北京四中数学中考总复习：方程与不等式综合复习--知识讲解（基础）

1、第 1 页 共 12 页 中考总复习中考总复习：方程与不等式综合复习方程与不等式综合复习知识讲解（基础知识讲解（基础） 【考纲要求】【考纲要求】 1会从定义上判断方程(组)的类型，并能根据定义的双重性解方程(组)和研究分式方程的增根情况； 2掌握解方程(组)的方法，明确解方程组的实质是“消元降次” 、 “化分式方程为整式方程” 、 “化无理 式为有理式” ； 3理解不等式的性质，一元一次不等式(组)的解法，在数轴上表示解集，以及求特殊解集； 4列方程(组)、列不等式(组)解决社会关注的热点问题； 5. 解方程或不等式是中考的必考点，运用方程思想与不等式(组)解决实际问题是中考的难点和热点 【知

2、识网络】【知识网络】 【考点梳理】【考点梳理】 考考点一、点一、一元一次方程一元一次方程 1 1. .方程方程 含有未知数的等式叫做方程. 2 2. .方程的解方程的解 能使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解. 3 3. .等式的性质等式的性质 （1）等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式. （2）等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是零） ，所得结果仍是等式. 第 2 页 共 12 页 4 4. .一元一次方程一元一次方程 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 1 的整式方程叫做一元一次方程，其中方程 ）为未知数，（0ax0bax叫做一元一次方程的标准

3、形式，a 是未知数 x 的系数，b 是常数项. 5.5.一元一次方程解法的一般步骤一元一次方程解法的一般步骤 整理方程 去分母 去括号 移项 合并同类项系数化为 1(检验方程的 解). 6.6.列一元一次方程解应用题列一元一次方程解应用题 (1)读题分析法：多用于“和，差，倍，分问题” 仔细读题，找出表示相等关系的关键字，例如： “大，小，多，少，是，共，合，为，完成，增加， 减少，配套” ，利用这些关键字列出文字等式，并且根据题意设出未知数，最后利用题目中的量与量的 关系填入代数式，得到方程. (2)画图分析法：多用于“行程问题” 利用图形分析数学问题是数形结合思想在数学中的体现，仔细读题，

4、依照题意画出有关图形，使图 形各部分具有特定的含义，通过图形找相等关系是解决问题的关键，从而取得布列方程的依据，最后利 用量与量之间的关系(可把未知数看作已知量)，填入有关的代数式是获得方程的基础. 要点诠释：要点诠释： 列方程解应用题的常用公式： (1)行程问题： 距离=速度时间 时间 距离 速度 速度 距离 时间； (2)工程问题： 工作量=工效工时 工时 工作量 工效 工效 工作量 工时 ； (3)比率问题： 部分=全体比率 全体 部分 比率 比率 部分 全体； (4)顺逆流问题： 顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度-水流速度； (5)商品价格问题： 售价=定价折 10 1

5、 ，利润=售价-成本， %100 成本 成本售价 利润率； (6)周长、面积、体积问题：C圆=2R，S圆=R 2，C 长方形=2(a+b)，S长方形=ab， C正方形=4a， S正方形=a 2，S 环形=(R 2-r2)，V 长方体=abh，V正方体=a 3，V 圆柱=R 2h ，V 圆锥= 3 1 R 2h. 考考点点二二、一元二次方程一元二次方程 1 1. .一元二次方程一元二次方程 含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的整式方程叫做一元二次方程. 2 2. .一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式 )0(0 2 acbxax，它的特征是：等式左边是一个关于未知数 x 的二次

6、多项式，等式右边是 零，其中 2 ax叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项. 3.3.一元二次方程的解法一元二次方程的解法 第 3 页 共 12 页 （1）直接开平方法 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法.直接开平方法适用于 解形如bax 2 )(的一元二次方程.根据平方根的定义可知，ax是 b 的平方根，当0b时， bax，bax，当 b0. 此时方程有两个不相等的实数 根. ( ii ) 证法一: 若 ac0, 由(2)知 a-b+kc =0, 故 b=a+kc. =b 2-4ac= (a+kc)2-4ac=a

7、2+2kac+(kc)2-4ac = a2-2kac+(kc)2+4kac-4ac =(a-kc) 2+4ac(k-1). 方程 kx=x+2 的根为正实数， 方程(k-1) x=2 的根为正实数. 由 x0, 20, 得 k-10. 4ac(k-1)0. (a-kc) 20, =(a-kc) 2+4ac(k-1)0. 此时方程有两个不相等的实数根. 证法二: 若 ac0, 抛物线 y=ax 2-bx+kc 与 x 轴有交点, 1=(-b) 2-4akc =b2-4akc0. (b 2-4ac)-( b2-4akc)=4ac(k-1). 由证法一知 k-10, b 2-4ac b2-4akc0

