1、2019 届高三上学期 9 月月考数学（理）试题考试时间：120 分钟 第 I 卷（选择题）一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分， ）11复数满足 ，是的共轭复数，则 =A B C D 2小思说“浮躁成绩差”,他这句话的意思是:“不浮躁”是“成绩好”的（ ）A 充分条件 B 必要条件C 充分必要条件 D 既非充分也非必要条件3若等差数列 na满足 12015263a，则 na的前 2016 项之和 2016S（ ）A 1506 B 1508 C 1510 D 15124如图，已知平行四边形 A中， B， 45A， E为线段 BC的中点， BFCD，则 EBF（ ）A
2、 2 B 2 C D 15为得 sin3coyx的图象,可将 2sin3yx的图象A 向右平移 4个单位 B 向左平移 4个单位 C 向右平移 12个单位 D 向左平移 12个单位6如果 的展开式中各项系数的和为 16，则展开式中 项的系数为A B C D 12设 是定义在 上的偶函数，且当 时， ，若对任意的 ，不等式 恒成立，则实数 的最大值是A -1/3 B1/3 C-1 D 1第 II 卷（非选择题）二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在答题卷的横线上。.13若 ，则 ，就称 是伙伴关系集合，集合 的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是_.14.已
3、知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且对于任意的 xR 都有 f(x+4)= f (x)+ f(2)，f(1)= 4，则 f(3)+ f(10)的值为_15袋中装有 5 个大小相同的球，其中有 2 个白球，2 个黑球，1 个红球，现从袋中每次取出 1 球，去除后不放回，直到取到有两种不同颜色的球时即终止，用 表示终止取球时所需的取球次数，则随机变量 的数学期望 是_。 16下列说法：线性回归方程 必过 ；命题 “ ”的否定是“ ” 相关系数越小，表明两个变量相关性越弱；在一个 列联表中，由计算得 ，则有 的把握认为这两个变量间有关系；其中正确的说法是_(把你认为正确的结论都写在横线上）本
4、题可参考独立性检验临界值表：三、解答题：本大题共 6 小题，满分 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17已知集合 1 21|28 ,|log,3 48xAByx，（1）求集合 ,B；（2）若 |12 Cxm， CA，求实数 m的取值范围.18已知数列 满足 ， （为常数） （1）试探究数列 是否为等比数列，并求 ；（2）当 时，设 ，求数列 的前 项和 19随着智能手机的普及，使用手机上网成为了人们日常生活的一部分，很多消费者对手机流量的需求越来越大.长沙某通信公司为了更好地满足消费者对流量的需求，准备推出一款流量包.该通信公司选了 5 个城市（总人数、经济发展情况、消费能力等方
5、面比较接近）采用不同的定价方案作为试点，经过一个月的统计，发现该流量包的定价:(单位：元 /月）和购买人数 (单位：万人）的关系如表:（1）根据表中的数据，运用相关系数进行分析说明，是否可以用线性回归模型拟合与的关系？并指出是正相关还是负相关；（2） 求出关于的回归方程；若该通信公司在一个类似于试点的城市中将这款流量包的价格定位 25 元/ 月，请用所求回归方程预测长沙市一个月内购买该流量包的人数能否超过 20 万人.参考数据： ， ， .参考公式：1221yniiiniiiixr， 12niiiiixyb， aybx.20如图，在四棱锥 PABCD 中，已知 PA平面 ABCD，且四边形 A
6、BCD 为直角梯形，ABCBAD ，PAAD2，ABBC1.(1)求点 D 到平面 PBC 的距离；(2)设 Q 是线段 BP 上的动点，当直线 CQ 与 DP 所成的角最小时，求二面角 B-CQ-D 的余弦值21已知函数 .（1）求函数 的单调区间；（2）当 时，函数 的图象恒不在轴的上方，求实数 的取值范围.22在直角坐标系 中，是过定点 且倾斜角为 的直线；在极坐标系（以坐标原点 为极点，以轴非负半轴为极轴，取相同单位长度）中，曲线 的极坐标方程为 .（1）写出直线的参数方程，并将曲线 的方程化为直角坐标方程；（2）若曲线 与直线相交于不同的两点 ，求 的取值范围.高 2016 级 9
