北京四中数学中考总复习：特殊三角形--知识讲解（提高）

1、第 1 页 共 9 页 中考总复习中考总复习：特殊特殊三角形三角形知识讲解知识讲解（提高）（提高） 责编：常春芳 【考纲要求】考纲要求】 1了解等腰三角形、等边三角形、直角三角形的概念，会识别这三种图形；理解等腰三角形、等边三 角形、直角三角形的性质和判定 2. 能用等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定解决简单问题 3. 会运用等腰三角形、等边三角形、直角三角形的知识解决有关问题 【知识网络】【知识网络】 【考点梳理】【考点梳理】 考考点一、点一、等腰三角形等腰三角形 1 1. .等腰三角形等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形. 2 2性质：性质： (1)具有三角形的一切性

2、质； (2)两底角相等(等边对等角)； (3)顶角的平分线，底边中线，底边上的高互相重合(三线合一)； (4)等边三角形的各角都相等，且都等于 60 要点诠释：要点诠释：等边三角形中高线，中线，角平分线三线合一，共有三条. 3 3判定：判定： (1)如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)； (2)三个角都相等的三角形是等边三角形； (3)有一个角为 60的等腰三角形是等边三角形 要点诠释：要点诠释： (1)腰、底、顶角、底角是等腰三角形特有的概念； (2)等边三角形是特殊的等腰三角形 考考点二、点二、直直角三角形角三角形 1 1. .直角三角形：直角三角形：有一个

3、角是直角的三角形叫做直角三角形 2 2性质：性质： (1)直角三角形中两锐角互余； (2)直角三角形中，30锐角所对的直角边等于斜边的一半； (3)在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于 30； (4)勾股定理：直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方； (5)勾股定理逆定理：如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a 2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形； (6)直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半. 第 2 页 共 9 页 要点诠释：要点诠释： （1）直角三角形中，SRtABC=ch=ab，其中 a、b 为两直角边，c 为斜边，h 为斜边

4、上的高； （2）圆内接三角形，当一条边为直径时，该三角形是直角三角形 3 3判定：判定： (1)两内角互余的三角形是直角三角形； (2)一条边上的中线等于该边的一半，则这条边所对的角是直角，这个三角形是直角三角形； (3)如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形，第三边为斜边 【典型例题】【典型例题】 类型一、类型一、等腰等腰三角形三角形 1 （2014 秋自贡期末）如图，点 O 是等边 ABC 内一点，AOB=110，BOC=以 OC 为一 边作等边三角形 OCD，连接 AC、AD （1）当 =150时，试判断 AOD 的形状，并说明理由； （2）探究：当 a 为多少

5、度时， AOD 是等腰三角形？ 【思路点拨】 （1）首先根据已知条件可以证明 BOCADC，然后利用全等三角形的性质可以求出 ADO 的度数，由此即可判定 AOD 的形状； （2）利用（1）和已知条件及等腰三角形的性质即可求解 【答案与解析】 解： （1）OCD 是等边三角形， OC=CD， 而 ABC 是等边三角形， BC=AC， ACB=OCD=60， BCO=ACD， 在 BOC 与 ADC 中， ， BOC ADC， BOC=ADC， 而BOC=150，ODC=60， ADO=15060=90， ADO 是直角三角形； （2）设CBO=CAD=a，ABO=b，BAO=c，CAO=d，

6、则 a+b=60，b+c=180110=70，c+d=60，a+d=50DAO=50， bd=10， 第 3 页 共 9 页 （60a）d=10， a+d=50， 即CAO=50， 要使 AO=AD，需AOD=ADO， 190=60， =125； 要使 OA=OD，需OAD=ADO， 60=50， =110； 要使 OD=AD，需OAD=AOD， 190=50， =140 所以当 为 110、125、140时，三角形 AOD 是等腰三角形 【总结升华】此题主要考查了等边三角形的性质与判定，以及等腰三角形的性质和旋转的性质等知识， 根据旋转前后图形不变是解决问题的关键 举一反三：举一反三： 【变

7、式变式】把腰长为 1 的等腰直角三角形折叠两次后，得到的一个小三角形的周长是_ 【答案】. 2已知: 如图, 菱形 ABCD 中, E、F 分别是 CB、CD 上的点，BE=DF (1)求证:AE=AF (2)若 AE 垂直平分 BC，AF 垂直平分 CD，求证：AEF 为等边三角形 【思路点拨】菱形的定义和性质. 【答案与解析】 (1)四边形 ABCD 是菱形， AB=AD,B=D ， 又BE=DF， 第 4 页 共 9 页 AE=AF (2)连接 AC, AE 垂直平分 BC，AF 垂直平分 CD， AB=AC=AD， AB=BC=CD=DA , ABC 和ACD 都是等边三角形 , 又A

8、E=AF 是等边三角形 【总结升华】此题涉及到三角形全等的判定与性质，等边三角形的判定与性质. 举一反三：举一反三： 【变式变式】如图，ABC 为等边三角形，延长 BC 到 D，延长 BA 到 E，使 AE=BD，连接 CE、DE. 求证：CE=DE. 【答案】延长 BD 到 F，使 DFBC，连接 EF， 等边ABC， ABBCAC，B60 BFBD+DF，BEAB+AE，AEBD，BCDF， BFBE， 等边BEF， EFBE，FB， 第 5 页 共 9 页 BCEFDE（SAS） CEDE 类型二、直角三角形类型二、直角三角形 3 （2015 秋东海县校级期中）如图，ABC 中，CFAB

