2018-2019学年江西省上饶市高二（上）期末数学试卷（理科）含详细解答

1、2018-2019 学年江西省上饶市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 （3 分）不等式的解集为（ ） A B  C D 2 （3 分）若 a，b，cR，ab，则下列不等式成立的是（ ） A Ba2b2  Ca|c|b|c| D 3 （3 分）古代数学名著九章算术有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米 2018 石， 验得米内夹谷， 抽样取米一把， 数得 270 粒内夹谷 30 粒， 则这批米内夹谷约为 （ ）  A222 石 B224 石 C230 石 D232 石 4 （3 分）甲、乙两人在相

2、同的条件下投篮 5 轮，每轮甲、乙各投篮 10 次，投篮命中次数 的情况如图所示（实线为甲的折线图，虚线为乙的折线图） ，则以下说法错误的是（ ）  A甲投篮命中次数的众数比乙的小  B甲投篮命中次数的中位数比乙的小  C甲投篮命中次数的平均数比乙的大  D甲投篮命中的成绩比乙的稳定 第 2 页（共 21 页） 5 （3 分） （x2+）5的展开式中 x4的系数为（ ） A10 B20 C40 D80 6 （3 分） 执行下面的程序框图， 如果输入的 x0， y1， n1， 则输出 x， y 的值满足 （ ）  Ay2x By3x Cy4x D

3、y5x 7 （3 分）某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费用的时间，为此进行了 5 次 实验，根据收集到的数据（如表） ，由最小二乘法求得回归直线方程 零件数 x（个） 1 2 3 4 5 加工时间 y（min） 50 67 71 79 表中有一个数据模糊不清，请你推断出该数据的值为（ ） A55 B55.8 C59 D51 8 （3 分）已知随机变量 X 服从正态分布 N（2，2） ，且 P（X4）0.8，则 P（0X2） （ ） A0.6 B0.3 C0.2 D0.1 9 （3 分）图 1 和图 2 中所有的正方形都全等，将图 1 中的正方形放在图 2 中的 某一位置，所组成的图

4、形能围成正方体的概率是（ ） 第 3 页（共 21 页） A B C D1 10 （3 分）已知 x0，y0，且 x2+3xy20，则 2x+y 的最小值是（ ） A B C D 11 （3 分）已知 x，y 满足不等式组，则 z|x+y1|的最小值为（ ） A2 B C D1 12 （3 分）已知函数 f（x）x23x+2，g（x）2x+m，若对任意的 x1R，存在 x21， 1，使得 g（x2）f（x1） ，则实数 m 的取值范围是（ ） A B C D 二、填空题（将答案填在答题纸上）二、填空题（将答案填在答题纸上） 13 （3 分）已知随机变量 X 的分布列如表，又随机变量 Y2X+3

5、，则 Y 的期望是    X 1 0 1 P a 14 （3 分） （文）若（12x） 2009a0+a1x+a2x2+a2009x2009（xR） ，则（a0+a1）+（a0+a2） +（a0+a3）+（a0+a2009）   15 （3 分） 已知 lg （x+y+4） lg （3x+y2） ， 若 xy 恒成立， 则 的取值范围是    16 （3 分）甲、乙两位同学玩游戏，对于给定的实数 a1，按下列方法操作一次产生一个新 的实数：由甲、乙同时各掷一枚质地均匀的硬币，如果出现两个正面朝上或两个反面朝 上，则把 a1乘以 2 后再减去 6

6、；如果出现一个正面朝上，一个反面朝上，则把 a1除以 2 后再加上 6，这样就可得到一个新的实数 a2，对实数 a2仍按上述方法进行一次操作，又 得到一个新的实数 a3，当 a3a1时，甲获胜，否则乙获胜，若甲胜的概率为，则 a1 的取值范围是    第 4 页（共 21 页） 三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17已知的展开式的各项系数和比二项式系数和大 211 （1）求 n 的值； （2）求展开式中所有有理项 18 （1）当 x1 时，求的最小值 （2）用数学归纳法证明：（nN*） 19某城市关系要

7、好的 A，B，C，D 四个家庭各有两个小孩共 8 人，准备使用滴滴打车软 件，分乘甲、乙两辆汽车出去游玩，每车限坐 4 人， （乘同一辆车的 4 名小孩不考虑位置 差异） （1）共有多少种不同的乘坐方式？ （2）若 A 户家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的 4 名小孩恰有 2 名来自于同一 个家庭的乘坐方式共有多少种？ 20某理财公司有两种理财产品 A 和 B这两种理财产品一年后盈亏的情况如下（每种理财 产品的不同投资结果之间相互独立） ： 产品 A 产品 B（其中 p、q0） 投资结果 获利 40% 不赔不赚 亏损 20% 概 率 投资结果 获利 20% 不赔不赚 亏损 10% 概 率

