1、第 1 页 共 10 页 中考总复习中考总复习：多边形与平行四边形：多边形与平行四边形-巩固练习巩固练习（提高）（提高） 【巩固练习】【巩固练习】 一、一、选择题选择题 1 如图， 四边形 ABED 和四边形 AFCD 都是平行四边形， AF 和 DE 相交成直角， AG=3cm， DG=4cm，ABED 的面积是，则四边形 ABCD 的周长为（ ） A49cm B43cm C41cm D46cm 2如图，在ABC 中，已知 AB=AC=5，BC=4，点 E、F 是中线 AD 上的两点，则图中阴影部分的面积 是：( ) A. ； B.2； C.3； D.4 3. 已知点 A(2，0)、点 B(
2、，0)、点 C(0，1)，以 A、B、C 三点为顶点画平行四边形，则第四个顶点 不可能在( )A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 4.(2011安徽)如图，在四边形ABCD中，BADADC90，ABAD22，CD2，点P在四 边形ABCD的边上，若P到BD的距离为 3 2 ，则点P的个数为( ) A1 B2 C3 D4 5.如图，分别以 RtABC 的斜边 AB、直角边 AC 为边向外作等边ABD 和ACE，F 为 AB 的中点，DE，AB 相交于点 G，若BAC=30，下列结论：EFAC；四边形 ADFE 为平行四边形；AD=4AG； DBFEFA其中正确结论的是（ ） A B
3、C D 第 2 页 共 10 页 6 . （2014杭州模拟） 如图， 在ABC 中， ACB=90， D 是 BC 的中点， DEBC， CEAD， 若 AC=2， ADC=30， 四边形 ACED 是平行四边形； BCE 是等腰三角形； 四边形 ACEB 的周长是 10+2； 四边形 ACEB 的面积是 16 则以上结论正确的是（ ） A B C D 二、二、填空题填空题 7. 如图，口ABCD 中，点 E 在边 AD 上，以 BE 为折痕，将ABE 向上翻折，点 A 正好落在 CD 上的点 F， 若FDE 的周长为 8，FCB 的周长为 22，则 FC 的长为_. 8.（2015 春淅川
4、县期末）若工人师傅用正三角形、正十边形与正 n 边形这三种正多边形能够铺成平整 的地面，则 n 的值为 9. 如图，平行四边形 ABCD 中，ABC=60，AB=4，AD=8，点 E、F 分别是边 BC、AD 边的中点，点 M 是 AE 与 BF 的交点，点 N 是 CF 与 DE 的交点，则四边形 ENFM 的周长是_ 10. （2011梅州） 凸 n 边形的对角线的条数记作 an（n4） ， 例如： a4=2， 那么： a5=_； a6-a5=_ ； an+1-an=_ （n4，用 n 含的代数式表示） 11.如图（1）,四边形 ABCD 中，ABE1F1CD，ADBC，则图中共有_个平行
5、四边形； 第 3 页 共 10 页 如图（2） ，四边形 ABCD 中，ABE1F1E2F2CD，ADBC，则图中共有_个平行四边形； 如图（3） ，四边形 ABCD 中，ABE1F1E2F2E3F3CD，ADBC，则图中共有_个平行四边形； 一般地，若四边形 ABCD 中，E1，E2，E3，都是 AD 上的点，F1，F2，F3，都是 BC 上的点， 且 ABE1F1E2F2E3F3CD，ADBC，则图中共有_平行四边形. 12.如图所示，中多边形（边数为 12）是由正三角形“扩展”而来的，中多边形是由正方形“扩展” 而来的，依此类推，则由正 n 边形“扩展”而来的多边形的边数为_. 三、解答
6、三、解答题题 13.问题再现：现实生活中，镶嵌图案在地面、墙面乃至于服装面料设计中随处可见在八年级课题学 习“平面图形的镶嵌”中，对于单种多边形的镶嵌，主要研究了三角形、四边形、正六边形的镶嵌问题、 今天我们把正多边形的镶嵌作为研究问题的切入点，提出其中几个问题，共同来探究 我们知道，可以单独用正三角形、正方形或正六边形镶嵌平面如图中，用正方形镶嵌平面，可以发现 在一个顶点 O 周围围绕着 4 个正方形的内角试想：如果用正六边形来镶嵌平面，在一个顶点周围应该 围绕着 3 个正六边形的内角 问题提出：如果我们要同时用两种不同的正多边形镶嵌平面，可能设计出几种不同的组合方案？ 问题解决： 猜想 1
7、：是否可以同时用正方形、正八边形两种正多边形组合进行平面镶嵌？ 分析：我们可以将此问题转化为数学问题来解决、从平面图形的镶嵌中可以发现，解决问题的关键在于 分析能同时用于完整镶嵌平面的两种正多边形的内角特点具体地说，就是在镶嵌平面时，一个顶点周 围围绕的各个正多边形的内角恰好拼成一个周角 验证 1：在镶嵌平面时，设围绕某一点有 x 个正方形和 y 个正八边形的内角可以拼成一个周角根据题 意，可得方程： 90x+ (82) 180 8 y=360，整理得：2x+3y=8， 我们可以找到惟一一组适合方程的正整数解为 1 2 x y 结论 1：镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着 1 个正方形和 2 个
