北京四中数学中考总复习：特殊的四边形--知识讲解（基础）

1、第 1 页 共 10 页 中考总复习：中考总复习：特殊的特殊的四边形四边形- -知识讲解知识讲解（基础基础） 【考纲要求】考纲要求】 1. 会识别矩形、菱形、正方形以及梯形； 2.掌握矩形、菱形、正方形的概念、判定和性质，会用矩形、菱形、正方形的性质和判定解决问题 3.掌握梯形的概念以及了解等腰梯形、直角梯形的性质和判定，会用性质和判定解决实际问题 【知识网络】【知识网络】 【考点梳理】【考点梳理】 考考点一、点一、几种特殊四边形性质、判定几种特殊四边形性质、判定 四边形 性 质 判 定 边 角 对角线 矩形 对边平行 且相等 四个角是直 角 相等且互相平分 1、 有一个角是直角的平行四边形是

2、矩 形； 2、有三个角是直角的四边形是矩形； 3、 对角线相等的平行四边形是矩 形 中 心、 轴对 称图 形 菱形 四条边相 等 对角相等， 邻角互补 垂直且互相平 分，每一条对角 线平分一组对角 1、 有一组邻边相等的平行四边形是菱 形； 2、四条边都相等的四边形是菱形； 3、 对角线互相垂直的平行四边形是菱 形 . 中 心、 轴对 称图 形 正方形 四条边相 等 四个角是直 角 相等、垂直、平 分，并且每一条 对角线平分一组 对角 1、邻边相等的矩形是正方形 2、对角线垂直的矩形是正方形 3、有一个角是直角的菱形是正方形 4、对角线相等的菱形是正方形 中 心、 轴对 称图 形 第 2 页

3、共 10 页 等腰梯形 两底平 行，两腰 相等 同一底上的 两个角相等 相等 1、两腰相等的梯形是等腰梯形； 2、 在同一底上的两个角相等的梯形是 等腰梯形； 3、对角线相等的梯形是等腰梯形. 轴对 称图 形 【要点诠释】【要点诠释】矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，它们具有平行四边形的一切性质. 考点二考点二、梯形梯形 1 1解决梯形问题常用的方法：解决梯形问题常用的方法： （1） “平移腰” ：把梯形分成一个平行四边形和一个三角形（图 1） ； （2） “作高” ：使两腰在两个直角三角形中（图 2） ； （3） “平移对角线” ：使两条对角线在同一个三角形中（图 3） ； （4） “

4、延腰” ：构造具有公共角的两个三角形（图 4） ； （5） “等积变形” ，连结梯形上底一端点和另一腰中点，并延长与下底延长线交于一点，构成三角形 （图 5） 图 1 图 2 图 3 图 4 图 5 【要点诠释】【要点诠释】解决梯形问题的基本思想和方法就是通过添加适当的辅助线，把梯形问题转化为已经熟悉 的平行四边形和三角形问题来解决在学习时注意它们的作用，掌握这些辅助线的使用对于学好梯形内 容很有帮助 2.2.特殊的梯形特殊的梯形 1）等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形 性质： （1）等腰梯形的同一底边上的两个角相等；等腰梯形的两条对角线相等 （2）同一底边上的两个角相等的梯形是等腰梯形 （

5、3）等腰梯形是轴对称图形，它的对称轴是经过两底中点的一条直线 2）直角梯形：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形 考点三考点三、中点四边形相关问题中点四边形相关问题 1.1. 中点四边形的概念：中点四边形的概念：把依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形 2.2. 若中点四边形为矩形，则原四边形满足条件对角线互相垂直； 若中点四边形为菱形，则原四边形满足条件对角线相等； 若中点四边形为正方形，则原四边形满足条件对角线互相垂直且相等 【要点诠释】【要点诠释】中点四边形的形状由原四边形的对角线的位置和数量关系决定 【典型例题】【典型例题】 类型一、类型一、特殊的平行四边形的应用特殊的平