8、 p （）已知甲、乙两人分别选择了产品 A 和产品 B 进行投资，如果一年后他们中至少有 一人获利的概率大于，求 p 的取值范围； （）丙要将家中闲置的 10 万元钱进行投资，以一年后投资收益的期望值为决策依据， 在产品 A 和产品 B 之中选其一，应选用哪个？ 21基因编辑婴儿“露露”和“娜娜”出生的消息成了全球瞩目的焦点，为了解学生对基因 编辑婴儿的看法，某中学随机从该校一年级学生中抽取了 100 人进行调查，抽取的 45 女 生中赞成基因编辑婴儿的占，而 55 名男生中有 10 人表示赞成基因编辑婴儿 第 5 页（共 21 页） （1）完成 22 列联表，并回答能否有 90%的把握认为“

9、对基因编辑婴儿是否赞成与性 别有关”？ 不赞成 赞成 合计 男       55 女          合计          （2）现从该校不赞成基因编辑婴儿的学生中，采用分层抽样的方法抽取 7 名学生，再从 被抽取的 7 名学生中任取 3 人，记被抽取的 3 名学生女生的人数为 X，求 X 的分布列和 期望 附表： P（K2k0） 0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 K2，

10、na+b+c+d 22设函数 f（x）ax2+4x+b （1）当 b2 时，若对于 x1，2，有 f（x）0 恒成立，求 a 的取值范围； （2）已知 ab，若 f（x）0 对于一切实数 x 恒成立，并且存在 x0R，使得 ax02+4x0+b 0 成立，求的最小值 第 6 页（共 21 页） 2018-2019 学年江西省上饶市高二（上）期末数学试卷（理科）学年江西省上饶市高二（上）期末数学试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 （3 分）不等式的解

11、集为（ ） A B  C D 【分析】把分式不等式转化为二次不等式即可求解 【解答】解：由可得（x+1） （2x1）0， 解可得，1x， 故选：B 【点评】本题考查分式不等式的解法，基本知识的考查 2 （3 分）若 a，b，cR，ab，则下列不等式成立的是（ ） A Ba2b2  Ca|c|b|c| D 【分析】通过赋值法及利用不等式的基本性质即可判断出结论 【解答】解：由 ab， A取 a1，b2 时不成立； B取 a1，b2 时不成立； C取 c0 时不成立； Dc2+10，可得：恒成立 故选：D 【点评】本题考查了赋值法、不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属

12、于基 础题 3 （3 分）古代数学名著九章算术有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米 2018 石， 验得米内夹谷， 抽样取米一把， 数得 270 粒内夹谷 30 粒， 则这批米内夹谷约为 （ ）  A222 石 B224 石 C230 石 D232 石 第 7 页（共 21 页） 【分析】根据数得 270 粒内夹谷 30 粒，可得比例，即可得出结论 【解答】解：由题意，这批米内夹谷约为 2018224 石， 故选：B 【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，是基础题 4 （3 分）甲、乙两人在相同的条件下投篮 5 轮，每轮甲、乙各投篮 10 次，投篮命中次

13、数 的情况如图所示（实线为甲的折线图，虚线为乙的折线图） ，则以下说法错误的是（ ）  A甲投篮命中次数的众数比乙的小  B甲投篮命中次数的中位数比乙的小  C甲投篮命中次数的平均数比乙的大  D甲投篮命中的成绩比乙的稳定 【分析】由折线图知甲、乙投篮 5 轮分别命中的次数，再判断它们的众数、中位数、平 均数和方差的大小 【解答】解：由折线图知，甲投篮 5 轮，命中次数分别为 5，8，6，8，8； 乙投篮 5 轮，命中次数分别为 3，7，9，5，9； 则甲投篮命中的众数是 8，乙投篮命中的众数是 9，甲的众数小，A 正确； 甲投篮命中的中位数是 8，乙投

14、篮命中的中位数 7，甲的中位数大，B 错误； 甲投篮命中的平均数是 7，乙投篮命中的平均数是 6.6，甲的平均数大，C 正确； 甲投篮命中的数据集中在平均数左右，方差小， 乙投篮命中的数据较分散些，方差大，甲的成绩稳定些，D 正确 第 8 页（共 21 页） 故选：B 【点评】本题考查了频率分布折线图的应用问题，也考查了众数、中位数、平均数和方 差的应用问题，是基础题 5 （3 分） （x2+）5的展开式中 x4的系数为（ ） A10 B20 C40 D80 【分析】由二项式定理得（x2+）5的展开式的通项为：Tr+1（x2）5 r（ ）r ，由 103r4，解得 r2，由此能求出（x2+）5

