1、章末检测试卷章末检测试卷(三三) (时间：120 分钟 满分：150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分) 1.在平面直角坐标系中，“点 M 的坐标满足方程 4 xy0”是“点 M 在曲线 y216x 上” 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 考点 曲线与方程的意义 题点 方程是否表示同一曲线 答案 A 解析 点 M 的坐标满足方程 4 xy0 化为 y216x(y0)， “点 M 的坐标满足方程 4 xy0”是“点 M 在曲线 y216x 上”的充分不必要条件. 2.已知椭圆 M：x2y 2 4(0)经过
2、点(1，2)，则 M 上一点到两焦点的距离之和为( ) A.2 B.2 2 C.4 D.4 2 考点 椭圆的定义 题点 椭圆定义的应用 答案 D 解析 由椭圆 M：x2y 2 4 经过点(1，2)可得 2， 即椭圆方程为x 2 2 y2 81，则 a2 2， 由椭圆的定义可知 M 上一点到两焦点的距离之和为 2a4 2. 3.已知双曲线x 2 9 y2 m1(m0)的一条渐近线的方程为 y 2 3x，则双曲线的焦距为( ) A. 13 B.10 C.2 13 D.2 5 考点 双曲线的离心率与渐近线 题点 以离心率或渐近线为条件下的简单问题 答案 C 解析 由题意得 m 3 2 3，m4， 则
3、双曲线的焦距为 2 9m2 13. 4.已知点 M(3，y0)是抛物线 y22px(00)的左焦点为 F，离心率为 2.若经过 F 和 P(0，4)两点的直 线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为( ) A.x 2 4 y2 41 B.x 2 8 y2 81 C.x 2 4 y2 81 D.x 2 8 y2 41 考点 由双曲线的简单性质求方程 题点 渐近线为条件求双曲线的方程 答案 B 解析 设双曲线的左焦点 F(c，0)，离心率 ec a 2， 则双曲线为等轴双曲线，即 ab， 双曲线的渐近线方程为 y x， 经过 F 和 P(0，4)两点的直线斜率 k40 0c 4 c1，c4，
4、则 ab2 2， 双曲线方程为x 2 8 y2 81. 7.如图所示，双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的左、右焦点分别是 F1，F2，过 F1作倾斜角为 30 的直线交双曲线右支于点 M，连接 MF2，若 MF2垂直于 x 轴，则双曲线的离心率为( ) A. 6 B. 3 C. 2 D. 5 考点 双曲线的简单性质 题点 求双曲线的离心率 答案 B 解析 将 xc 代入双曲线的方程得 y b2 a， 即 M c，b 2 a ， 在MF1F2中，tan 30 b2 a 2c，即 c2a2 2ac 3 3 ， 解得 ec a 3(负值舍去). 8.我们把由半椭圆x 2 a2 y2 b
5、21(x0)与半椭圆 y2 b2 x2 c21(xbc0)，如图所示，其中点 F0，F1，F2是相应椭圆的焦点.若F0F1F2是边长为 1 的等边三角形，则 a，b 的值分别为( ) A. 7 2 ，1 B. 3，1 C.5，3 D.5，4 考点 由椭圆方程研究简单性质 题点 由椭圆方程求顶点、焦点、长短轴、离心率 答案 A 解析 |OF2| b2c21 2， |OF0|c 3|OF2| 3 2 ， b1，a2b2c27 4， 得 a 7 2 ，即 a 7 2 ，b1. 9.设圆锥曲线 C 的两个焦点分别为 F1，F2，若曲线 C 上存在点 P 满足|PF1|F1F2|PF2| 432，则曲线
6、 C 的离心率等于( ) A.2 3或 3 2 B.2 3或 2 C.1 2或 3 2 D.1 2或 2 考点 有关圆锥曲线的性质的应用 题点 与离心率有关的问题 答案 C 解析 设圆锥曲线的离心率为 e， 由|PF1|F1F2|PF2|432， 知若圆锥曲线为椭圆， 则由椭圆的定义，得 e |F1F2| |PF1|PF2| 3 42 1 2； 若圆锥曲线为双曲线，则由双曲线的定义， 得 e |F1F2| |PF1|PF2| 3 42 3 2. 综上，所求的离心率为1 2或 3 2.故选 C. 10.AB 为过椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)中心的弦，F(c，0)为椭圆的右焦点，则AF
7、B 面积的最大值 为( ) A.b2 B.ab C.ac D.bc 考点 椭圆的定义 题点 焦点三角形中的问题 答案 D 解析 由椭圆的对称性知，A，B 两点关于原点 O 对称， 因此 SAFB2SOFBc |yB|， 故当|yB|b 时，AFB 面积最大，最大面积为 bc. 11.已知直线 yk(x2)(k0)与抛物线 C：y28x 相交于 A，B 两点，F 为 C 的焦点，若|FA| 2|FB|，则 k 等于( ) A.1 3 B.2 2 3 C.2 3 D. 2 3 考点 抛物线中过焦点的弦长问题 题点 与弦长有关的其他问题 答案 B 解析 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 易知