6、行四边形的应用 1. 在平行四边形 ABCD 中，AC、BD 交于点 O，过点 O 作直线 EF、GH，分别交平行四边形的四条边于 E、G、F、H 四点，连结 EG、GF、FH、HE. （1）如图，试判断四边形 EGFH 的形状，并说明理由； （2）如图，当 EFGH 时，四边形 EGFH 的形状是 ； （3）如图，在（2）的条件下，若 AC=BD，四边形 EGFH 的形状是 ； （4）如图，在（3）的条件下，若 ACBD，试判断四边形 EGFH 的形状，并说明理由. 第 3 页 共 10 页 【思路点拨】中点四边形的形状由原四边形的对角线的位置和数量关系决定 【答案与解析】 （1）四边形 E

7、GFH 是平行四边形； 证明：平行四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 交于点 O， 点 O 是平行四边形 ABCD 的对称中心； EO=FO，GO=HO； 四边形 EGFH 是平行四边形； （2）菱形； （提示：菱形的对角线垂直平分） （3）菱形； （提示：当 AC=BD 时，对四边形 EGFH 的形状不会产生影响，故结论同（2） ） （4）四边形 EGFH 是正方形； 证明：AC=BD， 平行四边形 ABCD 是矩形； 又ACBD， 平行四边形 ABCD 是正方形， BOC=90，GBO=FCO=45，OB=OC； EFGH， GOF=90； BOG=COF； BOGCOF（ASA） ；

8、 OG=OF，GH=EF； 由（3）知四边形 EGFH 是菱形， 又 EF=GH， 四边形 EGFH 是正方形 【总结升华】主要考查了平行四边形、菱形、矩形、正方形的判定和性质以及全等三角形的判定和 性质；熟练掌握各特殊四边形的联系和区别是解答此类题目的关键 2动手操作：在一张长 12cm、宽 5cm 的矩形纸片内，要折出一个菱形小颖同学按照取两组对边 中点的方法折出菱形 EFGH（见方案一） ，小明同学沿矩形的对角线 AC 折出CAE=CAD，ACF=ACB 的方法得到菱形 AECF（见方案二） （1）你能说出小颖、小明所折出的菱形的理由吗？ （2）请你通过计算，比较小颖和小明同学的折法中，

9、哪种菱形面积较大？ 第 4 页 共 10 页 【思路点拨】 （1） 、要证所折图形是菱形，只需证四边相等即可 （2） 、按照图形用面积公式计算 S=30 和 S=35.21，可知方案二小明同学所折的菱形面积较大 【答案与解析】 （1）小颖的理由：依次连接矩形各边的中点所得到的四边形是菱形， 小明的理由：ABCD 是矩形， ADBC，则DAC=ACB， 又CAE=CAD，ACF=ACB， CAE=CAD=ACF=ACB， AE=EC=CF=FA， 四边形 AECF 是菱形 （2）方案一： S菱形=S矩形-4SAEH=125-4 1 2 6 5 2 =30（cm） 2， 方案二： 设 BE=x，则

10、 CE=12-x， AE= 22 BEAB= 2 25x 由 AECF 是菱形，则 AE 2=CE2x2+25=（12-x）2， x=119 24 ， S菱形=S矩形-2SABE=125-2 1 2 5119 24 35.21（cm） 2， 比较可知，方案二小明同学所折的菱形面积较大 【总结升华】本题考查了矩形的性质和菱形的判定，以及图形面积的计算与比较 举一反三：举一反三： 【变式变式】如图，点 O 是矩形 ABCD 的中心，E 是 AB 上的点，沿 CE 折叠后，点 B 恰好与点 O 重合，若 BC=3， 则折痕 CE 的长为 （ ）. A.BC4 D5 【答案】A. 类型二、类型二、梯形

11、的应用梯形的应用 3.（2014黄州区校级模拟）如图，ABC 中，BAC=90，延长 BA 至 D，使 AD= AB，点 E、F 分 别是边 BC、AC 的中点 （1）判断四边形 DBEF 的形状并证明； （2）过点 A 作 AGBC 交 DF 于 G，求证：AG=DG 第 5 页 共 10 页 【思路点拨】 （1）利用梯形的判定首先得出四边形 DBEF 为梯形，进而得出四边形 HFEB 是平行四边形， 得出 BE=FD 进而得出答案； （2）利用四边形 DBEF 为等腰梯形，得出B=D，利用 AGBG，B=DAG，得出答案 【答案与解析】 （1）解：四边形 DBEF 为等腰梯形， 理由如下：

