1、1 第 3 级上尖子班教师版 图形的图形的等积变换等积变换 第七讲 第第二二级级上上剪拼图形剪拼图形 本讲学习简单的平面图形的剪拼问题，通过动手操作初步了解各种不 同平面图形之间的联系 第第三三级级上上图形的等积变换图形的等积变换 本讲通过对各种不同图形进行等分，培养学生的动手操作能力 第第四四级级上上图形的分割图形的分割 本讲学习立体图形的展开问题，培养学生的空间想象能力 第三级上 图形的等积变换 第二级上剪拼图形 （一年级寒假第三讲） 第四级上图形的分割 （二年级寒假第四讲） 2 第第七七讲讲 第 3 级上尖子班教师版 小巧手小巧手巧拼正方形巧拼正方形 【例题分析例题分析】课前先让学生动手
2、摆一摆课前先让学生动手摆一摆，然后再进行交流然后再进行交流在这在这 5 块积木中块积木中，如果用如果用 2 号号、3 号号、4 号号、5 号这四块号这四块，就可以拼成一个正方形就可以拼成一个正方形但是要加上但是要加上 1 号又应该怎么拼呢号又应该怎么拼呢？我们可以我们可以 把把 1 号放在中间号放在中间，然后把然后把 2、3、4、5 号号包围在四周包围在四周，具体拼法如下具体拼法如下： 小朋友们小朋友们，你想不想成为一个奇妙的魔术师你想不想成为一个奇妙的魔术师呢呢？今天这节课就让我们进入美妙的图今天这节课就让我们进入美妙的图 形王国形王国，那里有很多有趣的图形那里有很多有趣的图形，正等着大家用
3、魔幻的双手来让它们变化正等着大家用魔幻的双手来让它们变化，现在就让我们一起去动手现在就让我们一起去动手 试一试吧试一试吧！ 晚饭后晚饭后， 小牛哥哥和小牛弟弟玩拼图游戏小牛哥哥和小牛弟弟玩拼图游戏 哥哥拿出哥哥拿出5块积木块积木( (如如 下图下图) )，让弟弟把这让弟弟把这 5 块木板拼成一个正方形块木板拼成一个正方形聪明的弟弟很快就拼聪明的弟弟很快就拼 好了好了小朋友小朋友，你知道他是怎样拼的吗你知道他是怎样拼的吗？动手试一试动手试一试 3 第第七七讲讲 第 3 级上尖子班教师版 用下面左边的用下面左边的 3 个图形个图形，拼成右边的大正方形拼成右边的大正方形 【例题分析例题分析】这道题老
4、师可以先准备好教具让学生摆一摆这道题老师可以先准备好教具让学生摆一摆，然后再让学生把答案画出来然后再让学生把答案画出来答案有以下答案有以下 几种几种，其实我们可以发现这几种方法基本相同其实我们可以发现这几种方法基本相同，只是方位发生了变化只是方位发生了变化 动手摆一摆动手摆一摆。 例例 1 4 第第七七讲讲 第 3 级上尖子班教师版 用下面的四块图形用下面的四块图形能拼成右边的正方形吗能拼成右边的正方形吗？怎样拼怎样拼？ 【答案答案】答案不唯一答案不唯一，以下有三种基本的方法以下有三种基本的方法，其他方法可改变不同的方位来排列其他方法可改变不同的方位来排列 【例题分析例题分析】这道题可以先让学
5、生摆一摆这道题可以先让学生摆一摆，通过摆就可以找到答案通过摆就可以找到答案 【拓展选讲拓展选讲】下面有下面有 5 组图形组图形， 每个各有每个各有 5 个小正方形个小正方形， 请把这请把这 5 个图形拼成一个大正方个图形拼成一个大正方形形， 可以怎样拼可以怎样拼？ 5 第第七七讲讲 第 3 级上尖子班教师版 【例题分析例题分析】把一个正方形的对角重合对折把一个正方形的对角重合对折两次两次，如下图如下图，就可以把一个正方形分成形状就可以把一个正方形分成形状、大小相大小相 等的四个直角三角形等的四个直角三角形剪出这四个三角形剪出这四个三角形，然后动手拼一拼然后动手拼一拼，可拼成一个等腰三角形可拼成
