1、 12.2 古典概型古典概型 最新考纲 考情考向分析 1.理解古典概型及其概率计算公式. 2.会计算一些随机事件所包含的基本 事件数及事件发生的概率. 全国对古典概型每年都会考查， 主要考查实际背景 的可能事件， 通常与互斥事件、 对立事件一起考查 在 高考中单独命题时， 通常以选择题、 填空题形式出现， 属于中低档题；与统计等知识结合在一起考查时， 以 解答题形式出现，属中档题. 1基本事件的特点 (1)任何两个基本事件是互斥的； (2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和 2古典概型 具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型 (1)试验中所有可能出现的基本事件只
2、有有限个； (2)每个基本事件出现的可能性相等 3如果一次试验中可能出现的结果有 n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个 基本事件的概率都是1 n；如果某个事件 A 包括的结果有 m 个，那么事件 A 的概率 P(A) m n. 4古典概型的概率公式 P(A)A包含的基本事件的个数 基本事件的总数 . 题组一 思考辨析 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽” 与“不发芽”( ) (2)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能事 件( ) (3)从市场上
3、出售的标准为 500 5 g 的袋装食盐中任取一袋测其重量， 属于古典概型 ( ) (4)有 3 个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能 性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为1 3.( ) (5)从 1,2,3,4,5 中任取出两个不同的数，其和为 5 的概率是 0.2.( ) (6)在古典概型中，如果事件 A 中基本事件构成集合 A，且集合 A 中的元素个数为 n，所有的 基本事件构成集合 I，且集合 I 中元素个数为 m，则事件 A 的概率为n m.( ) 题组二 教材改编 2P127 例 3一个盒子里装有标号为 1,2,3,4 的 4 张卡片
4、，随机地抽取 2 张，则取出的 2 张 卡片上的数字之和为奇数的概率是( ) A.1 4 B.1 3 C.1 2 D.2 3 答案 D 解析 抽取两张卡片的基本事件有：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共 6 种，和为奇 数的事件有：(1,2)，(1,4)，(2,3)，(3,4)，共 4 种 所求概率为4 6 2 3. 3P145A 组 T5袋中装有 6 个白球，5 个黄球，4 个红球，从中任取一球，则取到白球的概 率为( ) A.2 5 B. 4 15 C.3 5 D.2 3 答案 A 解析 从袋中任取一球，有 15 种取法，其中取到白球的取法有 6 种
5、，则所求概率为 P 6 15 2 5. 4P134A 组 T6已知 5 件产品中有 2 件次品，其余为合格品现从这 5 件产品中任取 2 件， 恰有一件次品的概率为_ 答案 0.6 解析 从 5 件产品中任取 2 件共有 C2510(种)取法，恰有一件次品的取法有 C12C136(种)，所 以恰有一件次品的概率为 6 100.6. 题组三 易错自纠 5将 2 本不同的数学书和 1 本语文书在书架上随机排成一行，则 2 本数学书相邻的概率为 ( ) A.1 2 B. 1 3 C. 2 3 D. 5 6 答案 C 解析 设两本不同的数学书为 a1， a2,1 本语文书为 b， 则在书架上的摆放方法
6、有 a1a2b， a1ba2， a2a1b，a2ba1，ba1a2，ba2a1，共 6 种，其中数学书相邻的有 4 种 因此 2 本数学书相邻的概率 P4 6 2 3. 6(2017 合肥检测)已知函数 f(x)2x24ax2b2，若 a4,6,8，b3,5,7，则该函数有两 个零点的概率为_ 答案 2 3 解析 要使函数 f(x)2x24ax2b2有两个零点，即方程 x22axb20 有两个实根，则 4a24b20，又 a4,6,8，b3,5,7，即 ab，而 a，b 的取法共有 339(种)，其中 满足 ab 的取法有(4,3)，(6,3)，(6,5)，(8,3)，(8,5)，(8,7)，