7、月考题理数答案第 I 卷（选择题）一、单选题1复数满足 ，是的共轭复数，则 =A B C D 【答案】D2小思说“浮躁成绩差”,他这句话的意思是:“不浮躁”是“成绩好”的A 充分条件 B 必要条件C 充分必要条件 D 既非充分也非必要条件【答案】B【解析】由“浮躁成绩差”可知， “浮躁”是“成绩差”的充分条件，所以由互为逆否命题的真假可知， “不浮躁”是“成绩好”的必要条件选 B3若等差数列 na满足 12015263a，则 na的前 2016 项之和 2016S（ ）A 1506 B 1508 C 1510 D 1512【答案】D【解析】由题意，得 120152612063aaa，即 120
8、63a，则等差数列na的前 2016 项和 02016 85S.故选 D.4如图，已知平行四边形 ABCD中， 2， 4BAD， E为线段 BC的中点， BFCD，则 EF（ ）A 2 B 2 C D 1【解析】由题意，得 2BFC，设 (0)ABa，以 DC所在直线为 x轴， FB 所在直线为 y轴建立平面直角坐标系，则 ,20,0,2AaEF,E， ,BF，则 1AB.故选 D.5为得 sin3coyx的图象,可将 2sin3yx的图象A 向右平移 4个单位 B 向左平移 4个单位 C 向右平移 12个单位 D 向左平移 12个单位【答案】D【解析】 sin3cosin3sin3412yx
9、xx，所以为了得到函数 i的图象，可以将 iy的图象向左平移 12个单 6如果 的展开式中各项系数的和为 16，则展开式中 项的系数为A B C D 【答案】D【详解】令 ，可得： ，解得： ，由二项展开式公式将后面式子展开可得： ， ，分别与前面括号中、 相乘后求和可得： .位故选 D7为计算 ，设计了下面的程序框图，则在空白框中应填入A B C D 【答案】B【解析】分析：根据程序框图可知先对奇数项累加，偶数项累加，最后再相减.因此累加量为隔项.详解：由 得程序框图先对奇数项累加，偶数项累加，最后再相减.因此在空白框中应填入 ，选 B.8.如果圆 上任意一点 都能使 成立，那么实数的取值范
10、围是( )A B C D 【答案】C【解析】设圆上任意一点 的坐标为 ，即 ，即，即 ，又 ， 得到，则 ，故选 C.9在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 为参数 以原点 O 为极点，以 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 ，则直 线 l 和曲线 C 的公共点有 A 0 个 B 1 个 C 2 个 D 无数个【答案】B【解析】分析：首先，将给定的参数方程和极坐标方程化为普通方程，然后，利用直线与圆的位置关系进行判断详解： 直线 l 的参数方程为 为参数 它的普通方程为： ，曲线 C 的极坐标方程为 ，两边同乘以 ，得 ，它的直角坐标方程为： ，它的半径为
11、，圆心为 ，圆心到直线的距离为 ，直线 l 和曲线 C 的公共点有 1 个故选：B10已知函数 若 g（x）存在 2 个零点，则 a 的取值范围是A 1，0） B 0，+） C 1，+ ） D 1，+）【答案】C详解：画出函数 的图像， 在 y 轴右侧的去掉，再画出直线 ，之后上下移动，可以发现当直线过点 A 时，直线与函数图像有两个交点， 并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，即方程 有两个解，也就是函数 有两个零点，此时满足 ，即 ，故选 C.11已知实数 ，则函数 在定义域内单调递减的概率为（ ）A B C D 【答案】C【解析】分析：求出函数 单调递减时 的范围，
12、由几何概型概率公式可得详解：由题意，在 时， 恒成立，即 ，又 ，当且仅当 ，即 时等号成立，即 的最小值为 3， ，从而 ，所求概率为 12设 是定义在 上的偶函数，且当 时， ，若对任意的 ，不等式 恒成立，则实数 的最大值是_【答案】【解析】分析：由 为偶函数， 在 上连续，且为减函数，可得 ，等价于，即有 ，由一次函数的单调性，解不等式即可得结果.详解：因为当 时， ，所以可得 时， 递减， ；当 时， 递减，且 ，在 上连续，且为减函数，对任意的 ，不等式 恒成立，等价于 ，可得 ，两边平方、移项分解因式可得 ，由一次函数的单调性，可得 ，且 ，即为 且 ，即有 ，则 的最大值为 ，
13、故答案为 .第 II 卷（非选择题）二、填空题13若 ，则 ，就称 是伙伴关系集合，集合 的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是_.因为 ，则 ，就称 是伙伴关系集合，集合 ，所以集合 中具有伙伴关系的元素组是 ，所以具有伙伴关系的集合有 个： ， ,故选 B.14.已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且对于任意的 xR 都有 f(x+4)= f(x)+ f(2)，f(1)= 4，则f(3)+ f(10)的值为_【答案】4【解析】分析：令 ，可求得 ，从而可得 是以 为周期的周期函数，结合 ，即可求解 的值详解：由题意可知 ，令 ，可求得 ，又函数 是定义在 上的偶函数，所以 ，即
