1、2018-2019 学年江西省九江一中高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 （5 分） “a”是“ln（2a1）0”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 2 （5 分）双曲线的渐近线方程为（ ） Ay2x By Cy Dy 3 （5 分）在等差数列an中，a35 则an的前 5 项和 S5（ ） A7 B15 C25 D20 4 （5 分）ABC 中，若
2、，则ABC 中最长的边是（ ） Aa Bb Cc Db 或 c 5 （5 分）已知函数 yf（x）在 x1 处的切线与直线 x+y30 垂直，则 f'（1）（ ） A2 B0 C1 D1 6 （5 分）下列命题中正确的是（ ） A若 ab，则 acbc B若 ab，cd，则 acbd C若 ab0，ab，则 D若 ab，cd，则 7 （5 分）已知抛物线 C：y22px（p0）的焦点为 F，抛物线上一点 M（2，m）满足|MF| 6，则抛物线 C 的方程为（ ） Ay22x By24x Cy28x Dy216x 8 （5 分）函数 f（x）Asin（x+） （其
3、中 A0，）的部分图象如图所示，将 函数 f（x）的图象（ ）可得的图象 第 2 页（共 18 页） A向右平移个长度单位 B向左平移个长度单位 C向左平移个长度单位 D向右平移个长度单位 9 （5 分）椭圆上的点到直线的最大距离是（ ） A3 B C D 10 （5 分）两个公比均不为 1 的等比数列an，bn，其分前 n 项的乘积分别为 An，Bn， 若，则（ ） A512 B32 C8 D2 11 （5 分）已知 A，B，C 在圆 x2+y21 上运动，且 ABBC，若点 P 的坐标为（2，0） ， 则|的最大值为（ ） A6 B7 C8 D9 12
4、（5 分）已知函数 f（x）的导函数 f（x） ，满足 xf（x）+2f（x），且 f（1）1， 则函数 f（x）的最大值为（ ） A0 B C D2e 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）在ABC 中，已知 a4，b6，C，则边 c 的长是 14 （5 分）已知正数 x，y 满足 x+y1，则+的最小值是 15 （5 分）若实数 x，y 满足，则 z的最小值为 第 3 页（共 18 页） 16 （5 分）已知抛物线 y22px（p0）的焦点为 F
5、，F 关于原点的对称点为 P，过 F 作 x 轴的垂线交抛物线于 M，N 两点，给出下列五个结论： PMN 必为直角三角形； PMN 必为等边三角形； 直线 PM 必与抛物线相切； 直线 PM 必与抛物线相交； PMN 的面积为 p2 其中正确的结论是 三、解答题：本题共三、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分，解答题应写出分，解答题应写出文字说明、证明过程和演算步骤文字说明、证明过程和演算步骤 17 （10 分）已知命题 p： （a2） （6a）0；命题 q：函数 f（x）（4a）x在 R 上是 增函数；若命题“p 或 q”为真，命题“p 且 q”为假，求实数 a 的
6、取值范围 18（12 分） 在ABC 中， 内角 A， B， C 所对的边为 a， b， c， 且满足 （）求 C； （）若 cosA，求 cos（2AC）的值 19 （12 分）已知数列an满足：a13，且对任意的 nN+，都有 1，an，an+1成等差数列 （1）证明数列an1是等比数列，并求数列an的通项公式； （2）求数列an的前 n 项和 Sn 20 （12 分）已知 f（x）是二次函数，不等式 f（x）0 的解集是（0，5） ，且 f（x）在点（1， f（1） ）处的切线与直线 6x+y+10 平行 （1）求 f（x）的解析式； （2）求 f（x）在0，a（
7、a0）的最大值 g（a） 21 （12 分）已知椭圆 C：+1（ab0）的左、右焦点分别为 F1、F2且离心率为 ，Q、A、B 为椭圆 C 上三个点，QF1F2的周长为 4（+1） ，线段 AB 的垂直平分 线经过点 P（1，0） （1）求椭圆 C 的方程； （2）求线段 AB 长度的最大值 22 （12 分）已知 f（x）alnxx2e2（其中 e 为自然数的底数） （）讨论 f（x）的单调性； 第 4 页（共 18 页） （）在（0，+）上存在实数 x，使 f（x）0 能成立，求实数 a 的取值范围 第 5 页（共 18 页） 2018-2019 学年江西省九江一中高二（上）期末数学试卷（
