1、 第 1 页 共 8 页 用函数观点看一元二次方程用函数观点看一元二次方程知识讲解知识讲解（提高）（提高） 【学习目标】【学习目标】 1. .会用图象法求一元二次方程的近似解；掌握二次函数与一元二次方程的关系； 2.会求抛物线与 x 轴交点的坐标，掌握二次函数与不等式之间的联系； 3.经历探索验证二次函数 2 (0)yaxbxc a与一元二次方程的关系的过程， 学会用函数的观点去看 方程和用数形结合的思想去解决问题 【要点梳理】【要点梳理】 要点一、要点一、二次函数与一元二次方程的关系二次函数与一元二次方程的关系 1.1.二次函数图象与二次函数图象与 x x 轴的交点情况决定一元二次方程根的情
2、况轴的交点情况决定一元二次方程根的情况 求二次函数 2 yaxbxc(a0)的图象与 x 轴的交点坐标，就是令 y0，求 2 0axbxc中 x 的值的问题此时二次函数就转化为一元二次方程，因此一元二次方程根的个数决定了抛物线与 x 轴 的交点的个数，它们的关系如下表： 判别式 2 4bac 二次函数 2 (0)yaxbxc a 一元二次方程 2 0(0)axbxca 图象 与 x 轴的交点坐标 根的情况 0 0a 抛物线 2 (0)yaxbxc a与 x 轴交于 1 ( ,0)x， 2 (,0)x 12 ()xx两 点，且 2 1,2 4 2 bbac x a ， 此时称抛物线与 x 轴相交
3、 一元二次方程 2 0(0)axbxca 有两个不相等的实数根 2 1,2 4 2 bbac x a 0a 0 0a 抛物线 2 (0)yaxbxc a与 x 轴交切于,0 2 b a 这一点，此时称 抛物线与 x 轴相切 一元二次方程 2 0(0)axbxca 有 两 个 相 等 的 实 数 根 12 2 b xx a 0a 0 0a 抛物线 2 (0)yaxbxc a与 x 轴无交点，此时称抛物线与 x 轴相离 一元二次方程 2 0(0)axbxca 在实数范围内无解 （或称 无实数根） 0a 第 2 页 共 8 页 要点诠释：要点诠释： 二次函数图象与 x 轴的交点的个数由的值来确定的.
4、 (1)当二次函数的图象与 x 轴有两个交点时，方程有两个不相等的实根； (2)当二次函数的图象与 x 轴有且只有一个交点时，方程有两个相等的实根； (3)当二次函数的图象与 x 轴没有交点时，方程没有实根. 2.2.抛物线抛物线与直线的交点问题与直线的交点问题 抛物线与 x 轴的两个交点的问题实质就是抛物线与直线的交点问题我们把它延伸到求抛物线 2 yaxbxc(a0)与 y 轴交点和二次函数与一次函数 1 ykxb(0)k 的交点问题 抛物线 2 yaxbxc(a0)与 y 轴的交点是(0，c) 抛物线 2 yaxbxc(a0)与一次函数 1 ykxb(k0)的交点个数由方程组 1 2 ,
5、ykxb yaxbxc 的解的个数决定 当方程组有两组不同的解时两函数图象有两个交点； 当方程组有两组相同的解时两函数图象只有一个交点； 当方程组无解时两函数图象没有交点 总之，探究直线与抛物线的交点的问题，最终是讨论方程(组)的解的问题 要点诠释：要点诠释： 求两函数图象交点的问题主要运用转化思想， 即将函数的交点问题转化为求方程组解的问题或者将求 方程组的解的问题转化为求抛物线与直线的交点问题 要点二、要点二、利用二次函数图象求一元二次方程的近似解利用二次函数图象求一元二次方程的近似解 用图象法解一元二次方程的步骤： 1.作二次函数的图象，由图象确定交点个数，即方程解的个数； 2. 确定一
6、元二次方程的根的取值范围即确定抛物线 与 x 轴交点的横坐标的大致范围； 3. 在(2)确定的范围内，用计算器进行探索.即在(2)确定的范围内，从大到小或从小到大依次取值，用 表格的形式求出相应的 y 值 4.确定一元二次方程的近似根 在(3)中最接近 0 的 y 值所对应的 x 值即是一元 二次方的近似根 要点诠释：要点诠释： 求一元二次方程的近似解的方法（图象法）： 第 3 页 共 8 页 (1)直接作出函数的图象，则图象与 x 轴交点的横坐标就是方程的 根； (2)先将方程变为再在同一坐标系中画出抛物线和直线图象交点 的横坐标就是方程的根； (3)将方程化为，移项后得，设和，在同一坐 标
