1、第 1 页 共 19 页 中考总复习：中考总复习：圆综合复习圆综合复习知识讲解（知识讲解（提高提高） 【考纲要求】【考纲要求】 1.圆的基本性质和位置关系是中考考查的重点，但圆中复杂证明及两圆位置关系中证明定会有下降趋 势，不会有太复杂的大题出现； 2.今后的中考试题中将更侧重于具体问题中考查圆的定义及点与圆的位置关系，对应用、创新、开放探 究型题目，会根据当前的政治形势、新闻背景和实际生活去命题，进一步体现数学来源于生活，又应用 于生活 【知识网络】【知识网络】 【考点梳理】【考点梳理】 考考点一、圆的有关概念点一、圆的有关概念 1. 1. 圆的定义圆的定义 如图所示，有两种定义方式： 在一
2、个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 随之旋转所形成的图形 叫做圆固定的端点 O 叫做圆心，以 O 为圆心的圆记作O，线段 OA 叫做半径； 圆是到定点的距离等于定长的点的集合 要点诠释：要点诠释：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小 第 2 页 共 19 页 2.2.与圆有关的概念与圆有关的概念 弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦；如上图所示线段 AB，BC，AC 都是弦 直径：经过圆心的弦叫做直径，如 AC 是O 的直径，直径是圆中最长的弦 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，如曲线 BC、BAC 都是O 中的弧，分别记作BC， BAC 半圆：圆中任意一
3、条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆，如AC是半圆 劣弧：像BC这样小于半圆周的圆弧叫做劣弧 优弧：像BAC这样大于半圆周的圆弧叫做优弧 同心圆：圆心相同，半径不相等的圆叫做同心圆 弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形 等圆：能够重合的两个圆叫做等圆 等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角，如上图中AOB，BOC 是圆心角 圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角，如上图中BAC、ACB 都是圆周角 要点诠释：要点诠释： 圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半.圆外角度数等于它所夹弧的度数的差的一半. 圆内角 度数等于它所夹弧的
4、度数的和的一半. 考考点二、圆的有关性质点二、圆的有关性质 1.1.圆的对称性圆的对称性 圆是轴对称图形，经过圆心的直线都是它的对称轴，有无数条圆是中心对称图形，圆心是对称中 心，又是旋转对称图形，即旋转任意角度和自身重合 2.2.垂径定理垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，且平分弦所对的两条弧 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧如图所示 要点诠释：要点诠释：在图中(1)直径 CD，(2)CDAB，(3)AMMB，(4)CCAB，(5)ADBD若上述 5 个 条件有 2 个成立，则另外 3 个也成立因此，垂径定理也称“五二三定理” 即知二推三 注意：(1)(3)作条件时，
5、应限制 AB 不能为直径 3.3.弧、弦、圆心角之间的关系弧、弦、圆心角之间的关系 第 3 页 共 19 页 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等； 在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相 等 4.4.圆周角定理及推论圆周角定理及推论 圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一 半 圆周角定理的推论：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径 要点诠释：要点诠释：圆周角性质的前提是在同圆或等圆中 考考点三、与圆有关的位置关系点三、与圆有关的位置关系 1.1.点与圆的位置
6、关系点与圆的位置关系 如图所示d 表示点到圆心的距离，r 为圆的半径点和圆的位置关系如下表： 点与圆的位置关系 d 与 r 的大小关系 点在圆内 dr 点在圆上 dr 点在圆外 dr 要点诠释：要点诠释： (1)圆的确定： 过一点的圆有无数个，如图所示 过两点 A、B 的圆有无数个，如图所示 经过在同一直线上的三点不能作圆 不在同一直线上的三点确定一个圆如图所示 第 4 页 共 19 页 (2)三角形的外接圆 经过三角形三个顶点可以画一个圆，并且只能画一个经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接 圆三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心这个三角形叫做这个圆的内接三角形三角形的外心 就是三角形三条
