1、 1 从平面向量到空间向量从平面向量到空间向量 学习目标 1.理解空间向量的概念.2.了解空间向量的表示法，了解自由向量的概念.3.理解空 间向量的夹角.4.理解直线的方向向量与平面的法向量的概念. 知识点一 空间向量的概念 1.定义：在空间中，把既有大小又有方向的量，叫作空间向量. 2.长度：空间向量的大小叫作向量的长度或模. 3.表示法 (1)几何表示法：空间向量用有向线段表示. (2)字母表示法：用字母表示，若向量 a 的起点是 A，终点是 B，则向量 a 也可以记作AB ，其 模记为|AB |或|a|. 4.自由向量：数学中所讨论的向量与向量的起点无关，称之为自由向量. 知识点二 空间
2、向量的夹角 1.文字叙述：a，b 是空间中两个非零向量，过空间任意一点 O，作OA a，OB b，则AOB 叫作向量 a 与向量 b 的夹角，记作a，b. 2.图形表示 角度 表示 a，b0 a，b是锐角 a，b是直角 a，b是钝角 a，b 3.范围：0a，b. 4.空间向量的垂直：如果a，b 2，那么称 a 与 b 互相垂直，记作 ab. 知识点三 向量与直线、平面 1.向量与直线 与平面向量一样，也可用空间向量描述空间直线的方向.如图所示. l 是空间一直线，A，B 是直线 l 上任意两点，则称AB 为直线 l 的方向向量，显然，与AB平行 的任意非零向量 a 也是直线 l 的方向向量，直
3、线的方向向量平行于该直线. 2.向量与平面 如图，如果直线 l 垂直于平面 ，那么把直线 l 的方向向量 a 叫作平面 的法向量. 题型一 有关空间向量的概念的理解 例 1 给出以下结论： 两个空间向量相等，则它们的起点和终点分别相同；若空间向量 a，b 满足|a|b|，则 a b；在正方体 ABCDA1B1C1D1中，必有AC A 1C1 ；若空间向量 m，n，p 满足 mn， np，则 mp.其中不正确的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 考点 空间向量的相关概念及其表示方法 题点 相等、相反向量 答案 B 解析 两个空间向量相等，它们的起点、终点不一定相同，故不正确；若空间向量
4、 a，b 满足|a|b|，则不一定能判断出 ab，故不正确；在正方体 ABCDA1B1C1D1中，必有AC A1C1 成立，故正确；显然正确.故选 B. 反思感悟 在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和在平面中向量的相关概念完全一 致，两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同，模相等.两向量互为相反向量的充要条件 是大小相等，方向相反. 跟踪训练 1 在平行六面体 ABCDA1B1C1D1中，下列四对向量： AB 与C 1D1 ；AC1 与BD1 ；AD1 与C1B ；A1D 与B1C .其中互为相反向量的有 n 对，则 n 等 于( ) A.1 B.2 C.3 D.4 考点 空间向量的相
5、关概念及其表示方法 题点 相等、相反向量 答案 B 解析 对于AB 与C 1D1 ， AD1 与C1B 长度相等， 方向相反， 互为相反向量； 对于AC1 与BD1 长度相等，方向不相反；对于A1D 与B1C 长度相等，方向相同.故互为相反向量的有 2 对. 题型二 求空间向量的夹角 例 2 如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，求下列各对向量的夹角： (1)AB ，A 1C1 ； (2)AB ，C 1A1 ； (3)AB ，A 1D1 . 考点 空间向量的相关概念及其表示方法 题点 空间向量的夹角 解 (1)由题意知，A1C1 AC ， AB ，A 1C1 AB ，AC. 又CAB 4
6、，故AB ，A 1C1 4. (2)AB ，C 1A1 AB ，A 1C1 4 3 4 . (3)由题意知，A1D1 AD ，AB ，A 1D1 AB ，AD 2. 引申探究 在本例中，求AB1 ，DA1 . 解 如图，连接 B1C，则 B1CA1D，且DA1 CB1 ，连接 AC， 在ACB1中， 因为 ACAB1B1C， 故AB1C 3， AB1 ，DA1 AB1 ，CB1 3. 反思感悟 求解空间向量的夹角，要充分利用原几何图形的性质，把空间向量的夹角转化为 平面向量的夹角，要注意向量方向. 跟踪训练 2 如图，在正四面体 ABCD 中， AB ，CD 的大小为( ) A. 4 B. 3
