北京四中数学中考冲刺：代几综合问题--巩固练习（基础）

1、 第 1 页 共 13 页 中考冲刺：代几综合问题中考冲刺：代几综合问题巩固训练（基础）巩固训练（基础） 【巩固练习巩固练习】 一、一、 选择题选择题 1.如图，点 G、D、C 在直线 a 上，点 E、F、A、B 在直线 b 上，若abRtGEF ， 从如图所示的位置 出发，沿直线 b 向右匀速运动，直到 EG 与 BC 重合运动过程中GEF与矩形ABCD重合部分 的面积 （S）随时间（t）变化的图象大致是（ ） 2.如图，在半径为 1 的O 中，直径 AB 把O 分成上、下两个半圆，点 C 是上半圆上一个动点（C 与点 A、B 不重合） ，过点 C 作弦 CDAB，垂足为 E，OCD 的平分

2、线交O 于点 P，设 CE=x，AP=y，下列图象 中，最能刻画 y 与 x 的函数关系的图象是（ ） 二、二、填空题填空题 3. 将抛物线 y12x 2向右平移 2 个单位，得到抛物线 的图象如图所示，P 是抛物线 y2对称轴上的一个 动点，直线 xt 平行于 y 轴，分别与直线 yx、抛物线 y2交于点 A、B若ABP 是以点 A 或点 B 为 直角顶点的等腰直角三角形，求满足的条件的 t 的值，则 t 4.如图所示， 在平面直角坐标系中， 一次函数 y=kx+1 的图象与反比例函数 y= 9 x 的图象在第一象限相交 于点 A，过点 A 分别作 x 轴、y 轴的垂线，垂足为点 B、C如果

3、四边形 OBAC 是正方形，求一次函数的 关系式_. s t O A s t O B C s t O D s t O 第 2 页 共 13 页 三、解答题三、解答题 5.一个形如六边形的点阵.它的中心是一个点（算第一层） 、第二层每边有两个点，第三层每边有三个 点依次类推. （1）试写出第 n 层所对应的点数； （2）试写出 n 层六边形点阵的总点数； （3）如果一个六边形点阵共有 169 个点，那么它一共有几层？ 6.如图，RtABC 中，B=90，AC=10cm，BC=6cm，现有两个动点 P、Q 分别从点 A 和点 B 同时出发， 其中点 P 以 2cm/s 的速度，沿 AB 向终点 B

4、 移动；点 Q 以 1cm/s 的速度沿 BC 向终点 C 移动，其中一点 到终点，另一点也随之停止连接 PQ设动点运动时间为 x 秒 （1）用含 x 的代数式表示 BQ、PB 的长度； （2）当 x 为何值时，PBQ 为等腰三角形； （3）是否存在 x 的值，使得四边形 APQC 的面积等于 20cm 2？若存在，请求出此时 x 的值；若不存在， 请说明理由 7.阅读理解：对于任意正实数 a、b， 2 ()0,ab 20,2,aabbabab ab只有当时，等号成立。 第 3 页 共 13 页 结论：在 a+b2ab（a、b 均为正实数）中，若 ab 为定值 p，则 a+b2p ，只有当 a

5、=b 时， a+b 有最小值 2p 根据上述内容，回答下列问题： （1）若 m0，只有当 m=_时， 1 m 有最小值，最小值为_； （2）探究应用：已知 A（-3,0） 、B（0，-4） ，点 P 为双曲线12 x （）上的任一点，过点 P 作 PC轴于点 C，PD轴于点 D，求四边形 ABCD 面积的最小值，并说明此时四边形 ABCD 的 形状 8. 如图，在直角坐标系中，梯形 ABCD 的底边 AB 在 x 轴上，底边 CD 的端点 D 在 y 轴上.直线 CB 的表达 式为 416 33 yx ，点 A、D 的坐标分别为（4，0） ， （0，4）. 动点 P 从 A 点出发，在 AB