15、的展开式中 x4的系数  【解答】解：由二项式定理得（x2+）5的展开式的通项为： Tr+1（x2）5 r（ ）r， 由 103r4，解得 r2， （x2+）5的展开式中 x4的系数为40 故选：C 【点评】本题考查二项展开式中 x4的系数的求法，考查二项式定理、通项公式等基础知 识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题 6 （3 分） 执行下面的程序框图， 如果输入的 x0， y1， n1， 则输出 x， y 的值满足 （ ）  Ay2x By3x Cy4x Dy5x 【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 x，y 第 9 页（

16、共 21 页） 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案 【解答】解：输入 x0，y1，n1， 则 x0，y1，不满足 x2+y236，故 n2， 则 x，y2，不满足 x2+y236，故 n3， 则 x，y6，满足 x2+y236， 故 y4x， 故选：C 【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟 循环的方法解答 7 （3 分）某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费用的时间，为此进行了 5 次 实验，根据收集到的数据（如表） ，由最小二乘法求得回归直线方程 零件数 x（个） 1 2 3 4 5 加工时间 y（min） 50

17、67 71 79 表中有一个数据模糊不清，请你推断出该数据的值为（ ） A55 B55.8 C59 D51 【分析】设模糊不清的数据为 a，由表格中的数据可得样本点的中心的坐标，代入线性回 归方程可得 a 值 【解答】解：设模糊不清的数据为 a， 由表格中的数据可得， ， 样本点的中心为（3，） ， 代入回归直线方程， 得，解得 a51 故选：D 【点评】本题考查线性回归方程，明确线性回归方程恒过样本点的中心是关键，是基础 题 第 10 页（共 21 页） 8 （3 分）已知随机变量 X 服从正态分布 N（2，2） ，且 P（X4）0.8，则 P（0X2） （ ） A0.6 B0.3 C0.2

18、 D0.1 【分析】根据随机变量 X 服从正态分布，可知正态曲线的对称轴，利用对称性，即可求 得 P（0X2） 【解答】解：随机变量 X 服从正态分布 N（2，o2） ， 正态曲线的对称轴是 x2 又 P（X4）0.8， P（X4）0.2， 则 P（0X2） 故选：B 【点评】本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义、函数图象对称性的应 用等基础知识，属于基础题 9 （3 分）图 1 和图 2 中所有的正方形都全等，将图 1 中的正方形放在图 2 中的 某一位置，所组成的图形能围成正方体的概率是（ ） A B C D1 【分析】将图 1 中的正方形放在图 2 中的某一位置，基本事件总数

19、 n4，图 1 中的正方形放在图 2 中的当处时所组成的图形不能围成正方体，图 1 中的正方形放 在图 2 中的当处的某一位置时所组成的图形能围成正方体， 由此能求出所组成的 图形能围成正方体的概率 【解答】解：图 1 和图 2 中所有的正方形都全等， 将图 1 中的正方形放在图 2 中的某一位置， 第 11 页（共 21 页） 基本事件总数 n4， 图 1 中的正方形放在图 2 中的当处时所组成的图形不能围成正方体， 图 1 中的正方形放在图 2 中的当处的某一位置时所组成的图形能围成正方体， 将图 1 中的正方形放在图 2 中的某一位置， 所组成的图形能围成正方体的概率是 p 故选：C 【

20、点评】本题考查概率的求法，考查列举法、互斥事件的定义等基础知识，考查运算求 解能力，考查函数与方程思想，是基础题 10 （3 分）已知 x0，y0，且 x2+3xy20，则 2x+y 的最小值是（ ） A B C D 【分析】由 x2+3xy20 得代入 2x+y 化简之后利用基本不等式可求出 2x+y 的最小值 【解答】解：由 x2+3xy20，得 3xy2x2，所以， 由基本不等式可得， 当且仅当，即当时，等号成立， 因此，2x+y 的最小值为， 故选：C 【点评】本题考查利用基本不等式求最值，对不等式进行灵活变形，是解本题的关键， 属于中等题 11 （3 分）已知 x，y 满足不等式组，

21、则 z|x+y1|的最小值为（ ） 第 12 页（共 21 页） A2 B C D1 【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优 解，把最优解的坐标代入目标函数得答案 【解答】解：由 x，y 满足不等式组，作出可行域如图，由可行域可知 A（5， 3） ，B（2，0） ， ux+y1 的最大值为：7，最小值为：1， 则 z|x+y1|的最小值为：1 故选：D 【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题 12 （3 分）已知函数 f（x）x23x+2，g（x）2x+m，若对任意的 x1R，存在 x21， 1，使得 g（x2）f（x1） ，