8、 x10，x20，y10，y20. 由 ykx2， y28x， 得 k2x2(4k28)x4k20， 所以 x1x24， 根据抛物线的定义得， |FA|x1p 2x12，|FB|x22. 因为|FA|2|FB|，所以 x12x22， 由得 x21(x22 舍去)， 所以 B(1，2 2)，代入 yk(x2)得 k2 2 3 . 12.已知椭圆 C1：x 2 a2 y2 b21(ab0)与双曲线 C2：x 2y 2 41 有公共的焦点，C2 的一条渐近线 与以 C1的长轴为直径的圆相交于 A，B 两点.若 C1恰好将线段 AB 三等分，则( ) A.a213 2 B.a213 C.b21 2 D
9、.b22 考点 有关圆锥曲线的性质的应用 题点 圆锥曲线性质的简单应用 答案 C 解析 由题意，知 a2b25， 因此椭圆方程为(a25)x2a2y25a2a40， 双曲线的一条渐近线方程为 y2x， 联立方程消去 y，得(5a25)x25a2a40， 所以直线截椭圆的弦长 d 52 a45a2 5a25 2 3a， 解得 a211 2 ，b21 2. 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分) 13.抛物线 y22px(p0)上的动点 Q 到焦点的距离的最小值为 1，则 p_. 考点 抛物线中过焦点的弦长问题 题点 求抛物线的焦点弦长 答案 2 解析 依题意，设抛物线的焦
10、点为 F，点 Q 的横坐标是 x0(x00)， 则|QF|x0p 2的最小值是 p 21，则 p2. 14.过点 M(1，1)作斜率为1 3的直线 l，l 与椭圆 x2 a2 y2 b21(ab0)相交于 A，B 两点，若AM MB ，则椭圆的离心率为_. 考点 椭圆的离心率 题点 由 a 与 c 的关系式得离心率 答案 6 3 解析 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， AM MB ， 则 x1x22，y1y22，y1y2 x1x2 1 3， 由x 2 1 a2 y21 b21， x22 a2 y22 b21 相减， 可得x1x2x1x2 a2 y1y2y1y2 b2 0， 可得 2 a
11、2 2 b2 1 3 0， a23b2，则 ec a 1 b a 2 6 3 . 15.已知动圆 P 与定圆 C：(x2)2y21 外切，又与定直线 l：x1 相切，那么动圆的圆心 P 的轨迹方程是_. 考点 与圆锥曲线有关的轨迹问题 题点 与圆锥曲线有关的轨迹问题 答案 y28x 解析 设 P(x，y)，则动圆 P 在直线 x1 的左侧， 其半径等于 1x，则|PC|1x1， 即 x22y22x， y28x. 16.若等轴双曲线 C 的左顶点 A、右顶点 B 分别为椭圆 x2 a21y 21(a0)的左、右焦点，点 P 是双曲线上异于 A，B 的点，直线 PA，PB 的斜率分别为 k1，k2
12、，则 k1k2_. 考点 直线与圆锥曲线的位置关系问题 题点 直线与圆锥曲线的综合问题 答案 1 解析 依题意，椭圆 x2 a21y 21(a0)的左、右焦点分别为 A(a，0)，B(a，0)， 所以分别以 A，B 为左、右顶点的等轴双曲线 C 的方程为 x2y2a2. 设双曲线上异于 A，B 的点 P 的坐标为(x，y)， 则直线 PA，PB 的斜率分别为 k1 y xa，k2 y xa， 所以 k1k2 y xa y xa y2 x2a21. 三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分) 17.(10 分)中心在原点，焦点在 x 轴上的一个椭圆与一双曲线有共同的焦点 F1，F2，且|F1
13、F2| 2 13，椭圆的长半轴与双曲线的实半轴之差为 4，离心率之比为 37，求这两条曲线的方 程. 考点 圆锥曲线的简单性质 题点 求圆锥曲线的方程 解 设椭圆的方程为x 2 a21 y2 b211(a1b10)， 双曲线的方程为x 2 a22 y2 b221(a20，b20)， 半焦距 c 13， 由已知，得 a1a24， c a1 c a237， 解得 a17，a23， 所以 b2136，b224， 所以两条曲线的方程分别为 x2 49 y2 361， x2 9 y2 41. 18.(12 分)已知椭圆x 2 4 y2 31 的左、 右焦点分别为 F1， F2， 一条直线 l 经过点 F
14、1与椭圆交于 A， B 两点. (1)求ABF2的周长； (2)若 l 的倾斜角为 4，求|AB|. 考点 直线与椭圆的位置关系 题点 直线与椭圆相交求弦长与三角形面积 解 (1)由椭圆方程为x 2 4 y2 31， 可得 a2，b 3，c1. 由椭圆的定义，得|AF1|AF2|2a4， |BF1|BF2|2a4， 又|AF1|BF1|AB|， ABF2的周长为|AF1|AF2|BF1|BF2|4a8， ABF2的周长为 8. (2)由题意可知，F1(1，0)， 直线 AB 的倾斜角为 4， 直线 AB 的斜率为 1， 故直线 AB 的方程为 yx1， 由 yx1， x2 4 y2 31， 整