14、 ，所以 是以 为周期的周期函数，又 ，所以 15袋中装有 5 个大小相同的球，其中有 2 个白球，2 个黑球，1 个红球，现从袋中每次取出 1 球，去除后不放回，直到渠道有两种不同颜色的球时即终止，用 表示终止取球时所需的取球次数，则随机变量 的数字期望 是_。详解：袋中装有 5 个大小相同的球，其中有 2 个白球，2 个黑球，1 个红球，现从袋中每次取出 1球，取后不放回，直到取到有两种不同颜色的球时即终止，用 X 表示终止取球时所需的取球次数，则 X 的可能取值为2，3， ， ，随机变量 X 的数字期望 E（X）是 ，故选 A16下列说法：线性回归方程 必过 ；命题 “ ”的否定是“ ”
15、 相关系数越小，表明两个变量相关性越弱；在一个 列联表中，由计算得 ，则有 的把握认为这两个变量间有关系；其中正确的说法是_(把你认为正确的结论都写在横线上）本题可参考独立性检验临界值表：【答案】【解析】分析：根据性回归方程，独立性检验，相关关系，以及命题的否定等知识，选出正确的，得到结果详解：线性回归方程 必过样本中心点 ，故正确命题“ ”的否定是“ ” 故错误相关系数 r 绝对值越小，表明两个变量相关性越弱，故不正确；在一个 列联表中，由计算得 ，则有 的把握认为这两个变量间有关系，正确.故答案为.二、解答题17已知集合 1 21|28 ,|log,3 48xAByx，（1）求集合 ,B；
16、（2）若 |12 Cxm， CA，求实数 m的取值范围.【答案】 （1） ,83,5A；（2 ） 3【解析】试题分析：（1）利用指数函数的单调性可求出集合 ，利用对数函数的单调性可求出集合 B；（2）若 C，则 1m，可得 2，若 C，根据包含关系列不等式组，解不等式组可得 3，综合两种情况可得实数 的取值范围.试题解析：（1） ,83,5AB （2 ） |1 Bx，若 C，则 12m若 C，则2 15m3，综上： 318已知数列 满足 ， （为常数） （1）试探究数列 是否为等比数列，并求 ；（2）当 时，设 ，求数列 的前 项和 【答案】(1) . (2) .（1）由 ，可得 ，当 时，
17、，数列 不是等比数列，当 时，数列 是以 为首项，2 为公比的等比数列，利用等比数列的通项公式可得结果；（2）由（ 1）知 ， ，利用裂项相消法可得结果.【详解】（1 ） ， ，又 ，所以当 时， ，数列 不是等比数列此时 ，即 ； 当 时， ，所以 所以数列 是以 为首项，2 为公比的等比数列此时 ，即 （2 ）由（1 ）知 ， ， 19随着智能手机的普及，使用手机上网成为了人们日常生活的一部分，很多消费者对手机流量的需求越来越大.长沙某通信公司为了更好地满足消费者对流量的需求，准备推出一款流量包.该通信公司选了 5 个城市（总人数、经济发展情况、消费能力等方面比较接近）采用不同的定价方案作
18、为试点，经过一个月的统计，发现该流量包的定价:(单位：元 /月）和购买人数 (单位：万人）的关系如表:（1）根据表中的数据，运用相关系数进行分析说明，是否可以用线性回归模型拟合与的关系？并指出是正相关还是负相关；（2） 求出关于的回归方程；若该通信公司在一个类似于试点的城市中将这款流量包的价格定位 25 元/ 月，请用所求回归方程预测长沙市一个月内购买该流量包的人数能否超过 20 万人.参考数据： ， ， .参考公式：相关系数 ，回归直线方程 ，其中 ， .【答案】(1)见解析;(2) ;一个月内购买该流量包的人数会超过 20 万人.(1) 根据题意，得, 计算出相关系数，从而可以作出判断;(
19、2) 求出回归直线方程，由知，若 ，则 ，从而预测长沙市一个月内购买该流量包的人数会超过 20 万人【详解】（1）根据题意，得 ，.可列表如下根据表格和参考数据，得 ，.因而相关系数 .由于 很接近 1，因而可以用线性回归方程模型拟合与的关系. 由于 ，故其关系为负相关 .（2） ， ，因而关于的回归方程为 .由知，若 ，则 ，故若将流量包的价格定为 25 元/ 月，可预测长沙市一个月内购买该流量包的人数会超过 20 万人.【点睛】本题主要考查线性回归方程，属于难题.求回归直线方程的步骤：依据样本数据画出散点图，确定两个变量具有线性相关关系；计算 的值；计算回归系数 ；写出回归直线方程为 ；