6、一个等腰三角形， 如下图如下图 请把下图中的正方形分成形状相同请把下图中的正方形分成形状相同、大小相等大小相等的四块的四块，然后再拼成一个等腰三角形然后再拼成一个等腰三角形 例例 2 6 第第七七讲讲 第 3 级上尖子班教师版 【例题分析例题分析】要想把两块一样大小的正方形要想把两块一样大小的正方形，剪拼成一个最大的正方形剪拼成一个最大的正方形，我们可以把这两个小正方形我们可以把这两个小正方形 对折对折， 然后剪出四个大小一样的三角形然后剪出四个大小一样的三角形， 这四个三角形就可以拼成一个最大的正方形这四个三角形就可以拼成一个最大的正方形 如如 下图下图： 有一张纸有一张纸，被分成大小相等的
7、被分成大小相等的 16 个方格个方格请你沿着方格纸的边把这张纸剪成两部分请你沿着方格纸的边把这张纸剪成两部分，使得这使得这 两部分正好可以拼成一个正方形两部分正好可以拼成一个正方形该怎样剪拼呢该怎样剪拼呢？（中间空白是空的中间空白是空的） 例例 3 妈妈妈买来了两张同样大小的方桌布妈买来了两张同样大小的方桌布，想把这两张方想把这两张方桌布裁剪一下桌布裁剪一下，然后拼成一张大方桌布然后拼成一张大方桌布，该该 样样裁剪裁剪？怎样拼呢怎样拼呢？ 7 第第七七讲讲 第 3 级上尖子班教师版 【例题分析例题分析】数一数一共数一数一共 16 个方格个方格，要想剪成两部分拼成一个正方形要想剪成两部分拼成一个
8、正方形，这个正方形每条边就应该是这个正方形每条边就应该是 4 个方格个方格如下图如下图，第一层有第一层有 7 个方格个方格，我们可以剪掉我们可以剪掉 3 个个；补到第二层上正好是四个补到第二层上正好是四个； 再把第二层上右边多的一个补到第三层也正好是再把第二层上右边多的一个补到第三层也正好是 4 个个， 把第三层上剪出把第三层上剪出 4 个放到第四层个放到第四层， 这样就拼出了一个正方形这样就拼出了一个正方形 沿粗线剪开沿粗线剪开： 变成下面两部分变成下面两部分： 拼成正方形拼成正方形： 8 第第七七讲讲 第 3 级上尖子班教师版 下图是由下图是由 18 个小正方形组成的图形个小正方形组成的图
9、形，请你把它分成请你把它分成 6 个个形状大小形状大小完全相同的图形完全相同的图形. . 例例 4 9 第第七七讲讲 第 3 级上尖子班教师版 【例题分析例题分析】数一数数一数，一共有一共有 18 个小方格个小方格，要分成大小要分成大小、形状相同的形状相同的 6 块块，每块里面应该包含每块里面应该包含 3 块小块小 方格方格然后再来考虑每块然后再来考虑每块的形状的形状，通过尝试答案如下通过尝试答案如下： 【例题分析例题分析】数一数数一数，一共有一共有 18 个小方格个小方格，要分成大小要分成大小、形状相同的三块形状相同的三块，每块里面应该包含每块里面应该包含 6 块小块小 方格方格然后再来考虑
10、每块里面要含一个小圆圈然后再来考虑每块里面要含一个小圆圈，通过通过尝试答案如下尝试答案如下： 将下图分割成大小将下图分割成大小、形状相同的三块形状相同的三块，使每块都包含一个小圆圈使每块都包含一个小圆圈 10 第第七七讲讲 第 3 级上尖子班教师版 【例题分析例题分析】数一数数一数，这个长方形一共有这个长方形一共有 28 个小方块个小方块，要把它分成大小一样的要把它分成大小一样的 4 块块，每块应该有每块应该有 7 块小方块块小方块因为这四块中每块还必须有一个字因为这四块中每块还必须有一个字，通过尝试沿下面的粗线剪开就可通过尝试沿下面的粗线剪开就可以得到以得到答答 案案了了沿粗线剪沿粗线剪：
