1、 9.5 椭椭 圆圆 最新考纲 考情考向分析 1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画 现实世界和解决实际问题中的作用 2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程 及简单几何性质. 椭圆的定义、标准方程、几何性质通常以小 题形式考查，直线与椭圆的位置关系主要出 现在解答题中题型主要以选择、填空题为 主，一般为中档题，椭圆方程的求解经常出 现在解答题的第一问. 1椭圆的概念 平面内与两个定点 F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆这两个定点 叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 集合 PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中 a0，c0，且 a，c 为常数
2、： (1)若 ac，则集合 P 为椭圆； (2)若 ac，则集合 P 为线段； (3)若 ab0) y2 a2 x2 b21(ab0) 图形 性 质 范围 axa byb aya bxb 对称性 对称轴：坐标轴 对称中心：原点 顶点坐标 A1(a,0)，A2(a,0) B1(0，b)，B2(0，b) A1(0，a)，A2(0，a) B1(b,0)，B2(b,0) 轴 长轴 A1A2的长为 2a；短轴 B1B2的长为 2b 焦距 |F1F2|2c 离心率 ec a(0,1) a，b，c 的关系 a2b2c2 知识拓展 点 P(x0，y0)和椭圆的位置关系 (1)点 P(x0，y0)在椭圆内x 2
3、 0 a2 y20 b21. 题组一 思考辨析 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)平面内与两个定点 F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆( ) (2)椭圆上一点 P 与两焦点 F1，F2构成PF1F2的周长为 2a2c(其中 a 为椭圆的长半轴长，c 为椭圆的半焦距)( ) (3)椭圆的离心率 e 越大，椭圆就越圆( ) (4)方程 mx2ny21(m0，n0，mn)表示的曲线是椭圆( ) (5)y 2 a2 x2 b21(ab)表示焦点在 y 轴上的椭圆( ) (6)x 2 a2 y2 b21(ab0)与 y2 a2 x2 b21(ab0)的焦距相等( ) 题组
4、二 教材改编 2P80A 组 T3(1)椭圆 x2 10m y2 m21 的焦距为 4，则 m 等于( ) A4 B8 C4 或 8 D12 答案 C 解析 当焦点在 x 轴上时，10mm20， 10m(m2)4，m4. 当焦点在 y 轴上时，m210m0，m2(10m)4，m8. m4 或 8. 3P49A 组 T5过点 A(3，2)且与椭圆x 2 9 y2 41 有相同焦点的椭圆的方程为( ) A.x 2 15 y2 101 B.x 2 25 y2 201 C.x 2 10 y2 151 D.x 2 20 y2 151 答案 A 解析 由题意知 c25，可设椭圆方程为 x2 5 y2 1(
5、0)，则 9 5 4 1，解得 10 或 2(舍去)， 所求椭圆的方程为x 2 15 y2 101. 4P49A 组 T6已知点 P 是椭圆x 2 5 y2 41 上 y 轴右侧的一点，且以点 P 及焦点 F1，F2为顶 点的三角形的面积等于 1，则点 P 的坐标为_ 答案 15 2 ，1 或 15 2 ，1 解析 设 P(x，y)，由题意知 c2a2b2541， 所以 c1，则 F1(1,0)，F2(1,0)由题意可得点 P 到 x 轴的距离为 1，所以 y 1，把 y 1 代入x 2 5 y2 41，得 x 15 2 ，又 x0，所以 x 15 2 ， 所以 P 点坐标为 15 2 ，1
6、或 15 2 ，1 . 题组三 易错自纠 5若方程 x2 5m y2 m31 表示椭圆，则 m 的取值范围是( ) A(3,5) B(5,3) C(3,1)(1,5) D(5,1)(1,3) 答案 C 解析 由方程表示椭圆知 5m0， m30， 5mm3， 解得30)的左、右焦点分别为 F1，F2，离心率为 3 3 ，过 F2的直线 l 交 C 于 A，B 两点，若AF1B 的周长为 4 3，则 C 的方程为( ) A.x 2 3 y2 21 B.x 2 3y 21 C.x 2 12 y2 81 D.x 2 12 y2 41 答案 A 解析 AF1B 的周长为 4 3，4a4 3， a 3，离
7、心率为 3 3 ，c1， b a2c2 2，椭圆 C 的方程为x 2 3 y2 21. 故选 A. 第第 1 课时课时 椭圆及其性质椭圆及其性质 题型一题型一 椭圆的定义及应用椭圆的定义及应用 1.如图所示，一圆形纸片的圆心为 O，F 是圆内一定点，M 是圆周上一动点，把纸片折叠使 M 与 F 重合，然后抹平纸片，折痕为 CD，设 CD 与 OM 交于点 P，则点 P 的轨迹是( ) A椭圆 B双曲线 C抛物线 D圆 答案 A 解析 由条件知|PM|PF|， |PO|PF|PO|PM|OM|R|OF|. P 点的轨迹是以 O，F 为焦点的椭圆 2过椭圆 4x2y21 的一个焦点 F1的直线与椭
