北京四中数学中考总复习：图形的变换--知识讲解（基础）

1、第 1 页 共 9 页 中考总复习：中考总复习：图形的变换图形的变换-知识讲解知识讲解（基础（基础） 【考纲要求】考纲要求】 1.通过具体实例认识轴对称、平移、旋转，探索它们的基本性质； 2.能够按要求作出简单平面图形经过轴对称、平移、旋转后的图形，能作出简单平面图形经过一次或 两次轴对称后的图形； 3.探索基本图形（等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正多边形、圆）的轴对称性质及其相关性质. 4.探索图形之间的变换关系（轴对称、平移、旋转及其组合） ； 5.利用轴对称、平移、旋转及其组合进行图案设计；认识和欣赏轴对称、平移、旋转在现实生活中的 应用. 【知识网络】【知识网络】 【考点梳理【考点

2、梳理】 考考点一、点一、平移变换平移变换 1.1. 平移的概念：平移的概念：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为 平移，平移不改变图形的形状和大小 【要点诠释】【要点诠释】 （1）平移是运动的一种形式，是图形变换的一种，本讲的平移是指平面图形在同一平面内 的变换； （2）图形的平移有两个要素：一是图形平移的方向，二是图形平移的距离，这两个要素是 图形平移的依据； （3）图形的平移是指图形整体的平移，经过平移后的图形，与原图形相比，只改变了位置， 而不改变图形的大小，这个特征是得出图形平移的基本性质的依据 2 2平移的基本性质：平移的基本性质：由平移的概念知，经过平移

3、，图形上的每一个点都沿同一个方向移动 相同的距离，平移不改变图形的形状和大小，因此平移具有下列性质：经过平移，对应点所 连的线段平行且相等，对应角相等 【要点诠释】【要点诠释】 （1）要注意正确找出“对应线段，对应角”，从而正确表达基本性质的特征； （2）“对应点所连的线段平行且相等”，这个基本性质既可作为平移图形之间的性质， 又可作为平移作图的依据 考考点二、点二、轴对称变换轴对称变换 1 1轴对称与轴对称图形轴对称与轴对称图形 轴对称：轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这 条直线对称，也叫做这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重

4、合的对应点，叫做对称点. 轴对称图形：轴对称图形：把一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称 图形. 第 2 页 共 9 页 2 2轴对称变换的性质轴对称变换的性质 关于直线对称的两个图形是全等图形. 如果两个图形关于某直线对称，对称轴是对应点连线的垂直平分线. 两个图形关于某直线对称，如果它们对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上. 如果两个图形的对应点连线被同一直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称. 3 3轴对称作图步骤轴对称作图步骤 找出已知图形的关键点，过关键点作对称轴的垂线，并延长至 2 倍，得到各点的对称点 按原图形的连结方式顺次连结对称

5、点即得所作图形. 考考点三、点三、旋转变换旋转变换 1 1旋转概念：旋转概念：把一个图形绕着某一点 O 转动一个角度的图形变换叫做旋转.点 O 叫做旋转中心，转动的 角叫做旋转角. 旋转变换的性质旋转变换的性质 图形通过旋转，图形中每一点都绕着旋转中心沿相同的方向旋转了同样大小的角度，任意一对对应 点与旋转中心的连线都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等，旋转过 程中，图形的形状、大小都没有发生变化. 旋转作图步骤旋转作图步骤 分析题目要求，找出旋转中心，确定旋转角. 分析所作图形，找出构成图形的关键点. 沿一定的方向，按一定的角度、旋转各顶点和旋转中心所连线段,从而

6、作出图形中各关键点的对 应点. 按原图形连结方式顺次连结各对应点. 中心对称与中心对称图形中心对称与中心对称图形 中心对称：中心对称： 把一个图形绕着某一点旋转 180，它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对 称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心对称的对称点 中心对称图形：中心对称图形： 把一个图形绕着某一点旋转 180，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫 中心对称图形. 5 5中心对称作图步骤中心对称作图步骤 连结决定已知图形的形状、大小的各关键点与对称中心，并且延长至 2 倍，得到各点的对称点. 按原图形的连结方式顺次连结对

7、称点即得所作图形. 【要点诠释】【要点诠释】 图形变换与图案设计的基本步骤图形变换与图案设计的基本步骤 确定图案的设计主题及要求； 分析设计图案所给定的基本图案； 利用平移、旋转、轴对称对基本图案进行变换，实现由基本图案到各部分图案的有机组合； 对图案进行修饰，完成图案. 【典型例题】【典型例题】 类型一、类型一、平移变换平移变换 1.如图 1，两个等边ABD，CBD 的边长均为 1，将ABD 沿 AC 方向向右平移到ABD的位 置，得到图 2，则阴影部分的周长为_. 第 3 页 共 9 页 【思路点拨】 根据两个等边ABD，CBD 的边长均为 1，将ABD 沿 AC 方向向右平移到ABD的位