11、分成分成形状形状大小一样的四块大小一样的四块： 请把下面这个长方形沿方格线剪成形状请把下面这个长方形沿方格线剪成形状、 大小都相同的大小都相同的 4 块块， 使每一块内都含有使每一块内都含有“中国加油中国加油” 这四个字中的一个这四个字中的一个，该怎么剪该怎么剪？ 例例 5 11 第第七七讲讲 第 3 级上尖子班教师版 【例题分例题分析析】先确定剪成的先确定剪成的 8 个小图形的大小个小图形的大小，共有共有 12 个小正方形个小正方形，要平均分成要平均分成 8 块块，每块应该分到每块应该分到 1 个半正方形个半正方形，具体操作如下图具体操作如下图（答案不唯一答案不唯一） ： 把把下下图剪成形状
12、图剪成形状、大小相等的大小相等的 8 个小图形个小图形，怎么剪怎么剪？ 例例 6 12 第第七七讲讲 第 3 级上尖子班教师版 【例题分析例题分析】先确定这四块的大小先确定这四块的大小，每块应该分到每块应该分到 4 个方格个方格，然后再构造形状然后再构造形状此题答案不唯一此题答案不唯一 拓拓 展展 与与 提提 高高 在下面的方格中有在下面的方格中有 4 个圆圈个圆圈，请你把方格分成请你把方格分成形状大小完全一样的形状大小完全一样的 4 块块，使每部分都使每部分都 有有 1 个圆圈个圆圈( (圆圈的位置相同圆圈的位置相同) )动手画出你的方法动手画出你的方法 13 第第七七讲讲 第 3 级上尖子
13、班教师版 第第 6 讲讲图形的等分图形的等分 把图形来等分把图形来等分，形状大小要一样形状大小要一样； 哪里入手最简单哪里入手最简单，先把大小来确定先把大小来确定， 根据大小分一分根据大小分一分，再来考虑形状要相同再来考虑形状要相同 14 第第七七讲讲 第 3 级上尖子班教师版 （2008 年年二年级二年级“春蕾杯春蕾杯”试题试题） 请把下面的图形分成形状请把下面的图形分成形状、大小都相同的大小都相同的 4 块块，使每一块里面都有使每一块里面都有“春蕾春蕾 杯赛杯赛”4 个字个字 春 春蕾 杯 赛 春 春蕾 蕾 蕾 杯 杯 杯 赛 赛 赛 【分析分析】答案如下答案如下： 赛 赛 赛 杯 杯 杯
14、 蕾 蕾 蕾春 春 春 赛 杯 蕾春 15 第第七七讲讲 第 3 级上尖子班教师版 老师可根据自己的课堂进度灵活处理讲义内容，附加题仅供老师参考使用 下图中种了大树和小树各下图中种了大树和小树各 4 棵棵，把图分成大小相同的把图分成大小相同的 4 块块，使每块都有使每块都有 1 棵大树和一棵小树棵大树和一棵小树 【例题分析例题分析】这个图形包括五个小正方形这个图形包括五个小正方形，要分成形状要分成形状、大小一样的四块大小一样的四块每块应该分到一个小正方每块应该分到一个小正方 形形，然后把中间的正方形平均分成然后把中间的正方形平均分成 4 份份，每块每块 1 份份，又因为要考虑到每一块要包含一棵