8、文科）学年江西省九江一中高二（上）期末数学试卷（文科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 （5 分） “a”是“ln（2a1）0”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】求出不等式的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可 【解答】解：由 ln（2a1）0 得 2a11，得 a1， 即“a”是“ln（2a1）
9、0”的 必要不充分条件， 故选：B 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的关系是解决本题的关 键 2 （5 分）双曲线的渐近线方程为（ ） Ay2x By Cy Dy 【分析】由焦点在 x 轴上的双曲线的渐近线方程 yx，即可得到所求方程 【解答】解：双曲线的 a，b， 可得渐近线方程为 yx， 即 yx 故选：C 【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程的求法，考查运算能力，属 于基础题 3 （5 分）在等差数列an中，a35 则an的前 5 项和 S5（ ） A7 B15 C25 D20 【分析】利用等差数列的通项公式和前 n 项和公式求解 第 6 页（共
10、18 页） 【解答】解：在等差数列an中，a35， S5 5a3 25 故选：C 【点评】本题考查等差数列的前 5 项和的求法，是基础题，解题时要注意等差数列的通 项公式的合理运用 4 （5 分）ABC 中，若，则ABC 中最长的边是（ ） Aa Bb Cc Db 或 c 【分析】根据正弦定理求解即可 【解答】解：由， 可得， BC45， 那么 A90 大边对应大角， 可得：a 最大； 故选：A 【点评】本题考查三角形的正弦定理和内角和定理的运用，考查运算能力，属于基础题 5 （5 分）已知函数 yf（x）在 x1 处的切线与直线 x+y30 垂直，则 f'（1）（ ） &
11、nbsp;A2 B0 C1 D1 【分析】 求得已知直线的斜率， 由导数的几何意义和两直线垂直的条件： 斜率之积为1， 即可得到所求值 【解答】解：由直线 x+y30 的斜率为1， 函数 yf（x）在 x1 处的切线与直线 x+y30 垂直， 可得切线的斜率 k1，即则 f'（1）1 故选：C 【点评】本题考查导数的几何意义，以及两直线垂直的条件：斜率之积为1，考查运算 能力，属于基础题 第 7 页（共 18 页） 6 （5 分）下列命题中正确的是（ ） A若 ab，则 acbc B若 ab，cd，则 acbd C若 ab0，ab，则 D若 ab，cd，则 【分析】利用不等
12、式的性质即可判断出结论 【解答】解：Ac0 时不成立； Bab，cd，则 a+cb+d，因此不正确； Cab0，ab，则，正确 D取 a2，b3，c3，d3，满足条件 ab，cd，但是不成立 故选：C 【点评】本题主要不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 7 （5 分）已知抛物线 C：y22px（p0）的焦点为 F，抛物线上一点 M（2，m）满足|MF| 6，则抛物线 C 的方程为（ ） Ay22x By24x Cy28x Dy216x 【分析】求得抛物线的准线方程，由抛物线的定义推导出 2+6，解得 p，由此能求出 抛物线的方程 【解答】解：抛物线 C：y22px（p0） ，
13、在此抛物线上一点 M（2，m）到焦点的距离是 6， 抛物线准线方程是 x， 由抛物线的定义可得 2+6， 解得 p8， 抛物线的方程是 y216x 故选：D 【点评】本题考查抛物线方程的求法，解题时要认真审题，注意抛物线的简单性质的合 理运用 8 （5 分）函数 f（x）Asin（x+） （其中 A0，）的部分图象如图所示，将 函数 f（x）的图象（ ）可得的图象 第 8 页（共 18 页） A向右平移个长度单位 B向左平移个长度单位 C向左平移个长度单位 D向右平移个长度单位 【分析】根据三角函数的图象确定函数的解析式，进行求解即可 【解答】解：由图象得