6、边上 匀速运动. 动点 Q 从点 B 出发，在折线 BCD 上匀速运动，速度均为每秒 1 个单位长度. 当其中一个 动点到达终点时，另一动点也停止运动. 设点 P 运动 t（秒）时，OPQ 的面积为 S（不能构成OPQ 的动点除外）. （1）求出点 C 的坐标； （2）求 S 随 t 变化的函数关系式； （3）当 t 为何值时，S 有最大值？并求出这个最大值 O x y A B C D P Q 第 4 页 共 13 页 9.如图所示，在平面直角坐标系 xOy 中，正方形 OABC 的边长为 2cm，点 A、C 分别在 y 轴和 x 轴的正半 轴上，抛物线 y=ax 2+bx+c 经过点 A、B

7、 和 D(4， 3 2 ) （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上找到点 M，使得 M 到 D、B 的距离之和最小，求出点 M 的坐标； （3）如果点 P 由点 A 出发沿线段 AB 以 2cm/s 的速度向点 B 运动，同时点 Q 由点 B 出发沿线段 BC 以 1cm/s 的速度向点 C 运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动设 S=PQ 2（cm2） 求出 S 与运动时间 t 之间的函数关系式，并写出 t 的取值范围； 当 S= 5 4 时，在抛物线上存在点 R，使得以 P、B、Q、R 为顶点的四边形是平行四边形, 求出点 R 的坐标 y B A Ox1 2 2 1

8、 -1 -1 C 10已知：抛物线 yx 22xm-2 交 y 轴于点 A（0，2m-7） 与直线 y 2x 交于点 B、C（B 在右、C 在左） （1）求抛物线的解析式； （2）设抛物线的顶点为 E，在抛物线的对称轴上是否存在一点 F，使得BFECFE，若存在， 求出点 F 的坐标，若不存在，说明理由； （3）射线 OC 上有两个动点 P、Q 同时从原点出发，分别以每秒5个单位长度、每秒 25个单位长 度的速度沿射线 OC 运动，以 PQ 为斜边在直线 BC 的上方作直角三角形 PMQ（直角边分别平行于坐 标轴） ，设运动时间为 t 秒，若PMQ 与抛物线 yx 22xm-2 有公共点，求

9、t 的取值范围 11. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线4 2 bxaxy经过 A（3,0） 、B（4,0）两点，且与 y 轴交 于点 C，点 D 在 x 轴的负半轴上，且 BDBC，有一动点 P 从点 A 出发，沿线段 AB 以每秒 1 个单位长度 的速度向点 B 移动，同时另一个动点 Q 从点 C 出发，沿线段 CA 以某一速度向点 A 移动. （1）求该抛物线的解析式； （2）若经过 t 秒的移动，线段 PQ 被 CD 垂直平分，求此时 t 的值； （3）该抛物线的对称轴上是否存在一点 M，使 MQMA 的值最小？若存在，求出点 M 的坐标；若不存 在，请说明理由. 第 5 页 共 13

10、 页 【答案与解析】【答案与解析】 一、选择题一、选择题 1 【答案】【答案】； 【解析】解：根据题意可得：F、A 重合之前没有重叠面积， F、A 重叠之后，设 EF 变重叠部分的长度为 x，则重叠部分面积为 s= 2 11 tantan 22 x xEFGxEFG， 是二次函数图象， EFG 完全进入且 F 与 B 重合之前，重叠部分的面积是三角形的面积，不变， F 与 B 重合之后，重叠部分的面积等于 SEFG- 2 1 tan 2 xEFG，符合二次函数图象，直至最后重 叠部分的面积为 0 综上所述，只有 B 选项图形符合 故选 B 2 【答案】【答案】 A 【解析】解：连接 OP， O

11、C=OP， OCP=OPC OCP=DCP，CDAB， OPC=DCP OPCD POAB OA=OP=1， AP=y=2（0x1） 故选 A 二、填空题二、填空题 3.【答案】1 或 3 或 5555 22 或； 【解析】解：抛物线 y1=2x 2向右平移 2 个单位， 抛物线 y2的函数解析式为 y=2（x-2） 2=2x2-8x+8， 抛物线 y2的对称轴为直线 x=2， 直线 x=t 与直线 y=x、抛物线 y2交于点 A、B， 点 A 的坐标为（t，t） ，点 B 的坐标为（t，2t 2-8t+8） ， AB=|2t 2-8t+8-t|=|2t2-9t+8|， AP=|t-2|， A