7、系中画出抛物线和直线的图象，图象交点的横坐标即为方程的 根. 要点三、要点三、抛物线与抛物线与 x x 轴的两个交点之间的距离公式轴的两个交点之间的距离公式 当0 时，设抛物线 2 yaxbxc与 x 轴的两个交点为 A( 1 x，0)，B( 2 x，0)，则 1 x、 2 x是一 元二次方程 2 =0axbxc的两个根由根与系数的关系得 12 b xx a ， 12 c x x a 2 2121 | |()ABxxxx 2 121 2 ()4xxx x 2 4 bc aa 2 2 4bac a 2 4 | bac a 即 | | AB a （0） 要点四、要点四、抛物线与不等式的关系抛物线与
8、不等式的关系 二次函数 2 yaxbxc(a0)与一元二次不等式 2 0axbxc(a0)及 2 0axbxc(a 0)之间的关系如下 12 ()xx： 判别式 0a 抛物线 2 yaxbxc与 x 轴的交点 不等式 2 0axbxc的解集 不等式 2 0axbxc的解 集 0 1 xx或 2 xx 12 xxx 0 1 xx（或 2 xx） 无解 第 4 页 共 8 页 0 全体实数 无解 注：a0 的情况请同学们自己完成 要点诠释：要点诠释： 抛物线 2 yaxbxc在 x 轴上方的部分点的纵坐标都为正，所对应的 x 的所有值就是不等式 2 0axbxc的解集；在 x 轴下方的部分点的纵坐
9、标都为负，所对应的 x 的所有值就是不等式 2 0axbxc的解集不等式中如果带有等号，其解集也相应带有等号 【典型典型例题】例题】 类型一、二次函数图象与坐标轴交点类型一、二次函数图象与坐标轴交点 1. . 已知抛物线 2 2(1)423ykxkxk求：(1)k 为何值时，抛物线与 x 轴有两个交点； (2)k 为何值时，抛物线与 x 轴有唯一交点；(3)k 为何值时，抛物线与 x 轴没有交点 【答案与解析】 2222 4(4 )4 2(1)(23)168(23)824backkkkkkk (1)当 2 48240back， 且2(1 )0k ， 即当 k-3 且 k-1 时， 抛物线与 x
10、 轴有两个交点 (2)当 2 48240back，且 2(k+1)0即当 k-3 时，抛物线与 x 轴有唯一交点 (3)当 b 2-4ac8k+240，且 2(k+1)0即当 k-3 时，抛物线与 x 轴不相交 【总结升华】根据抛物线与 x 轴的交点个数可确定字母系数的取值范围，其方法是根据抛物线与 x 轴的 交点个数，推出值的性质，即列出关于字母系数的方程(或不等式)，通过方程(或不等式)求 解 特别提醒：易忽视二次项系数 2(k+1)0 这一隐含条件 举一反三：举一反三： 【变式变式】二次函数 2 (0)yaxbxc a的图象如图所示，根据图象解答下列问题： （1）写出方程 2 0axbx
11、c的两个根； （2）写出不等式 2 0axbxc的解集； （3）写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围； （4）若方程 2 axbxck有两个不相等的实数根，求k的取值范围. 第 5 页 共 8 页 【答案】 （1） 1 1x ， 2 3x ； （2）13x ； （3）2x ； （4）2k . 类型二、利用图象法求一元二次方程的解类型二、利用图象法求一元二次方程的解 2. 利用函数的图象，求方程组的解. 【答案与解析】 在同一直角坐标系中画出函数和的图象， 如图，得到它们的交点坐标(-2，0)，(3，15)， 则方程组的解为. 【总结升华】可以通过画出函数和的图象，得到它们的交点，从而得到
12、方程组 的解. 类型三、二次函数与一元二次方程的综合运用类型三、二次函数与一元二次方程的综合运用 3. 已知关于 x 的二次函数 22 (21)34yxmxmm (1)探究 m 满足什么条件时，二次函数 y 的图象与 x 轴的交点的个数为 2，1，0 (2)设二次函数 y 的图象与 x 轴的交点为 A( 1 x，0)，B( 2 x，0)，且 22 12 5xx与 y 轴的交点为 C， 它的顶点为 M，求直线 CM 的解析式 【答案与解析】 (1)令 y0， 得： 22 (21)340xmxmx， 22 (21)4(34)1615mmmm ， 第 6 页 共 8 页 当0 时，方程有两个不相等的