15、又因为要考虑到每一块要包含一棵 大树和一棵小树大树和一棵小树，中间小中间小正方形就应该分成四个三角形正方形就应该分成四个三角形答案如下答案如下： 下面的正方形中共有下面的正方形中共有 12 个数个数，请你先算一算它们的请你先算一算它们的和和，再把这个大正方形剪成形状再把这个大正方形剪成形状、大小都大小都 相同的两块相同的两块，使每块内使每块内 6 个数加起来的和是个数加起来的和是 39 附加题附加题 16 第第七七讲讲 第 3 级上尖子班教师版 【例题分析例题分析】首先我们可以把这个正方形平均分成两份首先我们可以把这个正方形平均分成两份，变成两个长方形变成两个长方形，如下图如下图： 第一个长方
16、形里面的数相加第一个长方形里面的数相加：11012736847 ，第二个长方形里面的数相第二个长方形里面的数相 加加：29115431 ，如果把第一个长方形里面的如果把第一个长方形里面的 8，放到第二个长方形中放到第二个长方形中，两边两边 数字的和都数字的和都是是 39，并且都是并且都是 6 个数字个数字但是如果把但是如果把 8 分给右边的长方形分给右边的长方形，两个图形的两个图形的 形状就不相同形状就不相同，这时我们就得想办法使两个图形的形状相同这时我们就得想办法使两个图形的形状相同，如下图如下图： 沿着中间的粗线剪开沿着中间的粗线剪开，就变成了两个大小一样的图形就变成了两个大小一样的图形，
17、计算可知计算可知： 左边左边= =1101273639 ，右边右边= =829115439 两边得数相等符合题意两边得数相等符合题意 17 第第七七讲讲 第 3 级上尖子班教师版 最后老师可把剪下的这两块最后老师可把剪下的这两块，拿给学生比一比验证大小形状是否一样拿给学生比一比验证大小形状是否一样 你能把一个正三角形分成形状相同你能把一个正三角形分成形状相同，大小大小相等的相等的 2 个个、3 个个、4 个个、6 个个、9 个三角形吗个三角形吗? ? 【例题分析例题分析】 观察观察： 正三角形有几条对称轴正三角形有几条对称轴? ?正三角形有正三角形有 3 条对称轴条对称轴， 我们把一个正三角形
18、分成若干份我们把一个正三角形分成若干份， 都可以根据它的对称轴都可以根据它的对称轴分分答案如下答案如下： 分成分成 2 个个分成分成 3 个个分成分成 4 个个 分成分成 6 个个分成分成 9 个个 18 第第七七讲讲 第 3 级上尖子班教师版 1.你能把一个正三角形分成形状相同你能把一个正三角形分成形状相同，大小大小相等的相等的 2 个个、3 个个、4 个个、三角形吗三角形吗? ? 【答案答案】答案如下答案如下： 分成分成 2 个个分成分成 3 个个分成分成 4 个个 2.把下面的正方形剪成大小把下面的正方形剪成大小、形状都一样的四块形状都一样的四块，但但是不能剪成四个正方形是不能剪成四个正
19、方形、长方形或三角形长方形或三角形， 应该怎样剪应该怎样剪？ 【答案答案】答案不唯一答案不唯一，以下提供几种方法以下提供几种方法 19 第第七七讲讲 第 3 级上尖子班教师版 3.把下面这个把下面这个等腰梯形等腰梯形剪成大小一样的剪成大小一样的三三块块，怎样剪怎样剪？ （上上底的长度是底的长度是下下底的底的一半一半） 【答案答案】如下图如下图： 4.你能否把你能否把下面的图形下面的图形分成分成 7 个长方形个长方形呢呢？动手画一画动手画一画 【答案答案】可以分成可以分成 7 块含有块含有 2 个小方格的长方形个小方格的长方形，答案如下答案如下： （答案不唯一答案不唯一） 5.把把下下图图分分成