7、 C. 2 D. 6 考点 空间向量的相关概念及其表示方法 题点 空间向量的夹角 答案 C 解析 取 AB 的中点 O，连接 OC，OD， 易得 OCAB，ODAB. OCODO，OC，OD平面 OCD， AB平面 OCD，又 CD平面 OCD，ABCD. 得AB ，CD 2. 题型三 直线的方向向量与平面法向量的理解 例 3 已知正四面体 ABCD. (1)过点 A 作出方向向量为BC 的空间直线； (2)过点 A 作出平面 BCD 的一个法向量. 考点 直线的方向向量与平面的法向量 题点 求直线的方向向量 解 (1)如图，过点 A 作直线 AEBC，由直线的方向向量的定义可知，直线 AE
8、即为过点 A 且方向向量为BC 的空间直线. (2)如图，取BCD 的中心 O，由正四面体的性质可知，AO 垂直于平面 BCD，故向量AO 可 作为平面 BCD 的一个法向量. 反思感悟 1.直线的方向向量有无数个，但一定为非零向量；平面的法向量也有无数个，它 们互相平行. 2.给定空间中任意一点 A 和非零向量 a，可以确定：(1)唯一一条过点 A 且平行于向量 a 的直 线；(2)唯一一个过点 A 且垂直于向量 a 的平面. 跟踪训练 3 如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，P 是 DD1的中点，以 C1为起点，指出直 线 AP 的一个方向向量. 考点 直线的方向向量与平面的法向量
9、 题点 求直线的方向向量 解 取 BB1中点 Q，C1C 中点 M，连接 C1Q，BM，PM， 则 PMAB，且 PMAB. 所以四边形 APMB 为平行四边形， 所以 APBM，且 APBM. 又在四边形 BQC1M 中，BQC1M，且 BQC1M， 所以四边形 BQC1M 为平行四边形， 所以 BMC1Q，且 BMC1Q， 所以 APC1Q，故C1Q 为直线 AP 的一个方向向量. 1.下列说法正确的是( ) A.如果两个向量不相等，那么它们的长度不相等 B.方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小 C.向量模的大小与方向有关 D.向量的模可以比较大小 考点 空间向量的相关概念及其
10、表示方法 题点 相等、相反向量 答案 D 解析 两个向量不相等，但它们的长度可能相等，A 不正确；任何两个向量，不论同向还是 不同向均不存在大小关系，B 不正确；向量模的大小只与其长度有关，与方向没有关系，C 不正确.由于向量的模是一个实数，故可以比较大小，只有 D 正确. 2.如图，在四棱柱的上底面 ABCD 中，AB DC ，则下列向量相等的是( ) A.AD 与CB B.OA 与OC C.AC 与DB D.DO 与OB 考点 空间向量的相关概念及其表示方法 题点 相等、相反向量 答案 D 解析 因为AB DC ，所以四边形 ABCD 为平行四边形.所以DO OB ，AD BC ，OA C
11、O . 3.在正四面体 ABCD 中， O 为平面 BCD 的中心， 连接 AO， 则AO 是平面 BCD 的一个_ 向量. 考点 直线的方向向量与平面的法向量 题点 求平面的法向量 答案 法 解析 由四面体 ABCD 为正四面体，易知 AO面 BCD，故OA 是平面 BCD 的一个法向量. 4.在直三棱柱 ABCA1B1C1中，以下向量可以作为平面 ABC 法向量的是_.(填序号) AB ；AA 1 ；B1B ；A1C1 . 考点 直线的方向向量与平面的法向量 题点 求平面的法向量 答案 5. 如图，在长方体 ABCDABCD中，AB3，AD2，AA1，则分别以长方体 的顶点为起点和终点的向
12、量中： (1)单位向量共有多少个？ (2)试写出模为 5的所有向量； (3)试写出与向量AB 相等的所有向量； (4)试写出向量AA 的所有相反向量. 考点 空间向量的相关概念及其表示方法 题点 空间向量的定义与模 解 (1)由于长方体的高为 1， 所以长方体的四条高所对应的向量AA ， AA ， BB ， BB ， CC ，CC ，DD ，DD ，共 8 个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为 1，故单位 向量共有 8 个. (2)由于长方体的左右两侧面的对角线长均为 5，故模为 5的向量有AD ，DA ，AD ， DA ，BC ，CB ，BC ，CB . (3)与向量AB 相等的所有向量(除它自身之外)有AB ，DC ，DC . (4)向量AA 的相反向量有AA ，BB ，CC ，DD . 1.在空间中， 一个向量成为某直线的方向向量的条件包含两个方面： 一是该向量为非零向量； 二是该向量与直线平行或重合.二者缺一不可. 2.给定空间中任意一点 A 和非零向量 a，就可以确定唯一一条过点 A 且平行于向量 a 的直线.
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