8、置，得出 线段之间的相等关系，进而得出 OM+MN+NR+GR+EG+OE=AD+CD=1+1=2，即可得出答案 【答案与解析】 两个等边ABD，CBD 的边长均为 1，将ABD 沿 AC 方向向右平移到ABD的位置， AM=AN=MN，MO=DM=DO，OD=DE=OE，EG=EC=GC，BG=RG=RB， OM+MN+NR+GR+EG+OE=AD+CD=1+1=2； 【总结升华】 此题主要考查了平移的性质以及等边三角形的性质，根据题意得出 AM=AN=MN，MO=DM=DO， OD=DE=OE，EG=EC=GC，BG=RG=RB是解决问题的关键 举一反三：举一反三： 【变式变式】如图，将边

9、长为2的正方形 ABCD 沿对角线 AC 平移，使点 A 移至线段 AC 的中点 A处，得新 正方形 ABCD，新正方形与原正方形重叠部分（图中阴影部分）的面积是（ ） A.2 B. 1 2 C.1 D. 1 4 【答案】B. 2 如图 （1） ， 已知ABC的面积为3， 且,ACAB 现将ABC沿CA方向平移CA长度得到EFA. （1）求ABC所扫过的图形面积； （2）试判断，AF 与 BE 的位置关系，并说明理由； （3）若,15BEC求 AC 的长. 【思路点拨】（1） 根据平移的性质及平行四边形的性质可得到 SEFA=SBAF=SABC， 从而便可得到四边形 CEFB B C A （C

10、） F E 第 4 页 共 9 页 的面积； （2）由已知可证得平行四边形 EFBA 为菱形，根据菱形的对角线互相垂直平分可得到 AF 与 BE 的位置关 系为垂直； （3）作 BDAC 于 D，结合三角形的面积求解 【答案与解析】 （1）由平移的性质得 AFBC，且 AF=BC，EFAABC 四边形 AFBC 为平行四边形 SEFA=SBAF=SABC=3 四边形 EFBC 的面积为 9； （2）BEAF 证明：由（1）知四边形 AFBC 为平行四边形 BFAC，且 BF=AC 又AE=CA BFAE 且 BF=AE 四边形 EFBA 为平行四边形又已知 AB=AC AB=AE 平行四边形

11、EFBA 为菱形 BEAF； （3）如上图，作 BDAC 于 D BEC=15，AE=AB EBA=BEC=15 BAC=2BEC=30 在 RtBAD 中，AB=2BD 设 BD=x，则 AC=AB=2x SABC=3，且 SABC= 1 2 ACBD= 1 2 2xx=x 2 x 2=3 x 为正数 x=3 AC=23 【总结升华】此题主要考查了全等三角形的判定，平移的性质，菱形的性质等知识点的综合运用及推理 计算能力 类型二、类型二、轴对称变换轴对称变换 3生活中，有人喜欢把传送的便条折成某些形状，折叠过程是这样的(阴影部分表示纸条的反面)： 第 5 页 共 9 页 如果由信纸折成的长方

12、形纸条(图)长为 2 6 cm，宽为 xcm，分别回答下列问题： (1)为了保证能折成图的形状(即纸条两端均超出点 P)，试求 x 的取值范围 (2)如果不但要折成图的形状，而且为了美观，希望纸条两端超出点 P 的长度相等，即最终图形是 轴对称图形，试求在开始折叠时起点 M 与点 A 的距离(用 x 表示) 【思路点拨】可以实际动手折一折，看一看. 【答案与解析】 【总结升华】本题考查学生的动手操作能力，难点是得到纸条除去两端使用的纸条的长度 举一反三：举一反三： 【变式变式】用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图（1）所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到 如图（2）所示的正五边形 ABCD

13、E，其中BAC 度. 【答案】ABC= o (52) 180 5 =108，ABC 是等腰三角形， BAC=BCA=36 度 4. 如图 1， 矩形纸片 ABCD 的边长分别为 a， b （a0). (1)求APB 的度数； (2)求正方形 ABCD 的面积. 【答案】(1)将ABP 绕点 B 顺时针方向旋转 90得CBQ. 则ABPCBQ 且 PBQB. 于是 PB=QB=2a，. 在PQC 中， ，. . . PBQ 是等腰直角三角形， BPQ=BQP=45. 故APB=CQB=90+45=135. (2) APQ=APB+BPQ=135+45=180， 三点 A、P、Q 在同一直线上. 在 RtAQC 中，. 正方形 ABCD 的面积.