1、第 1 页 共 6 页 二次函数二次函数的概念的概念知识讲解（知识讲解（提高提高） 【学习目标】【学习目标】 1.理解函数的定义、函数值、自变量、因变量等基本概念； 2.了解表示函数的三种方法解析法、列表法和图像法； 3.会根据实际问题列出函数的关系式，并写出自变量的取值范围； 4.理解二次函数的概念，能够表示简单变量之间的二次函数关系. 【要点梳理】【要点梳理】 要点一、要点一、函数的概念函数的概念 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量 x，y，对于自变量 x 在某一范围内的每一个确定值， y 都有惟一确定的值与它对应，那么就说 y 是 x 的函数. 对于自变量 x 在可以取值范围内的一
2、个确定的值 a，函数 y 有惟一确定的对应值，这个对应值叫做 当 x=a 时函数的值，简称函数值. 要点诠释：要点诠释： 对于函数的概念，应从以下几个方面去理解： （1）函数的实质，揭示了两个变量之间的对应关系； （2）判断两个变量之间是否有函数关系，要看对于 x 允许取的每一个值，y 是否都有惟一确定的值 与它相对应； （3）函数自变量的取值范围，应要使函数表达式有意义，在解决实际问题时，还必须考虑使实际 问题有意义. 要点二要点二、函数的三种函数的三种表示表示方法方法 表示函数的方法，常见的有以下三种： （1）解析法：用来表示函数关系的数学式子叫做函数的表达式， （或解析式） ，用数学式子
3、表示函数 的方法称为解析法. （2）列表法：用一个表格表达函数关系的方法. （3）图象法：用图象表达两个变量之间的关系的方法. 要点诠释：要点诠释： 函数的三种表示方法各有不同的长处.解析式法能揭示出变量之间的内在联系， 但较抽象， 不是所有 的函数都能列出解析式；列表法可以清楚地列出一些自变量和函数值的对应值，这会对某些特定的数值 带来一目了然的效果，例如火车的时刻表，平方表等；图象法可以直观形象地反映函数的变化趋势，而 且对于一些无法用解析式表达的函数，图象可以充当重要角色. 对照表如下： 表示方法 全面性 准确性 直观性 形象性 第 2 页 共 6 页 列表法 解析式法 图象法 要点要点
4、三三、二次函数的概念二次函数的概念 一般地，形如 y=ax 2+bx+c（a, b, c 是常数，a0）的函数叫做 x 的二次函数. 若 b=0，则 y=ax 2+c； 若 c=0，则 y=ax2+bx； 若 b=c=0，则 y=ax2.以上三种形式都是二次函数的特 殊形式，而 y=ax 2+bx+c（a0）是二次函数的一般式. 在二次函数的一般式 y=ax 2+bx+c（a0）中，ax2 叫函数的二次项，bx 叫函数的一次项，c 叫常数 项；a 叫二次项系数，b 叫一次项系数，c 叫常数项. 要点诠释：要点诠释： （1）如果 y=ax 2+bx+c(a,b,c 是常数，a0)，那么 y 叫做
5、 x 的二次函数这里，当 a=0 时就不是二 次函数了，但 b、c 可分别为零，也可以同时都为零 （2）判断系数时，首先要将二次函数化成一般式，再对照定义写出，特别要注意的是系数要包含 其前面的符号. 【典型典型例题】例题】 类型一、类型一、函数的函数的相关相关概念概念 1、下列说法正确的是（ ） .变量满足，则是的函数； .变量满足，则是的函数； .变量满足，则是的函数； .变量满足，则是的函数. 【思路点拨】严格依照函数的概念进行判断. 【答案】A； 【解析】B、C、D 三个选项，对于一个确定的的值，都有两个值和它对应，不满足单值对应的条件， 所以不是函数. 【总结升华】理解函数的概念，关
