1、 第 1 页 共 6 页 绝对值绝对值与与相反数相反数（基础）（基础） 【学习目标】【学习目标】 1借助数轴理解绝对值和相反数的概念； 2知道|a|的绝对值的含义以及互为相反数的两个数在数轴上的位置关系； 3会求一个数的绝对值和相反数，并会用绝对值比较两个负有理数的大小； 4通过应用绝对值解决实际问题，体会绝对值的意义和作用 【要点梳理】【要点梳理】 要点一、要点一、相反数相反数 1 1定义：定义：如果两个数只有符号不同，那么称其中一个数为另一个数的相反数特别地，0 的相反数是 0 要点诠释：要点诠释： （1） “只”字是说仅仅是符号不同，其它部分完全相同 （2） “0 的相反数是 0”是相反
2、数定义的一部分，不能漏掉 （3）相反数是成对出现的，单独一个数不能说是相反数 （4）求一个数的相反数，只要在它的前面添上“-”号即可 2 2性质：性质： （1）互为相反数的两数的点分别位于原点的两旁，且与原点的距离相等（这两个点关于原 点对称） （2）互为相反数的两数和为 0 要点二、多重符号的化简要点二、多重符号的化简 多重符号的化简，由数字前面“-”号的个数来确定，若有偶数个时，化简结果为正， 如-(-4)=4 ；若有奇数个时，化简结果为负，如-+-(-4)=-4 要点诠释：要点诠释： （1）在一个数的前面添上一个“” ，仍然与原数相同，如55，（5）5 （2）在一个数的前面添上一个“”
3、，就成为原数的相反数如（3）就是3 的相 反数，因此，（3）3 要点三、要点三、绝对值绝对值 1 1定义：定义：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值，例如+2 的绝对 值等于 2，记作|+2|=2；-3 的绝对值等于 3，记作|-3|=3 要点诠释：要点诠释： （1）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是 0即对于任何有理数 a 都有： （2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距 离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小 （3）一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的 2 2性
4、质性质： (0) |0(0) (0) aa aa aa 第 2 页 共 6 页 （1）0 除外，绝对值为一正数的数有两个，它们互为相反数 （2）互为相反数的两个数（0 除外）的绝对值相等. （3）绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或 0 要点要点四四、有理数的大小比较有理数的大小比较 1 1数轴法：数轴法：在数轴上表示出这两个有理数，左边的数总比右边的数小 如：a 与 b 在数轴 上的位置如图所示，则 ab 2 2法则比较法：法则比较法： 两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下： 两数同号 同为正号：绝对值大的数大 同为负号：绝对值大的反而小 两数异号 正数大于负数 数为 0
5、 正数与 0：正数大于 0 负数与 0：负数小于 0 要点诠释：要点诠释： 利用绝对值比较两个负数的大小的步骤： （1）分别计算两数的绝对值； （2）比较绝对值 的大小： （3）判定两数的大小 3 3 作差法：作差法：设 a、b 为任意数，若 a-b0，则 ab；若 a-b0，则 ab；若 a-b0，a b；反之成立 4 4 求商法：求商法：设 a、b 为任意正数，若1 a b ，则ab；若1 a b ，则ab；若1 a b ，则 ab；反之也成立若 a、b 为任意负数，则与上述结论相反 5 5 倒数比较法：倒数比较法：如果两个数都大于零，那么倒数大的反而小 【典型例题】【典型例题】 类型一、
6、类型一、相反数的概念相反数的概念 1下列各组数互为相反数的是（ ） A 1 8 和0.8 B 1 3 和0.33 C6和( 6) D3.14和 【思路点拨】解决这类问题的关键是抓住互为相反数的特征“只有符号不同” ，所以只要将 原数的符号变为相反的符号，即可求出其相反数 【答案】C 【解析】 1 8 的相反数是 1 8 ，而不是0.8； 1 3 的相反数是 1 3 ，而不是0.33，6 的相反 数就是( 6) ，所以 C 正确；3.14的相反数是3.14，不是 【总结升华】求一个数的相反数，只改变这个数的符号，其他部分都不变 举一反三：举一反三： 【变式变式】填空： (1) (2.5)的相反数
7、是 ；(2) 是-100 的相反数；(3) 1 5 5 是 的相反数； (4) 的相反数是-11；(5)8.2 和 互为相反数 （6）a 和 互为相反数 第 3 页 共 6 页 （7）_的相反数比它本身大， _的相反数等于它本身 【答案】 （1）2.5； （2）100； （3） 1 5 5 ； （4）11； （5）-8.2； （6）-a； （7）负数， 0 类型二、多重符号的化简类型二、多重符号的化简 2化简下列各数中的符号 （1） 1 2 3 （2）-(+5) （3）-(-0.25) （4） 1 2 （5）-(+1) （6）-(-a) 【答案】 (1) 11 22 33 （2）-(+5)-5
