x 所以这个三角形的第三边的平方为 100 或 28 【总结升华总结升华】题中未说明第三边是直角边还是斜边，应分类讨论，本题容易误认为所求的第 三边为斜边 举一反三：举一反三： 【变式】在ABC 中，AB15，AC13，高 AD12求ABC 的周长 【答案【答案】 解：在 RtABD 和 RtACD 中， 由勾股定理，得 22222 151281BDABAD 9BD 同理 22222 131225CDACAD 5CD 当ACB90时，BCBDCD954 ABC 的周长为：ABBCCA1541332 当ACB90时，BCBDCD9
6、514 第 3 页 共 7 页 ABC 的周长为：ABBCCA15141342 综上所述：ABC 的周长为 32 或 42 2、如图所示，ABC 中，ACB90，ACCB，M 为 AB 上一点 求证： 222 2AMBMCM 【思路点拨】【思路点拨】欲证的等式中出现了 AM2、BM2、CM2，自然想到了用勾股定理证明，因此需 要作 CDAB 【答案【答案与解析与解析】 证明：过点 C 作 CDAB 于 D ACBC，CDAB， ADBD ACB90， CDADDB 22 22 AMBMADDMADDM 2222 22ADAD DMDMADAD DMDM 22 2()ADDM 22 2()CDD
7、M 在 RtCDM 中， 222 CDDMCM， 222 2AMBMCM 【总结升华总结升华】欲证明线段平方关系问题，首先联想勾股定理，从图中寻找或作垂线构造包含 所证线段的直角三角形，利用等量代换和代数中的恒等变换进行论证 举一反三：举一反三： 【变式】已知ABC 中，ABAC，D 为 BC 上任一点，求证： 22 ABADBD CD. 第 4 页 共 7 页 【答案】【答案】 解：如图，作 AMBC 于 M，ABAC，BMCM, 则在 RtABM 中： 222 ABAMBM 在 RtADM 中： 222 ADAMDM 由得： 22 ABAD 22 BMDMBMDMBMDM （MCDM） B
8、DCDBD 类型二、类型二、勾股定理及逆定理的综合应用勾股定理及逆定理的综合应用 3、已知如图所示，在ABC 中，ABAC20，BC32，D 是 BC 上的一点，且 ADAC， 求 BD 的长 【思路点拨】【思路点拨】由于 BD 所在的ABD 不是直角三角形，不易直接求出 BD 的长，且ACD 尽管 是直角三角形，但 AD 的长是未知的，因而不能确定 CD 的长.过点 A 作 AEBC 于 E，这时可 以从 RtABE 与 RtADE、RtADC 中，运用勾股定理可求得 AE、DE 的长，从而求出 BD 的 长 【答案【答案与解析与解析】 解：过点 A 作 AEBC 于 E ABAC， BEE
9、C 1 2 BC 1 32 2 16 在 RtABE 中，AB20，BE16， 22222 2016144AEABBE， AE12， 在 RtADE 中，设 DEx，则 2222 144ADAEDEx， ADAC， 222 ADACCD，而 222 14420(16)xx 解得：x9 BDBEDE1697 【总结升华总结升华】勾股定理的作用是：已知直角三角形的两边可以求第三边，所以求直角三角形 的边长时应该联想到勾股定理 第 5 页 共 7 页 4、 如图， P 是等边三角形 ABC 内的一点， 连结 PA， PB， PC， 以 BP 为边作PBQ=60， 且 BQ=BP，连结 CQ (1)观
10、察并猜想 AP 与 CQ 之间的大小关系，并证明你的结论 (2)若 PA：PB：PC=3：4：5，连结 PQ，试判断PQC 的形状，并说明理由 【答案【答案与解析与解析】 解：(1)猜想：AP=CQ 证明：在ABP 与CBQ 中， AB=CB，BP=BQ，ABC=PBQ=60 ABP=ABC-PBC=PBQ-PBC=CBQ ABPCBQ AP=CQ (2)由 PA：PB：PC=3：4：5 可设 PA=3a，PB=4a，PC=5a 连结 PQ，在PBQ 中，由于 PB=BQ=4a，且PBQ=60 PBQ 为正三角形 PQ=4a 于是在PQC 中， PQC 是直角三角形 【总结升华总结升华】本题的
11、关键在于能够证出ABPCBQ，从而达到线段转移的目的，再利用 勾股定理的逆定理判断三角形的形状 举一反三：举一反三： 【变式】如图所示，在ABC 中，D 是 BC 边上的点，已知 AB13，AD12，AC15，BD5， 求 DC 的长 【答案】【答案】 解：在ABD 中，由 222 12513可知： 222 ADBDAB，又由勾股定理的逆定理知ADB90 在 RtADC 中， 222 81,9DCACADDC 第 6 页 共 7 页 5、如果ABC 的三边分别为abc、 、，且满足 222 506810abcabc，判 断ABC 的形状. 【答案【答案与解析与解析】 解：由 222 50681
12、0abcabc，得 ： 222 6981610250aabbcc 222 (3)(4)(5)0abc 222 (3)0 (4)0 (5)0abc， 3,4,5.abc 222 345, 222 abc. 由勾股定理的逆定理得：ABC 是直角三角形. 【总结升华总结升华】勾股定理的逆定理是通过数量关系来研究图形的位置关系的,在证明中经常要 用到. 类型三、类型三、勾股定理的实际应用勾股定理的实际应用 6、如图，一只蚂蚁在长方体木块的一个顶点 A 处，食物在这个长方体上和蚂蚁相对 的顶点 B 处，蚂蚁急于吃到食物，所以沿着长方体的表面向上爬，请你计算它从 A 处爬到 B 处的最短路线长为多少? 【
13、思路点拨】【思路点拨】将长方体表面展开，由于蚂蚁是沿长方体木块的表面爬行，且长方体木块底面 是正方形，故它爬行的路径有两种情况 【答案【答案与解析与解析】 解：如图所示 第 7 页 共 7 页 因为两点之间线段最短，所以最短的爬行路程就是线段 AB 的长度 在图中，由勾股定理，得 222 311130AB 在图中，由勾股定理，得 222 68100AB 因为 130100，所以图中的 AB 的长度最短，为 10cm，即蚂蚁需要爬行的最短路线 长为 10cm 【总结升华总结升华】 解本题的关键是正确画出立体图形的展开图， 把立体图形上的折线转化为平面 图形上的直线，再运用勾股定理求解 举一反三：举一反三： 【变式】如图，有一个圆柱体，它的高为 20，底面半径为 5如果一只蚂蚁要从圆柱体下底 面的 A 点，沿圆柱表面爬到与 A 相对的上底面 B 点，则蚂蚁爬的最短路线长约为 _.(取 3) 【答案】【答案】25；
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