12、PB 是以点 A 或 B 为直角顶点的等腰三角形， |2t 2-9t+8|=|t-2|， 2t 2-9t+8=t-2 2t 2-9t+8=-（t-2） ， 整理得，t 2-5t+5=0， 第 6 页 共 13 页 解得 12 5555 , 22 tt 整理得，t 2-4t+3=0， 解得 t1=1，t2=3， 综上所述，满足条件的 t 值为：1 或 3 或 5555 22 或 故答案为：1 或 3 或 5555 22 或 4.【答案】y= 2 3 x+1 【解析】S正方形 OBAC=OB 2=9， OB=AB=3， 点 A 的坐标为（3，3） 点 A 在一次函数 y=kx+1 的图象上， 3k

13、+1=3， 2 3 k ， 一次函数的解析式为：y= 2 3 x+1 三、解答题三、解答题 5.【答案与解析】 解： （1）第 n 层上的点数为 6（n1） （n2） （2）n 层六边形点阵的总点数为1612186(n1)1 2 ) 1)(1(66nn 3n(n1) 1 （3）令 3n(n1)1169，得 n8.所以，它一共是有 8 层 6.【答案与解析】 解： （1）B=90，AC=10，BC=6， AB=8 BQ=x，PB=8-2x； （2）由题意，得 8-2x=x， x= 8 3 . 当 x= 8 3 时，PBQ 为等腰三角形； （3）假设存在 x 的值，使得四边形 APQC 的面积等于

14、 20cm 2， 则1 1 22 （）， 第 7 页 共 13 页 解得 x1=x2=2 假设成立，所以当 x=2 时，四边形 APQC 面积的面积等于 20cm 2 7.【答案与解析】 解： （）,； （）探索应用：设 P（，12 x ） ，则 C（，0） ，D（0，12 x ） ， CA，DB=12 x +4, S四边形 ABCD= 1 2 CADB= 1 2 (x+3) (12 x +4), 化简得：S=2(x+ 9 x )+12， x0, 9 x 0,x+ 9 x 2 9 x x =6，只有当 x= 9 x 时，即 x=3，等号成立. S26+12=24, S四边形 ABCD有最小值是

15、 24. 此时，P(3，4),C(3，0),D(0，4),AB=BC=CD=DA=5， 四边形是菱形. 8.【答案与解析】 解： （1）把 y=4 代入 y=-14 16 33 x，得 x=1 C 点的坐标为（1，4） （2）作 CMAB 于 M，则 CM=4，BM=3 BC= 2222 345CMBM sinABC= 4 5 CM BC 0t4 时，作 QNOB 于 N， 则 QN=BQsinABC= 4 5 t S= 2 11428 (4) 22555 OP QNtttt （0t4） 当 4t5 时， （如图 1） ， 连接 QO，QP，作 QNOB 于 N 同理可得 QN= 4 5 t，

16、 S= 2 11428 (4) 22555 OP QNtttt （4t5） 第 8 页 共 13 页 当 5t6 时， （如图 2） ， 连接 QO，QP S= 11 (4) 428 22 OP ODtt （5t6） （3）在 0t4 时， 当 8 5 2 2 () 5 t 2 时， S最大= 8 5 在 4t5 时，对于抛物线 S 2 8 28 5 ,2 2 55 2 5 ttt 当时， 2 288 =22. 555 S 最小值 抛物线 2 28 = 55 Stt的顶点为（2， 8 5 ） 在 4t5 时，S 随 t 的增大而增大 当 t=5 时，S最大= 2 28 =55=2. 55 S