6、键是函数与自变量之间是单值对应关系，自变量的值确定后，函数值 是惟一确定的. 举一反三：举一反三： 第 3 页 共 6 页 【变式】如图的四个图象中，不表示某一函数图象的是（ ） 【答案】B. 2、求函数的自变量的取值范围. 【思路点拨】要使函数有意义，需或解这个不等式组即可. 【答案与解析】 解：要使函数有意义，则需要 即或 解方程组得，自变量取值是或. 【总结升华】自变量的取值范围是使函数有意义的 x 的值. 3、如图所示，用一段长 30 米的篱笆围成一个一边靠墙(墙的长度为 15 米)的矩形菜园 ABCD，设 AB 的长为 x 米，则菜园的面积 y(单位：米 2)与 x(单位：米)的函数
7、关系式为_ _(写自变量的取值 范围) 【思路点拨】根据矩形的周长和一边 AB 的长表示出另一临边 AD 的长，再根据矩形的面积公式来求解. 【答案】 2 1 15 2 yxx （0x15） 【解析】解：矩形的周长为 30 米，边 AB 长 x 米，AD= 30 2 x 米， 第 4 页 共 6 页 矩形的面积 y=x 30 2 x = 2 1 15 2 xx（0x15） 【总结升华】考虑到实际情况，对于自变量 x 来说，一定不能超过墙的长度. 举一反三：举一反三： 【变式】 圆的半径是 1cm， 假设半径增加 xcm， 圆的面积增加 ycm2， 则 y 与 x 的关系式为： _ _. 【答案
8、】 2 2yxx 类型二、类型二、函数的三种表示方法函数的三种表示方法 4、问题情境问题情境 已知矩形的面积为 a（a 为常数，a0） ，当该矩形的长为多少时，它的周长最小？最小值是多少？ 数学模型数学模型 设该矩形的长为 x，周长为 y，则 y 与 x 的函数关系式为2()(0) a yxx x 探索研究探索研究 我们可以借鉴以前研究函数的经验，先探索函数 1 (0)yxx x 的图象性质 填写下表，画出函数的图象： 观察图象，写出该函数两条不同类型的性质； 在求二次函数 y=ax 2bxc （a0） 的最大 （小） 值时， 除了通过观察图象， 还可以通过配方得到 请 你通过配方求函数 1
9、yx x (x0)的最小值 解决问题解决问题 用上述方法解决“问题情境”中的问题，直接写出答案 【思路点拨】本题告诉我们一种研究问题的方法，从最基本的函数研究起，慢慢到较复杂的函数.所以 一定要跟着题目教给我们的思路走. 【答案与解析】 第 5 页 共 6 页 解y 的值依次是：17 4 ， 10 3 ， 5 2 ，2， 5 2 ， 10 3 ，17 4 函数 1 yx x (0)x 的图象如图 本题答案不唯一，下列解法供参考 当01x时，y随x增大而减小；当1x 时,y随x增大而增大；当1x 时函数 1 yx x (0)x 的 最小值为 2 1 yx x = 22 1 ()()x x = 2
10、2 111 ()()22xxx xxx = 2 1 ()2x x 当 1 x x =0，即1x 时，函数 1 yx x (0)x 的最小值为 2 当该矩形的长为a时，它的周长最小，最小值为4 a 【总结升华】本题属于阅读理解型问题，要好好阅读材料，根据题目的提示一步步往下进行.综合考察 了列表法、图形法和解析法三种函数的表示方法. 类型三、类型三、二次函数的概念二次函数的概念 5、当 m_时，函数是二次函数? 【思路点拨】关键要考虑两点：一是自变量的最高次数为 2，二是最高次项系数不能为 0. 【答案】 1 2 【解析】 第 6 页 共 6 页 依题意有 解之得， 故当时，函数是二次函数 【总结升华】此题考察二次函数的定义. 举一反三：举一反三： 【变式 1】函数 | | 1 (3)31 m ymxx 是二次函数，则 m 的值是( ) A3 B-3 C2 D3 【答案】B. 【变式 2】把下列二次函数化成一般形式，并指出二次项系数、一次项系数、常数项： （1） 22 ) 1( xxy （2）)1 (124 2 xxxy 【答案】 （1）一般形式： 2 221yxx，二次项系数为 2，一次项系数为 2，常数项为 1. （2）一般形式： 2 812yxx ，二次项系数为-8，一次项系数为-12，常数项为 0.
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