1、 9.8 曲线与方程曲线与方程 最新考纲 考情考向分析 1.了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系 2.了解解析几何的基本思想，利用坐标法研 究曲线的简单性质 3.能够根据所给条件选择适当的方法求曲线 的轨迹方程. 以考查曲线的轨迹、轨迹方程为主题型主 要以解答题的形式出现，题目为中档题，有 时也会在选择、填空题中出现. 1曲线与方程的定义 一般地，在直角坐标系中，如果某曲线 C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点 与一个二元方程 f(x，y)0 的实数解建立如下的对应关系： 那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线 2求动点的轨迹方程的基本步骤 知识拓展 1“曲线 C 是
2、方程 f(x，y)0 的曲线”是“曲线 C 上的点的坐标都是方程 f(x，y)0 的解” 的充分不必要条件 2曲线的交点与方程组的关系 (1)两条曲线交点的坐标是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解； (2)方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线就没有交点 题组一 思考辨析 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)f(x0，y0)0 是点 P(x0，y0)在曲线 f(x，y)0 上的充要条件( ) (2)方程 x2xyx 的曲线是一个点和一条直线( ) (3)到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是 x2y2.( ) (4)方程 y
3、x与 xy2表示同一曲线( ) (5)ykx 与 x1 ky 表示同一直线( ) (6)动点的轨迹方程和动点的轨迹是一样的( ) 题组二 教材改编 2P37T3已知点 F 1 4，0 ，直线 l：x 1 4，点 B 是 l 上的动点，若过点 B 垂直于 y 轴的直 线与线段 BF 的垂直平分线交于点 M，则点 M 的轨迹是( ) A双曲线 B椭圆 C圆 D抛物线 答案 D 解析 由已知|MF|MB|，根据抛物线的定义知， 点 M 的轨迹是以点 F 为焦点，直线 l 为准线的抛物线 3P35 例 1曲线 C：xy2 上任一点到两坐标轴的距离之积为_ 答案 2 解析 在曲线xy2上任取一点(x0，
4、 y0)， 则x0y02， 该点到两坐标轴的距离之积为|x0|y0|x0y0| 2. 题组三 易错自纠 4(2017 广州调研)方程(2x3y1)( x31)0 表示的曲线是( ) A两条直线 B两条射线 C两条线段 D一条直线和一条射线 答案 D 解析 原方程可化为 2x3y10， x30 或 x310， 即 2x3y10(x3)或 x4， 故原方程表示的曲线是一条射线和一条直线 5已知 M(1,0)，N(1,0)，|PM|PN|2，则动点 P 的轨迹是( ) A双曲线 B双曲线左支 C一条射线 D双曲线右支 答案 C 解析 由于|PM|PN|MN|，所以 D 不正确，应为以 N 为端点，沿
5、 x 轴正向的一条射线 6已知 M(2,0)，N(2,0)，则以 MN 为斜边的直角三角形的直角顶点 P 的轨迹方程是 _ 答案 x2y24(x 2) 解析 连接 OP， 则|OP|2， P 点的轨迹是去掉 M， N 两点的圆， 方程为 x2y24(x 2). 题型一题型一 定义法求轨迹方程定义法求轨迹方程 典例 (2018 枣庄模拟)已知圆 M：(x1)2y21，圆 N：(x1)2y29，动圆 P 与圆 M 外切 并且与圆 N 内切，圆心 P 的轨迹为曲线 C，求 C 的方程 解 由已知得圆 M 的圆心为 M(1,0)，半径 r11； 圆 N 的圆心为 N(1,0)，半径 r23.设圆 P
6、的圆心为 P(x，y)，半径为 R.因为圆 P 与圆 M 外切 并且与圆 N 内切， 所以|PM|PN|(Rr1)(r2R)r1r242|MN|.由椭圆的定义可知， 曲线 C 是以 M，N 为左、右焦点，长半轴长为 2，短半轴长为 3的椭圆(左顶点除外)，其方 程为x 2 4 y2 31(x2) 思维升华 应用定义法求曲线方程的关键在于由已知条件推出关于动点的等量关系式， 由等量 关系结合曲线定义判断是何种曲线，再设出标准方程，用待定系数法求解 跟踪训练 已知两个定圆 O1和 O2，它们的半径分别是 1 和 2，且|O1O2|4.动圆 M 与圆 O1内 切，又与圆 O2外切，建立适当的坐标系，