8、正八边形的内角可以拼成一个周角，所 以同时用正方形和正八边形两种正多边形组合可以进行平面镶嵌 猜想 2：是否可以同时用正三角形和正六边形两种正多边形组合进行平面镶嵌？若能，请按照上述方法 进行验证，并写出所有可能的方案；若不能，请说明理由 验证 2：_；结论 2：_ 第 4 页 共 10 页 上面，我们探究了同时用两种不同的正多边形组合镶嵌平面的部分情况，仅仅得到了一部分组合方案， 相信同学们用同样的方法，一定会找到其它可能的组合方案 问题拓广： 请你仿照上面的研究方式， 探索出一个同时用三种不同的正多边形组合进行平面镶嵌的方案， 并写出验证过程 猜想 3：_； 验证 3：_； 结论 3：_
9、14. 如图，在四边形 ABCD 中，A=90，ABC 与ADC 互补 （1）求C 的度数； （2）若 BCCD 且 AB=AD，请在图上画出一条线段，把四边形 ABCD 分成两部分，使得这两部分能够重新 拼成一个正方形，并说明理由； （3）若 CD=6，BC=8，S四边形 ABCD=49，求 AB 的值 15. （2015 春苏州校级期末）如图，正方形 ABCD 中，点 P 是直线 BC 上一点，连接 PA，将线段 PA 绕 点 P 逆时针旋转 90得到线段 PE，在直线 BA 上取点 F，使 BF=BP，且点 F 与点 E 在 BC 同侧，连接 EF、 CF （1）如图，当点 P 在 CB
10、 延长线上时，求证：四边形 PCFE 是平行四边形 （2）如图，当点 P 在线段 BC 上时，四边形 PCFE 是否还是平行四边形，说明理由 16 （2012广州）如图，在平行四边形 ABCD 中，AB=5，BC=10，F 为 AD 的中点，CEAB 于 E，设ABC= （6090） （1）当=60时，求 CE 的长； 第 5 页 共 10 页 （2）当 6090时， 是否存在正整数 k，使得EFD=kAEF？若存在，求出 k 的值；若不存在，请说明理由 连接 CF，当 CE 2-CF2取最大值时，求 tanDCF 的值 【答案与【答案与解析】解析】 一选择题一选择题 1.【答案】D. 2【答
11、案】A. 3.【答案】C 4 【答案】B. 【解析】如图所示，作AEBD于E，CFBD于F，由题意得AE1 2BD 2 2 AB23 2，在边 AB和AD 上各存在一个点P到BD的距离为3 2.ABAD，BAD90，ADB45.又ADC90， CDF45.CF 2 2 CD 2 2 213 2，在边 BC和CD上不存在符合题意的点P.综上所述. 5 【答案】A. 【解析】先证 ADFABC,可得 DF=AC=AE.DFAE 且 DF=AE四边形 ADFE 为平行四边形，即 是正确的. 6 【答案】D . 【解析】ACB=90，DEBC， ACD=CDE=90， ACDE， CEAD， 第 6
12、页 共 10 页 四边形 ACED 是平行四边形，故正确； D 是 BC 的中点，DEBC， EC=EB， BCE 是等腰三角形，故正确； AC=2，ADC=30， AD=4，CD=2， 四边形 ACED 是平行四边形， CE=AD=4， CE=EB， EB=4，DB=2， CB=4， AB=2， 四边形 ACEB 的周长是 10+2故正确； 四边形 ACEB 的面积： 24+ 42=8，故错误， 故选：A 二填空题二填空题 7 【答案】7. 【解析】由题意知 x+y+z=8,a+(y+a)+(z+x)=22，所以 a=7. 8 【答案】十五. 【解析】正三边形和正十边形内角分别为 60、14
13、4，正 n 边形的内角应为 36060144=156， 所以正 n 边形为正十五边形故答案为：十五 9 【答案】4+4 10 【答案】5；4；n-1 【解析】五边形有 5 条对角线；六边形有 9 条对角线，9-5=4； n 边形有 (3) 2 n n 条对角线，n+1 边形有 (1)(2) 2 nn 条对角线， 第 7 页 共 10 页 an+1-an= (1)(2) 2 nn - (3) 2 n n =n-1 11.【答案】3 ;6 ;10，. 12 【答案】n（n+1） 【解析】正三边形“扩展”而来的多边形的边数是 12=34， 正四边形“扩展”而来的多边形的边数是 20=45， 正五边形
14、“扩展”而来的多边形的边数为 30=56， 正六边形“扩展”而来的多边形的边数为 42=67， 正 n 边形“扩展”而来的多边形的边数为 n（n+1） 三三. .综合题综合题 13 【解析】 用正六边形来镶嵌平面，在一个顶点周围应该围绕着 3 个正六边形的内角 验证 2：在镶嵌平面时，设围绕某一点有 a 个正三角形和 b 个正六边形的内角可以拼成一个周角， 根据题意，可得方程：60a+120b=360 整理得：a+2b=6， 可以找到两组适合方程的正整数解为 2 2 a b 和 4 1 a b 结论 2：镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着 2 个正三角形和 2 个正六边形的内角或者围绕着 4 个
