1、 第 1 页 共 14 页 圆全章复习与巩固圆全章复习与巩固知识讲解知识讲解（提高）（提高） 【学习目标】【学习目标】 1理解圆及其有关概念，理解弧、弦、圆心角的关系； 2.探索并了解点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系，探索并掌握圆周角与圆心角的关系、直径所 对的圆周角的特征； 3.了解切线的概念，探索并掌握切线与过切点的半径之间的位置关系，能判定一条直线是否为圆的 切线，会过圆上一点画圆的切线； 4了解三角形的内心和外心，探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆； 5了解正多边形的概念，掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法；会计算弧长及扇形的面积、 圆锥的侧面积及全面积； 6结合相关
2、图形性质的探索和证明，进一步培养合情推理能力，发展逻辑思维能力和推理论证的 表达能力；通过这一章的学习，进一步培养综合运用知识的能力，运用学过的知识解决问题的能力. 【知识网络】【知识网络】 【要点梳理】【要点梳理】 要要点一点一、圆的定义、性质及与圆有关的角圆的定义、性质及与圆有关的角 1 1圆的定义圆的定义 (1)线段 OA 绕着它的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 所形成的封闭曲线，叫做圆. (2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合. 要点诠释：要点诠释： 圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可； 圆是一条封闭曲线. 2 2圆的性质圆的
3、性质 (1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形， 对称中心是圆心. 在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等， 第 2 页 共 14 页 那么它所对应的其他各组分别相等. (2)轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴. (3)垂径定理及推论： 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧. 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧. 平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦. 平行弦夹的弧相等. 要点诠释：要点诠释：
4、 在垂经定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧， 在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意： “过圆心、平分弦”作为题设时，平 分的弦不能是直径） 3 3两圆的性质两圆的性质 (1)两个圆是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线. (2)相交两圆的连心线垂直平分公共弦，相切两圆的连心线经过切点. 4 4与圆有关的角与圆有关的角 (1)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角. 圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数. (2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角. 圆周角的性质： 圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半. 同弧或等弧所
5、对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等. 90的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角. 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形. 圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角. 要点诠释：要点诠释： (1)圆周角必须满足两个条件：顶点在圆上；角的两边都和圆相交. (2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中. 要要点二点二、与圆有关的位置关系与圆有关的位置关系 1 1判定一个点判定一个点 P P 是否在是否在O O 上上 设O 的半径为，OP=，则有 点 P 在O 外； 点 P 在O 上；点 P 在O 内. 要点诠释：要点诠释： 点和圆