7、共 6 种，所以所求的概率为6 9 2 3. 题型一题型一 基本事件与古典概型的判断基本事件与古典概型的判断 1下列试验中，古典概型的个数为( ) 向上抛一枚质地不均匀的硬币，观察正面向上的概率； 向正方形 ABCD 内，任意抛掷一点 P，点 P 恰与点 C 重合； 从 1,2,3,4 四个数中，任取两个数，求所取两数之一是 2 的概率； 在线段0,5上任取一点，求此点小于 2 的概率 A0 B1 C2 D3 答案 B 解析 中，硬币质地不均匀，不是等可能事件， 所以不是古典概型； 的基本事件都不是有限个，不是古典概型； 符合古典概型的特点，是古典概型 2(2018 沈阳模拟)有两个正四面体的
8、玩具，其四个面上分别标有数字 1,2,3,4，下面做投掷这 两个正四面体玩具的试验：用(x，y)表示结果，其中 x 表示第 1 个正四面体玩具出现的点数， y 表示第 2 个正四面体玩具出现的点数试写出： (1)试验的基本事件； (2)事件“出现点数之和大于 3”包含的基本事件； (3)事件“出现点数相等”包含的基本事件 解 (1)这个试验的基本事件为 (1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)， (2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)， (3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)， (4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4) (2)事件“出现点数之和大于 3”包含的基本事
9、件为 (1,3)，(1,4)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)， (3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4) (3)事件“出现点数相等”包含的基本事件为 (1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4) 3袋中有大小相同的 5 个白球，3 个黑球和 3 个红球，每球有一个区别于其他球的编号，从 中摸出一个球 (1)有多少种不同的摸法？如果把每个球的编号看作一个基本事件建立概率模型，该模型是不 是古典概型？ (2)若按球的颜色为划分基本事件的依据，有多少个基本事件？以这些基本事件建立概率模型， 该模型是不是古典概型？ 解 (1)由于共有 11
10、个球，且每个球有不同的编号，故共有 11 种不同的摸法 又因为所有球大小相同，因此每个球被摸中的可能性相等，故以球的编号为基本事件的概率 模型为古典概型 (2)由于 11 个球共有 3 种颜色， 因此共有 3 个基本事件， 分别记为 A： “摸到白球”， B： “摸 到黑球”，C：“摸到红球”， 又因为所有球大小相同，所以一次摸球每个球被摸中的可能性均为 1 11，而白球有 5 个， 故一次摸球摸到白球的可能性为 5 11， 同理可知摸到黑球、红球的可能性均为 3 11， 显然这三个基本事件出现的可能性不相等， 故以颜色为划分基本事件的依据的概率模型不是古典概型 思维升华 一个试验是否为古典概
11、型， 在于这个试验是否具有古典概型的两个特点有限性 和等可能性，只有同时具备这两个特点的概型才是古典概型 题型二题型二 古典概型的求法古典概型的求法 典例 (1)(2017 全国)从分别写有 1,2,3,4,5 的 5 张卡片中随机抽取 1 张， 放回后再随机抽取 1 张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为( ) A. 1 10 B. 1 5 C. 3 10 D. 2 5 答案 D 解析 从 5 张卡片中随机抽取 1 张，放回后再随机抽取 1 张的情况如图： 基本事件总数为 25，第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的事件数为 10，所求概率 P 10 25 2 5. (2)
12、袋中有形状、大小都相同的 4 个球，其中 1 个白球，1 个红球，2 个黄球，从中一次随机 摸出 2 个球，则这 2 个球颜色不同的概率为_ 答案 5 6 解析 基本事件共有 C246(种)， 设取出两个球颜色不同为事件 A. A 包含的基本事件有 C12C12C11C115(种) 故 P(A)5 6. (3)我国古代“五行”学说认为：“物质分金、木、土、水、火五种属性，金克木、木克土、 土克水、水克火、火克金”将这五种不同属性的物质任意排成一列，设事件 A 表示“排列 中属性相克的两种物质不相邻”，则事件 A 发生的概率为_ 答案 1 12 解析 五种不同属性的物质任意排成一列的所有基本事件