7、边的垂直平分线交点它到三角形各顶点的距离相等，都等于三角形外接圆的半径如 图所示 2.2.直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系 设 r 为圆的半径，d 为圆心到直线的距离，直线与圆的位置关系如下表 圆的切线 切线的定义：和圆有唯一公共点的直线叫做圆的切线这个公共点叫切点 切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线 友情提示：直线l是O 的切线，必须符合两个条件：直线l经过O 上的一点 A；OAl 切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径 切线长定义：我们把圆的切线上某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长 切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等
8、，这一点和圆心的连线平分这两 条切线的夹角 三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形内切圆的圆心叫做三角形 的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形，三角形的内心就是三角形三个内角平分线的交点 要点诠释：要点诠释： 找三角形内心时，只需要画出两内角平分线的交点 三角形外心、内心有关知识比较 第 5 页 共 19 页 3.3.圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系 在同一平面内两圆作相对运动，可以得到下面 5 种位置关系，其中 R、r 为两圆半径(Rr)d 为圆 心距 要点诠释：要点诠释： 相切包括内切和外切，相离包括外离和内舍其中相切和相交是重点 同心圆是内含的特殊情况 圆与圆的位
9、置关系可以从两个圆的相对运动来理解 “r1r2”时，要特别注意，r1r2 考考点四、正多边形和圆点四、正多边形和圆 1.1.正多边形的有关概念正多边形的有关概念 正多边形的外接圆(或内切圆)的圆心叫正多边形的中心外接圆的半径叫正多边形的半径，内切圆 的半径叫正多边形的边心距， 正多边形各边所对的外接圆的圆心角都相等， 这个角叫正多边形的中心角， 正多边形的每一个中心角都等于 360 n 要点诠释：要点诠释： 通过中心角的度数将圆等分，进而画出内接正多边形，正六边形边长等于半径 第 6 页 共 19 页 2.2.正多边形的正多边形的性质性质 任何一个正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两圆是同
10、心圆正多边形都是轴对称图形，偶 数条边的正多边形也是中心对称图形，同边数的两个正多边形相似，其周长之比等于它们的边长(半径 或边心距)之比 3.3.正多边形的有关计算正多边形的有关计算 定理：正 n 边形的半径和边心距把正 n 边形分成 2n 个全等的直角三角形 正 n 边形的边长 a、边心距 r、周长 P 和面积 S 的计算归结为直角三角形的计算 360 n a n ， 180 2sin n aR n ， 180 cos n rR n ， 2 22 2 n n a Rr ， nn Pna， 11 22 nnnnn SarnPr 考考点五、圆中的计算问题点五、圆中的计算问题 1.1.弧长公式：
11、弧长公式： 180 n R l ，其中l为 n的圆心角所对弧的长，R 为圆的半径 2.2.扇形面积公式：扇形面积公式： 2 360 n R S 扇 ，其中 1 2 SlR 扇 圆心角所对的扇形的面积，另外 1 2 SlR 扇 3.3.圆锥的侧面积和全面积：圆锥的侧面积和全面积： 圆锥的侧面展开图是扇形，这个扇形的半径等于圆锥的母线长，弧长等于圆锥底面圆的周长 圆锥的全面积是它的侧面积与它的底面积的和 要点诠释：要点诠释： （1）在计算圆锥的侧面积时要注意各元素之间的对应关系，千万不要错把圆锥底面圆半径当成扇形 半径 （2）求阴影面积的几种常用方法(1)公式法；(2)割补法；(3)拼凑法；(4)
12、等积变形法；(5)构造方 程法 考考点点六、六、四点共圆四点共圆 1.1.四点共圆的定义四点共圆的定义 四点共圆的定义：如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四四 点共圆点共圆”. 2.2.证明四点共圆证明四点共圆一些基本方法：一些基本方法： 1.从被证共圆的四点中先选出三点作一圆，然后证另一点也在这个圆上，若能证明这一点，即可 肯定这四点共圆或利用圆的定义，证各点均与某一定点等距. 2.如果各点都在某两点所在直线同侧，且各点对这两点的张角相等，则这些点共圆 （若能证 明其两张角为直角，即可肯定这四个点共圆，且斜边上两点连线为该圆直径.） 3.把被证共圆的四点连成四