12、 如图，过点 F 作 FHBC，交 AB 于点 H， FHBC，点 F 是 AC 的中点，点 E 是 BC 的中点， AH=BH= AB，EFAB， 显然 EFABAD，EFAD， 四边形 DBEF 为梯形， AD= AB， AD=AH， CAAB， CA 是 DH 的中垂线， DF=FH， FHBC，EFAB， 四边形 HFEB 是平行四边形， FH=BE， BE=FD， 故四边形 DBEF 为等腰梯形； （2）证明：四边形 DBEF 为等腰梯形， B=D， AGBG，B=DAG， D=DAG， AG=DG 第 6 页 共 10 页 【总结升华】 此题主要考查了等腰梯形的判定以及其性质和平行

13、四边形的判定与性质等知识， 得出 BE=FD 是解题关键 举一反三：举一反三： 【变式变式】如图，梯形 ABCD 中，ADBC，点 E 在 BC 上，AE=BE，点 F 是 CD 的中点，且 AFAB，若 AD=2.7， AF=4，AB=6，则 CE 的长为（ ）. A.2 2 B. 2 31 C. 2.5 D.2.3 【答案】D. 类型三类型三、特殊四边形与其他知识结合的综合运用特殊四边形与其他知识结合的综合运用 4. （2015北京）在ABCD 中，过点 D 作 DEAB 于点 E，点 F 在边 CD 上，DF=BE，连接 AF，BF （1）求证：四边形 BFDE 是矩形； （2）若 CF

14、=3，BF=4，DF=5，求证：AF 平分DAB 【思路点拨】 （1）根据平行四边形的性质，可得 AB 与 CD 的关系，根据平行四边形的判定，可得 BFDE 是平行四边形，再根据矩形的判定，可得答案； （2）根据平行线的性质，可得DFA=FAB，根据等腰三角形的判定与性质，可得DAF=DFA，根据 角平分线的判定，可得答案 【答案与解析】 （1）证明：四边形 ABCD 是平行四边形， ABCD BEDF，BE=DF， 四边形 BFDE 是平行四边形 DEAB， DEB=90， 四边形 BFDE 是矩形； （2）解：四边形 ABCD 是平行四边形， ABDC， DFA=FAB 在 RtBCF

15、中，由勾股定理，得 BC=5， AD=BC=DF=5， DAF=DFA， 第 7 页 共 10 页 DAF=FAB， 即 AF 平分DAB 【总结升华】本题考查了平行四边形的性质，利用了平行四边形的性质，矩形的判定，等腰三角形的判 定与性质，利用等腰三角形的判定与性质得出DAF=DFA 是解题关键 5 （2012重庆）已知：如图，在菱形 ABCD 中，F 为边 BC 的中点，DF 与对角线 AC 交于点 M，过 M 作 MECD 于点 E，1=2 （1）若 CE=1，求 BC 的长； （2）求证：AM=DF+ME 【思路点拨】 （1）根据菱形的对边平行可得 ABCD，再根据两直线平行，内错角相

16、等可得1=ACD， 所以ACD=2，根据等角对等边的性质可得 CM=DM，再根据等腰三角形三线合一的性质可得 CE=DE，然 后求出 CD 的长度，即为菱形的边长 BC 的长度； （2）先利用“边角边”证明CEM 和CFM 全等，根据全等三角形对应边相等可得 ME=MF，延长 AB 交 DF 于点 G，然后证明1=G，根据等角对等边的性质可得 AM=GM，再利用“角角边”证明CDF 和BGF 全等，根据全等三角形对应边相等可得 GF=DF，最后结合图形 GM=GF+MF 即可得证 【答案与解析】 （1）解：四边形 ABCD 是菱形， ABCD， 1=ACD， 1=2， ACD=2， MC=MD