17、最大值 在 5t6 时， 在 S=2t-8 中， k=20， S 随 t 的增大而增大 当 t=6 时，S最大=26-8=4 综合以上三种情况，当 t=6 时，S 取得最大值，最大值是 4 第 9 页 共 13 页 9.【答案与解析】 解： （1）据题意可知：A（0，2） ，B（2，2） ，C（2，0） 抛物线 y=ax 2+bx+c 经过点 A、B 和 D（4， ） ， ， ， y= x 2+ x+2； （2）点 B 关于抛物线的对称轴 x=1 的对称点为 A连接 AD，与对称轴的交点即为 M A（0，2） 、D（4， ） ， 直线 AD 的解析式为：y= x+2， 当 x=1 时，y= ，

18、 则 M（1， ） ； （3）由图象知：PB=22t，BQ=t，AP=2t， 在 RtPBQ 中，B=90， S=PQ 2=PB2+BQ2， =（22t） 2+t2， 即 S=5t 28t+4（0t1） 当 S= 5 4 时， 5 4 =5t 28t+4 即 20t 232t+11=0， 第 10 页 共 13 页 解得：t= ，t=1（舍） P（1，2） ，Q（2， ） PB=1 若 R 点存在，分情况讨论： （i）假设 R 在 BQ 的右边，如图所示，这时 QR=PB， RQPB， 则 R 的横坐标为 3，R 的纵坐标为 ，即 R（3， ） ，代入 y= x 2+ x+2，左右两边相等，

19、故这时存在 R（3， ）满足题意； （ii）假设 R 在 PB 的左边时，这时 PR=QB，PRQB， 则 R（1， ）代入 y= x 2+ x+2，左右两边不相等， 则 R 不在抛物线上 综上所述，存点一点 R，以点 P、B、Q、R 为顶点的四边形只能是口PQRB 则 R（3， ） 此时，点 R（3， ）在抛物线=- x 2+ x+2 上 10.【答案与解析】 解： （1）点 A（0，2m7）代入 y=x 2+2x+m2， m2=2m7， 解得：m=5 故抛物线的解析式为 y=x 2+2x+3； （2）如图 1，由， 得， B（，2） ，C（，2） B（，2） ，关于抛物线对称轴 x=1 的

20、对称点为 B（2，2） ， 将 B，C 代入 y=kx+b，得： ， 第 11 页 共 13 页 解得：， 可得直线 BC 的解析式为：， 由，可得， 故当 F（1，6）使得BFE=CFE； （3）如图 2，当 t 秒时，P 点横坐标为t，则纵坐标为2t，则 M（2t，2t）在抛物线上时， 可得（2t） 24t+3=2t，整理得出：4t2+2t3=0， 解得：， 当 P（t，2t）在抛物线上时，可得t 22t+3=2t，整理得出：t2=3， 解得：，舍去负值， 所以若PMQ 与抛物线 y=x 2+2x+m2 有公共点 t 的取值范围是 11 【答案与解析】 解： （1）抛物线 y=ax 2+b

21、x+4 经过 A（3，0） ，B（4，0）两点， 第 12 页 共 13 页 ，解得， 所求抛物线的解析式为：y= x 2+ x+4； （2）如图 1，依题意知 AP=t，连接 DQ， A（3，0） ，B（4，0） ，C（0，4） ， AC=5，BC=4，AB=7 BD=BC， AD=ABBD=74， CD 垂直平分 PQ， QD=DP，CDQ=CDP BD=BC， DCB=CDB CDQ=DCB DQBC ADQABC =， =， =， 解得 DP=4， AP=AD+DP= 线段 PQ 被 CD 垂直平分时，t 的值为； （3）如图 2，设抛物线 y= x 2+ x+4 的对称轴 x= 与 x 轴交于点 E点 A、B 关于对称轴 x= 对称， 连接 BQ 交该对称轴于点 M 则 MQ+MA=MQ+MB，即 MQ+MA=BQ， 第 13 页 共 13 页 当 BQAC 时，BQ 最小，此时，EBM=ACO， tanEBM=tanACO= ， = ， = ，解 ME= M（ ，） ，即在抛物线 y= x 2+ x+4 的对称轴上存在一点 M（ ， ） ，使得 MQ+MA 的值最小