1、1 第 3 级上超常班教师版 巧数图形巧数图形 第五讲 第第一一级级下下有趣的平面图形有趣的平面图形 本讲中认识各种平面图形的特点，然后通过简单的图形计数问题，初 步培养学生数图形的好习惯 第第三三级级上上巧数图形巧数图形 本讲通过一些趣味不规则的图形计数问题，让学生进一步理解乘法的 应用问题 第第三三级级下下我会数图形我会数图形 本讲学习平面图形的计数方法，培养学生分类计数的好习惯 第三级上巧数图形 第一级下有趣的平面图形 （一年级秋季第三讲） 第三级下我会数图形 （二年级秋季第一讲） 2 第第五五讲讲 第 3 级上超常班教师版 猜谜语猜谜语 一数真离奇一数真离奇，自己加自己自己加自己； 自
2、己减自己自己减自己，自己乘自己自己乘自己； 自己除自己自己除自己，得数在一起得数在一起； 相加八十一相加八十一，猜猜它是几猜猜它是几？ 小朋友们很想小朋友们很想知道答案吧知道答案吧！答案就藏在答案就藏在讲义中讲义中，仔细找一找仔细找一找 3 第第五五讲讲 第 3 级上超常班教师版 火眼金睛考眼力火眼金睛考眼力 课前复习课前复习 下图是由下图是由 14 个个小正方形组成的图形小正方形组成的图形在这个图形中包在这个图形中包含有苹果的含有苹果的 正方形正方形，共有多少个共有多少个？ 猜一猜下图猜一猜下图每个图中每个图中看不见的看不见的小方块有几个小方块有几个？ 4 第第五五讲讲 第 3 级上超常班教
3、师版 【例题分析例题分析】课前通过这两个题的铺垫课前通过这两个题的铺垫，让学生很快融入到学习中让学生很快融入到学习中第一道题第一道题，我们要注意引导学生我们要注意引导学生 在数图形的时候不重复在数图形的时候不重复、不遗漏不遗漏，那么在这个图形中包含苹果的正方形一共有那么在这个图形中包含苹果的正方形一共有 6 个个，包包 含在含在 1 个小正方形里面的个小正方形里面的有有 1 个个，包含在包含在 4 个小正方形里面的有个小正方形里面的有 3 个个，包含在包含在 9 个小正个小正 方形里面的有方形里面的有 2 个个，一共有一共有 6 个个第二道题中要求我们数出我们看不见的小正方体第二道题中要求我们
4、数出我们看不见的小正方体，主主 要培养学生的空间想象能力要培养学生的空间想象能力在这二个图形中第一个图形看不见的小正方体有在这二个图形中第一个图形看不见的小正方体有 3 个个，第第 二个图形看不见的小正方体有二个图形看不见的小正方体有 4 个个 小朋友们都是数数的小能手小朋友们都是数数的小能手，在生活中有很多需要我们通过数数来解决的问题在生活中有很多需要我们通过数数来解决的问题，在在 解决问题时数数的方法有很多解决问题时数数的方法有很多，你会用什么方法来数你会用什么方法来数呢呢？今天这节课就让我们这些小能手们再次来比今天这节课就让我们这些小能手们再次来比 试一下吧试一下吧！ 小朋友们小朋友们，
5、请你数一数下面的图形里面有多少个请你数一数下面的图形里面有多少个 例例 1 5 第第五五讲讲 第 3 级上超常班教师版 【例题分析例题分析】 在数的过程中在数的过程中， 我们要按顺序来计数我们要按顺序来计数 首先我们来看横行首先我们来看横行， 每一横行能数出每一横行能数出 3 个个， 4 横行一共能数出横行一共能数出，3412 个个 再来看竖行再来看竖行， 每一竖行能数出每一竖行能数出 3 个个， 4 竖行一共能数出竖行一共能数出，3412 个个这样在这个图形中这样在这个图形中，一共能数出一共能数出121224 个个通过这道题进一步巩固乘法的意义通过这道题进一步巩固乘法的意义 【例例题分析题分
