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    高考数学一轮复习学案:13.3 数学归纳法(含答案)

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    高考数学一轮复习学案:13.3 数学归纳法(含答案)

    1、 13.3 数学归纳法数学归纳法 最新考纲 考情考向分析 1.了解数学归纳法的原理. 2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题. 以了解数学归纳法的原理为主,会用数学归 纳法证明与数列有关或与不等式有关的等式 或不等式在高考中以解答题形式出现,属 高档题. 数学归纳法 一般地,证明一个与正整数 n 有关的命题,可按下列步骤进行: (1)(归纳奠基)证明当 n 取第一个值 n0(n0N*)时命题成立; (2)(归纳递推)假设当 nk(kn0,kN*)时命题成立,证明当 nk1 时命题也成立 只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从 n0开始的所有正整数 n 都成立 题组一 思考辨析 1判断下列结论

    2、是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)用数学归纳法证明问题时,第一步是验证当 n1 时结论成立( ) (2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明( ) (3)用数学归纳法证明问题时,归纳假设可以不用( ) (4)不论是等式还是不等式,用数学归纳法证明时,由 nk 到 nk1 时,项数都增加了一 项( ) (5)用数学归纳法证明等式“12222n 22n31”,验证 n1 时,左边式子应为 1 22223.( ) (6)用数学归纳法证明凸 n 边形的内角和公式时,n03.( ) 题组二 教材改编 2P99B 组 T1在应用数学归纳法证明凸 n 边形的对角线为1 2n(n3)条时,

    3、第一步检验 n 等 于( ) A1 B2 C3 D4 答案 C 解析 凸 n 边形边数最小时是三角形,故第一步检验 n3. 3 P96A 组 T2已知an满足 an1a2nnan1, nN*, 且 a12, 则 a2_, a3_, a4_,猜想 an_. 答案 3 4 5 n1 题组三 易错自纠 4用数学归纳法证明 1aa2an 11a n2 1a (a1,nN*),在验证 n1 时,等式左 边的项是( ) A1 B1a C1aa2 D1aa2a3 答案 C 解析 当 n1 时,n12, 左边1a1a21aa2. 5对于不等式 n2n1,nN*. (1)证明:当 x1 且 x0 时,(1x)p

    4、1px; (2)数列an满足 a1 1 p c,an1p1 p anc pa 1p n .证明:anan1 1 p c. 证明 (1)当 p2 时,(1x)212xx212x,原不等式成立 假设当 pk(k2,kN*)时,不等式(1x)k1kx 成立 则当 pk1 时, (1x)k 1(1x)(1x)k(1x) (1kx) 1(k1)xkx21(k1)x. 所以当 pk1 时,原不等式也成立 综合可得,当 x1,且 x0 时, 对一切整数 p1,不等式(1x)p1px 均成立 (2)方法一 当 n1 时,由题设知 a1 1 p c成立 假设当 nk(k1,kN*)时,不等式 ak 1 p c成

    5、立 由 an1p1 p anc pa 1p n 易知 an0,nN*. 则当 nk1 时, ak1 ak p1 p c pa p k11 p c p k a 1 . 由 ak 1 p c0 得1c,即 ak1 1 p c. 所以当 nk1 时,不等式 an 1 p c也成立 综合可得,对一切正整数 n,不等式 an 1 p c均成立 再由an 1 an 11 p c apn1 可得 an1 an 1 p c,nN*. 方法二 设 f(x)p1 p xc px 1p,x 1 p c, 则 xpc, 并且 f(x)p1 p c p(1p)x p p1 p 1 c xp 0,x 1 p c. 由此可

    6、得,f(x)在 1 p c,)上单调递增, 因而,当 x 1 p c时,f(x)f( 1 p c) 1 p c. 当 n1 时,由 a1 1 p c0, 即 1 p ac 可知 a2p1 p a1 1 1 p c a p a1 11 p c 1 p a 1 1 p c,从而 a1a2 1 p c. 故当 n1 时,不等式 anan1 1 p c成立 假设当 nk(k1,kN*)时, 不等式 akak1 1 p c成立, 则当 nk1 时,f(ak)f(ak1)f( 1 p c), 即有 ak1ak2 1 p c. 所以当 nk1 时,原不等式也成立 综合可得,对一切正整数 n,不等式 anan

