1、镇海镇海 20202020 年年 3 3 月高考模拟测试数学月高考模拟测试数学试试卷卷 第 1 卷 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分） 1设集合1,2,3,4A，33Bxx N|，则AB I（ ） A1,2,3,4 B3, 2, 1,0,1,2,3,4 C1,2,3 D1,2 2双曲线 2 2 1 4 x y的渐近线方程是（ ） A20xy B20xy C40xy D40xy 3已知公差不为零的等差数列 n a满足 2 314 aa a， n S为数列 n a的前n项和，则 3 1 S S 的值为（ ） A 9 4 B 9 4 C 3 2 D 3 2 4设aR，则
2、“0a”是“ 2 2 2a a ”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 5函数 2 ln1cos2yxxx的图象可能是 ABCD 6某射手射击所得环数的分布列如下： 7 8 9 10 P x 01 03 y 已知的数学期望 8.9E，则y的值为（ ） A0.2 B0.4 C0.6 D0.8 7已知正四棱柱 1111 ABCDABC D中，2AB ， 1 2 2CC ，E 为 1 CC的中点，则直线 1 AC与平面 BED 的距离为（ ） A1 B3 C2 D2 8对于定义域为 R 的函数 f x，若存在非零实数 0 x，使函数 f x在 0 ,x
3、和 0, x 上与x轴都有 交点，则称 0 x为函数 f x的一个“界点” 则下列四个函数中，不存在“界点”的是（ ） A 2 2xf xx B 2 2f xxbxbR C 12f xx D sinf xxx 9已知 r a， r b， r c是平面内三个单位向量，若 rr ab，则232cbc rrrrr aa的最小值（ ） A29 B293 2 C192 3 D5 10已知数列 n a满足 11 2 nnn aaa （ * nN，2n） ，则（ ） A 521 43aaa B 2736 aaaa C 7663 3 aaaa D 2367 aaaa 第卷 二、填空题（本大题共 7 小题，多空
4、题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分） 11设 i 为虚数单位，给定复数 4 1 i 1 i z ，则 z 的虚部为_，z _ 12某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是_，表面积是_ 13已知x，y满足条件 0, 40, 10, xy xy x 则2xy的最大值是_，原点到点,P x y的距离的最小 值是_ 14小明口袋中有 3 张 10 元，3 张 20 元（因纸币有编号认定每张纸币不同） ，现从中掏出纸币超过 45 元的 方法有_种；若小明每次掏出纸币的概率是等可能的，不放回地掏出 4 张，刚好是 50 元的概率为 _ 15在ABC中，120BAC，AD 为BAC的平分
5、线，2ABAC，则 AB AD _ 16若函数 2 1 3 f xxa xb 在1,1上有零点，则 2 3ab的最小值为_ 17如图，椭圆： 22 22 10 xy ab ab 的离心率为e，F 是的右焦点，点 P 是上第一角限内任意 一点，0OQOP uuu ruuu r ，0FQ OP uuu r uuu r ，若e，则e的取值范围是 三、解答题（本大题共 5 小题，共 74 分） 18 （本小题满分 14 分）已知函数 sin3sincos 222 xxx f x （）求函数 f x的单调递增区间； （）设ABC中的内角 A，B，C 所对的边分别 a，b，c，若 3 2 f B ，且3b
6、 ，求 22 ac的取值 范围 19 （本小题满分 15 分）如图，四棱锥PABCD中，PC垂直平面 ABCD，ABAD，ABCD， 222PDABADCD，E为PB的中点 （）证明：平面EAC 平面 （）求直线PD与平面AEC所成角的正弦值 20 （本小题满分 15 分）在数列 n a中， 1 1a ， 2 3a ，且对任意的 * nN，都有 21 32 nnn aaa （）证明数列 1nn aa 是等比数列，并求数列 n a的通项公式； （）设 1 2n n nn b a a ，记数列 n b的前n项和为 n S，若对任意的 * nN都有 1 n n Sm a ，求实数m的取 值范围 21