6、的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系；知 道数量关系也可以确定位置关系. 2 2判定几个点判定几个点 12n AAA、 在同一个圆上的方法在同一个圆上的方法 当时，在O 上. 3 3直线和圆的位置关系直线和圆的位置关系 设O 半径为 R，点 O 到直线 的距离为. (1)直线 和O 没有公共点直线和圆相离. (2)直线 和O 有唯一公共点直线 和O 相切. (3)直线 和O 有两个公共点直线 和O 相交. 4 4切线的判定、性质切线的判定、性质 (1)切线的判定： 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆
7、的切线. 第 3 页 共 14 页 (2)切线的性质： 圆的切线垂直于过切点的半径. 经过圆心作圆的切线的垂线经过切点. 经过切点作切线的垂线经过圆心. (3)切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长. (4)切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条 切线的夹角. 5 5圆和圆的位置关系圆和圆的位置关系 设的半径为，圆心距. (1)和没有公共点，且每一个圆上的所有点在另一个圆的外部外离 . (2)和没有公共点，且的每一个点都在内部内含 (3)和有唯一公共点，除这个点外，每个圆上的点都在另一个圆外部外切 . (4)和有唯一公共
8、点，除这个点外，的每个点都在内部内切 . (5)和有两个公共点相交. 两圆的五种位置关系可以概括为三类： 要要点三点三、三角形的外接圆与内切圆、圆内接四边形与外切四边形三角形的外接圆与内切圆、圆内接四边形与外切四边形 1 1三角形的内心、外心、重心、垂心三角形的内心、外心、重心、垂心 (1)三角形的内心：是三角形三条角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它 到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示. (2)三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三 角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶
9、 点的距离相等，通常用 O 表示. (3)三角形重心：是三角形三边中线的交点，在三角形内部；它到顶点的距离是到对边中点距离的 2 倍，通常用 G 表示. (4)垂心：是三角形三边高线的交点. 要点诠释：要点诠释： (1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形； (2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积 的一半，即(S 为三角形的面积，P 为三角形的周长，r 为内切圆的半径). (3) 三角形的外心与内心的区别： 名称 确定方法 图形 性质 第 4 页 共 14 页 外心(三角形 外接圆的圆 心) 三角形三边中垂线
10、的 交点 (1)OA=OB=OC；(2)外心不一 定在三角形内部 内心(三角形 内切圆的圆 心) 三角形三条角平分线 的交点 (1)到三角形三边距离相等； (2)OA、OB、OC 分别平分 BAC、ABC、ACB； (3)内 心在三角形内部. 2 2圆内接四边形和外切四边形圆内接四边形和外切四边形 (1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形对角互补，外角等于内对角. (2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形对边之和相等. 要要点四点四、圆中有关计算圆中有关计算 1 1圆中有关计算圆中有关计算 圆的面积公式：，周长. 圆心角为、半径为 R 的弧长. 圆心角为，半径
11、为 R，弧长为 的扇形的面积. 弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算. 圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为 R，母线长为 的圆柱的体积为，侧面积为，全 面积为. 圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为 R，母线长为 ，高为的圆锥的侧面积为，全面积为 ，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有. 要点诠释：要点诠释： (1)对 于 扇形 面 积公 式 ， 关键 要 理解 圆心 角 是 1 的 扇形 面积 是 圆 面积 的， 即 ； (2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积 S、扇形半径 R、扇形的圆心角，知道其中的两个量 就可以求出第三个量. (3)扇形面积公式， 可根据题目条件灵活选择使