8、圆交于 A，B 两点，则 A 与 B 和椭圆的另一 个焦点 F2构成的ABF2的周长为( ) A2 B4 C8 D2 2 答案 B 解析 椭圆方程变形为y 2 1 x2 1 4 1， 椭圆长轴长 2a2，ABF2的周长为 4a4. 3(2017 承德模拟)椭圆x 2 4y 21 的左、右焦点分别为 F 1，F2，过 F1作垂直于 x 轴的直线与 椭圆相交，一个交点为 P，则|PF2|等于( ) A.7 2 B. 3 2 C. 3 D4 答案 A 解析 F1( 3，0)，PF1x 轴， P 3， 1 2 ，|PF1 |1 2， |PF2 |41 2 7 2. 4(2017 呼和浩特模拟)已知 F
9、 是椭圆 5x29y245 的左焦点，P 是此椭圆上的动点，A(1,1) 是一定点，则|PA|PF|的最大值为_，最小值为_ 答案 6 2 6 2 解析 椭圆方程化为x 2 9 y2 51， 设 F1是椭圆的右焦点，则 F1(2,0)， |AF1| 2，|PA|PF|PA|PF1|6， 又|AF1|PA|PF1|AF1|(当 P，A，F1共线时等号成立)， |PA|PF|6 2，|PA|PF|6 2. 思维升华 椭圆定义的应用技巧 (1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和 离心率等 (2)通常定义和余弦定理结合使用，求解关于焦点三角形的周长和面积问题
10、 题型二题型二 椭圆的标准方程椭圆的标准方程 命题点 1 利用定义法求椭圆的标准方程 典例 (1)(2018 济南调研)已知两圆 C1：(x4)2y2169，C2：(x4)2y29，动圆在圆 C1 内部且和圆 C1相内切，和圆 C2相外切，则动圆圆心 M 的轨迹方程为( ) A.x 2 64 y2 481 B.x 2 48 y2 641 C.x 2 48 y2 641 D.x 2 64 y2 481 答案 D 解析 设圆 M 的半径为 r， 则|MC1|MC2|(13r)(3r)168|C1C2|， 所以 M 的轨迹是以 C1，C2为焦点的椭圆， 且 2a16,2c8，故所求的轨迹方程为x 2
11、 64 y2 481. (2)在ABC 中，A(4,0)，B(4,0)，ABC 的周长是 18，则顶点 C 的轨迹方程是( ) A.x 2 25 y2 91(y0) B.y 2 25 x2 91(y0) C.x 2 16 y2 91(y0) D.y 2 16 x2 91(y0) 答案 A 解析 由|AC|BC|188108 知，顶点 C 的轨迹是以 A，B 为焦点的椭圆(A，B，C 不 共线)设其方程为x 2 a2 y2 b21(ab0)，则 a5，c4，从而 b3.由 A，B，C 不共线知 y0. 故顶点 C 的轨迹方程是x 2 25 y2 91(y0) 命题点 2 利用待定系数法求椭圆方程
12、 典例 (1)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点 3 2， 5 2 ，( 3， 5)，则 椭圆方程为_ 答案 y2 10 x2 61 解析 设椭圆方程为 mx2ny21(m，n0，mn) 由 3 2 2m 5 2 2n1， 3m5n1， 解得 m1 6，n 1 10. 椭圆方程为y 2 10 x2 61. (2)过点( 3， 5)， 且与椭圆y 2 25 x2 91 有相同焦点的椭圆的标准方程为_ 答案 y2 20 x2 41 解析 方法一 椭圆y 2 25 x2 91 的焦点为(0，4)，(0,4)，即 c4. 由椭圆的定义知，2a 302 542 302 542， 解得 a
13、2 5. 由 c2a2b2可得 b24， 所求椭圆的标准方程为y 2 20 x2 41. 方法二 所求椭圆与椭圆y 2 25 x2 91 的焦点相同， 其焦点在 y 轴上，且 c225916. 设它的标准方程为y 2 a2 x2 b21(ab0) c216，且 c2a2b2，故 a2b216. 又点( 3， 5)在所求椭圆上， 5 2 a2 3 2 b2 1， 即 5 a2 3 b21. 由得 b24，a220， 所求椭圆的标准方程为y 2 20 x2 41. 思维升华 (1)求椭圆的标准方程多采用定义法和待定系数法 (2)利用定义法求椭圆方程，要注意条件 2a|F1F2|；利用待定系数法要先
14、定形(焦点位置)，再 定量，也可把椭圆方程设为 mx2ny21(m0，n0，mn)的形式 跟踪训练 设 F1，F2分别是椭圆 E：x2y 2 b21(0c0，a 2b2c2)的左、右焦点分别为 F 1，F2，若 以 F2为圆心，bc 为半径作圆 F2，过椭圆上一点 P 作此圆的切线，切点为 T，且|PT|的最小 值不小于 3 2 (ac)，则椭圆的离心率 e 的取值范围是_ 答案 3 5， 2 2 解析 因为|PT| |PF2|2bc2(bc)， 而|PF2|的最小值为 ac， 所以|PT|的最小值为 ac2bc2. 依题意，有 ac2bc2 3 2 (ac)， 所以(ac)24(bc)2，所以 ac2(bc)， 所以 ac2b，所以(ac)24(a2c2)， 所以 5c22ac3a20，所以 5e22e30. 又 bc，所以 b2c2，所以 a2c2c2， 所以 2e21. 联立，得3 5e 2 2 .
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