全国大联考2020届高三4月联考文科数学试卷（含答案）

1、文科数学试卷 第 1 页（共 4 页） 20LK4QG 秘密考试结束前 考试时间：2020 年 4 月 2 日 15:00 17:00 全国大联考 2020 届高三 4 月联考 文科数学试卷 注意事项： 1考试前，请务必将考生的个人信息准确的输入在正确的位置。 2考试时间 120 分钟，满分 150 分。 3 本次考试为在线联考， 为了自己及他人， 请独立完成此试卷， 切勿翻阅或查找资料。 4考试结束后，本次考试原卷及参考答案将在网上公布。 5本卷考查内容：高考全部内容。 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1

2、. 不等式成立的充分不必要条件是 A. B. C.或 D. 或 2. 复数 z=1+2i 的共轭复数是，则 z= A. 3 B. 3 C. 5 D. 5 3. 甲乙两名同学高三以来6次数学模拟考试的成 绩统计如下图 1， 甲乙两组数据的平均数分别为 甲 x、 乙 x，标准差分别为 甲 、 乙 ，则 A. 乙甲乙甲 ， xx B. 乙甲乙甲 ， xx C. 乙甲乙甲 ， xx D. 乙甲乙甲 ， xx 4. 设 m,n 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，由下列四个命题，其中正确的是 A. 若 m，mn，则 n B. 若 m，n，则 mn C. 若 ，m，则 m D. 若 m，m，则 5. 九

3、章算术中“开立圆术”曰：“置积尺数，以十六乘之，九而一， 所得开立方除之，即立圆颈”.“开立圆术”相当于给出了已知球的体积 V，求球的直径 d 的公式：d = (16 9 V) 1 3.若球的半径为 r=1，根据“开立 圆术”的方法计算该球的体积为 A. 4 3 B. 9 16 C. 9 4 D. 9 2 6若需右边框图输出的值 S=41，则判断框内应填入的条件是 Ak3？ Bk4？ Ck5？ Dk6？ 7. 已知 21 33 3 11 ,log 34 abc = ，则cba,的大小关系为 A. abc B. acb C. cab D. cba 0 1 1 x 1x1x1x10 x10x 1x

4、 文科数学试卷 第 2 页（共 4 页） 20LK4QG 8. 下列各图都是正方体的表面展开图，将其还原成正方体后，所得正方体完全一致（即各 面所标序号相对位置相同）的是 A. (I)和(IV) B. (I)和(III) C. (II)和(III) D. (II)和(IV) 9. 在长为12cm的线段AB上任取一点C. 现作一矩形，邻边长分别等于线段AC,CB的 长，则该矩形面积大于 2 20cm的概率为 A. 1 6 B. 1 3 C. 4 5 D. 2 3 10. 双曲线的左，右焦点分别为 F1，F2，过 F1作一条直线与两条 渐近线分别相交于 A，B 两点，若，则该双曲线的离心率为 A

5、B C2 D3 11. 已知直线 x=t 分别与函数 f(x)=log2(x+1)和 g(x)=2log2(x+2)的图象交于 P，Q 两点，则 P，Q 两点间的最小距离为 A. 4 B. 1 C. D. 2 12. 定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(-x)= f(x)，且对任意的不相等的实数 x1，x20,+)有 f(x1)-f(x2) x1-x2 0 成立，若关于 x 的不等式 f(2mx-lnx-3)2f(3)-f(-2mx+lnx+3)在 x1,3恒成 立，则实数 m 的取值范围是 A. 1 2 ,1+ ln3 6 B. 1 ,2+ ln6 3 C. 1 ,2+ ln3 3 D.

6、 1 2 ,1+ ln6 6 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13. 某班级有 50 名学生，现采取系统抽样的方法在这 50 名学生中抽出 10 名，将这 50 名 学生随机编号 150 号，并分组，第一组 15 号，第二组 610 号，第十组 46 50 号，若在第三组中抽得号码为 12 号的学生，则在第八组中抽得号码为_的学生. 14. 某公司计划在 2020 年春季校园双选招聘会招收 x 名女性，y 名男性，若 x, y 满足约束条 件 25 2 6 xy xy x ，则该公司计划在本次校招所招收人数的最大值为_. 15. 已知( )f x是定义在 R 上的