8、 （3）-(-0.25)0.25 （4） 11 22 （5）-(+1)-(-1)1 (6)-(-a)a 【解析】 (1) 1 2 3 表示 1 2 3 的相反数，而 1 2 3 的相反数是 1 2 3 ，所以 11 22 33 ； （2）-(+5)表示+5 的相反数，即-5， 所以-(+5)=-5； （3）-(-0.25)表示-0.25 的相反数，而-0.25 的相反数是 025，所以-(-0.25)0.25； （4）负数前面的“+”号可以省略，所以 11 22 ； （5）先看中括号内-(+1)表示 1 的相反数，即-1，因此-(+1)-(-1)而-(-1)表示-1 的 相反数，即 1，所以-
9、(+1)-(-1)=1；(6)-(-a)表示-a 的相反数，即 a所以-(-a)= a 【总结升华】 运用多重符号化简的规律解决这类问题较为简单 即数一下数字前面有多少个 负号若有偶数个，则结果为正；若有奇数个，则结果为负 类型三、类型三、绝对值的概念绝对值的概念 3求下列各数的绝对值 1 1 2 ，-0.3，0， 1 3 2 【思路点拨】 1 1 2 ，-0.3，0， 1 3 2 在数轴上位置距原点有多少个单位长度，这个数字 就是各数的绝对值还可以用绝对值法则来求解 【答案与解析】 方法 1：因为 1 1 2 到原点距离是 1 1 2 个单位长度，所以 11 11 22 因为-0.3 到原点
10、距离是 0.3 个单位长度，所以|-0.3|0.3 第 4 页 共 6 页 因为 0 到原点距离为 0 个单位长度，所以|0|0 因为 1 3 2 到原点的距离是 1 3 2 个单位长度，所以 11 33 22 方法 2：因为 1 10 2 ，所以 111 111 222 因为-0.30，所以|-0.3|-(-0.3)0.3 因为 0 的绝对值是它本身，所以|0|0 因为 1 30 2 ，所以 11 33 22 【总结升华】 求一个数的绝对值有两种方法： 一种是利用绝对值的几何意义求解(如方法 1)， 一种是利用绝对值的代数意义求解(如方法 2)，后种方法的具体做法为：首先判断这个数是 正数、
11、负数还是零再根据绝对值的意义，确定去掉绝对值符号的结果是它本身，是它的相 反数，还是零从而求出该数的绝对值 类型类型四四、比较大小、比较大小 4比较下列有理数大小： (1)-1 和 0； (2)-2 和|-3| ； (3) 1 3 和 1 2 ； （4）1 _0.1 【答案】 (1)0 大于负数，即-10； (2)先化简|-3|3，负数小于正数，所以-23，即-2|-3|； (3)先化简 11 33 ， 11 22 ， 11 23 ，即 11 32 (4)先化简11 ，0.10.1 ， 这是两个负数比较大小： 因为11 ，0.10.1， 而10.1，所以10.1 ，即1 0.1 【解析】(2)
12、、(3)、 （4）先化简，再运用有理数大小比较法则 【总结升华】在比较两个负数的大小时，可按下列步骤进行：先求两个负数的绝对值，再比 较两个绝对值的大小，最后根据“两个负数，绝对值大的反而小”做出正确的判断 举一反三：举一反三： 【变式变式】比大小： 6 5 3_ 7 6 3 ； -|-3.2|_-(+3.2)； 0.0001_1000； 1.38_1.384； _3.14 第 5 页 共 6 页 【答案】；=； 类型五、绝对值非负性的应用类型五、绝对值非负性的应用 5 已知|2-m|+|n-3|0，试求 m-2n 的值 【思路点拨】由a0 即绝对值的非负性可知，2-m0，n-30，而它们的和
13、 为 0所以2-m0，|n-3|0因此，2-m0，n-30，所以 m2，n3 【答案】 解：因为|2-m|+|n-3|0 且|2-m|0，|n-3|0 所以|2-m|0，|n-3|0 即 2-m0，n-30 所以 m2，n3 故 m-2n2-23-4 【解析】 由a0 即绝对值的非负性可知， 2-m0， n-30， 而它们的和为 0 所 以2-m0，|n-3|0因此，2-m0，n-30，所以 m2，n3 【总结升华】若几个数的绝对值的和为 0，则每个数都等于 0，即|a|+|b|+|m|0 时， 则 abm0 类型类型六六、绝对值的实际应用、绝对值的实际应用 6正式足球比赛对所用足球的质量有严
14、格的规定，下面是 6 个足球的质量检测结果， 用正数记超过规定质量的克数，用负数记不足规定质量的克数检测结果(单位：克)：-25， +10，-20，+30，+15，-40裁判员应该选择哪个足球用于这场比赛呢?请说明理由 【答案】 因为+10+15-20-25+30-40，所以检测结果 为+10 的足球的质量好一些所以裁判员应该选第二个足球用于这场比赛 【解析】根据实际问题可知，哪个足球的质量偏离规定质量越小，则足球的质量越好这个 偏差可以用绝对值表示，即绝对值越小偏差也就越小，反之绝对值越大偏差也就越大 【总结升华】绝对值越小，越接近标准 【变式变式】某企业生产瓶装食用调和油，根据质量要求，净含量(不含包装)可以有 0.002L 的 误差现抽查 6 瓶食用调和油，超过规定净含量的升数记作正数，不足规定净含量的升数记 作负数检查结果如下表： +0.0018 -0.0023 +0.0025 -0.0015 +0.0012 +0.0010 请用绝对值知识说明： (1)哪几瓶是合乎要求的(即在误差范围内的)? (2)哪一瓶净含量最接近规定的净含量？ 【答案】(1)绝对值不超过 0.002 的有 4 瓶，分别是检查结果为+0.0018，-0.0015，+0.0012， 第 6 页 共 6 页 +0.0010 的这四瓶 (2)第 6 瓶净含量与规定的净含量相差最少，最接近规定的净含量
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