6、析】分类计数分类计数： 在一个田字格中在一个田字格中包含包含的有的有 4 个个，上图中共有上图中共有 4 4 个田字格个田字格，这样一共有这样一共有 44= =16（个个） 这样的图形这样的图形 下面的图形下面的图形中中你能数出你能数出多少个多少个？ 像下图这样摆出像下图这样摆出一个长方形一个长方形， 一共用了多少根小棒一共用了多少根小棒？摆出一个摆出一个三角形三角形， 一共用了多少根小棒一共用了多少根小棒？ 例例 2 6 第第五五讲讲 第 3 级上超常班教师版 【例题分析例题分析】摆出一个长方形摆出一个长方形，一共用了多少根小棒一共用了多少根小棒？可以这样数横着的小棒有可以这样数横着的小棒有
7、8216 （根根）竖竖 着的小棒一共有着的小棒一共有 9 根根，合起来一共有合起来一共有16925 （根根） 。 方法一方法一：分类数分类数按三角形三条边的方向来数按三角形三条边的方向来数，一共有一共有1234330 （）（根根） ） 方法二方法二：分层数分层数第一层有第一层有 3 根火柴棒根火柴棒，第二层增加了第二层增加了 6 根根，第三层增加了第三层增加了 9 根根，第四第四 层增加了层增加了 12 根根，一共有一共有3691230 （根根） ） 也可数正着的三角形个数也可数正着的三角形个数，再乘再乘 3 3。 【例题分析例题分析】我们可以一部分一部分的来数我们可以一部分一部分的来数，先数
8、床头部分先数床头部分，一共有一共有4728 （个个） ；） ；再数床身中间再数床身中间 部分部分484864 （个个） ；） ；最后数床尾有最后数床尾有4312 （个个） ） 合起来这张床一共有合起来这张床一共有 286412104 （个个）小正方体小正方体 数数看数数看，下边这张床是由多少个小正方体组成下边这张床是由多少个小正方体组成的的？ 例例 3 7 第第五五讲讲 第 3 级上超常班教师版 【答案答案】移动一根火柴移动一根火柴，摆成正确的算式是摆成正确的算式是：1111 古希腊学者发现了一些特殊的数古希腊学者发现了一些特殊的数，他们用图形表示这些数他们用图形表示这些数 例例 4 暑假里暑
9、假里，小胖和小芳正在玩火柴棍游戏小胖和小芳正在玩火柴棍游戏小胖用小胖用 9 根根 火柴棍摆成一个算式火柴棍摆成一个算式： 小芳马上指出这个算式是错误的小芳马上指出这个算式是错误的小胖说小胖说： “那么那么，你你 能不能只移动其中一根火柴棍能不能只移动其中一根火柴棍，使这个算式变成正确的等使这个算式变成正确的等 式式? ?”小芳思索起来小芳思索起来小朋友小朋友，你来试一下吧你来试一下吧! ! 8 第第五五讲讲 第 3 级上超常班教师版 【例题分析例题分析】通过观察可以发现通过观察可以发现，在三角形数中在三角形数中，从第二个图形起后一个图形比前一个图形一次增从第二个图形起后一个图形比前一个图形一次
10、增 加的点有加的点有 2，3，4，那么第那么第 8 个三角形数是个三角形数是：1234567836 在正方形数中在正方形数中， 第一个是第一个是 1， 第二个每边第二个每边 2 个个， 是是224 ， 第三个每边第三个每边 3 个个， 是是339 ， 依次类推第依次类推第 7 个正方形数就是个正方形数就是7749 三角形数三角形数： 13610 正方形数正方形数： 14916 你能说出你能说出：第第 8 个三角形数是多少个三角形数是多少？第第 7 个正方形数是多少个正方形数是多少？ 9 第第五五讲讲 第 3 级上超常班教师版 【例题分析例题分析】5050 是三角形数是三角形数，是第是第 100