14、A1，即 T， 由 T，则 2， 即 f（x）sin（2x+） ， f（）sin（2+）1， sin（+）1， 即+2k， 得 +2k+2k， ， 当 k0 时， 则 f（x）sin（2x+） ， sin（2x+sin2（x）+， 即将函数 f（x）的图象向右平移个长度单位可得的图象， 故选：D 【点评】本题主要考查三角函数解析式的求解以及三角函数图象的变换，根据条件求出 第 9 页（共 18 页） 函数的解析式是解决本题的关键 9 （5 分）椭圆上的点到直线的最大距离是（ ） A3 B C D 【分析】设椭圆上的点 P（4cos，2sin） ，由点到直线的距离公 式，计算可得答案 【解答】解
15、：设椭圆上的点 P（4cos，2sin） 则点 P 到直线的距离 d； 故选：D 【点评】本题考查直线和椭圆的位置关系，解题时要认真审题，仔细求解 10 （5 分）两个公比均不为 1 的等比数列an，bn，其分前 n 项的乘积分别为 An，Bn， 若，则（ ） A512 B32 C8 D2 【分析】由等差数列的性质即可求出 【解答】解：因为 A9a1a2a3a9a59，B9b1b2b3b9b59， 所以则（）9512， 故选：A 【点评】本题考查了等差数列的性质和灵活应用，是常考的题型，注意总结 11 （5 分）已知 A，B，C 在圆 x2+y21 上运动，且 ABBC，若点 P 的坐标为（2
16、，0） ， 则|的最大值为（ ） A6 B7 C8 D9 【分析】 由题意， AC 为直径， 所以|2+| B 为 （1， 0） 时， |2+| 7，即可得出结论 第 10 页（共 18 页） 【解答】解：由题意，AC 为直径，所以|2+| 所以 B 为（1，0）时，|2+|7 所以|的最大值为 7 另解：设 B（cos，sin） ， |2+|2 （2， 0） + （cos2， sin） | （cos6， sin） | ， 当 cos1 时，B 为（1，0） ，取得最大值 7 故选：B 【点评】本题考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，比较基础 12 （5 分）已知函数 f（x）的导
17、函数 f（x） ，满足 xf（x）+2f（x），且 f（1）1， 则函数 f（x）的最大值为（ ） A0 B C D2e 【分析】由题意构造函数 g（x）x2f（x） ，可解得 g（x）1+lnx，f（x），利 用导数判断函数 f（x）的单调性，求得最大值即可 【解答】解：xf（x）+2f（x）， x2f（x）+2xf（x）， 令 g（x）x2f（x） ，则 g（x）x2f（x）+2xf（x）， f（1）1，g（1）1， g（x）1+lnx，f（x），f（x）， x时，f（x）0，x时，f（x）0， 当 x时，f（x）maxf（） 故选：C 【点评】 本题主要考查利用导数研究函数的性质， 解题
18、的关键是构造函数 g （x） x2f （x） ， 第 11 页（共 18 页） 逻辑性较强，属于中档题 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）在ABC 中，已知 a4，b6，C，则边 c 的长是 2 【分析】由已知利用余弦定理即可计算得解 【解答】解：a4，b6，C， 由余弦定理可得：c2a2+b22abcosC42+62246cos2 故答案为：2 【点评】本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题 14 （5 分）已知正数 x，y 满足 x+y1，则+的最小值是 9 【分析】有题意可得+（
19、+） （x+y）1+4+，再利用基本不等式即可求 出 【解答】解：正数 x，y 满足 x+y1， 则+（+） （x+y）1+4+5+29，当且仅当 x，y时 取等号， 故则+的最小值是 9， 故答案为：9 【点评】本题考查了基本不等式的应用，关键是掌握等号成立的条件，属于基础题 15 （5 分）若实数 x，y 满足，则 z的最小值为 3 【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，求解即可 【解答】解：实数 x，y 满足，的可行域如图： z1+，几何意义是可行域内的点与 P（2，2）连线的斜率，由图形可知 PB 的斜率最小， 由，解得 B（1，2） ， z的最小值为：3