8、. = b 2-4ac0. 此时方程有两个不相等的实数根. 综上, 方程有两个不相等的实数根. 【总结升华】方程与函数综合题. 中考所考知识点的综合与相互渗透. 举一反三：举一反三： 【变式变式】已知关于x的一元二次方程0)2() 1(2 2 mmxmx. （1）若 x=2 是这个方程的一个根，求 m 的值和方程的另一个根； （2）求证：对于任意实数 m，这个方程都有两个不相等的实数根. 【答案】 （1）解：把 x=2 代入方程，得0)2()2() 1(24mmm， 即02 2 mm.解得0 1 m，2 2 m. 当0m时 ， 原 方 程 为02 2 xx， 则 方 程 的 另 一 个 根 为

9、0x. 当2m时 ， 原 方 程 为082 2 xx， 则 方 程 的 另 一 个 根 为4x. （2）证明：)2(4) 1(2 2 mmm48 2 m， 第 8 页 共 12 页 对于任意实数 m，0 2 m， 048 2 m. 对于任意实数 m，这个方程都有两个不相等的实数根. 类型类型二二、解不等式解不等式（组）（组） 3解不等式组 3(1)54, 121, 23 xx xx 并将解集在数轴上表示出来 【思路点拨】 此题考查一元一次不等式组的解法，解出不等式组中的每个不等式，根据不等式组解的四种情况， 看看属于哪种情况 【答案与解析】 解不等式得： 1 2 x 解不等式得：x-1 所以不

10、等式组的解集为-1x 1 2 其解在数轴上表示为如图所示： 【总结升华】注意解不等式组的解题步骤. 举一反三：举一反三： 【变式变式】解不等式组 20 5121 1 23 x xx 并把解集在数轴上表示出来 【答案】 解不等式，得2x 解不等式，得1x 所以，不等式组的解集是12x 不等式组的解集在数轴上表示如图： 类型类型三三、方程方程（组）（组）与不等式与不等式（组）的综合应用（组）的综合应用 0 1 2 3 4 5 -5 -4 -3 -2 -1 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 第 9 页 共 12 页 4如果关于 x 的方程 2 2 1 24 xm xx 的解也是不等式组 1

11、 2, 2 2(3)8 x x xx 的一个解， 求 m 的取值范围 【思路点拨】 解方程求出 x 的值（是用含有 m 的式子表示的） ，再解不等式组求出 x 的取值范围，最后方程的解 与不等式组的解结合起来求 m 的取值范围. 【答案与解析】 解方程 2 2 1 24 xm xx ，得 x-m-2 因为 2 4(4)xm m， 所以 m-4 且 m0 时，有 2 40x 所以方程 2 2 1 24 xm xx 的解为 x-m-2 其中 m-4 且 m0 解不等式组 1 2, 2 2(3)8, x x xx 得 x-2 由题意，得-m-2-2，解得 m0 所以 m 的取值范围是 m0 【总结升

12、华】方程与不等式的综合题，是中考考查的重点之一 举一反三：举一反三： 【变式变式】如果不等式组 2 2 23 x a xb 的解集是01x，那么ab的值为 【答案】解不等式组得： 3 4-2 2 b ax ，因为不等式组 2 2 23 x a xb 的解集是01x，所以 4-20 3 1 2 a b 解得 2 1 a b 所以1ab. 5 某采摘农场计划种植BA、两种草莓共 6 亩，根据表格信息，解答下列问题： 第 10 页 共 12 页 (1)若该农场每年草莓全部被采摘的总收入为 46000O 元，那么BA、两种草莓各种多少亩? (2)若要求种植A种草莓的亩数不少于种植B种草莓的一半，那么种

13、植A种草莓多少亩时，可使该 农场每年草莓全部被采摘的总收入最多? 【思路点拨】 （1）根据等量关系：总收入=A 地的亩数年亩产量采摘价格+B 地的亩数年亩产量采摘价格， 列方程求解； （2）这是一道只有一个函数关系式的求最值问题，根据题意确定自变量的取值范围，由函数 y 随 x 的变化求出最大利润 【答案与解析】 设该农场种植A种草莓x亩，B种草莓)6(x亩 依题意，得：460000)6(200040120060xx 解得：5 . 2x , 5 . 36x (2)由)6( 2 1 xx，解得2x 设农场每年草莓全部被采摘的收入为 y 元，则： 4800008000)6(200040120060