11、 个三角形数个三角形数 因全班人数在因全班人数在 30 和和 60 之间之间，这之间的正方形数只有这之间的正方形数只有：6636 ，7749 检查它检查它 们能不能写成三角形数们能不能写成三角形数： 第第 8 个三角形数是个三角形数是：1234567836 ； 第第 9 个三角形数是个三角形数是：12345678945 49； 第第 10 个三角形数是个三角形数是：1234567891055 49 所以这个班的人数是所以这个班的人数是 36 人人，36 是一个三角形数是一个三角形数，也是一个正方形数也是一个正方形数 我们知道我们知道1231005050 ，这个这个 5050 是三角形数吗是三角
12、形数吗？如果是如果是，是第几个是第几个？ 非常凑巧非常凑巧，二年级乙班的同学人数恰是一个三角形数二年级乙班的同学人数恰是一个三角形数，又是一个正方形数又是一个正方形数问二年级乙班有多问二年级乙班有多 少名同学少名同学？（？（一个班的人数一个班的人数在在 30 人与人与 60 人人之间之间 ） 猜谜语猜谜语，再填数再填数 例例 5 小小飞天王小小飞天王，吐丝织罗网吐丝织罗网， 摆开八卦阵摆开八卦阵，蚊蝇美美尝蚊蝇美美尝 这是这是（） ） 蜘蛛网中心有一个点蜘蛛网中心有一个点织到第一层一共织到第一层一共 有有（）个点个点织到第二层一共有织到第二层一共有（）个个 点点现在这个蜘蛛网上一共有多少个点现
13、在这个蜘蛛网上一共有多少个点？ 如果蜘蛛网织到第八层如果蜘蛛网织到第八层，一共有多少个点一共有多少个点？ 10 第第五五讲讲 第 3 级上超常班教师版 【例题分析例题分析】这道题要引导学生找蜘蛛网的规律这道题要引导学生找蜘蛛网的规律 蜘蛛网中心有一个点蜘蛛网中心有一个点，再数第一层有再数第一层有 8 个点个点，算织到第一层一共有多少个点算织到第一层一共有多少个点，就还要就还要 算上原来中心的一个点算上原来中心的一个点，一共是一共是819 （个个） ） 再数一数再数一数，第二层也有第二层也有 8 个点个点，那那么织么织 到第二层一共就有到第二层一共就有82117 （个个） ） 这个蜘蛛网上一共有
14、多少个点呢这个蜘蛛网上一共有多少个点呢？ 方法一方法一：继续往前我们发现第继续往前我们发现第 3 层有层有 8 个点个点，第第 4 层有层有 8 个点个点，第第 5 层也有层也有 8 个点个点于于 是我们发现每层点的个数是不变的是我们发现每层点的个数是不变的，只是两个点之间的距离越来越大只是两个点之间的距离越来越大一共有一共有 5 层层，每层都有每层都有 8 个个，就是就是 40 个点个点，再加上中间的一个再加上中间的一个，一共就是一共就是 41 个点个点列列 式式：一共有一共有85141 （个个）点点 方法二方法二：我们发现每个点都是在一条直线上我们发现每个点都是在一条直线上我们可以先计算每
15、条直线上的点我们可以先计算每条直线上的点，再用乘再用乘 法求总数法求总数列式列式：58141 （个个） ） 如果蜘蛛网织到第八层如果蜘蛛网织到第八层，一共有多少个点呢一共有多少个点呢？ 因为每层都是因为每层都是 8 个点个点，8 层就是层就是 64 个点个点，再加上正中心的一个点再加上正中心的一个点，蜘蛛网织到第八层一蜘蛛网织到第八层一 共就有共就有 65 个点个点列式列式：88165 （个个） 【例题分析例题分析】先看横着先看横着的正方形如下图的正方形如下图，可以得到可以得到 8 个正方形个正方形，再看斜着的正方形如下图再看斜着的正方形如下图可以得可以得 到到 2 个正方形个正方形这样一共可
