1、 第 1 页 共 6 页 二次函数二次函数 y=axy=ax 2 2+bx+c(a +bx+c(a0)0)的图的图象象与性质与性质知识讲解知识讲解（基础）（基础） 【学习目标】【学习目标】 1. 会用描点法画二次函数 2 (0)yaxbxc a的图象； 会用配方法将二次函数 2 yaxbxc的解 析式写成 2 ()ya xhk的形式； 2.通过图象能熟练地掌握二次函数 2 yaxbxc的性质； 3.经历探索 2 yaxbxc与 2 ()ya xhk的图象及性质紧密联系的过程， 能运用二次函数的图象 和性质解决简单的实际问题，深刻理解数学建模思想以及数形结合的思想 【要点梳理】【要点梳理】 要点
2、一、要点一、二次函数二次函数 2 (0)yaxbxc a与与 2 ()(0)ya xhk a之间的相互关系之间的相互关系 1.1.顶点式化成一般式顶点式化成一般式 从函数解析式 2 ()ya xhk我们可以直接得到抛物线的顶点(h，k)，所以我们称 2 ()ya xhk为顶点式，将顶点式 2 ()ya xhk去括号，合并同类项就可化成一般式 2 yaxbxc 2.2.一般式化成顶点式一般式化成顶点式 22 222 22 bbbb yaxbxca xxca xxc aaaa 2 2 4 24 bacb a x aa 对照 2 ()ya xhk，可知 2 b h a ， 2 4 4 acb k a
3、 抛物线 2 yaxbxc的对称轴是直线 2 b x a ，顶点坐标是 2 4 , 24 bacb aa 要点诠释：要点诠释： 1抛物线 2 yaxbxc的对称轴是直线 2 b x a ，顶点坐标是 2 4 , 24 bacb aa ，可以当作公 式加以记忆和运用 2求抛物线 2 yaxbxc的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这 三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用 第 2 页 共 6 页 要点二、要点二、二次函数二次函数 2 (0)yaxbxc a的图的图象象的画法的画法 1.1.一般方法：列表、描点、连线；一般方法：列表、描点、连线； 2.2.简易画法
4、：五点定形法简易画法：五点定形法. . 其步骤为： (1)先根据函数解析式， 求出顶点坐标和对称轴， 在直角坐标系中描出顶点 M， 并用虚线画出对称轴 (2)求抛物线 2 yaxbxc与坐标轴的交点， 当抛物线与 x 轴有两个交点时，描出这两个交点 A、B 及抛物线与 y 轴的交点 C，再找到点 C 关于对 称轴的对称点 D，将 A、B、C、D 及 M 这五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来 要点诠释：要点诠释： 当抛物线与 x 轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与 y 轴的交点 C 及对称点 D，由 C、M、D 三 点可粗略地画出二次函数图象的草图；如果需要画出比较精确的图象，可再描出
5、一对对称点 A、B，然后 顺次用平滑曲线连结五点，画出二次函数的图象， 要要点三、点三、二次函数二次函数 2 (0)yaxbxc a的图的图象象与性质与性质 1.1.二次函数二次函数 2 0()yaxbxc a图图象与象与性质性质 函数 二次函数 2 yaxbxc（a、b、c 为常数，a0） 图象 0a 0a 开口方向 向上 向下 对称轴 直线 2 b x a 直线 2 b x a 顶点坐标 2 4 , 24 bacb aa 2 4 , 24 bacb aa 增减性 在对称轴的左侧， 即当 2 b x a 时， y 随 x 的增 大而减小；在对称轴的右侧，即当 2 b x a 时， y 随 x
6、 的增大而增大简记：左减右增 在对称轴的左侧，即当 2 b x a 时，y 随 x 的增大而增大；在对称轴的右侧， 即当 2 b x a 时，y 随 x 的增大而减 小简记：左增右减 最大(小)值 抛物线有最低点，当 2 b x a 时，y 有最小值， 2 4 4 acb y a 最小值 抛物线有最高点，当 2 b x a 时，y 有 最大值， 2 4 4 acb y a 最大值 第 3 页 共 6 页 2.2.二次函数二次函数 2 0()yaxbxc a图图象象的特征与的特征与 a a、b b、c c 及及 b b 2 2- -4ac 4ac 的符号之间的关系的符号之间的关系 项目 字母 字
7、母的符号 图象的特征 a a0 开口向上 a0 开口向下 b ab0(a，b 同号) 对称轴在 y 轴左侧 ab0(a，b 异号) 对称轴在 y 轴右侧 c c=0 图象过原点 c0 与 y 轴正半轴相交 c0 与 y 轴负半轴相交 b 2-4ac b 2-4ac=0 与 x 轴有唯一交点 b 2-4ac0 与 x 轴有两个交点 b 2-4ac0 与 x 轴没有交点 要点四、要点四、求求二次函数二次函数 2 (0)yaxbxc a的最大的最大（小）值的方法（小）值的方法 如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大（或最小）值，即当 2 b x a 时， 2 4 4 acb y a