12、用， 它与三角形面积公式有点 类似，可类比记忆； (4)扇形两个面积公式之间的联系：. 第 5 页 共 14 页 【典型典型例题】例题】 类型一、圆的类型一、圆的有关概念及性质有关概念及性质 1. 如图，已知O 是以数轴的原点 O 为圆心，半径为 1 的圆，AOB=45,点P在数轴上运动，若 过点 P 且与 OA 平行的直线与O 有公共点, 设 OP=x，则x的取值范围是（ ）. A1x1 B2x2 C0x2 Dx2 【思路点拨】 关键是通过平移，确定直线与圆相切的情况，求出此时 OP 的值 【答案】C； 【解析】如图，平移过 P 点的直线到 P，使其与O 相切，设切点为 Q，连接 OQ， 由
13、切线的性质，得OQP=90， OAPQ， OPQ=AOB=45， OQP为等腰直角三角形， 在 RtOQP中，OQ=1， OP=2， 当过点 P 且与 OB 平行的直线与O 有公共点时，0OP， 当点 P 在 x 轴负半轴即点 P 向左侧移动时，结果相同 故答案为：0OP2 第 6 页 共 14 页 【总结升华】本题考查了直线与圆的位置关系问题 举一反三：举一反三： 【变式变式】如图，已知O 是以数轴的原点为圆心，半径为 1 的圆，AOB=45，点 P 在数轴上运动，若 过点 P 且与 OB 平行的直线于O 有公共点，设 P（x，0），则 x 的取值范围是（ ）. A-1x0 或 0x1 B0
14、x1 C-2x0 或 0x2 Dx1 【答案】O 是以数轴的原点为圆心，半径为 1 的圆，AOB=45， 过点 P且与 OB 平行的直线与O 相切时，假设切点为 D， OD=DP=1， OP=2， 0OP2， 同理可得，当 OP 与 x 轴负半轴相交时， -2OP0， -2OP0，或 0OP2 故选 C 类型二、弧、弦、圆心角、圆周角的关系及垂径定理类型二、弧、弦、圆心角、圆周角的关系及垂径定理 2如图所示，已知在O 中，AB 是O 的直径，弦 CGAB 于 D，F 是O 上的点，且CFCB， 第 7 页 共 14 页 BF 交 CG 于点 E，求证：CEBE 【思路点拨】 主要用垂径定理及其
15、推论进行证明 【答案与解析】 证法一：如图(1)，连接 BC， AB 是O 的直径，弦 CGAB， CBGB CFBC， CFGB CCBE CEBE 证法二：如图(2)，作 ONBF，垂足为 N，连接 OE AB 是O 的直径，且 ABCG， CBBG CBCF， CFBCBG BFCG，ONOD ONEODE90，OEOE，ONOD， ONEODE， NEDE 1 2 BNBF， 1 2 CDCG， BNCD， BN-ENCD-ED， BECE 证法三：如图(3)，连接 OC 交 BF 于点 N CFBC， OCBF AB 是O 的直径，CGAB， BGBC，CFBGBC BFCG，ONO
16、D OCOB， OC-ONOB-OD，即 CNBD 又CNEBDE90，CENBED， CNEBDE， CEBE 【总结升华】在平时多进行一题多解、一题多证、一题多变的练习，这样不但能提高分析问题的能力， 第 8 页 共 14 页 而且还是沟通知识体系、学习知识，使用知识的好方法 举一反三：举一反三： 【变式变式】如图所示，在O 内有折线 OABC,其中 OA=8,AB=12,A=B=60,则 BC 的长为（ ） A19 B16 C18 D20 【答案】如图，延长 AO 交 BC 于点 D,过 O 作 OEBC 于 E. 则三角形 ABD 为等边三角形，DA=AB=BD=12，OD=AD-AO
17、=4 在 RtODE 中，ODE=60，DOE=30,则 DE= 1 2 OD=2，BE=BD-DE=10 OE 垂直平分 BC，BC=2BE=20. 故选 D 类型三、类型三、与圆有关的位置关系与圆有关的位置关系 3一个长方体的香烟盒里，装满大小均匀的 20 支香烟.打开烟盒的顶盖后，二十支香烟排列成三 行，如图（1）所示.经测量，一支香烟的直径直径约为 0.75cm，长约为 8.4cm. （1）试计算烟盒顶盖 ABCD 的面积（本小题计算结果不取近似值） ； （2）制作这样一个烟盒至少需要多少面积的纸张（不计重叠粘合的部分，计算结果 精确到，取）0.1cm3173 【答案与解析】 （1）如
18、图（2） ，作 O1EO2O3 O OO OO O 122331 075 3 4 . 第 9 页 共 14 页 O E 1 3 4 3 2 3 3 8 3 333 33 2 844 ABcm ADcm7 3 4 21 4 四边形 ABCD 的面积是： 21 4 3 33 4 63 363 16 2 cm （2）制作一个烟盒至少需要纸张： 2 63 363 16 3 33 4 84 21 4 841440961441 2 cm. 【总结升华】四边形 ABCD 中，AD 长为 7 支香烟的直径之和，易求；求 AB 长，只要计算出如图（2）中 的 O1E 长即可. 类型四、类型四、圆中有关的计算圆中