20、回归直线过样本点中心 是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.20如图，在四棱锥 PABCD 中，已知 PA平面 ABCD，且四边形 ABCD 为直角梯形，ABCBAD ，PAAD2，ABBC1.(1)求点 D 到平面 PBC 的距离；(2)设 Q 是线段 BP 上的动点，当直线 CQ 与 DP 所成的角最小时，求二面角 B-CQ-D 的余弦值【答案】 （1） .（2） .【解析】分析：（1）利用等体积法即可；（2）建立空间直角坐标系，利用换元法可得 ，再结合函数 在 上的单调性，计算即得结论. 详解：(1) S BCD= BCAB= , 由于 PA平面
21、ABCD,从而 PA 即为三棱锥 P-BCD 的高 ,故 VP-BCD= SBCDPA= .设点 D 到平面 PBC 的距离为 h.由 PA平面 ABCD 得 PA BC,又由于 BC AB,故 BC平面 PAB,所以 BC PB.由于 BP ,所以 S PBC= BCPB= .故 VD-BCP= S BCPh= h因为 VP-BCD=VD-BCP，所以 h= .(2)以 ， ， 为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系 A-xyz，则各点的坐标为 B(1,0,0)，C(1,1,0)， D(0,2,0)， P(0,0,2)设 ，(0 1)因为 (1 ,0,2)，所以 ( , 0,2 )，由 (0
22、 ,1 ,0)，得 ( , 1 ,2 )，又 (0 ,2 ,2)，从而 cos ， .设 12 t， t1 ,3，则 cos2 ， .当且仅当 t ，即 时，| cos ， |的最大值为 .因为 y cos x 在 上是减函数，此时直线 CQ 与 DP 所成角取得最小值又因为 BP ，所以 BQ BP .(0 ,1 ,0)， (1 ,1，2)设平面 PCB 的一个法向量为 m( x， y， z)，则 m 0， m 0，即 得： y0，令 z1，则 x2.所以 m(2 ,0,1)是平面 PCB 的一个法向量又 ( , 1 ,2 )( ,1 , )， (1 ,1 ,0)设平面 DCQ 的一个法向量
23、为 n( x， y， z)，则 n 0， n 0，即 取 x4，则 y4， z7，所以 n(4 ,4,7)是平面 DCQ 的一个法向量从而 cos m， n ，又由于二面角 B-CQ-D 为钝角，所以二面角 B-CQ-D 的余弦值为 .点睛：本题考查求二面角的三角函数值，考查利用空间向量解决问题的能力，注意解题方法的积累.21已知函数 .（1）求函数 的单调区间； （2）当 时，函数 的图象恒不在轴的上方，求实数 的取值范围.【答案】 （1）当 时， 增区间为 ，当 时，递增区间为 ，减区间为 ；（2） .【解析】分析：（1）求导可得 ，分 和 两种情况讨论可得函数的单调区间 （2）由题意得
24、，且 在 上恒成立，令 ，则 ，然后再根据 的范围分类讨论可得所求范围详解：（1） ， 当 时，则 ，所以 在 上单调递增；当 时，则由 得 ，由 得 ，所以 在 上单调递增，在 上单调递减综上，当 时， 的单调递增区间为 ；当 时， 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 .（2）由题意得 ， 当 时，函数 的图象恒不在轴的上方， 在 上恒成立设 ，则 .令 ，则 ，若 ，则 ，故 在 上单调递增， ， 在 上单调递增， ，从而 ，不符合题意若 ，当 时， ， 在 上单调递增， ， 在 上单调递增， ,从而在 上 ，不符合题意；若 ，则 在 上恒成立， 在 上单调递减， ， 在 上单调递减， ，
25、从而 恒成立综上可得实数 的取值范围是 .22在直角坐标系 中，是过定点 且倾斜角为 的直线；在极坐标系（以坐标原点 为极点，以轴非负半轴为极轴，取相同单位长度）中，曲线 的极坐标方程为 .（1）写出直线的参数方程，并将曲线 的方程化为直角坐标方程；（2）若曲线 与直线相交于不同的两点 ，求 的取值范围.【答案】 （1） （为参数） ， ；（2）【解析】分析：（1）直线的参数方程为 （为参数） ，其中 表示 之间的距离，而极坐标方程 可化为 ，从而 的直角方程为 .（2）设 ，则 ，利用 在圆上得到满足的方程，最后利用韦达定理就可求出两条线段的和.详解：（1）直线的参数方程为 （为参数）.曲线 的极坐标方程 可化为 .把 ， 代入曲线 的极坐标方程可得，即 .（2）把直线的参数方程为 （为参数）代入圆的方程可得： .曲线 与直线相交于不同的两点 ， ， ，又 ， .又 ， . ， ， ， . 的取值范围是 .点睛：（1）直线的参数方程有多种形式，其中一种为 （ 为直线的倾斜角， 是参数） ，这样的参数方程中的参数有明确的几何意义，它表示 之间的距离.（2）直角坐标方程转为极坐标方程的关键是利用公式 ，而极坐标方程转化为直角坐标方程的关键是利用公式 ，后者也可以把极坐标方程变形尽量产生 以便转化.
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