    7、1 1 p c均成立 思维升华 数学归纳法证明不等式的适用范围及关键 (1)适用范围:当遇到与正整数 n 有关的不等式证明时,若用其他办法不容易证,则可考虑应 用数学归纳法 (2)关键:由 nk 时命题成立证 nk1 时命题也成立,在归纳假设使用后可运用比较法、 综合法、分析法、放缩法等来加以证明,充分应用基本不等式、不等式的性质等放缩技巧, 使问题得以简化 跟踪训练 (2018 衡水调研)若函数 f(x)x22x3,定义数列xn如下:x12,xn1是过点 P(4,5),Qn(xn,f(xn)(nN*)的直线 PQn与 x 轴的交点的横坐标,试运用数学归纳法证明: 2xn0,使 (x)0(nN

    8、*)猜想 an的通项公式,并用数学归纳法加以证明 解 分别令 n1,2,3,得 2a1a211, 2a1a2a222, 2a1a2a3a233, an0,a11,a22,a33, 猜想:ann. 由 2Sna2nn, 可知,当 n2 时,2Sn1a2n1(n1), ,得 2ana2na2n11,即 a2n2ana2n11. ()当 n2 时,a222a2121, a20,a22. ()假设当 nk(k2,kN*)时,akk,那么当 nk1 时, a2k12ak1a2k12ak1k21, 即ak1(k1)ak1(k1)0, ak10,k2,ak1(k1)0, ak1k1,即当 nk1 时也成立

    9、ann(n2),显然当 n1 时,也成立, 故对于一切 nN*,均有 ann. 命题点 3 存在性问题的证明 典例 设 a11,an1 a2n2an2b(nN*) (1)若 b1,求 a2,a3及数列an的通项公式; (2)若 b1,问:是否存在实数 c 使得 a2nf(1)a2,即 1ca2k2a2. 再由 f(x)在(,1上为减函数,得 cf(c)a2n2, 所以 a2n1 a22n12a2n121. 解得 a2n11 4. 综上,由知存在 c1 4使得 a2n0,ana2n0, 0an1, 故数列an中的任何一项都小于 1. (2)由(1)知 0a111 1, 那么 a2a1a21 a1

    10、1 2 21 4 1 4 1 2, 由此猜想 an1 n. 下面用数学归纳法证明:当 n2,且 nN*时猜想正确 当 n2 时已证; 假设当 nk(k2,且 kN*)时,有 ak1 k成立, 那么1 k 1 2,ak1aka 2 k ak1 2 21 4 1 k 1 2 21 4 1 k 1 k2 k1 k2 k1 k21 1 k1, 当 nk1 时,猜想正确 综上所述,对于一切 nN*,都有 an1 n. 归纳猜想证明问题 典例 (12 分)数列an满足 Sn2nan(nN*) (1)计算 a1,a2,a3,a4,并由此猜想通项公式 an; (2)证明(1)中的猜想 思维点拨 (1)由 S1

    11、a1算出 a1;由 anSnSn1算出 a2,a3,a4,观察所得数值的特征猜出 通项公式 (2)用数学归纳法证明 规范解答 (1)解 当 n1 时,a1S12a1,a11; 当 n2 时,a1a2S222a2,a23 2; 当 n3 时,a1a2a3S323a3,a37 4; 当 n4 时,a1a2a3a4S424a4, a415 8 .2 分 由此猜想 an2 n1 2n 1(nN*)4 分 (2)证明 当 n1 时,a11,结论成立5 分 假设当 nk(k1 且 kN*)时,结论成立, 即 ak2 k1 2k 1, 那么当 nk1 时,7 分 ak1Sk1Sk2(k1)ak12kak 2akak1, 2ak12ak.9 分 ak12ak 2 22 k1 2k 1 2 2 k11 2k . 当 nk1 时,结论成立11 分 由知猜想 an2 n1 2n 1(nN*)成立12 分 归纳猜想证明问题的一般步骤 第一步:计算数列前几项或特殊情况,观察规律猜测数列的通项或一般结论; 第二步:验证一般结论对第一个值 n0(n0N*)成立; 第三步:假设当 nk(kn0,kN*)时结论成立,证明当 nk1 时结论也成立; 第四步:下结论,由上可知结论对任意 nn0,nN*成立


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