16、以得到这样一共可以得到 10 个正方形个正方形 在钉子板上围正方形在钉子板上围正方形，共可以围出多少个共可以围出多少个？ 例例 6 11 第第五五讲讲 第 3 级上超常班教师版 【例题分析例题分析】首先老师要对跳棋这种游戏做一个介绍首先老师要对跳棋这种游戏做一个介绍跳棋棋盘上的圆洞排列是有一定规律的跳棋棋盘上的圆洞排列是有一定规律的，如果如果 学生一个一个数容易数错学生一个一个数容易数错，我们应该找规律我们应该找规律，把这个不规则的图形分成若干个小块来数把这个不规则的图形分成若干个小块来数 方法一方法一：如图来分割如图来分割，分成外面分成外面 6 个一样的三角形和里面一个正六边形个一样的三角形
17、和里面一个正六边形， 里面正六边形里面正六边形 共有共有 61 个个，外面每个三角形有外面每个三角形有 10 个洞个洞，6 个三角形一共有个三角形一共有 60 个洞个洞合起来一合起来一 共是共是6160121 （个个）洞洞 方法二方法二：如图可分如图可分，然后来计算然后来计算六个平行四边形一共有六个平行四边形一共有16696 （个个） ，） ， 96461121 （个个） 拓拓 展展 与与 提提 高高 小朋友们都玩过跳棋吧小朋友们都玩过跳棋吧！你知道你知道跳棋跳棋棋盘上有多少个圆洞吗棋盘上有多少个圆洞吗？数一数数一数 12 第第五五讲讲 第 3 级上超常班教师版 方法三方法三：如图如图：分成分
18、成 6 个平行四边形个平行四边形，然后把它们的个数加起来然后把它们的个数加起来 252020202016121 （个个） 13 第第五五讲讲 第 3 级上超常班教师版 第第 5 讲讲趣味图形我会数趣味图形我会数 数图形真有趣数图形真有趣，怎样才能数得准怎样才能数得准， 细观察来分类细观察来分类，加减乘除巧计算加减乘除巧计算， 仔细数做记号仔细数做记号，不重复来不漏数不重复来不漏数 3 根火柴可以摆成一个小三角形根火柴可以摆成一个小三角形 图中用很多根火柴摆成了一个中空的大三角形图中用很多根火柴摆成了一个中空的大三角形 已已 知大三角形外沿上每条边都是知大三角形外沿上每条边都是 8 根火柴根火柴
19、摆成这个图共需要摆成这个图共需要根火柴根火柴 【分析】这个三角形最外面三条边每边是 8 根火柴，三条边一共有8324根 火柴剩下的就是 18 个三角形，每个三角形由 3 根火柴摆成，18 个 三角形就是18 354根，这样一共就需要245478（根）火柴 14 第第五五讲讲 第 3 级上超常班教师版 老师可根据自己的课堂进度灵活处理讲义内容，附加题仅供老师参考使用 你认识象棋的棋盘吗你认识象棋的棋盘吗？如下图整个象棋的大小一共相当于多少个小方格如下图整个象棋的大小一共相当于多少个小方格？ 【例题分析例题分析】数一数数一数，每层有每层有 8 个方格个方格，整个有整个有 9 层层（算大小还要包括中
20、间的河界部分算大小还要包括中间的河界部分） ，） ，这样这个象这样这个象 棋的大小就相当于有棋的大小就相当于有8972 （个个）小方格子的大小小方格子的大小 小新用圆片摆了小新用圆片摆了“中国中国“两个字两个字，你知道这两个字各用了你知道这两个字各用了多少个多少个“”？ 【例题分析例题分析】在这道题中在这道题中，如果我们一个一个的数如果我们一个一个的数，那么会比较慢那么会比较慢，在此老师要引导学生进行观察在此老师要引导学生进行观察， 通过找规律用简便方法来计算通过找规律用简便方法来计算每个每个字我们都可以分组来数字我们都可以分组来数： “中中”一共有一共有：7211111248 （个个）或或1
21、313521248 （个个） 附加题附加题 15 第第五五讲讲 第 3 级上超常班教师版 “国国” 一共有一共有：1111101083773 （个个） 或或12129283773 （个个） 在这个题中有几个相同的数在这个题中有几个相同的数，如果这个数字超过了如果这个数字超过了 10，我们就直接加我们就直接加，不用乘法计算不用乘法计算 在钉子板上围正方形在钉子板上围正方形，共可以围出多少个共可以围出多少个？ 【例题分析例题分析】先看横着先看横着的正方形如下图的正方形如下图，可以得到可以得到94114 个正方形个正方形，再看斜着的正方形如下再看斜着的正方形如下 图图可以得到可以得到 4 个正方形个