19、有关的计算 4已知梯形 ABCD 内接于O，ABCD，O 的半径为 4，AB6，CD2，求梯形 ABCD 的面积. 【思路点拨】 为了便于运用垂径定理，故作 OECD 于 E，延长 EO 交 AB 于 F，证 OFAB.此题容易出现丢解的情 况，要注意分情况讨论. 【答案与解析】 分两种情况讨论： （1）当弦 AB、CD 分别在圆心 O 的两侧时，如图（1） ： 第 10 页 共 14 页 过 O 作 OECD 于 E，延长 EO 交 AB 于 F 连 OC、OB，则 CEDE ABCD，OECD OFAB，即 EF 为梯形 ABCD 的高 在 RtOEC 中，EC1，OC4 OEOCEC 2
20、222 4115 同理，OF 7 EFOEOF157 S ABCD梯形 1 2 2615741574 154 7. （2）当弦 AB、CD 在圆心 O 的同侧时，如图（2） ： 过 O 作 OECD 于 E，交 AB 于 F 以下证法同（1） ，略。 EF157 S ABCD梯形 1 2 2615741574 154 7 梯形的面积为或ABCD41574157. 【总结升华】要求梯形面积必须先求梯形的高，即弦 AB、CD 间距离，为此要构造直角三角形利用勾股 定理求高. 举一反三：举一反三： 【变式变式】 的直径，过 点有两条弦，求OAB2cmAAC =2cmADcm3CAD 所夹圆内 第 1
21、1 页 共 14 页 部分的面积. 【答案】符合题设条件的图形有两种情况： （1）圆心 O 在CAD 的内部，如图（1） ，连结 OC、OD，过 O 作 OEAD 于点 E OAOCAC12， OCAB SSS AOCBOC1 1 2 1 1 901 360 1 24 扇形 OAAEAD1 1 2 3 2 ， OEOEOA1 3 2 1 2 1 2 2 2 ，即 SSS AODBOD2 1 2 1 2 3 601 360 3 46 扇形 SSScm 12 2 1 24 3 46 23 4 5 12 （2）圆心 O 在DAC 的外部时，如图（2） ，有： SSScm 12 2 1 24 3 46
22、 23 412 所夹圆的内部的面积为：或CADcmcm 23 4 5 12 23 412 22 . 类型五、类型五、圆与其他知识的综合运用圆与其他知识的综合运用 第 12 页 共 14 页 5ABCDBCDBDCDA如图，是等边三角形， 是上任一点，求证：. 【思路点拨】 由已知条件，等边ABC 可得 60角，根据圆的性质，可得ADB60，利用截长补短的方法可 得一个新的等边三角形，再证两个三角形全等，从而转移线段 DC. 【答案与解析】 延长 DB 至点 E，使 BEDC，连结 AE ABC 是等边三角形 ACBABC60，ABAC ADBACB60 四边形 ABDC 是圆内接四边形 ABE
23、ACD 在AEB 和ADC 中， BECD ABEACD ABAC AEBADC AEAD ADB60 AED 是等边三角形 ADDEDBBE BEDC DBDCDA. 【总结升华】本例也可以用其他方法证明.如： （1）延长 DC 至 F，使 CFBD，连结 AF，再证ACFABD，得出 ADDF，从而 DBCDDA. （2）在 DA 上截取 DGDC，连结 CG，再证BDCAGC，得出 BDAG，从而 DBCDDA. 第 13 页 共 14 页 6如图，直径AB为 6 的半圆，绕A点逆时针旋转 60，此时点B到了点 B，则图中阴影部分的 面积是（ ）. . A. 3 B. 6 C. 5 D.
24、 4 【答案】B； 【解析】阴影部分的面积 =以 AB为直径的半圆的面积+扇形 ABB的面积-以 AB 为直径的半圆的面积 =扇形 ABB的面积 则阴影部分的面积是： =6 故选 B 【总结升华】根据阴影部分的面积=以 AB为直径的半圆的面积+扇形 ABB的面积-以 AB 为直径的半圆 的面积=扇形 ABB的面积即可求解 举一反三：举一反三： 【变式变式】某中学举办校园文化艺术节，小颖设计了同学们喜欢的图案“我的宝贝” ，图案的一部分是以 斜边长为 12cm 的等腰直角三角形的各边为直径作的半圆，如图所示，则图中阴影部分的面积为 ( ). A. B.72 C.36 D.72 【答案】本题解法很多，如两个小半圆面积和减去两个弓形面积等. 但经过认真观察等腰直角三角形其对称性可知， 阴影部分的面积由两个小半圆面积与三角形面积的和减去大半圆面积便可求得， 所以由已知得直角边为，小半圆半径为(cm)， 第 14 页 共 14 页 因此阴影部分面积为. 故选 C.
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