20、故答案为：3 第 12 页（共 18 页） 【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用 z 的几何意义，通过数形结合是解决本题 的关键 16 （5 分）已知抛物线 y22px（p0）的焦点为 F，F 关于原点的对称点为 P，过 F 作 x 轴的垂线交抛物线于 M，N 两点，给出下列五个结论： PMN 必为直角三角形； PMN 必为等边三角形； 直线 PM 必与抛物线相切； 直线 PM 必与抛物线相交； PMN 的面积为 p2 其中正确的结论是 【分析】依题意，可求得 F、P、M、N 四点的坐标，由 F 为 MN 的中点，且|PF|MN|， 易判断PMN 为直角三角形，可判断与；直线 PM 的方程
21、为 yx+，与抛物线 y2 2px 联立消去 x，易得，4p24p20，可判断与，从而可得答案，根据三角 形的面积公式即可求得PMN 的面积为 p2 【解答】解：抛物线方程为 y22px（p0） ，焦点为 F（，0） ，则 P 点坐标为（， 0） ，可求出点 M（，p） ，N（，p） ， |PF|MN|p，MPN90，故正确，不正确； 直线 PM 的方程为 yx+，联立，整理得 y22py+p20，4p24p20， 第 13 页（共 18 页） 直线 PM 与抛物线相切，故正确，不正确 PMN 的面积为 S2ppp2 故正确， 故答案为： 【点评】本题考查抛物线标准方程，考查抛物线
22、的简单性质，直线与抛物线的位置关系， 考查计算能力，属于中档题 三、解答题：本题共三、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分，解答题应写出文字说明、证明过程和演算步骤分，解答题应写出文字说明、证明过程和演算步骤 17 （10 分）已知命题 p： （a2） （6a）0；命题 q：函数 f（x）（4a）x在 R 上是 增函数；若命题“p 或 q”为真，命题“p 且 q”为假，求实数 a 的取值范围 【分析】分别求出命题 p、q 为真时，a 的范围，再根据命题“p 或 q”为真，命题“p 且 q”为假，可得 p 真 q 假，或 p 假 q 真，从而建立不等式，即可求出实数 a 的取值范围 &
23、nbsp;【解答】解：p 真时， （a2） （6a）0，解得 2a6 q 真时，4a1，解得 a3 由命题“p 或 q”为真， “p 且 q”为假，可知命题 p，q 中一真一假， 当 p 真，q 假时，得 3a6， 当 p 假，q 真时，得 a2 因此实数 a 的取值范围是（，23，6） 【点评】本题考查复合命题真假的判定，考查分类讨论的数学思想，解题的关键是根据 命题“pq”为真，命题“pq”为假，可得 p 真 q 假，或 p 假 q 真，是基础题 第 14 页（共 18 页） 18（12 分） 在ABC 中， 内角 A， B， C 所对的边为 a， b， c， 且满足 （）求
24、C； （）若 cosA，求 cos（2AC）的值 【分析】 （）利用正弦定理得到 a2c2abb2，再结合余弦定理和特殊角的三角函数 求得 C 的值； （）由同角三角函数关系，二倍角公式进行转化并求值 【解答】解： （）因为，在ABC 中，由正弦定理得： ，即：a2c2abb2， 由余弦定理得：cosC 又角 C 是三角形 ABC 的内角， C； （ II）由 cosA及 sin2A+cos2A1 得 sinA cos2A2cos2A1， sin2A2sinAcosA2， cos（2AC）cos（2A）cos2Acos+sin2Asin+ 【点评】本题考查的知识点是正弦定理，两角和与差的余弦公
25、式，诱导公式，难度不大， 属于基础题 19 （12 分）已知数列an满足：a13，且对任意的 nN+，都有 1，an，an+1成等差数列 （1）证明数列an1是等比数列，并求数列an的通项公式； （2）求数列an的前 n 项和 Sn 【分析】 （1）运用等差数列的中项性质和等比数列的定义、通项公式，即可得到所求通 项公式； （2）运用数列的分组求和和等比数列的求和公式，计算可得所求和 【解答】解： （1）证明：由 1，an，an+1成等差数列，可知 1+an+12an， 第 15 页（共 18 页） 即 an+12an1， 所以 an+112（an1） ，且 a112， 则an1是