15、理得 7y26y90. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由根与系数的关系， 可知 y1y26 7，y1 y2 9 7， |AB|1 1 k2 y1y2 24y 1y2 2 6 7 24 9 7 24 7 . 19.(12 分)已知抛物线 y22px(p0)上的点 T(3，t)到焦点 F 的距离为 4. (1)求 t，p 的值； (2)设A， B是抛物线上分别位于x轴两侧的两个动点， 且OA OB 5(其中O为坐标原点).求证： 直线 AB 过定点，并求出该定点的坐标. 考点 抛物线中的定值、定点问题 题点 抛物线中的定点问题 解 (1)由抛物线的定义，得 3p 24，解得 p2， 所
16、以抛物线的方程为 y24x， 将点 T(3，t)代入，解得 t 2 3. (2)设直线 AB 的方程为 xmyn，A y21 4，y1 ，B y22 4，y2 ， 联立 y24x， xmyn， 消去 x 得 y24my4n0， 则 y1y24m，y1y24n. 由OA OB 5，得y1y2 2 16 y1y25， 所以 y1y220 或 y1y24(舍去)， 即4n20，即 n5， 所以直线 AB 的方程为 xmy5， 所以直线 AB 过定点(5，0). 20.(12 分)已知椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)的离心率为 2 2 ，点(2， 2)在 C 上. (1)求 C 的方程；
17、 (2)直线 l 不过原点 O 且不平行于坐标轴， l 与 C 有两个交点 A， B， 线段 AB 的中点为 M.证明： 直线 OM 的斜率与直线 l 的斜率的乘积为定值. 考点 题点 (1)解 由题意，得 a2b2 a 2 2 ， 又点(2， 2)在 C 上，所以 4 a2 2 b21， 联立，可解得 a28，b24. 所以 C 的方程为x 2 8 y2 41. (2)证明 由题意知，直线 l 的斜率存在且不为 0. 设直线 l：ykxb(k0，b0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM). 将 ykxb 代入x 2 8 y2 41， 得(2k21)x24kbx2b280.
18、故 xMx1x2 2 2kb 2k21，yMk xMb b 2k21. 所以直线 OM 的斜率 kOMyM xM 1 2k， 所以 kOM k1 2. 故直线 OM 的斜率与直线 l 的斜率的乘积为定值. 21.(12 分)已知直线 l 与抛物线 y28x 交于 A，B 两点，且线段 AB 恰好被点 P(2，2)平分. (1)求直线 l 的方程； (2)抛物线上是否存在点 C 和 D， 使得 C， D 关于直线 l 对称？若存在， 求出直线 CD 的方程； 若不存在，请说明理由. 考点 直线与圆锥曲线的位置关系问题 题点 直线与圆锥曲线的综合问题 解 (1)由题意可得直线 AB 的斜率存在，且
19、不为 0. 设直线 AB：x2m(y2)， 代入抛物线方程可得 y28my16m160. 判别式 (8m)24(16m16)0. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则有 y1y28m， 由 8m4，得 m1 2，代入判别式大于 0 成立. 所以直线 l 的方程为 2xy20. (2)假设 C，D 两点存在， 则可设 lCD：y1 2xn，与抛物线 y 28x 联立， 消去 y 得1 4x 2(n8)xn20， 其中 (n8)2n216n640， 则 n4.(*) 又 xCxD4(n8)， 所以 CD 的中点为(2(n8)，8)，代入直线 l 的方程， 得 n19 2 ，不满足(*)式.
20、 所以满足题意的 C，D 两点不存在. 22.(12 分)从椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)上一点 M 向 x 轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点 F1，且它 的长轴的一个端点 A 与短轴的一个端点 B 的连线 AB 平行于 OM. (1)求椭圆的离心率； (2)设 Q 是椭圆上任一点，F2是椭圆的右焦点，求F1QF2的取值范围. 解 (1)依题意知 F1点坐标为(c，0)， 设 M 点坐标为(c，y)(y0). 若 A 点坐标为(a，0)，则 B 点坐标为(0，b)， 则直线 AB 的斜率 kb a . A点坐标为a，0，B点坐标为0，b时，同样有kb a 则有 y c b a ，ybc
21、 a . 又点 M 在椭圆x 2 a2 y2 b21 上， c2 a2 y2 b21. 由得c 2 a2 1 2， c a 2 2 ， 即椭圆的离心率为 2 2 . (2)当点 Q 与椭圆长轴的端点重合时，F1QF20. 当点 Q 与椭圆长轴的端点不重合时， 设|QF1|m，|QF2|n，F1QF2， 则 mn2a，|F1F2|2c. 在F1QF2中，cos m 2n24c2 2mn mn 22mn2a2 2mn a2 mn1 a2 mn 2 210. 故当点 Q 与椭圆长轴的端点不重合时， 当且仅当 mn 时，等号成立， 0cos 1，又(0，)， 0， 2 . 综上，F1QF2的取值范围是 0， 2 .
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