17、， MECD， CD=2CE， CE=1， CD=2， BC=CD=2； （2）证明： 如图，F 为边 BC 的中点， BF=CF= 1 2 BC， CF=CE， 在菱形 ABCD 中，AC 平分BCD， ACB=ACD， 在CEM 和CFM 中， 第 8 页 共 10 页 CECF ACBACD CMCM ， CEMCFM（SAS） ， ME=MF， 延长 AB 交 DF 于点 G， ABCD， G=2， 1=2， 1=G， AM=MG， 在CDF 和BGF 中， 2G BFGCFD BFCF ， CDFBGF（AAS） ， GF=DF， 由图形可知，GM=GF+MF， AM=DF+ME 【

18、总结升华】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等角对等边的性质，作出辅助线构造 出全等三角形是解题的关键 6 . 如图，己知 ABC 的顶点 B、C 为定点，A 为动点(不在直线 BC 上)是点 B 关于直线 AC 的对 称点，是点 C 关于直线 AB 的对称点连结、 (1)猜想线段与的数量关系，并证明你的结论； (2)当点 A 运动到怎样的位置时，四边形为菱形?这样的位置有几个?请用语言对这样的位置进 行描述；(不用证明) (3)当点 A 在线段 BC 的垂直平分线l(BC 的中点及到 BC 的距离为的点除外)上运动时， 判断以 点 B、C、 、为顶点的四边形的形状，画出相应的示意

19、图(不用证明) 第 9 页 共 10 页 【思路点拨】本题考查轴对称的基本性质，综合考查菱形、正方形、等腰梯形的判定在运动变化过程 中，认识图形之间的内在联系 【答案与解析】 （1）猜想：BC=CB B是点 B 关于直线 AC 的对称点 AC 垂直平分 B B BC= CB 同理 BC= BC B C=C B （2）要使 BCBC是菱形,根据菱形的性质，对角线互相垂直平分 B是点 B 关于直线 AC 的对称点，C是点 C 关于直线 AB 的对称点 AC 垂直平分 B B,AB 垂直平分 C C, B B、C C应该同时过 A 点 BAC=90 只要 ABAC 即可满足要求，这样的位置有无数个.

20、 （3）如图，当 A 是 BC 的中点时，没有形成四边形； 当 A 到 BC 的距离为 3 6 BC 时, l是 BC 的垂直平分线, ACB=ABC=30, BAC=120, BOC=60, BC=C B= BC=B C. BC BC为菱形, 当 BC 的中点及到 BC 的距离为 3 6 BC 的点除外时, BOC= BO C,OB=OC O B=O C, OBC=OCB=O BC=O CB, BCBC. B C不平行 C B，B C=C B, 四边形 BC B C为等腰梯形 第 10 页 共 10 页 【总结升华】本题可以很好的培养观察推理能力，按照要求画出图形可以更清楚的解题 举一反三：

21、举一反三： 【变式变式】 （2012襄阳）如图，在梯形 ABCD 中，ADBC，E 为 BC 的中点，BC=2AD，EA=ED=2，AC 与 ED 相 交于点 F （1）求证：梯形 ABCD 是等腰梯形； （2）当 AB 与 AC 具有什么位置关系时，四边形 AECD 是菱形？请说明理由，并求出此时菱形 AECD 的面 积 【答案】（1）证明：ADBC， DEC=EDA，BEA=EAD， 又EA=ED， EAD=EDA， DEC=AEB， 又EB=EC， DECAEB， AB=CD， 梯形 ABCD 是等腰梯形 （2）当 ABAC 时，四边形 AECD 是菱形 证明：ADBC，BE=EC=AD， 四边形 ABED 和四边形 AECD 均为平行四边形 AB=ED， ABAC， AE=BE=EC， 四边形 AECD 是菱形 过 A 作 AGBE 于点 G， AE=BE=AB=2， ABE 是等边三角形， AEB=60， AG=3， S菱形AECD=ECAG=23=23.