26、以 2 为首项，2 为公比的等比数列， 所以 an12n， 则 an2n+1，nN*； （2）由（1）可得前 n 项和 Sn（2+1）+（22+1）+（2n+1） （2+4+2n）+n+n 2n+1+n2 【点评】本题考查等比数列的定义和通项公式的运用，考查数列的并项求和，化简运算 能力，属于中档题 20 （12 分）已知 f（x）是二次函数，不等式 f（x）0 的解集是（0，5） ，且 f（x）在点（1， f（1） ）处的切线与直线 6x+y+10 平行 （1）求 f（x）的解析式； （2）求 f（x）在0，a（a0）的最大值 g（a） 【分析】 （1）依题意可设 f（x）ax（x5） （a
27、0） ，则 f（x）ax25ax，再利用导数 的几何意义求得切线的斜率3a6 可解得； （2）讨论对称轴与区间中点的大小可得 【解答】解： （1）依题意可设 f（x）ax（x5） （a0） ，则 f（x）ax25ax， f（x）2ax5a，f（1）2a5a3a6，解得 a2， f（x）2x210x； （2）当对称轴 x，即 a5 时，g（a）f（a）2a210a； 当对称轴 x，即 0a5 时，g（a）f（0）0； 故 g（a） 【点评】本题考查了二次函数的性质与图象，属中档题 21 （12 分）已知椭圆 C：+1（ab0）的左、右焦点分别为 F1、F2且离心率为 ，Q、A、B 为椭圆 C 上
28、三个点，QF1F2的周长为 4（+1） ，线段 AB 的垂直平分 第 16 页（共 18 页） 线经过点 P（1，0） （1）求椭圆 C 的方程； （2）求线段 AB 长度的最大值 【分析】 （1）由题意可得：，2a+2c4（+1） ，b2a2c2，联立解得 （2）ABx 轴时，满足题意，可得|AB|2b4由题意可得：AB 的斜率不为 0，设线 段 AB 的中点为： （x0，y0） ，直线 AB 的方程为：ykx+t，A（x1，y1） ，B（x2，y2） 与 椭圆方程联立化为： （1+2k2）x2+4ktx+2t2800化为：4+8k2t2根据根与系 数的关系、中点坐标公式可得：|AB|，进而
29、得出 【解答】解： （1）由题意可得：，2a+2c4（+1） ，b2a2c2， 解得 c2b，a2 椭圆 C 的方程为1 （2）ABx 轴时，满足题意，可得|AB|2b4 由题意可得：AB 的斜率不为 0，设线段 AB 的中点为： （x0，y0） ， 直线 AB 的方程为：ykx+t，A（x1，y1） ，B（x2，y2） 联立，化为： （1+2k2）x2+4ktx+2t280 16k2t24（1+2k2） （2t28）0化为：4+8k2t2 x1+x22x0，解得 x0 y0kx0+t k1，化为：t代入0，解得 k4 又 x1x2， |AB| 第 17 页（共 18 页） 24 综上可得：|
30、AB|的最长为 4 【点评】本题考查了椭圆与双曲线的标准方程及其性质、一元二次方程的根与系数的关 系、分类讨论方法、中点坐标公式、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于 难题 22 （12 分）已知 f（x）alnxx2e2（其中 e 为自然数的底数） （）讨论 f（x）的单调性； （）在（0，+）上存在实数 x，使 f（x）0 能成立，求实数 a 的取值范围 【分析】 （）f（x）的定义域是（0，+） ，求出原函数的导函数，当 a0 时，有 f （x）0，得 f（x）在（0，+）单调递减；a0 时，分别由导函数的符号求得原函数 的单调区间； （）当 a0 时，f（x）alnxx2e20
31、 在（0，+）恒成立，不合题意；当 a0 时，由（）求出函数的最大值，由最大值大于 0 求解 a 的范围 【解答】解： （）f（x）的定义域是（0，+） ， f（x）， 当 a0 时，f（x）0，f（x）在（0，+）单调递减； a0 时，令 f（x）0，解得：0x，令 f（x）0，解得：x， 故 f（x）在（0，）单调递增，在（，+）递减； （）当 a0 时，f（x）alnxx2e20 在（0，+）恒成立，不合题意； 当 a0 时，由（）知， 若在（0，+）上存在实数 x，使 f（x）0 能成立，则0， 即0 令 g（a），则 g（a）， 当 a（0，2）时，g（a）0，当 a（2，+）时，g（a）0 g（a）在（0，2）上为减函数，在（2，+）上为增函数， 而当 a0 时，g（a）0，g（2）1e20，g（2e2）0 实数 a 的取值范围是（2e2，+） 第 18 页（共 18 页） 【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求函数的最值，考查数学 转化思想方法，是中档题
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