9、，垂足为 F，M 为 BC 的中点，E 为 AC 上一 点，且 ME=MF （1）求证：BEAC； （2）若A=50，求FME 的度数 【思路点拨】 （1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得 MF=BM=CM= BC，再求出 ME=BM=CM= BC，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半证明； （2） 根据三角形的内角和定理求出ABC+ACB， 再根据等腰三角形两底角相等求出BMF+CME， 然后根据平角等于 180列式计算即可得解 【答案与解析】 （1）证明：CFAB，垂足为 F，M 为 BC 的中点， MF=BM=CM= BC， ME=MF， ME=BM=CM= BC， B

10、EAC； （2）解：A=50， ABC+ACB=18050=130， ME=MF=BM=CM， BMF+CME=（1802ABC）+（1802ACB） =3602（ABC+ACB） =3602130 =100， 在 MEF 中，FME=180100=80 【总结升华】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形的判定与性质， 熟记性质是解题的关键，难点在于（2）中整体思想的利用 4如图， ACD 和BCE 都是等腰直角三角形， ACDBCE90， AE 交 DC 于 F，BD 分别交 CE， AE 于点 G、H.试猜测线段 AE 和 BD 的位置和数量关系，并说明理由 第

11、6 页 共 9 页 【思路点拨】ACD 和BCE 都是等腰直角三角形,为证明全等提供了等线段的条件. 【答案与解析】猜测 AEBD，AEBD. 理由如下： ACDBCE90， ACDDCEBCEDCE，即ACEDCB ACD 和BCE 都是等腰直角三角形， ACCD，CECB ACEDCB（SAS） AEBD，CAECDB AFCDFH， DHFACD90， AEBD 【总结升华】两条线段的关系包括数量关系和位置关系两种. 举一反三：举一反三： 【变式变式】 .以等腰三角形 AOB 的斜边为直角边向外作第 2 个等腰直角三角形 ABA1，再以等腰直角三角形 ABA1的斜边为直角边向外作第 3

12、个等腰直角三角形 A1BB1，如此作下去，若 OA=OB=1，则第 n 个等 腰直角三角形的面积 Sn=_. 【答案】. 类型三、综合运用类型三、综合运用 5 .（牡丹江）（牡丹江）如图，ABC 中AB=AC，P 为底边 BC 上一点，PEAB，PFAC，CHAB，垂足分 别为 E、F、H易证 PE+PF=CH证明过程如下： 如图，连接 AP PEAB，PFAC，CHAB， ABP S= 1 2 ABPE， ACP S= 1 2 ACPF， ABC S= 1 2 ABCH 第 7 页 共 9 页 又 ABPACPABC SSS ， 1 2 ABPE+ 1 2 ACPF= 1 2 ABCHAB=

13、AC，PE+PF=CH （1）如图，P 为 BC 延长线上的点时，其它条件不变，PE、PF、CH 又有怎样的数量关系？请写出你的 猜想，并加以证明： （2）填空：若A=30，ABC 的面积为 49，点 P 在直线 BC 上，且 P 到直线 AC 的距离为 PF，当 PF=3 时，则 AB 边上的高 CH=_.点 P 到 AB 边的距离 PE=_. 【思路点拨】运用面积证明可使问题简便，（2）中分情况讨论是解题的关键 【答案与解析】 （1）如图，PE=PF+CH证明如下： PEAB，PFAC，CHAB， ABP S= 1 2 ABPE， ACP S= 1 2 ACPF， ABC S= 1 2 A

14、BCH， ABP S= ACP S+ ABC S， 1 2 ABPE= 1 2 ACPF+ 1 2 ABCH， 又AB=AC， PE=PF+CH； （2）在ACH 中，A=30， AC=2CH ABC S= 1 2 ABCH，AB=AC， 1 2 2CHCH=49， CH=7 分两种情况： P 为底边 BC 上一点，如图 PE+PF=CH， PE=CH-PF=7-3=4； P 为 BC 延长线上的点时，如图 PE=PF+CH， PE=3+7=10 故答案为 7；4 或 10 第 8 页 共 9 页 【总结升华】本题考查了等腰三角形的性质与三角形的面积，难度适中. 6在中，AC=BC，点 D 为

15、 AC 的中点 （1）如图 1，E 为线段 DC 上任意一点，将线段 DE 绕点 D 逆时针旋转 90得到线段 DF，连结 CF，过点 F 作 ，交直线 AB 于点 H判断 FH 与 FC 的数量关系并加以证明 （2）如图 2，若 E 为线段 DC 的延长线上任意一点， （1）中的其他条件不变，你在（1）中得出的结论是 否发生改变，直接写出你的结论，不必证明 【思路点拨】根据条件判断 FH=FC,要证 FH=FC 一般就要证三角形全等. 【答案与解析】 （1）FH 与 FC 的数量关系是： 延长交于点 G， 由题意，知 EDF=ACB=90，DE=DF DGCB 点 D 为 AC 的中点， 点

16、 G 为 AB 的中点，且 DG 为的中位线 AC=BC， DC=DG DC- DE =DG- DF 即 EC =FG 第 9 页 共 9 页 EDF =90， 1+CFD =90，2+CFD=90 1 =2 与都是等腰直角三角形， DEF =DGA = 45 CEF =FGH = 135 CEF FGH FH=FC （2）FH 与 FC 仍然相等 【总结升华】对于特殊三角形的判定及性质要记住并能灵活运用，注重积累解题思路和运用数学思想和 方法解决问题的能力和培养. 举一反三：举一反三： 【变式变式】如图， ABC 和CDE 均为等腰直角三角形，点 B,C,D 在一条直线上，点 M 是 AE 的中 点，下列结论：tanAEC= CD BC ; SABC+SCDESACE ; BMDM;BM=DM.正确结论的个数 是（ ）A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 【答案】D. M E D C B A