北京四中数学中考冲刺：创新、开放与探究型问题--知识讲解（基础）

1、第 1 页 共 8 页 中考中考冲刺冲刺：创新、开放与探究型问题创新、开放与探究型问题知识讲解（基础）知识讲解（基础） 【中考展望中考展望】 所谓开放探索型问题指的是有些数学问题的条件、结论或解决方法不确定或不唯一，需要根据题目 的特点进行分析、探索，从而确定出符合要求的答案(一个、多个或所有答案)或探索出解决问题的多种 方法 由于开放探究型问题对考查学生思维能力和创造能力有积极的作用，是近几年中考命题的一个热 点通常这类题目有以下几种类型：条件开放与探索，结论开放和探索，条件与结论都开放与探索及方 案设计、命题组合型、问题开放型等 【方法点拨方法点拨】 由于开放探究型试题的知识覆盖面较大，综

2、合性较强，灵活选择方法的要求较高，再加上题意新颖， 构思精巧，具有相当的深度和难度，所以要求同学们在复习时，首先对于基础知识一定要复习全面，并 力求扎实牢靠；其次是要加强对解答这类试题的练习，注意各知识点之间的因果联系，选择合适的解题 途径完成最后的解答由于题型新颖、综合性强、结构独特等，此类问题的一般解题思路并无固定模式 或套路，但是可以从以下几个角度考虑： 1利用特殊值（特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等）进行归纳、概括，从特殊到一般， 从而得出规律 2反演推理法（反证法） ，即假设结论成立,根据假设进行推理，看是推导出矛盾还是能与已知条 件一致 3分类讨论法当命题的题设和结论不唯一确

3、定，难以统一解答时，则需要按可能出现的情况做 到既不重复也不遗漏，分门别类加以讨论求解，将不同结论综合归纳得出正确结果 4类比猜想法即由一个问题的结论或解决方法类比猜想出另一个类似问题的结论或解决方法， 并加以严密的论证 以上所述并不能全面概括此类命题的解题策略，因而具体操作时，应更注重数学思想方法的综合运 用 【典型例题】【典型例题】 类型一、类型一、探究规律探究规律 1观察下列各式： 22 22 11 ， 33 33 22 ， 44 44 33 ， 55 55 44 ，想一想，什 么样的两数之积等于这两数之和？设 n 表示正整数，用关于 n 的等式表示这个规律 【思路点拨】 所给各式中的两

4、个数中，一个是分数，一个是整数，且分数的分子比分母大 1，分子与整数相等， 因此得出规律. 第 2 页 共 8 页 【答案与解析】 所给各式中的两个数中，一个是分数，一个是整数，且分数的分子比分母大 1，分子与整数相等， 因此得到规律： 11 (1)(1) nn nn nn (n 为正整数) 【总结升华】 这个规律是否正确呢？可将等式左右两边分别化简，即能得出结论对于“数字规律”的观察，要 善于发现其中的变量与不变量，以及变量与项数之间的关系，将规律用代数式表示出来 举一反三：举一反三： 【变式变式】一根绳子，弯曲成如图(a)所示的形状，当用剪刀像图(b)那样沿虚线 a 把绳子剪断时，绳子被

5、剪为 5 段；当用剪刀像图(c)那样沿虚线 b(ba)把绳子再剪一次时，绳子被剪为 9 段，当用剪刀在虚线 a，b 之间把绳子再剪(n-2)次(剪刀的方向与 a 平行)，这样一共剪 n 次时，绳子的段数是_ (用 含 n 的代数式表示) 【答案】 首先，在剪 0 次时，有 1 段绳子；其次，每剪一次，绳子上多出 4 个断口，即绳子的段数增加 4 段， 剪 n 次之后绳子的段数多出 4n 段故剪 n 次时，绳子的段数是 4n+1(n 为正整数) 类型二、类型二、条件开放型条件开放型 2如图所示，四边形 ABCD 是矩形，O 是它的中心，E，F 是对角线 AC 上的点 (1)若_，则DECBFA(

6、请你填上能使结论成立的一个条件)； (2)证明你的结论 【思路点拨】 （1）已知了一边 AD=BC，和一角（ADBC，DAC=BCA）相等根据全等三角形的判定 AAS、SAS、ASA 等，只要符合这些条件的都可以 （2）按照（1）中的条件根据全等三角形的判定进行证明即可 【答案与解析】 解：(1)AECF；(OEOF；DEAC，BFAC；DEBF 等等) (2)以 AECF 为例 四边形 ABCD 是矩形， ABCD，ABCD，DCEBAF 第 3 页 共 8 页 又AECF ACAEACCF AFCE，DEGBAF 【总结升华】 这是一道探索条件、补充条件的开放型试题，解决这类问题的一般方法

7、是：从结论出发，由果寻 因，逆向推理，探寻出使结论成立的条件；有时也采取把可能产生结论的条件一一列出，逐个分析考察 举一反三：举一反三： 【变变式式】如图，飞机沿水平方向（A，B 两点所在直线）飞行，前方有一座高山，为了避免飞机飞行过低， 就必须测量山顶 M 到飞行路线 AB 的距离 MN飞机能够测量的数据有俯角和飞行距离（因安全因素，飞 机不能飞到山顶的正上方 N 处才测飞行距离） ，请设计一个求距离 MN 的方案，要求： （1）指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出） ； （2）用测出的数据写出求距离 MN 的步骤 【答案】 解：此题为开放题，答案不唯一，只要方案设计合理，可参照给分