13、边形，若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补角的内对 角时，即可肯定这四点共圆 4.把被证共圆的四点两两连成相交的两条线段，若能证明它们各自被交点分成的两线段之积相 等，即可肯定这四点共圆；或把被证共圆的四点两两连结并延长相交的两线段，若能证明自交点 至一线段两个端点所成的两线段之积等于自交点至另一线段两端点所成的两线段之积，即可肯定 这四点也共圆 即利用相交弦、切割线、割线定理的逆定理证四点共圆. 第 7 页 共 19 页 考考点七、与圆有关的比例线段（补充知识）点七、与圆有关的比例线段（补充知识） 1.1.相交弦定理相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等. 2
14、 2.切割线定切割线定理理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比 例中项. 3.3.割线定理割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等. 圆幂定理（相交弦定理、切割线定理及其推论圆幂定理（相交弦定理、切割线定理及其推论( (割线定理割线定理) )统一归纳为圆幂定理）统一归纳为圆幂定理） 定理 图形 已知 结论 证法 相交弦定相交弦定 理理 O 中，AB、CD 为弦，交 于 P. PAPBPCPD. 连结 AC、BD， 证：APCDPB. 相交弦定相交弦定 理的推论理的推论 O中， AB为直径， CDAB 于 P. PC
15、2PAPB. 用相交弦定理. 切割线定切割线定 理理 O 中，PT 切O 于 T， 割线 PB 交O 于 A PT 2PAPB 连结 TA、TB， 证：PTBPAT 切割线定切割线定 理推论理推论 PB、 PD为O的两条割线， 交O 于 A、C PAPBPCPD 过 P 作 PT 切O 于 T， 用两次切割线定理 【典型例题】【典型例题】 类型一、圆的有关概念及性质类型一、圆的有关概念及性质 1 BC 为O的弦，BOC=130，ABC 为O的内接三角形，求A 的度数. 【思路点拨】依题意知O为ABC 的外心，由外心 O 的位置可知应分两种情况进行解答. 【答案与解析】 应分两种情况，当 O 在
16、ABC 内部时， 11 13065 ; 22 ABOC 第 8 页 共 19 页 当 O 在ABC 外部时，由BOC=130，得劣弧 BC 的度数为 130，则BAC的度数为 360130230,故A=115. 综合以上得A=65或A=115. 【总结升华】 转化思想就是化未知为已知，化繁为简，化难为易，从而将无法求解的问题转化成可以求解的问题， 使问题得以解决. 举一反三：举一反三： 【变式变式】如图，AOB100，点 C 在O 上，且点 C 不与 A、B 重合，则ACB 的度数为（ ） A50 B80或50 C130 D50 或130 【答案】 解：当点 C 在优弧上时，ACB 2 1 A
17、OB 2 1 10050， 当点 C 在劣弧上时，ACB 2 1 （360AOB） 2 1 （360100）130 故选 D 类型二、与圆有关的位置关系类型二、与圆有关的位置关系 2如图，已知正方形的边长是 4cm，求它的内切圆与外接圆组成的圆环的面积（答案保留 ） 【思路点拨】 设正方形外接圆， 内切圆的半径分别为 R， r， 根据圆环的面积等于大圆的面积减去小圆的面积即可 【答案与解析】 A B O 第 9 页 共 19 页 解：设正方形外接圆，内切圆的半径分别为 R，r， 如图，连接 OE、OA， 则 OA 2-OE2=AE2，即 R2-r2=（ ） 2=（ ）2=4， S 圆环=S 大
18、圆-S 小圆=R 2-r2， （2 分） =（R 2-r2） ， （3 分） R 2-r2=（ ）2=4， S=4（cm 2） 【总结升华】 此题比较简单，解答此题的关键是作出辅助线，找出两圆半径之间的关系，根据圆的面积公式列出 关系式即可 3 如图， 已知O 的半径为 6cm， 射线 PM 经过点 O，10cmOP， 射线 PN 与O 相切于点 Q A,B 两点同时从点 P 出发，点 A 以 5cm/s 的速度沿射线 PM 方向运动，点B以 4cm/s 的速度沿射线PN方向 运动设运动时间为ts （1）求 PQ 的长； （2）当t为何值时，直线AB与O 相切？ 【思路点拨】 (1)连 OQ,
19、则 OQPN,由勾股定理可以求得 PQ 的长；(2)由直线 AB 与O 相切,先找出结论成立的条件, 当 BQ 等于O 的半径时,直线 AB 与O 相切,再根据直线 AB 与O 相切时的不同位置,分类求出t的值. 【答案与解析】 解解 （1）连接 OQ PN 与O 相切于点 Q，OQPN, 即90OQP 10OP，6OQ ，)(8610 22 cmPQ 第 10 页 共 19 页 （2）过点O作OCAB，垂足为C 点A的运动速度为 5cm/s，点B的运动速度为 4cm/s，运动时间为ts， tPA5，4PBt10PO，8PQ ， PQ PB PO PA PP ，PABPOQ, PBA=PQO=
