1、 4.6 正弦定理和余弦定理正弦定理和余弦定理 最新考纲 考情考向分析 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简 单的三角形度量问题. 以利用正弦、余弦定理解三角形为主，常与 三角函数的图象和性质、三角恒等变换、三 角形中的几何计算交汇考查，加强数形结合 思想的应用意识题型多样，中档难度. 1正弦定理、余弦定理 在ABC 中，若角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，R 为ABC 外接圆半径，则 定理 正弦定理 余弦定理 内容 (1) a sin A b sin B c sin C2R (2)a2b2c22bccos_A； b2c2a22cacos_B； c2a2b22abcos_C 变形
2、(3)a2Rsin A， b2Rsin_B， c2Rsin_C； (4)sin A a 2R，sin B b 2R，sin C c 2R； (5)abcsin_Asin_Bsin_C； (6)asin Bbsin A， bsin Ccsin B， asin Ccsin A (7)cos Ab 2c2a2 2bc ； cos Bc 2a2b2 2ac ； cos Ca 2b2c2 2ab 2.在ABC 中，已知 a，b 和 A 时，解的情况 A 为锐角 A 为钝角或直角 图形 关系式 absin A bsin A0 时，三角形 ABC 为锐角三角形( ) (4)在ABC 中， a sin A a
3、bc sin Asin Bsin C.( ) (5)在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积( ) 题组二 教材改编 2P10B 组 T2在ABC 中，acos Abcos B，则这个三角形的形状为_ 答案 等腰三角形或直角三角形 解析 由正弦定理，得 sin Acos Asin Bcos B， 即 sin 2Asin 2B，所以 2A2B 或 2A2B， 即 AB 或 AB 2， 所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形 3P18T1在ABC 中，A60 ，AC4，BC2 3，则ABC 的面积等于_ 答案 2 3 解析 2 3 sin 60 4 sin B，sin B1，B90 ， AB2
4、，SABC1 222 32 3. 题组三 易错自纠 4在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 c 2x， 解得 2 22x2 22， 故当 x2 3时，SABC取得最大值 2 2，故选 A. (2)在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c.若 c2(ab)26，C 3，则ABC 的面积是_ 答案 3 3 2 解析 c2(ab)26，c2a2b22ab6. C 3， c2a2b22abcos 3a 2b2ab. 由得ab60，即 ab6. SABC1 2absin C 1 26 3 2 3 3 2 . 题型三题型三 正弦定理、余弦定理的简单应用正弦定理、余
5、弦定理的简单应用 命题点 1 判断三角形的形状 典例 (1)在ABC 中，cos A 2 1cos B 2 ，则ABC 一定是( ) A等腰三角形 B直角三角形 C等腰直角三角形 D无法确定 答案 A 解析 由已知得 cos2A 2 1cos B 2 ， 2cos2A 21cos B，cos Acos B， 又 0A，B0，sin A1， 即 A 2，ABC 为直角三角形 引申探究 1本例(2)中，若将条件变为 2sin Acos Bsin C，判断ABC 的形状 解 2sin Acos Bsin Csin(AB)， 2sin Acos Bsin Acos Bcos Asin B， sin(A
6、B)0. 又 A，B 为ABC 的内角 AB，ABC 为等腰三角形 2本例(2)中，若将条件变为 a2b2c2ab，且 2cos Asin Bsin C，判断ABC 的形状 解 a2b2c2ab，cos Ca 2b2c2 2ab 1 2， 又 0C，C 3， 又由 2cos Asin Bsin C 得 sin(BA)0，AB， 故ABC 为等边三角形 命题点 2 求解几何计算问题 典例 (1)如图，在ABC 中，B45 ，D 是 BC 边上一点，AD5，AC7，DC3，则 AB _. 答案 5 6 2 解析 在ACD 中，由余弦定理可得 cos C49925 273 11 14， 则 sin
7、C5 3 14 . 在ABC 中，由正弦定理可得 AB sin C AC sin B， 则 ABACsin C sin B 75 3 14 2 2 5 6 2 . (2)(2018 吉林三校联考)在平面四边形 ABCD 中，ABC75 ，BC2，则 AB 的取 值范围是_ 答案 ( 6 2， 6 2) 解析 如图所示， 延长 BA 与 CD 相交于点 E， 过点 C 作 CFAD 交 AB 于点 F， 则 BFABBE. 在等腰三角形 CBF 中，FCB30 ，CFBC2， BF 2222222cos 30 6 2. 在等腰三角形 ECB 中，CEB30 ，ECB75 ， BECE，BC2，
8、BE sin 75 2 sin 30 ， BE2 1 2 6 2 4 6 2. 6 2AB 6 2. 思维升华 (1)判断三角形形状的方法 化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系 化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，此时要注意应用 ABC 这个结论 (2)求解几何计算问题要注意： 根据已知的边角画出图形并在图中标示； 选择在某个三角形中运用正弦定理或余弦定理 跟踪训练 (1)(2018 安徽六校联考)在ABC 中，cos2B 2 ac 2c (a，b，c 分别为角 A，B，C 的 对边)，则ABC 的形状为( ) A等边三角形 B直角三角形 C等腰三角形或直角三角形 D等腰直角三角形
9、答案 B 解析 cos2B 2 1cos B 2 ，cos2B 2 ac 2c ， (1cos B) cac， acos B ca 2c2b2 2a ， 2a2a2c2b2， a2b2c2， ABC 为直角三角形 (2)如图，在ABC 中，已知点 D 在 BC 边上，ADAC，sinBAC2 2 3 ，AB3 2，AD3， 则 BD 的长为_ 答案 3 解析 因为 sinBAC2 2 3 ，且 ADAC， 所以 sin 2BAD 2 2 3 ， 所以 cosBAD2 2 3 ，在BAD 中，由余弦定理， 得 BD AB2AD22AB ADcosBAD 3 223223 232 2 3 3. 二
10、审结论会转换 典例 (12 分)在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 ac 6 6 b，sin B 6sin C. (1)求 cos A 的值； (2)求 cos 2A 6 的值 (1) 求cos A 根据余弦定理 求三边a，b，c的长或长度关系 已知ac 6 6 b 利用正弦定理将sin B 6sin C化为b 6c (2) 求cos 2A 6 求cos 2A，sin 2A 求sin A，cos A 第1问已求 出cos A 根据同角关系求sin A 规范解答 解 (1)在ABC 中，由 b sin B c sin C及 sin B 6sin C， 可得 b 6c，2 分 又由 ac 6 6 b，有 a2c，4 分 所以 cos Ab 2c2a2 2bc 6c 2c24c2 2 6c2 6 4 .7 分 (2)在ABC 中，由 cos A 6 4 ， 可得 sin A 10 4 .8 分 于是 cos 2A2cos2A11 4，9 分 sin 2A2sin A cos A 15 4 .10 分 所以 cos 2A 6 cos 2Acos 6sin 2Asin 6 1 4 3 2 15 4 1 2 15 3 8 .12 分
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