8、 如图，测出飞机在 A 处对山顶的俯角为，测出飞机在 B 处对山顶的俯角为，测出 AB 的距离为 d， 连接 AM，BM 第一步，在AMNRt中， AN MN tan tan MN AN ； 第二步，在BMNRt中， BN MN tan tan MN BN ； 其中BNdAN，解得 tantan tantan d MN 类型三、类型三、结论开放型结论开放型 3已知：如图(a)，RtABCRtADE，ABCADE90，试以图中标有字母的点为端点，连 接两条线段，如果你所连接的两条线段满足相等、垂直或平行关系中的一种，那么请你把它写出来并证 明 第 4 页 共 8 页 【思路点拨】 此题需分三种情

9、况讨论：第一种相等 CD=BE，第二种垂直 AFBD，第三种是平行 DBCE首先利用 全等三角形的性质，再利用三角形全等的判定定理分别进行证明即可 【答案与解析】 解：可以写出的结论有：CDBE，DBCE，AFBD，AFCE 等 (1)如图(b)，连接 CD，BE，得 CDBE 证明：ABCADE， ABAD，ACAE 又CABEAD，CADE1AB ADCABE CDBE (2)如图(c)，连接 DB，CE，得 DBCE 证明：ABCADE，ADAB ADBABD ABCADE， BDFFBD 由 ACAE 可得ACEAEC ACBAED，FCEFEC BDF+FBDFCE+FEC， FCE

10、DBF DBCE 第 5 页 共 8 页 (3)如图(d)，连接 DB，AF，得 AFBD ABCADE， ADAB，ABCADE90 又AFAF，ADFABF DAFBAF AFBD (4)如图(e)，连接 CE、AF，得 AFCE 同(3)得DAFBAF 可得CAFEAF AFBD 【总结升华】本题考查了全等三角形的判定及性质；要对全等三角形的性质及三角形全等的判断定理进 行熟练掌握、反复利用，达到举一反三 举一反三：举一反三： 【变式变式】数学课上，李老师出示了这样一道题目：如图1，正方形ABCD的边长为12，P 为边BC延长 线上的一点，E 为 DP 的中点，DP 的垂直平分线交边 D

11、C 于 M，交边 AB 的延长线于 N.当 CP=6 时，EM 与 EN 的比值是多少？ 经过思考， 小明展示了一种正确的解题思路： 过 E 作直线平行于 BC 交 DC，AB分别于 F， G， 如图2， 则可得： DFDE FCEP ，因为DEEP，所以DFFC.可求出EF和EG的值，进而可求得 EM 与 EN 的 比值. (1) 请按照小明的思路写出求解过程. (2) 小东又对此题作了进一步探究，得出了DPMN的结论.你认为小东的这个结论正确吗？如 果正确，请给予证明；如果不正确，请说明理由. 【答案】 （1）解：过E作直线平行于BC交DC，AB分别于点F，G， 则 DFDE FCEP ，

12、 EMEF ENEG ，12GFBC. DEEP，DFFC. 第 6 页 共 8 页 11 63 22 EFCP，12315EGGFEF. 31 155 EMEF ENEG . （2）证明：作MHBC交AB于点H， 则MHCBCD，90MHN. 1809090DCP， DCPMHN. 90MNHCMNDMECDP，90DPCCDP， DPCMNH.DPCMNH . DPMN. 类型四、动态探究型类型四、动态探究型 4如图所示，AB，AC 分别是O 的直径和弦，D 为劣弧AC上一点，DEAB 于点 H，交O 于点 E， 交 AC 于点 F，P 为ED 的延长线一点 (1)当PCF 满足什么条件时

13、，PC 与O 相切？为什么？ (2)点 D 在劣弧AC的什么位置时，才能使 AD 2DEDF？为什么？ 【思路点拨】 (1)连接 OC要使 PC 与O 相切，则只需PCO90即可由OCAOAC，PFCAFH，即可寻 找出PCF 所要满足的条件； (2)要使 AD 2DEDF，即AD DF DEAD ，也就是要使DAFDEA，这样问题就较容易解决了 【答案与解析】 第 7 页 共 8 页 解： (1)当 PCPF(或PCFPFC，或PCF 是等边三角形)时，PC 与O 相切 证明：连接 OCPCPF，PCFPFC PCOPCF+OCAPFC+OACAFH+OAC90 PC 与O 相切 (2)当点

14、 D 是AC的中点时，AD 2DEDF 连接 AE，ADCD，DAFDEA 又ADFEDA DAFDEA ADDF DEAD ，AD 2DEDF 【总结升华】 本题是探索条件半开放题，在解决这类问题时，我们常从要获得的结论出发来探求该结论成立的 条件如第(1)小题中，若要 PC 与O 相切，则我们需要怎样的条件；第(2)小题也是如此 类型类型五五、创新型、创新型 5认真观察图 3 的 4 个图中阴影部分构成的图案，回答下列问题： （1）请写出这四个图案都具有的两个共同特征 特征 1：_； 特征 2：_ （2）请在图 4 中设计出你心中最美丽的图案，使它也具备你所写出的上述特征 【思路点拨】 本题主要考查轴对称图形，中心对称图形的知识点，以及学生的观察能力及空间想象能力 【答案与解析】 （1）特征 1：都是轴对称图形； 特征 2：都是中心对称图形； 特征 3：这些图形的面积都等于 4 个单位面积等 图 4 图 3 第 8 页 共 8 页 （2）满足条件的图形有很多，只要画正确一个，就可以得满分 图 5 【总结升华】 本题为开放型试题，答案并不唯一，只要考生能够写出一种符合要求的情景即可，该题为考生提供 了一个广阔的发挥空间，但是学生必须通过前四个图形发现其中蕴涵的规律，依照此规律来画出自己想 象中的美妙图形