7、求动圆圆心 M 的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲 线 解 如图所示，以 O1O2的中点 O 为原点，O1O2所在直线为 x 轴建 立平面直角坐标系 由|O1O2|4，得 O1(2,0)，O2(2,0)设动圆 M 的半径为 r，则由动 圆 M 与圆 O1内切，有|MO1|r1； 由动圆 M 与圆 O2外切，有|MO2|r2. |MO2|MO1|3b0)的一个焦点为( 5，0)，离心率为 5 3 . (1)求椭圆 C 的标准方程； (2)若动点 P(x0，y0)为椭圆 C 外一点，且点 P 到椭圆 C 的两条切线相互垂直，求点 P 的轨迹 方程 解 (1)由题意，得 c 5，ec a 5 3 ， 因
8、此 a3，b2a2c24， 故椭圆 C 的标准方程是x 2 9 y2 41. (2)若两切线的斜率均存在，设过点 P(x0，y0)的切线方程是 yk(xx0)y0， 则由 ykxx0y0， x2 9 y2 41， 得x 2 9 kxx0y02 4 1， 即(9k24)x218k(y0kx0)x9(y0kx0)240， 18k(y0kx0)236(9k24)(y0kx0)240， 整理得(x209)k22x0y0ky2040. 又所引的两条切线相互垂直， 设两切线的斜率分别为 k1，k2， 于是有 k1k21，即y 2 04 x2091， 即 x20y2013(x0 3) 若两切线中有一条斜率不
9、存在， 则易得 x03， y02 或 x03， y02 或 x03， y02 或 x03， y02， 经检验知均满足 x20y2013. 因此，动点 P(x0，y0)的轨迹方程是 x2y213. 题型三题型三 相关点法求轨迹方程相关点法求轨迹方程 典例 (2017 合肥质检)如图所示，抛物线 E：y22px(p0)与圆 O：x2y28 相交于 A，B 两 点， 且点 A 的横坐标为 2.过劣弧 AB 上动点 P(x0， y0)作圆 O 的切线交抛物线 E 于 C， D 两点， 分别以 C，D 为切点作抛物线 E 的切线 l1，l2，l1与 l2相交于点 M. (1)求 p 的值； (2)求动点
10、 M 的轨迹方程 解 (1)由点 A 的横坐标为 2，可得点 A 的坐标为(2,2)， 代入 y22px，解得 p1. (2)由(1)知抛物线 E：y22x. 设 C y21 2，y1 ，D y22 2，y2 ，y10，y20，切线 l1的斜率为 k，则切线 l1：yy1k xy 2 1 2 ，代 入 y22x， 得 ky22y2y1ky210，由 0，解得 k1 y1， l1的方程为 y1 y1x y1 2， 同理 l2的方程为 y1 y2x y2 2. 联立 y1 y1x y1 2， y 1 y2x y2 2， 解得 xy1 y2 2 ， yy1y2 2 . 易知 CD 的方程为 x0xy
11、0y8，其中 x0，y0满足 x20y208，x02,2 2， 由 y22x， x0xy0y8， 得 x0y22y0y160， 则 y1y22y0 x0 ， y1 y216 x0， 代入 xy1 y2 2 ， yy1y2 2 ， 可得 M(x，y)满足 x8 x0， yy0 x0， 可得 x08 x， y08y x ， 代入 x20y208，并化简，得x 2 8y 21， 考虑到 x02,2 2，知 x4，2 2， 动点 M 的轨迹方程为x 2 8y 21，x4，2 2 思维升华 “相关点法”的基本步骤 (1)设点：设被动点坐标为(x，y)，主动点坐标为(x1，y1)； (2)求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式 x1fx，y， y1gx，y； (3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程 跟踪训练 (2018 安阳调研)如图， 动圆 C1： x2y2t2,1 1 2时，得到 x2 3 21 4 y 2 3 2 1. 此轨迹表示长轴在 x 轴上的椭圆满足 x2,2的部分12 分
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