8、 最值 要点诠释：要点诠释： 如果自变量的取值范围是 x1xx2，那么首先要看 2 b a 是否在自变量的取值范围 x1xx2内，若 在此范围内，则当 2 b x a 时， 2 4 4 acb y a 最值 ，若不在此范围内，则需要考虑函数在 x1xx2范围 内的增减性，如果在此范围内，y 随 x 的增大而增大，则当 xx2时， 2 22 yaxbxc 最大值 ；当 xx1 时， 2 11 yaxbxc 最小值 ， 如果在此范围内， y 随 x 的增大而减小， 则当 xx1时， 2 11 =ax +bx +yc 最大值 ； 当 xx2时， 2 22 =ax +bx +yc 最小值 ，如果在此范
9、围内，y 值有增有减，则需考察 xx1，xx2， 2 b x a 时 y 值的情况 第 4 页 共 6 页 【典型典型例题】例题】 类型一、类型一、二次函数二次函数 2 (0)yaxbxc a的图的图象与象与性质性质 1求抛物线 2 1 4 2 yxx 的对称轴和顶点坐标 【答案与解析】 解法 1（配方法） ： 222 111 4(2 )4(21 1)4 222 yxxxxxx 2 11 (1)4 22 x 2 17 (1) 22 x 顶点坐标为 7 1, 2 ，对称轴为直线1x 解法 2（公式法） ： 1 2 a ，1b，4c， 1 1 1 2 2() 2 b x a ， 2 2 1 4(
10、4) 1 472 142 4 2 acb a 顶点坐标为 7 1, 2 ，对称轴为直线1x 解法 3（代入法） ： 1 2 a ，1b，4c， 1 1 12 2 2 b x a 将1x 代入解析式中得， 2 17 114 22 y 顶点坐标为 7 1, 2 ，对称轴为直线1x 【总结升华】所给二次函数关系是一般式，求此类抛物线的顶点有三种方法： （1）利用配方法将一般式 化成顶点式； （2）用顶点公式 2 4 , 24 bacb aa 直接代入求解； （3）利用公式先求顶点的横坐 标，然后代入解析式求出纵坐标这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用 第 5 页 共 6 页 举一反三
11、：举一反三： 【变式变式】把一般式 2 286yxx 化为顶点式 （1）写出其开口方向、对称轴和顶点D的坐标； （2）分别求出它与y轴的交点 C，与x轴的交点A、B的坐标. 【答案】 （1）向下；x=2；D (2，2). （2）C（0，-6） ；A（1,0） ；B（3,0）. 2如图所示，抛物线的对称轴是 x1，与 x 轴交于 A、B 两点，点 B 的坐标为(3，0)，则点 A 的坐标是_ 【答案】(23，0) 【解析】由抛物线的对称性知，A、B 两点关于直线 x1 对称，设点 A 的坐标是(x1，0)则有 1 3 1 2 x ， 所以 1 23x ，即点 A 的坐标是(23，0) 【总结升华
12、】本题若由顶点(1，1)及( 3,0)B求出抛物线解析式，再令 y0 求出 A 点坐标，则运算量 很大，而利用抛物线的对称性解题简捷得多注意 A、B 关于直线 xa 对称，则 2 AB xx a 类型二、类型二、二次函数二次函数 2 (0)yaxbxc a的最值的最值 3求二次函数 2 11 3 22 yxx的最小值. 【答案与解析】 解法 1(配方法)： 222 1111 (6 )(639) 2222 yxxxx 2 1 (3)4 2 x， 当 x-3 时，4y 最小 解法 2(公式法)： 1 0 2 a ，b3， 1 2 c 第 6 页 共 6 页 当 3 3 1 2 2 2 b x a
13、时， 2 2 11 43 41 9 22 4 1 42 4 2 acb y a 最小 解法 3(判别式法)： 2 11 3 22 yxx， 2 6(1 2 )0xxy x 是实数， 6 2-4(1-2y)0， y-4 y 有最小值-4，此时 2 690xx，即 x-3 【总结升华】在求二次函数最值时，可以从配方法、公式法、判别式法三个角度考虑，根据个人熟练程 度灵活去选择 举一反三：举一反三： 【变式变式】用总长 60m 的篱笆围成矩形场地矩形面积S随矩形一边长L的变化而变化当L是多少时， 矩形场地的面积S最大？ 【答案】(30)SLL 2 (30 )LL 2 (15)225L （0L30）
14、15L（m）时，场地的面积 S 最大，为 225m 2 类型三、类型三、二次函数二次函数 2 (0)yaxbxc a性质的综合应用性质的综合应用 4已知二次函数 2 1yxbxc 的图象过点 P(2，1) （1）求证：24cb； （2）求 bc 的最大值 【答案与解析】 （1） 2 1yxbxc 的图象过点 P(2，1)， 1=4+2b+c+1， c=-2b-4 （2） 22 ( 24)2(2 )2(1)2bcbbbbb 当1b时，bc 有最大值最大值为 2 【总结升华】 （1）将点 P(2，1)代入函数关系式，建立 b、c 的关系即可 （2）利用（1）中 b 与 c 的关系，用 b 表示 bc，利用函数性质求解
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