13、实数根，即16150m， 15 16 m 此时，y 的图象与 x 轴有两个交点 当0 时，方程有两个相等的实数根，即16150m， 15 16 m 此时，y 的图象与 x 轴只有一个交点 当0 时，方程没有实数根，即16150m， 15 16 m 此时，y 的图象与 x 轴没有交点 当 15 16 m 时，y 的图象与 x 轴的交点的个数为 2； 当 15 16 m 时，y 的图象与 x 轴的交点的个数为 1； 当 15 16 m 时，y 的图象与 x 轴的交点的个数为 0 (2)由根与系数的关系得 12 21xxm， 2 12 34x xmm 222222 121212 ()2(21)2(3
14、4)2107xxxxx xmmmmm 22 12 5xx， 2 21075m ， 2 560mm， 解得： 1 6m ， 2 1m 15 16 m ， m-1 2 32yxx 令 x0，得2y ， 二次函数 y 的图象与 y 轴的交点 C 的坐标为(0，2) 又 2 2 31 32 24 yxxx ， 顶点 M 的坐标为 31 , 24 设过 C(0，2)与 M 31 , 24 的直线解析式为ykxb， 则 2, 13 , 42 b kb 解得 3 , 2 2. k b 直线 CM 的解析式为 3 2 2 yx 【总结升华】根据二次函数与一元二次方程的关系，将函数转化为一元二次方程，再利用判别
15、式，讨论 二次函数的图象与 x 轴的交点个数，利用根与系数关系建立关于 m 的方程，求出 m 值，得二次 函数解析式，分别求出 C 点、M 点坐标，进而求出直线方程 举一反三：举一反三： 【变式】变式】已知抛物线)(244 2 是常数mmmxmxy 第 7 页 共 8 页 （1）求抛物线的顶点坐标； （2）若 1 5 5 m，且抛物线与x轴交于整数点，求此抛物线的解析式 【答案】 （1）依题意，得0m， 2 2 4 2 m m a b x， m mmm a bac y 4 4244 4 4 22 )()( 2 4 16816 22 m mmm 抛物线的顶点坐标为)2,2( （2）抛物线与x轴交
16、于整数点， 0244 2 mmxmx的根是整数 2 4164 (42)2 2 2 22 mmmmm x mm 0m， 2 2x m 是整数 2 m 是完全平方数 1 5 5 m， 22 10 5m ， 2 m 取 1，4，9， 2 4164 (42)2 2 2 22 mmmmm x mm 当 2 1 m 时，2m； 当 2 4 m 时， 2 1 m； 当 2 9 m 时， 2 9 m m的值为 2 或 2 1 或 2 9 抛物线的解析式为682 2 xxy或xxy2 2 1 2 或 2 2810 999 yxx 4. 已知：二次函数 2 2yaxbx的图象经过点(1，0)，一次函数图象经过原点
17、和点(1，-b)， 其中 ab0 且 a、b 为实数 (1)求一次函数的表达式(用含 b 的式子表示)； (2)试说明：这两个函数的图象交于不同的两点； (3)设(2)中的两个交点的横坐标分别为 1 x、 2 x，求 12 |xx的范围 【答案与解析】 (1) 一次函数过原点， 设一次函数的解析式为ykx 一次函数过点(1，-b)， ybx (2) 2 2yaxbx过点(1，0)， 2ab 第 8 页 共 8 页 由 2 , 2, ybx yaxbx 消去 y，得 2 2(2)20axa x 4(2-a) 2+8a4(a-1)2+120， 方程有两个不相等的实数根 方程组有两组不同的解，故两函
18、数的图象交于不同的两点 (3) 两个交点的横坐标 1 x、 2 x是方程的解， 12 2(2)24aa xx aa ， 12 2 x x a ， 2 12121 2 |()4xxxxx x 2 2 2 48164 13 aa aa 0ab，2ab， 12a 令函数 2 4 13y a ， 当12a时，y 随 a 的增大而减小， 2 4 41312 a ， 2 4 2132 3 a ， 12 2 |2 3xx 【总结升华】两函数图象的交点个数 转化为 两函数解析式联立得到的方程组的解的组数 y 消去 转化为 一元二次方程的根的情况当0 时，两函数的图象有两个不同的交点；当0 时，两函 数的图象只有一个交点；当0 时，两函数图象没有交点 (1)把(1， -b)代入ykx即可 (2)要说明两函数图象交于不同的两点可转化为 2 2 ykx yaxbx 有两组不同的解 y 消去 可转化为一元二次方程有两个不同的实根，即0(3)利用根与 系数的关系。表示出 12 |xx的表达式，然后求范围
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