7、 已知椭圆的焦点坐标为 1 1,0F ， 2 1,0F， 过 2 F垂直于长轴的直线交椭圆于 P， Q 两点， 且3PQ ， （1）求椭圆的方程； （2）过 2 F的直线 l 与椭圆交于不同的两点 M，N，则 1 FMNV的内切圆的面积是否存在最大值？若存在求 出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由 22 （本题 15 分）已知函数 2 3 e x f xx （）若0x，求证： 1 9 fx ； （）若0x，恒有 32ln1f xkxx，求实数k的取值范围 参考答案参考答案 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分） 1C； 2B； 3A； 4C； 5D； 6
8、B； 7A； 8D； 9A； 10C 9提示：设, x y r c，1,0a r ，0,1b r ，则 22 1xy，从而 2222 23221232xyxy rrrrr acabc 22 2222 34132xyxyxxy 222 222 2325229xyxy，等号可取到 二、填空题（本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分） 112，2 2 12144 12，168 6； 136；2； 1432； 1 5 ； 153； 16 1 3 ； 17 2 0, 2 17提示：设OFc，,P x y，FOQ，则 2 cos, cossinQ cc， 由0OQOP u
9、uu ruuu r ，得 2 coscos sin , cc P ，代入椭圆方程， 得 242222 2 222 coscossinccc aba ，化简得 22 22 cos 090 1 cos b a 恒成立， 由此得 2 2 1 2 b a ，即 22 2ac，故 2 0, 2 e 三、解答题（本大题共 5 小题，共 74 分） 18解： （） 2 31 3sinsincos1 cossin 22222 xxx f xxx 3 sin 32 x 3 分 所以 2 2 232 kxk，解得 5 2 2 66 kxk，kZ 所以函数 f x的单调递增区间为 5 2 ,2 66 kk ，Zk7
10、 分 （）因为 33 sin 322 f BB ，所以 sin0 3 B 所以 3 B 9 分 又因为3b ，所以 22 3acac，即 22 3acac 而 22 2acac，所以3ac，即 22 6ac12 分 又因为 22 33acac，即 22 6ac14 分 19 （）证明：PC 平面 ABCD，故PCAC 又2AB ，1CD，ADAB，所以2ACBC 故 222 ACBCAB，即ACBC 所以AC 平面 PBC，所以平面ACE 平面 PBC6 分 （）解：PC 平面 ABCD，故PCCD又2PD ，所以3PC 8 分 在平面 ACE 内，过点 P 作 PF 垂直 CE，垂足为 F
11、由（）知平面ACE 平面 PBC，所以 PF 垂直平面 ACE10 分 由面积法得：即 1 2 CE PFPC BC 又点 E 为 AB 的中点， 15 22 CEPB 所以 30 5 PF 12 分 又点 E 为 AB 的中点，所以点 P 到平面 ACE 的距离与点 B 到平面 ACE 的距离相等 连结 BD 交 AC 于点 G，则 GB=2DG 所以点 D 到平面 ACE 的距离是点 B 到平面 ACE 的距离的一半，即 1 2 PF 所以直线 PD 与平面 AEC 所成角的正弦值为 1 30 2 20 PF PD 15 分 另解：如图，取 AB 的中点 F，如图建立坐标系 因为2PD ，
12、所以3CP ，所以有： 0,0,0C，0,1,0D，0,0, 3P，1,1,0A，1, 1,0B， 113 , 222 E 9 分 0,1,3PD uuu r ，1,1,0CA uu u r ， 113 , 222 CE uuu r 设平面 ACE 的一个法量为, ,nx y z，则 0, 3 0 222 xy xy z 取1x ，得1y ， 2 3 3 z 即 3 1, 1, 3 n 13 分 设直线PD与平面AEC所成角为，则 130 sincos, 204 2 2 3 n PD uuu r 15 分 20解： （）由 21 32 nnn aaa 可得 211 2 nnnn aaaa 2