7、偶函数，对任意 xR 都有(3)( )f xf x+=且( 1)4f =， 则的值为_. ()0, 01: 2 2 2 2 =ba b y a x E AFBF 11 2=OBFF2 21 = 23 2 文科数学试卷 第 3 页（共 4 页） 20LK4QG 16. 过抛物线C： 2 2xpy=（0p ）的焦点F的直线交该抛物线于A、B两点，若 4 AFBF=，O为坐标原点，则 AF OF =_. 三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考 题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题： （共 60 分）

8、17.（12 分）在ABC中,角, ,A B C的对边分别为, ,a b c,且sin3 coscAaC=. （1）求角 C 的值; （2）若2 3 ABC S= ,6ab+=,求 c 的值. 18.（12 分） 汽车尾气中含有一氧化碳(CO)，碳氢化合物 (HC)等污染物，是环境污染的主要因素之一，汽 车在使用若干年之后排放的尾气中的污染物会出 现递增的现象，所以国家根据机动车使用和安全 技术、排放检验状况，对达到报废标准的机动车 实施强制报废某环保组织为了解公众对机动车 强制报废标准的了解情况，随机调查了 100 人， 所得数据制成如下列联表： （1）若从这 100 人中任选 1 人，选到

9、了解机动 车强制报废标准的人的概率为 0.6，问是否有 95% 的把握认为“对机动车强制报废标准是否了解与性 别有关”？ （2）该环保组织从相关部门获得某型号汽车的使用年限与排放的尾气中 CO 浓度的数 据，并制成如图 7 所示的折线图，若该型号汽车的使用年限不超过 15 年，可近似认为排放 的尾气中 CO 浓度 y%与使用年限 t 线性相关，试确定 y 关于 t 的回归方程，并预测该型号 的汽车使用 12 年排放尾气中的 CO 浓度是使用 4 年的多少倍 附：K2= (nabcd) P(K2k0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072

10、 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 参考公式：用最小二乘法求线性回归方程系数公式： . 19.（12 分） 如图,四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是边长 2 的菱 形, = 60.已知.PB=PD=2,PA=6 2 () ()()()() n adbc ab cd ac bd + 1 2 2 1 1 n ii i n i x ynxy baybx xnx = = = ， 不了解 了解 总计 女性 a b 50 男性 15 35 50 总计 p q 100 文科数学试卷 第 4 页（共 4 页） 20LK4QG （1）证明: PCBD （2）若 E

11、 为 PA 的中点，求三棱锥 P-BCE 的体积. 20.（12 分）设 12 ,F F分别是椭圆 22 2 :1 4 xy E b +=的左、右焦点,若P是该椭圆上的一个动 点, 1 PF 2 PF的最大值为1. （1）求椭圆E的方程; （2）设直线:1l xky=与椭圆交于不同的两点,?A B,且AOB为锐角(其中 O为坐标原点), 求 k 的取值范围. 21.（12 分）设 * nN,函数( ) ln n x f x x =,函数( )()0 x n e g xx x =. （1）当1n =时,求函数( )yf x=的零点个数; （2）若函数( )yf x=与函数( )yg x=的图象分

12、别位于直线 1y =的两侧，求 n 的取值集 合A; （3）对于() 12 ,0,nAx x +,求 ( )() 12 f xg x的最小值. （二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题做答。如果多做，则按所做的第 一题记分。 22.【选修 4-4：坐标系与参数方程】（12 分） 在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为 1 2 3 1 2 xt yt = = (t为参数).以坐标原点为极 点, x轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆C的极坐标方程为2sinp= （1）判断直线l与圆C的交点个数 （2）若圆C与直线l交于,A B两点,求线段AB的长度 23.【选修 4-5:不

13、等式选讲】（12 分） 已知函数( )53f xxx=+. （1）解不等式( )1f xx+; （2）记函数f( )x的最大值为 m,若0,0,ab 44abab m eee =,求ab的最小值. 文科数学参考答案 第 1 页（共 7 页） 20LK4QG 秘密考试结束前 考试时间：2020 年 4 月 2 日 15:00 17:00 全国大联考 2020 届高三 4 月联考 文科数学参考答案 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A C C C D B D B D C D A 二、填空题：本题共 4

14、小题，每小题 5 分，共 20 分 1337 1413 154 16 5 4 12.【解析】因为定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(-x)= f(x)， 所以函数 f(x)为偶函数， 因为对任意的不相等的实数 x1,x20, +)，有f(x1)-f(x2) x1-x2 0 成立， 所以当 x1x2时，f(x1)f(x2)， 即函数 f(x)在0, +)单调递减， 又函数 f(x)为偶函数， 所以函数 f(x)在(-, 0单调递增， 因为 x 的不等式 f(2mx - lnx - 3) 2f(3) - f(-2mx + lnx + 3)在 x1,3恒成立， 不等式可转化为 f(2mx lnx