20、形状成形状、大小相等的大小相等的 5 个小图形个小图形，怎怎么么分分？ 20 第第七七讲讲 第 3 级上尖子班教师版 【答案答案】具体操作如下图具体操作如下图： 6.把下面这个长方形沿格线剪成大小相等把下面这个长方形沿格线剪成大小相等、形状相形状相同同的四块的四块，使每块内都含有使每块内都含有“我爱我爱北京北京”这这 四个字中的一个字四个字中的一个字，该怎样剪呢该怎样剪呢？ 【答案答案】沿下面的粗线剪开沿下面的粗线剪开，就得到了大小就得到了大小相等相等、形状相同的四块形状相同的四块，并且每块内都含有并且每块内都含有“我我 爱北京爱北京”这四个字中的一个字这四个字中的一个字 21 第第七七讲讲
21、第 3 级上尖子班教师版 【答案答案】具体分法如下具体分法如下： 小丸子的妈妈买来小丸子的妈妈买来 1 块枣糕块枣糕，上面有上面有 6 颗枣颗枣（如图所示如图所示） ，） ，家里正好有家里正好有 6 个人个人，小丸子小丸子 抢着要最大的抢着要最大的，妈妈为公平起见妈妈为公平起见，决定将枣糕分为大小形状一样决定将枣糕分为大小形状一样的的 6 块块，每块含有每块含有 1 颗枣颗枣你知道应该怎么分吗你知道应该怎么分吗？ 22 第第七七讲讲 第 3 级上尖子班教师版 有一样东西有一样东西，你只能用左手拿它你只能用左手拿它，右手却拿不右手却拿不用什么办法能使眉毛长在眼睛用什么办法能使眉毛长在眼睛下面下面
22、？ 到到，这是什么这是什么东西东西？ 小丽明明知道问题的答案小丽明明知道问题的答案，为为什么还不断地去什么还不断地去人人能登上珠穆朗玛峰能登上珠穆朗玛峰，有一个有一个地方却永地方却永 问其他同学呢问其他同学呢？远登不上去远登不上去，那是什么地方那是什么地方？ 强强跑赛得了第一名强强跑赛得了第一名，为什么还不高兴呢为什么还不高兴呢？某个人到外国去了某个人到外国去了，可是周围全是中国可是周围全是中国 人人，这这是怎么回事是怎么回事？ 【答案答案】右手右手；倒立倒立；她在考别人她在考别人；自己的头顶自己的头顶； 倒数第一名倒数第一名；是外国人来到了中国是外国人来到了中国 23 第第七七讲讲 第 3
23、级上尖子班教师版 写有歌词的纸条写有歌词的纸条 有一位女歌手，第一次登台演出，内心十分紧张想到自己马上就要 上场，面对上千名观众，她的手心都在冒汗：“要是在舞台上一紧张，忘 了歌词怎么办？”越想，她心跳得越快，甚至产生了打退堂鼓的念头 就在这时，一位前辈笑着走过来，随手将一个纸卷塞到她的手里，轻 声说道： “这里面写着你要唱的歌词， 如果你在台上忘了词， 就打开来看 ” 她握着这张纸条，像握着一根救命的稻草，匆匆上了台也许有那个纸卷 握在手心，她的心里踏实了许多她在台上发挥得相当好，完全没有失 常她高兴地走下舞台，向那位前辈致谢前辈却笑着说：“是你自己战 胜了自己，找回了自信其实，我给你的，是一张白纸，上面根本没有写 什么歌词！”她展开手心里的纸卷，果然上面什么也没写她感到惊讶， 自己凭着握住一张白纸，竟顺利地度过了难关，获得了演出的成功 “你握住的这张白纸，并不是一张白纸，而是你的自信啊！”前辈说歌手 拜谢了前辈 在以后的人生路上，她就是凭着握住自信，战胜了一个又一个困难， 取得了一次又一次成功 24 第第七七讲讲 第 3 级上尖子班教师版
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