13、数为 A55120，满足事件 A“排列 中属性相克的两种物质不相邻”的基本事件可以按如下方法进行考虑：从左至右，当第一个 位置的属性确定后，例如：金，第二个位置(除去金本身)只能排土或水属性，当第二个位置 的属性确定后，其他三个位置的属性也确定，故共有 C15C1210(种)可能，所以事件 A 出现的 概率为 10 120 1 12. 引申探究 1本例(2)中，若将 4 个球改为颜色相同，标号分别为 1,2，3,4 的四个小球，从中一次取两 球，求标号和为奇数的概率 解 基本事件数仍为 6.设标号和为奇数为事件 A， 则 A 包含的基本事件为(1,2)， (1,4)， (2,3)， (3,4)
14、，共 4 种， 所以 P(A)4 6 2 3. 2本例(2)中，若将条件改为有放回地取球，取两次，求两次取球颜色相同的概率 解 基本事件数为 C14C1416， 颜色相同的事件数为 C12C11C12C126， 故所求概率 P 6 16 3 8. 思维升华 求古典概型的概率的关键是求试验的基本事件的总数和事件 A 包含的基本事件的 个数，这就需要正确列出基本事件，基本事件的表示方法有列举法、列表法和树状图法，具 体应用时可根据需要灵活选择 跟踪训练 (2017 山东)某旅游爱好者计划从 3 个亚洲国家 A1， A2， A3和 3 个欧洲国家 B1， B2， B3中选择 2 个国家去旅游 (1)
15、若从这 6 个国家中任选 2 个，求这 2 个国家都是亚洲国家的概率； (2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选 1 个，求这 2 个国家包括 A1但不包括 B1的概率 解 (1)由题意知，从 6 个国家中任选 2 个国家， 其一切可能的结果组成的基本事件有：A1， A2，A1，A3，A1，B1，A1，B2，A1，B3，A2，A3，A2，B1，A2，B2，A2，B3， A3，B1，A3，B2，A3，B3，B1，B2，B1，B3，B2，B3，共 15 个 所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有：A1，A2，A1，A3，A2，A3， 共 3 个， 则所求事件的概率为 P 3 15 1 5.
16、(2)从亚洲国家和欧洲国家中各任选 1 个，其一切可能的结果组成的基本事件有：A1，B1， A1，B2，A1，B3，A2，B1，A2，B2，A2，B3，A3，B1，A3，B2，A3，B3，共 9 个 包括 A1但不包括 B1的事件所包含的基本事件有： A1，B2，A1，B3，共 2 个， 则所求事件的概率为 P2 9. 题型三题型三 古典概型与统计的综合应用古典概型与统计的综合应用 典例 某县共有90个农村淘宝服务网点， 随机抽取6个网点统计其元旦期间的网购金额(单位： 万元)的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数 (1)根据茎叶图计算样本数据的平均数； (2)若网购金额(单位：万元)不
17、小于 18 的服务网点定义为优秀服务网点，其余为非优秀服务网 点，根据茎叶图推断这 90 个服务网点中优秀服务网点的个数； (3)从随机抽取的 6 个服务网点中再任取 2 个作网购商品的调查，求恰有 1 个网点是优秀服务 网点的概率 解 (1)由题意知，样本数据的平均数 x 4612121820 6 12. (2)样本中优秀服务网点有 2 个，概率为2 6 1 3，由此估计这 90 个服务网点中优秀服务网点有 901 330(个) (3)样本中优秀服务网点有 2 个，分别记为 a1，a2， 非优秀服务网点有 4 个， 分别记为 b1，b2， b3， b4， 从随机抽取的 6 个服务网点中再任取
18、 2 个的可能情况有： (a1， a2)， (a1， b1)， (a1， b2)， (a1，b3)，(a1，b4)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(a2，b4)，(b1，b2)，(b1，b3)，(b1，b4)，(b2， b3)，(b2，b4)，(b3，b4)，共 15 种， 记“恰有 1 个是优秀服务网点”为事件 M， 则事件 M 包含的可能情况有： (a1， b1)， (a1， b2)， (a1，b3)，(a1，b4)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(a2，b4)，共 8 种， 故所求概率 P(M) 8 15. 思维升华 有关古典概型与统计结合的题型是高考
19、考查概率的一个重要题型， 已成为高考考查 的热点，概率与统计结合题，无论是直接描述还是利用概率分布表、频率分布直方图、茎叶 图等给出信息，准确从题中提炼信息是解题的关键 跟踪训练 从某学校 2016 届高三年级共 800 名男生中随机抽取 50 名测量身高， 被测学生身高 全部介于 155 cm 和 195 cm 之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组155,160)，第二 组160,165)， ， 第八组190,195， 如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分， 已知第六组比第七组多 1 人，第一组和第八组人数相同 (1)求第六组、第七组的频率并补充完整频率分布直方图； (2)