15、正三 角形和 1 个正六边形的内角可以拼成一个周角，所以同时用正三角形和正六边形两种正多边形组合可以 进行平面镶嵌 猜想 3：是否可以同时用正三角形、正方形和正六边形三种正多边形组合进行平面镶嵌？ 验证 3：在镶嵌平面时，设围绕某一点有 m 个正三角形、n 个正方形和 c 个正六边形的内角可以拼成一 个周角 根据题意，可得方程：60m+90n+120c=360， 整理得：2m+3n+4c=12， 可以找到惟一一组适合方程的正整数解为 1 2 1 m n c 结论 3：镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着 1 个正三角形、2 个正方形和 1 个正六边形的内角可以拼 成一个周角，所以同时用正三角形、正
16、方形和正六边形三种正多边形组合可以进行平面镶嵌 （说明： 本题答案不惟一，符合要求即可 ） 14 【解析】 （1）ABC 与ADC 互补， ABC+ADC=180 A=90， C=360-90-180=90； （2）过点 A 作 AEBC，垂足为 E 则线段 AE 把四边形 ABCD 分成ABE 和四边形 AECD 两部分，把ABE 以 A 点为旋转中心，逆时针旋转 90，则被分成的两部分重新拼成一个正方形 过点 A 作 AFBC 交 CD 的延长线于 F， 第 8 页 共 10 页 ABC+ADC=180，又ADF+ADC=180， ABC=ADF AD=AB，AEC=AFD=90，ABEA
17、DF AE=AF四边形 AECF 是正方形； （3）解法 1：连接 BD， C=90，CD=6，BC=8，RtBCD 中，BD= 22 86=10 又S四边形 ABCD=49，SABD=49-24=25 过点 A 作 AMBD 垂足为 M， SABD= 1 2 BDAM=25AM=5 又BAD=90，ABMDAM AM BM = MD AM 设 BM=x，则 MD=10-x， 5 x =105 x 解得 x=5AB=52 解法 2：连接 BD，A=90 设 AB=x，AD=y，则 x 2+y2=102， 1 2 xy=25，xy=50 由，得： （x-y） 2=0 x=y2x 2=100x=5
18、 2 15 【解析】 （1）证明：四边形 ABCD 是正方形， AB=BC，ABC=PBA=90 在 PBA 和 FBC 中， ， PBAFBC（SAS） ， PA=FC，PAB=FCB 第 9 页 共 10 页 PA=PE， PE=FC PAB+APB=90， FCB+APB=90 EPA=90， APB+EPA+FCP=180， 即EPC+PCF=180， EPFC， 四边形 EPCF 是平行四边形； （2）解：结论：四边形 EPCF 是平行四边形， 理由是：四边形 ABCD 是正方形， AB=BC，ABC=CBF=90 在 PBA 和 FBC 中， ， PBAFBC（SAS） ， PA=
19、FC，PAB=FCB PA=PE， PE=FC FCB+BFC=90， EPB+APB=90， BPE=FCB， EPFC， 四边形 EPCF 是平行四边形 16. 【解析】 （1）=60，BC=10， sin= CE BC ，即 sin60= 10 CE = 3 2 ， 解得 CE=53； （2）存在 k=3，使得EFD=kAEF 理由如下：连接 CF 并延长交 BA 的延长线于点 G， F 为 AD 的中点，AF=FD， 在平行四边形 ABCD 中，ABCD， 第 10 页 共 10 页 G=DCF， 在AFG 和CFD 中， GDCF AFGDFC AFFD ， AFGDFC（AAS）
20、， CF=GF，AG=CD， CEAB， EF=GF（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半） ， AEF=G， AB=5，BC=10，点 F 是 AD 的中点， AG=5，AF= 1 2 AD= 1 2 BC=5， AG=AF，AFG=G， 在EFG 中，EFC=AEF+G=2AEF， 又CFD=AFG（对顶角相等） ， CFD=AEF， EFD=EFC+CFD=2AEF+AEF=3AEF， 因此，存在正整数 k=3，使得EFD=3AEF； 设 BE=x，AG=CD=AB=5， EG=AE+AG=5-x+5=10-x， 在 RtBCE 中，CE 2=BC2-BE2=100-x2， 在 RtCEG 中，CG 2=EG2+CE2=（10-x）2+100-x2=200-20x， CF=GF（中已证） ， CF 2=（1 2 CG） 2=1 4 CG 2=1 4 （200-20x）=50-5x， CE 2-CF2=100-x2-50+5x=-x2+5x+50=-（x-5 2 ） 2+50+25 4 ， 当 x= 5 2 ，即点 E 是 AB 的中点时，CE 2-CF2取最大值， 此时，EG=10-x=10- 5 2 = 15 2 ， CE= 2 100x= 25 100 4 = 5 15 2 ， 所以，tanDCF=tanG= CE EG = 5 15 2 15 2 = 15 3
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