22、正方形，如下图如下图可以得到可以得到 2 个正方形个正方形这样一共可以得到这样一共可以得到 144220 个正方形个正方形 16 第第五五讲讲 第 3 级上超常班教师版 1. 下面每个图中一共下面每个图中一共有多少个小有多少个小方块堆成方块堆成？有几个有几个看不见看不见？ 【答案答案】一共有一共有 12 个小方块个小方块，有有 3 个看不见个看不见 一共有一共有 10 个小方块个小方块，有有 4 个看不见个看不见 2. 数一数数一数，下图有多少个下图有多少个？ 【答案答案】一共有一共有1515838 （个个） ） 3. 一蓝蓝一白两海龟一白两海龟，全用三角形来拼全用三角形来拼小朋友们小朋友们数
23、一数数一数，两只海龟共用几个三角形两只海龟共用几个三角形？ （1）（2） 17 第第五五讲讲 第 3 级上超常班教师版 【答案答案】方法一方法一：把中间的正方形分成三角形然后来数一数把中间的正方形分成三角形然后来数一数分层数分层数：第一层有第一层有 6 个小三角形个小三角形；第二第二 层有层有 10 个小三角形个小三角形；第三层有第三层有 2 个小三角形个小三角形一共有一共有610218 ( (个个) )小三角形小三角形 方法二方法二：数一数数一数，这个小海龟是由这个小海龟是由 6 个正方形和个正方形和 6 个三角形组成个三角形组成一个正方形可以分成两个一个正方形可以分成两个 三角形三角形，那
24、么那么 6 个正方形就是个正方形就是 12 个小三角个小三角形形，一共有多少个小三角形可以列式一共有多少个小三角形可以列式： 62618 （个个） 一只小海龟用了一只小海龟用了 18 个小三角形个小三角形，两只就海龟就用了两只就海龟就用了181836 （个个）小三角形小三角形 4. 小圆圈拼图形小圆圈拼图形，数一数数一数有几个有几个？ 【答案答案】方法一方法一：最基本的方法最基本的方法，可以一层一层的数可以一层一层的数，56789876561 （个个） ） 方法二方法二：发现规律发现规律，分组数分组数第一排和最后一排都是第一排和最后一排都是 5 个个，共共5210 个个；第二排和倒数第第二排和
25、倒数第 二排都是二排都是 6 个个，共共6212 个个；第三排和倒数第三排都是第三排和倒数第三排都是 7 个个，共共7214 个个；第第 四排和倒数第四排都是四排和倒数第四排都是 8 个个，共共8216 个个，只有第五排是只有第五排是 9 个个可以用简便方法可以用简便方法 来计算来计算：52627282910121416961 （个个） ） 18 第第五五讲讲 第 3 级上超常班教师版 方法三方法三：把较大的图形分成若干个小图形来数把较大的图形分成若干个小图形来数如右上图如右上图：可以把这个图形分成相同的可以把这个图形分成相同的 6 个个 三角形来计算三角形来计算一个三角形一个三角形里有里有
26、10 个个，6 个三角形就是个三角形就是 60 个圆个圆还要加上中间的还要加上中间的 一个就是一个就是 61 个个列式列式610161 （个个） ） 5. 下面的长方形是用多少根小棒摆成的下面的长方形是用多少根小棒摆成的？ 【答案答案】横着数一共有横着数一共有8432 （根根） ，） ，竖着数一共有竖着数一共有3927 （根根） ，） ，一共有一共有322759 （根根） ） 6. 在钉子板上围正方形在钉子板上围正方形，共可以围出多少个共可以围出多少个？ 19 第第五五讲讲 第 3 级上超常班教师版 【答案答案】一共可以围一共可以围 6 个正方形个正方形 小朋友小朋友，我们一起来玩一个我们一起