13、分 又 1 1a ， 2 3a ，所以 21 2aa 所以 1nn aa 是首项为 2，公比为 2 的等比数列3 分 所以 1 2n nn aa 4 分 所以 2 1211 1 22221 nn nnn aaaaaa LL7 分 （）因为 1 1 11 2121 211 212121 2121 21 nn n n nn nnnn b 9 分 所以 12 2231 111111 2 12121212121 nn nn Sbbb LL 1 1 1 21 n 12 分 又因为对任意的 * nN都有 1 n n Sm a ，所以 1 11 1 2121 nn m 恒成立， 即 1 min 11 1 2
14、121 nn m ，即当1n 时， 1 3 m 15 分 21 （1）设椭圆方程为 22 22 10 xy ab ab ，由焦点坐标可得1c，由3PQ ，可得 2 2 3 b a ， 解得2a，3b ，故椭圆方程为 22 1 43 xy （2）设 11 ,M x y， 22 ,N x y，不妨 1 0y ， 2 0y ，设 1 FMN的内切圆的径 R， 则 1 FMN周长48a， 1 11 1 4 2 F MN SMNFMFN RR 因此 1 F MN S最大，R 就最大， 121212 1 2 AMN SFFyyyy, 由题知，直线 l 的斜率不为零，可设直线 l 的方程为1xmy， 由 2
15、2 1 1 43 xmy xy 得 22 34690mymy， 得 2 1 2 361 34 mm y m ， 2 2 2 361 34 mm y m ， 则 2 1212 2 1121 234 AMN m SAB yyyy m ，令 2 1tm，则1t ， 则 2 22 1211212 1 3431 3 AMN mt S mt t t ，令 1 3f tt t ，令 1 3f tt t ，当1t 时， f t在1, 上单调递增， 有 l4f tf， 12 3 3 AMN S， 即当1t ，0m时， 12 3 3 AMN S，4 AMN SR ， max 3 4 R， 这时所求内切圆面积的最大
16、值为 9 16 故直线 l：1x ，AMN内切圆面积的最大值为 9 16 22 （本题 15 分） 已知函数 2 3 e x f xx （）若0x，求证： 1 9 fx ； （）若0x，恒有 32ln1f xkxx，求实数k的取值范围 解析： （）因为 2 3 e x f xx，所以 32 33 2 e3 e32 e xxx fxxxxx 从而 f x在 2 , 3 内单调递增，在 2 ,0 3 内单调递减，在0,内单调递增， 故 f x的极大值为 2 24 39e f 所以当0x时， 2 2441 39e9 49 f xf （）由 2 3 e32ln1 x xkxx得， 23 e32ln1
17、0 x xxx kx x 令 23 e32ln1 0 x xxx g xx x ，则 23 2 1 3e2ln1 0 x xxx gxx x ， 令 23 1 3e2ln1 x h xxxx，则可知函数 h x在0,上递增， 且0x 时， h x ， 3 14e2ln1 10h ，从而存在 0 0,1x ，使得 0 0h x， 所以当 0 0,xx时， 0g x， g x单调递减； 当 0, xx时， 0g x， g x单调递增； 所以 g x在0,上的最小值为 0 32 000 0 0 e32ln1 x xxx g x x 由 0 32 0000 1 3e2ln10 x h xxxx ，得 0 32 0 0 0 1 2ln e 1 3 x x x x ， 0 22 0 00 0 1 2ln e 1 3 x x xt x ，则 000 2ln3lnxxt，且 000 1 2ln1 3xtx， 两式相加可得 0000 2ln1 31 30ttxx ， 记 00 2ln1 31 3tttxx ，则 t在0,上单调递增，且 10，所以1t ， 从而 0 32 00000 0 00 e32ln11 331 0 x xxxxx g x xx ， 所以实数k的取值范围为,0
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