20、90 0 90BQOCBQOCB， 四边形OCBQ为矩形BQ=OC O 的半径为 6，BQ=OC=6 时，直线AB与O 相切 当AB运动到如图 1 所示的位置时 84BQPQPBt 由6BQ ，得8 46t解得0.5(s)t 当AB运动到如图 2 所示的位置时 48BQPBPQt 由6BQ ，得486t 解得3.5(s)t 所以，当t为 0.5s 或 3.5s 时,直线AB与O 相切 【总结升华】 本例是一道双动点几何动态题.是近年来中考数学的热点题型.这类试题信息量大，对学生获取信 息和处理信息的能力要求较高；解题时需要用运动和变化的眼光去观察和研究问题，挖掘运动、变化的 第 11 页 共
21、19 页 全过程，并特别关注运动与变化中的不变量、不变关系或特殊关系，动中取静，静中求动. 举一反三：举一反三： 【变式变式】已知：如图，AB 是O 的直径，C 是O 上一点，ODBC 于点 D，过点 C 作O 的切线，交 OD 的延长线于点 E，连接 BE （1）求证：BE 与O 相切； （2）连接 AD 并延长交 BE 于点 F，若 OB=9， 2 sin 3 ABC，求 BF 的长 【答案】 （1）证明：连结OC. EC与O相切，C为切点. 90 . . . . ECO OBOC OCBOBC ODDC DBDC ， 直线OE是线段BC的垂直平分线. . . . 90 . EBEC EC
22、BEBC ECOEBO EBO AB是O的直径. BE与O相切. （2）解：过点D作DMAB于点M，则DMFB. 在Rt ODB中， 2 909 sin 3 sin6. ODBOBABC ODOBABC ， 由勾股定理得 22 3 5.BDOBOD 在Rt DMB中，同理得 22 sin2 5. 5. DMBDABC BMBDDM O是AB的中点， 第 12 页 共 19 页 18. 13. AB AMABBM DMFB， AMDABF . 36 5 13 MDAM BFAB MD AB BF AM 类型三、与圆有关的计算类型三、与圆有关的计算 4如图，有一个圆 O 和两个正六边形 T1，T2
23、 T1的 6 个顶点都在圆周上，T2的 6 条边都和圆 O 相切（我们称 T1，T2 分别为圆 O 的内接正六边形和外切正六边形） （1）设 T1，T2 的边长分别为 a，b，圆 O 的半径为 r，求 r：a 及 r：b 的值； （2）求正六边形 T1，T2的面积比 S1：S2的值 【思路点拨】 （1）根据圆内接正六边形的半径等于它的边长，则 r：a=1：1；在由圆的半径和正六边形的半边以 及正六边形的半径组成的直角三角形中，根据锐角三角函数即可求得其比值； （2）根据相似多边形的面积比是相似比的平方由（1）可以求得其相似比，再进一步求得其面积 比 【答案与解析】 解： （1）连接圆心 O 和
24、 T1的 6 个顶点可得 6 个全等的正三角形 所以 r：a=1：1； 连接圆心 O 和 T2相邻的两个顶点，得以圆 O 半径为高的正三角形， 所以 r：b=AO：BO=sin60=：2； （2）T1：T2的边长比是：2，所以 S1：S2=（a：b） 2=3：4 【总结升华】 计算正多边形中的有关量的时候，可以构造到由正多边形的半径、边心距、半边组成的直角三角形 中，根据锐角三角函数进行计算注意：相似多边形的面积比即是其相似比的平方 举一反三：举一反三： 第 13 页 共 19 页 【变式变式】有一个亭子，它的地基是半径为 8m 的正六边形，求地基的周长和面积（结果保留根号） 【答案】 解：连
25、接 OB、OC； 六边形 ABCDEF 是正六边形， BOC=60， OBC 是等边三角形， BC=OB=8m， 正六边形 ABCDEF 的周长=68=48m 过 O 作 OGBC 于 G， OBC 是等边三角形，OB=8m， OBC=60， OG=OBsinOBC=8=4m， SOBC= BCOG= 84=16， S六边形 ABCDEF=6SOBC=616=96m 2 类型四、与圆有关的综合应类型四、与圆有关的综合应用用 5 （2014孝感模拟）如图，AB 是O 的直径，C 为O 上一点，BAC 的平分线交O 于点 D，过 点 D 作 EFBC，交 AB、AC 的延长线于点 E、F 第 14
26、 页 共 19 页 （1）求证：EF 为O 的切线； （2）若 sinABC= ，CF=1，求O 的半径及 EF 的长 【思路点拨】 （1）连接 OD，只要证明 ODEF 即可 （2）连接 BD，CD，根据相似三角形的判定可得到 CDFABDADF，根据相似比及勾股定理 即可求得半径及 EF 的值 【答案与解析】 （1）证明：连接 OD； AB 是直径， ACB=90； EFBC， AFE=ACB=90， OA=OD， OAD=ODA； 又AD 平分BAC， OAD=DAC， ODA=DAC， ODAF， ODE=AFD=90， 即 ODEF； 又EF 过点 D， EF 是O 的切线 （2）解