14、xxxy 当2x时，y 有最大值为 464000 答：(l)A 种草莓种植 2.5 亩, B 种草莓种植 3.5 亩 (2)若种植 A 种草莓的亩数不少于种植 B 种草莓的一半，那么种植 A 种草莓 2 亩时，可使农场 每年草莓全部被采摘的总收入最多. 【总结升华】 本题考查的是用一次函数解决实际问题，此类题是近年中考中的热点问题注意利用一次函数求 最值时，关键是应用一次函数的性质；即由函数 y 随 x 的变化，结合自变量的取值范围确定最值 举一反三：举一反三： 【变式变式】某运输公司用 10 辆相同的汽车将一批苹果运到外地，每辆汽车能装 8 吨甲种苹果， 或 10 吨乙种苹果，或 11 吨丙

15、种苹果公司规定每辆车只能装同一种苹果，而且必须 满载已知公司运送了甲、乙、丙三种苹果共 100 吨，且每种苹果不少于一车 （1）设用x辆车装甲种苹果，y辆车装乙种苹果，求y与x之间的函数关系式，并写 出自变量x的取值范围； （2）若运送三种苹果所获利润的情况如下表所示： 苹果品种 甲 乙 丙 每吨苹果所获利润（万元） 0.2 2 0.21 0.2 设此次运输的利润为 W（万元） ，问：如何安排车辆分配方案才能使运输利润 W 最大，并求出最大利润 【答案】 项目 品种 A B 年亩产（单位：千克） 1200 2000 采摘价格（单位：元/千克） 60 40 第 11 页 共 12 页 （1） 8

16、1011(10)100xyxy， y与x之间的函数关系式为 310yx y1，解得x3 x1，10xy 1，且x是正整数， 自变量x的取值范围是x =1 或x =2 或x =3 （2）80.22 100.21 11(10) 0.20.1421Wxyxyx 因为 W 随x的增大而减小，所以x取 1 时，可获得最大利润， 此时20.86W （万元） 获得最大运输利润的方案为：用 1 辆车装甲种苹果，用 7 辆车装乙种苹果，2 辆车装丙种 苹果 类型类型四四、用不等式（组）解决决策性问题用不等式（组）解决决策性问题 6为了美化家园，创建文明城市，园林部门决定利用现有的 3600 盆甲种花卉和 290

17、0 盆乙种花卉 搭配 A、B 两种园艺造型共 50 个，摆放在迎宾大道两侧，搭配每个造型所需花卉的情况如下表所示； 造型 甲 乙 A 90 盆 30 盆 B 40 盆 100 盆 综合上述信息，解答下列问题： (1)符合题意的搭配方案有哪儿种? (2)若搭配一个 A 种造型的成本为 1000 元，搭配一个 B 种选型的成本为 1200 元，试说明选用(1)中 哪种方案成本最低? 【思路点拨】 本题首先需要从文字和表格中获取信息，建立不等式(组)，然后求出其解集，根据实际问题的意义， 再求出正整数解，从而确定搭配方案 【答案与解析】 解：(1)设搭配 x 个 A 种造型，则需要搭配(50-x)个

18、 B 种造型，由题意，得 9040(50)3600, 30100(50)2900, xx xx 解得 30x32 所以 x 的正整数解为 30，31，32 所以符合题意的方案有 3 种，分别为： A 种造型 30 个，B 种造型 20 个； A 种造型 31 个，B 种造型 19 个； A 种造型 32 个，B 种造型 18 个 (2)由题意易知，三种方案的成本分别为： 第一种方案：301000+20120054000； 第二种办案：311000+19120053800； 第三种方案：321000+18120053600. 所以第三种方案成本最低 【总结升华】实际问题的“最值问题”一般是指“成

19、本最低” 、 “利润最高” 、 “支出最少”等问题 举一反三：举一反三： 【变式变式】某商场“家电下乡”指定型号冰箱，彩电的进价和售价如下表所示： 第 12 页 共 12 页 （1）按国家政策，购买“家电下乡”产品享受售价 13的政府补贴.若到该商场购买了冰箱，彩电各一 台，可以享受多少元的补贴？ (2)为满足需求，商场决定用不超过 85000 元采购冰箱，彩电共 40 台，且冰箱的数量不少于彩电数量 的 5 6 . 请你帮助该商场设计相应的进货方案； 用哪种方案商场获得利润最大？（利润=售价-进价） ，最大利润是多少？ 【答案】 （1） （2420+1980）13=572（元） （2）设冰箱采购 x 台，则彩电采购（40-x）台， 解不等式组得 23 1821 117 x ，因为x为整数，所以x=19、20、21， 方案一：冰箱购买 19 台，彩电购买 21 台， 方案二：冰箱购买 20 台，彩电购买 20 台， 方案一：冰箱购买 21 台，彩电购买 19 台. 设商场获得总利润为y元，则y=(2420-2320)x+(1980-1900)(40-x)=20x+3200 200，y随x的增大而增大， 当x=21 时，y最大=2021+3200=3620（元）.