15、 - 3) + f(2mx - lnx - 3) 2f(3) 即 f(2mx - lnx - 3) f(3)在 x1,3恒成立， 所以|2mx - lnx - 3|3 所以-32mx - lnx - 33 即lnx 2x lnx+6 2x 在 x1,3恒成立， 在 x1,3上， 令 g(x) = lnx 2x ，g(x) = 1 - lnx 2x2 令 g(x)0，ln x1，xe，g(x)单调递减， 令 g(x)0，ln x1，xe，g(x)单调递增， g(x)max= g(e)= 1 2e 文科数学参考答案 第 2 页（共 7 页） 20LK4QG 令 h(x)= 1 - lnx 2x2

16、h(x)=1-(lnx+6) 2x2 = -ln x - 5 2x2 在 x1,3上，h(x)0, h(x)单调递减 g(x)min= h(3)= 6 + ln 3 6 = 1+ ln3 6 所以实数 m 的取值范围是 1 2 ,1+ ln3 6 16.【解析】由题意得 2 2xpy=，则(0,) 2 p F，所以 2 p OF =， 设直线AB的方程为 2 p ykx=+，设 11 ( ,)A x y， 22 (,)B xy，且 12 xx， 因为4 AFBF=，所以4AFBF=，则 21 4xx= ， 由 2 2 2 p ykx xpy =+ = ，整理得 22 20xpkxp=，所以 1

17、2 2xxpk+=， 2 12 x xp= ， 联立可得 3 4 k = ，即直线AB的方程为 3 42 p yx= +， 又 2 3 42 2 p yx xpy = + = ，整理得 22 2320xpxp+=， 解得2xp= 或 2 p x =，故(,) 28 pp A，( 2 ,2 )Bpp， 所以根据抛物线的定义可知 5 828 pp AFp=+=，所以 5 4 AF OF =. 三、解答题： （本大题共 5 小题，满分 60 分.） 17.（12 分） 解:（1）在ABC中, sin3 coscAaC=, 结合正弦定理得sinsin3sincosCAAC=, 0A,sin0A, si

18、n3cosCC=, 又sin0C , tan3C =, 3 C =. （2）2 3 ABC S= , 3 C =, 文科数学参考答案 第 3 页（共 7 页） 20LK4QG 1 sin2 3 2 abC =, 8ab =, 又6ab+=, 222 2coscababC=+ () 2 22cosabababC=+ 36 16 812= =. 2 3c =. 18.（12 分） 解： （1）设“从 100 人中任选 1 人，选到了解机动车强制报废标准的人”为事件 A， 由已知得 P(A)，所以 a25，b25，p40，q60. K2的观测值 k4.1673.841， 故有 95%的把握认为“对机

19、动车强制报废标准是否了解与性别有关”. （2）由折线图中所给数据计算，得 t(246810)6，y(0.20.2 0.40.60.7)0.42， 故0.07，0.420.0760, 所以所求回归方程为0.07t. 故预测该型号的汽车使用 12 年排放尾气中的 CO 浓度为 0.84%，因为使用 4 年排放尾 气中的 CO 浓度为 0.2%，所以预测该型号的汽车使用 12 年排放尾气中的 CO 浓度是使用 4 年的 4.2 倍. 19.（12 分） （1）证明：连接 BD,AC 交于 O 点 PBPD= POBD 又ABCD是菱形 BDAC 而ACPOO= BD面PAC BDPC （2）由（1）

20、得BD面PAC 35 100 b+3 5 2 100 (25 3525 15) 40 60 50 50 1 5 1 5 b 2.8 40 a y 文科数学参考答案 第 4 页（共 7 页） 20LK4QG =45sin326 2 1 2 1 PACPEC SS =3 2 2 36= 1111 3 2322 P BECB PECPEC VVSBO = = 20.（12 分） 解:（1）由题易知2?a =, 2 4cb=, 2 4b , 所以 () 2 1 4,0Fb, () 2 2 4,0Fb, 设(),P x y,则 () 2 12 4,PF PFbxy= () 222 222222222 4