27、来玩一个“鸡生蛋鸡生蛋、蛋生鸡蛋生鸡”的游戏的游戏 思维跳板思维跳板 20 第第五五讲讲 第 3 级上超常班教师版 请从右上方的请从右上方的“蛋蛋”开始开始，按按“蛋蛋雏鸡一小鸡一大鸡雏鸡一小鸡一大鸡”的顺序的顺序，走一条不重复走一条不重复、不交叉的路线不交叉的路线， 动笔画一画动笔画一画 【答案答案】 21 第第五五讲讲 第 3 级上超常班教师版 一个老大爷住在一栋高一个老大爷住在一栋高 18 层的楼房层的楼房，但他天天但他天天一台新音响一台新音响，电源开了录音带也放了电源开了录音带也放了， 出入不走楼梯出入不走楼梯，也不用电梯也不用电梯，为什么呢为什么呢？为什么没有声音呢为什么没有声音呢？
28、 壮壮和飞飞两个人壮壮和飞飞两个人，一个面朝南一个面朝南，一个面朝北地一个面朝北地警察看见有人抢银行却不抓警察看见有人抢银行却不抓，为什么为什么？ 站立着站立着，不准回头不准回头，不准走动不准走动，不准照镜子不准照镜子，却却 能够看到对方的脸能够看到对方的脸，这这是为什么呢是为什么呢？ 动物园里长颈鹿的脖子最长动物园里长颈鹿的脖子最长，脖子第二长的是谁脖子第二长的是谁？口吃的人口吃的人做什么事最亏做什么事最亏？ 【答案答案】他住在一楼他住在一楼；因为停电了因为停电了；面对面站着面对面站着； 因为在拍电影因为在拍电影；小长颈鹿小长颈鹿；打长途电话打长途电话 22 第第五五讲讲 第 3 级上超常班
29、教师版 你就是这只小鹰你就是这只小鹰 有个顽童无意间在悬崖边的鹰巢里发现一颗老鹰的蛋，他一时兴起， 将这颗蛋带回父亲的农庄，放在母鸡的窝里，看看能不能孵出小老鹰来。 果然如顽童的期望，那颗蛋孵出了一只小老鹰。小老鹰跟着同窝的 小鸡一起长大，每天在农庄里追逐主人喂饲的谷粒，一直以为自己是只小 鸡。某一天，母鸡焦急地咯咯大叫，召唤小鸡们赶紧躲回鸡舍内，慌乱之 际，只见一只雄壮的老鹰俯冲而下，小老鹰也和小鸡一样，四处逃窜。 经过这次事件后，小老鹰每次看见远处天空盘旋的老鹰身影，总是 不禁喃喃自语：“我若是能像老鹰那样，自由地翱翔在天上，不知该有多 好。 ”而一旁的小鸡总会提醒它：“别傻了，你只不过是
30、只鸡，是不可能高 飞的，别做那种白日梦吧。 ”小老鹰想想也对自己不过是只小鸡，也就 回过头，去和其他小鸡追逐主人撒下的谷粒。 直到有一天，一位驯兽师和朋友路过农庄，看见这只小老鹰，便兴 致勃勃要教会小老鹰飞翔，而他的朋友则认为小老鹰的翅膀已经退化无 力，劝驯兽师打消这个念头。驯兽师却不这么想，他将小老鹰带到农舍的 屋顶上，认为由高处将小老鹰掷下，它自然会展翅高飞。不料小老鹰只轻 拍了几下翅膀，便落到鸡群当中，和小鸡们四处找寻食物。 驯兽师仍不死心，再次带着小老鹰爬上农庄内最高的树上，掷出小 老鹰。小老鹰害怕之余，本能地展开翅膀，飞了一段距离，看见地上的小 鸡们正忙着追寻谷粒， 便立时飞了下来， 加入鸡群中争食， 再也不肯飞了。 在朋友的嘲笑声中，驯兽师这次将小老鹰带上高处的悬崖。小老鹰 锐利的眼光看去，大树、农庄、溪流都在脚下，而且变得十分渺小。待驯 兽师的手一放开，小老鹰展开宽阔的巨翼，终于实现了它的梦 想，自由地翱翔于天际。 你必须展开您梦想的翅膀，立定目标，来追求人生成功的新领 域，只要您不断想飞，不断尝试，定能自在的翱翔在空中! 23 第第五五讲讲 第 3 级上超常班教师版
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