20、若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名，记他们的身高分别为 x，y，求 |xy|5 的概率 解 (1)由频率分布直方图知，前五组的频率为(0.0080.0160.040.040.06)50.82， 所以后三组的频率为 10.820.18， 人数为 0.18509， 由频率分布直方图得第八组的频率为 0.00850.04，人数为 0.04502，设第六组人数为 m，则第七组人数为 m1，又 mm129，所以 m4，即第六组人数为 4，第七组人 数为 3，频率分别为 0.08,0.06，频率除以组距分别等于 0.016,0.012，则完整的频率分布直方 图如图所示： (2)由(1)知身
21、高在180,185)内的男生有四名， 设为 a， b， c， d， 身高在190,195的男生有两名， 设为 A，B. 若 x，y180,185)，有 ab，ac，ad，bc，bd，cd 共 6 种情况； 若 x，y190,195，只有 AB 1 种情况； 若 x，y 分别在180,185)，190,195内，有 aA，bA，cA，dA，aB，bB，cB，dB 共 8 种情况， 所以基本事件的总数为 68115， 事件|xy|5 包含的基本事件的个数为 617， 故所求概率为 7 15. 六审细节更完善 典例 (12 分)一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为 1,2,3,4.
22、(1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于 4 的概率； (2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为 m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球， 该球的编号为 n，求 nm2 的概率 (1)基本事件为取两个球 (两球一次取出，不分先后，可用集合的形式表示) 把取两个球的所有结果列举出来 1,2，1,3，1,4，2,3，2,4，3,4 两球编号之和不大于 4 (注意：和不大于 4，应为小于 4 或等于 4) 1,2，1,3 利用古典概型概率公式求解 P2 6 1 3 (2)两球分两次取，且有放回 (两球的编号记录是有次序的，用坐标的形式表示) 基本事件的总数可用列举法表示 (1,1)，
23、(1,2)，(1,3)，(1,4)， (2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)， (3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)， (4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4) (注意细节，m 是第 1 个球的编号，n 是第 2 个球的编号) nm2 的情况较多，计算复杂 (将复杂问题转化为简单问题) 计算 nm2 的概率 nm2 的所有情况为(1,3)，(1,4)，(2,4) P1 3 16 (注意细节，P1 3 16是 nm2 的概率，需转化为其对立事件的概率) nm2 的概率为 1P113 16. 规范解答 解 (1)从袋中随机取两个球， 其一切可能的结果组成的基本事件有1,2，
24、 1,3， 1,4， 2,3， 2,4，3,4，共 6 个 从袋中取出的球的编号之和不大于 4 的事件有1,2，1,3，共 2 个 因此所求事件的概率 P2 6 1 3.4 分 (2)先从袋中随机取一个球， 记下编号为 m， 放回后， 再从袋中随机取一个球， 记下编号为 n， 其一切可能的结果有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)， (3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共 16 个6 分 又满足条件 nm2 的事件为(1,3)，(1,4)，(2,4)，共 3 个， 所以满足条件 nm2 的事件的概率 P1 3 16.10 分 故满足条件 nm2 的事件的概率为 1P11 3 16 13 16.12 分
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