21、,44124 44 b xb bxyxybxbbxb =+=+=+ , 因为2,2x ,故当2x,即点P为椭圆长轴端点时, 12 PF PF有最大值1, 即 2 2 11424 4 b b =+ ,解得 2 1b =, 故所求的椭圆方程为 2 2 1 4 x y+=。 （2）设() 11 ,A x y,() 22 ,B xy,由 1 11 3 x e , 得 12 2 2 4 k yy k += + , 12 2 3 4 yy k = + , ()() 2 22 212 416480kkk =+=+, 因为AOB为锐角,所以cos0AOB, 所以 1212 0OA OBx xy y=+, 又(

22、)() 2 12121212 11x xy yky yk yy+=+ () 2 2 22 32 11 44 k k kk =+ + 222 2 3324 4 kkk k + = + 2 2 14 0 4 k k = + , 所以 2 1 4 k ,解得 11 22 k, 文科数学参考答案 第 5 页（共 7 页） 20LK4QG 所以 k 的取值范围是 1 1 , 2 2 。 21.（12 分） 解:（1）当1n =时, ( )( )() 2 ln1ln ,0 xx f xfxx xx =. 由( )0fx 得0xe;由( )0fx 得xe. 所以函数( ) f x在()0,e上单调递增,在(

23、), e +上单调递减, 因为( ) 11 0,0f efe ee = , 所以函数( ) f x在()0,e上存在一个零点; 当()0,x+时, ( ) ln 0 x f x x =恒成立, 所以函数( ) f x在(), e +上不存在零点. 综上得函数( ) f x在()0,?+上存在唯一一个零点. （3）由函数( ) ln n x f x x =求导,得( )() 1 1ln 0 n nx fxx x + =, 由( )0fx ,得 1 0 n xe;由( )0fx ,得 1 n xe, 所以函数( ) f x在 1 0, n e 上单调递增,在 1 , n e + 上单调递减, 则当

24、 1 nxe=时,函数( ) f x有最大值( ) 1 max 1 n f xfe ne = ; 由函数( )()0 x n e g xx x =求导,得( ) () () 1 0 x n xn e gxx x + =, 由( )0gx 得xn;由( )0fx 得0xn. 所以函数( )g x在(0, )n上单调递减,在(). n + 上单调递增, 则当xn=时,函数( )g x有最小值( )( ) min n e g xg n n = ; 因为 * nN ,函数( ) f x的最大值 1 1 1 n fe ne = , 即函数( ) ln n x f x x =在直线 1y =的下方, 文科

25、数学参考答案 第 6 页（共 7 页） 20LK4QG 故函数( )()0 x n e g xx x =在直线:1l y =的上方, 所以( )( ) min 1 n e g xg n n = ,解得 ne. 所以n的取值集合为1,2A=. （3）对()( )() 1212 0,x xf xg x+的最小值等价于( )( ) minmax 1 n e g xf x nne = , 当1n =时, ( )( ) minmax 1 g xf xe e =; 当 2n =时, ( )( ) 2 minmax 1 42 e g xf x e =; 因为 () 2 2 4211 0 424 eee e

26、eee = , 所以( )() 12 f xg x的最小值为 23 12 424 ee ee = （二）选考题（10 分） 22.（12 分） 解:（1）直线l的参数方程为 1 2 3 1 2 xt yt = = (t为参数). 消去参数t得直线l的普通方程为310xy+ =, 圆C的极坐标方程为2sinp=,即 2 2 sinpp=, 由 222, sinpxypy=+=,得圆C的直角坐标方程为 22 20xyy+=. 圆心()0,1在直线l上, 直线l与圆C的交点个数为2 （2）由（1）知圆心()0,1在直线l上, AB为圆C的直径, 圆C的直角坐标方程为 22 20xyy+=. 文科数学

27、参考答案 第 7 页（共 7 页） 20LK4QG 圆C的半径 1 41 2 r =, 圆C的直径为2, 2AB= 23.（12 分） 解:（1）当3x时,由531xxx + + +,得7x, 所以3x;当35x 时, 由531xxx +,得 1 3 x ,所以 1 3 3 x ; 当5x 时,由531xxx +, 得9x,无解.综上可知, 1 3 x , 即不等式( )1f xx+的解集为 1 , 3 . （2）因为53538xxxx+ =, 所以函数( )f x的最大值8m =.应为 448abab eee =, 所以448abab+=+. 又0,0ab, 所以42 44ababab+=, 所以有20abab ,又0ab , 所以2ab ,4ab, 即ab的最小值为 4