27、：连接 BD，CD； AB 是直径， ADB=90， ADB=AFD； AD 平分BAC， OAD=DAC， BD=CD； 设 BD=CD=a； 又EF 是O 的切线， CDF=DAC， CDF=OAD=DAC， CDFABDADF， 第 15 页 共 19 页 =，=； sinABC= ， 设 AC=3x，AB=4x， =，则 a2=4x， 在 Rt CDF 中，由勾股定理得 DF2=CD2CF2=4x1； 又=， 4x1=1（1+3x） ， x=2， AB=4x=8，AC=3x=6； EFBC， ABCAEF， =，= ，AE=， 在 Rt AEF 中，EF= 综上所述，O 的半径及 EF
28、 的长分别是 4 和 【总结升华】本题考查切线的判定和性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质等知识点的综合运用 举一反三：举一反三： 【变式变式】 （2015宁波模拟）已知：如图，ABC 中，BAC=90，点 D 在 BC 边上，且 BD=BA，过点 B 画 AD 的垂线交 AC 于点 O，以 O 为圆心，AO 为半径画圆 （1）求证：BC 是O 的切线； （2）若O 的半径为 8，tanC= ，求线段 AB 的长，sinADB 的值 【答案】 解： （1）连接 OD， 第 16 页 共 19 页 BA=BD，BOAD， ABO=DBO， 在ABO 和DBO 中 ， ABODBO（SAS）
29、， OD=OAODB=OAB=90， BDOD， BC 是O 的切线； （2）在 RTODC 中，CD= =6， OC=10， AC=18 在 RTABC 中，AB=ACtanC=18 =24， ADB=DAB=AOB， sinADB=sinAOB=， 6 （1）已知：如图 1，ABC 是O 的内接正三角形，点 P 为弧 BC 上一动点， 求证：PA=PB+PC； （2）如图 2，四边形 ABCD 是O 的内接正方形，点 P 为弧 BC 上一动点， 求证： ； （3）如图 3，六边形 ABCDEF 是O 的内接正六边形，点 P 为弧 BC 上一动点，请探究 PA、PB、PC 三者之间有何数量关
30、系，并给予证明 第 17 页 共 19 页 【思路点拨】 （1）延长 BP 至 E，使 PE=PC，连接 CE，证明PCE 是等边三角形利用 CE=PC，E=60， EBC=PAC，得到BECAPC，所以 PA=BE=PB+PC； （2）过点 B 作 BEPB 交 PA 于 E，证明ABECBP，所以 PC=AE，可得 PA=PC+PB （3）在 AP 上截取 AQ=PC，连接 BQ 可证ABQCBP，所以 BQ=BP又因为APB=30 所以 PQ=PB，PA=PQ+AQ=PB+PC 【答案与解析】 证明：（1）延长 BP 至 E，使 PE=PC， 连接 CEBAC=CPE=60，PE=PC，
31、 PCE 是等边三角形， CE=PC，E=60； 又BCE=60+BCP，ACP=60+BCP， BCE=ACP， ABC、ECP 为等边三角形， CE=PC，AC=BC， BECAPC（SAS）， PA=BE=PB+PC （2）过点 B 作 BEPB 交 PA 于 E 1+2=2+3=90 1=3， 又APB=45， BP=BE，； 又AB=BC， 第 18 页 共 19 页 ABECBP， PC=AE （3）答：； 证明：过点 B，作 BMAP，在 AP 上截取 AQ=PC， 连接 BQ，BAP=BCP，AB=BC， ABQCBP， BQ=BP MP=QM， 又APB=30， cos30=
32、， PM=PB， 【总结升华】 本题考查三角形全等的性质和判定方法以及正多边形和圆的有关知识要熟悉这些基本性质才能灵 活运用解决综合性的习题 举一反三：举一反三： 【变式变式】 （1）如图，M、N 分别是O 的内接正ABC 的边 AB、BC 上的点且 BM=CN，连接 OM、ON， 求MON 的度数； （2）图、中，M、N 分别是O 的内接正方形 ABCD、正五边 ABCDE、 正 n 边形 ABCDEFG的边 AB、BC 上的点，且 BM=CN，连接 OM、ON，则图中MON 的度数是 ， 图中MON 的度数是 ；由此可猜测在 n 边形图中MON 的度数是 ； （3）若 3n8，各自有一个正多边形，则从中任取 2 个图形，恰好都是中心对称图形的概率 是 . 【答案】 解：（1）连接 OB、OC； ABC 是O 的内接正三角形， OB=OCBOC=120，OBC=OCB=OBA=30； 又BM=CN， OBMOCN， 第 19 页 共 19 页 MOB=NOC， MON=BOC=120； （2）90；72； 360 n （3） 1 5 .
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