22、则实数 m 的取值范围是（ ） A B C D 【分析】求出 f（x） ，g（x）的最小值， 【解答】解：对任意的 x1R，存在 x21，1，使得 g（x2）f（x1） ， xR，f（x）x23x+2（x）2， x1，1，g（x）min2+m， 根据题意，只需 g（x）minf（x）min， 即2+m，化简得 m， 故选：B 第 13 页（共 21 页） 【点评】考查了存在性问题和恒成立问题，中档题 二、填空题（将答案填在答题纸上）二、填空题（将答案填在答题纸上） 13 （3 分）已知随机变量 X 的分布列如表，又随机变量 Y2X+3，则 Y 的期望是 X 1 0 1 P a 【分析】由随机变

23、量 X 的分布列，求出 EX，再由随机变量 Y2X+3，能求出 Y 的期望  【解答】解：由随机变量 X 的分布列，得： EX（1）， 又随机变量 Y2X+3， 则 Y 的期望是 EY2EX+32（）+3 故答案为： 【点评】本题考查离散型随机变量的数学期望的求法，考查数学期望的性质等基础知识， 考查运算求解能力，是基础题 14 （3 分） （文）若（12x） 2009a0+a1x+a2x2+a2009x2009（xR） ，则（a0+a1）+（a0+a2） +（a0+a3）+（a0+a2009） 2007 【分析】通过对等式中的 x 分别赋 0，1 求出常数项和各项系数和得到要求的值

24、 【解答】解：令 x0，得 a01；令 x1，得1a0+a1+a2+a2009， 故（a0+a1）+（a0+a2）+（a0+a3）+（a0+a2009）200812007 故答案为：2007 【点评】本题考查通过赋值法求二项展开式的各项系数和 15 （3 分）已知 lg（x+y+4）lg（3x+y2） ，若 xy 恒成立，则 的取值范围是 10， +） 【分析】根据题意，转换为线性规划问题，令 zxy，利用线性规划求得 xy2，结 合 xy 恒成立求得 的取值范围 【解答】解：由 lg（x+y+4）lg（3x+y2） ，得 ，即 第 14 页（共 21 页） 令 zxy， 由 x3，x+y+4

25、0，得 A（3，7） ， 由图可知，当直线 zxy 过 A 时，zxy 有最大值为 10 而 xy 恒成立， 的取值范围是10，+） ， 故答案为：10，+） 【点评】本题考查简单的线性规划，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法， 是中档题 16 （3 分）甲、乙两位同学玩游戏，对于给定的实数 a1，按下列方法操作一次产生一个新 的实数：由甲、乙同时各掷一枚质地均匀的硬币，如果出现两个正面朝上或两个反面朝 上，则把 a1乘以 2 后再减去 6；如果出现一个正面朝上，一个反面朝上，则把 a1除以 2 后再加上 6，这样就可得到一个新的实数 a2，对实数 a2仍按上述方法进行一次操作，又

26、得到一个新的实数 a3，当 a3a1时，甲获胜，否则乙获胜，若甲胜的概率为，则 a1 的取值范围是 （，612，+）  【分析】列出 a3的 4 个可能的结果，因为每个结果发生的可能均为，故其中有 3 个比 a1大，一个小于或等于 a1，列出不等式组，即可得到 a1的范围 【解答】解：a3的结果有四种，分别为：4a118，a1+3，a1+6 和，每一个结果出 现的概率都是， 由题意，甲胜的概率为，所以 a3的 4 种结果中有 3 种比 a1大，1 个比 a1小， 又因为 a1+3，a1+6 一定比 a1大， 故 4a118 和中一个大于 a1，另一个不大于 a1， 第 15 页（共

27、21 页） 即或者， 解得 a16，或者 a112， 故答案为： （，612，+） 【点评】本题考查了古典概型的概率，考查了不等式组的解法，考查分析和解决问题的 能力，是基础题 三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17已知的展开式的各项系数和比二项式系数和大 211 （1）求 n 的值； （2）求展开式中所有有理项 【分析】 （1）先求出展开式的各项系数和为 3n，而二项式系数和为 2n，再根据题意 3n 2n211，nN，由此求得 n 的值 （2）二项式展开式的通项公式求得展开式中所有有理项 【解答】解： （1）已知的展开

28、式的各项系数和比二项式系数和大 211， 令 x1，可得展开式的各项系数和为 3n，而二项式系数和为 2n， 3n2n211，nN，求得 n5 （2） 的展开式的通项公式为 Tr+12r， 令 5为整数，求得 r0，2，4， 故展开式中所有有理项为 T120x5x5， T322x440x4， T524x380x3  【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公 式，属于基础题 18 （1）当 x1 时，求的最小值 （2）用数学归纳法证明：（nN*） 【分析】 （1）把已知函数解析式变形，然后利用配方法结合二次函数求最值； （2）证明 n1 时不等式成立

29、，假设 nk 时不等式成立，即成 立，然后利用归纳假设证明 nk+1 时不等式成立，则结论得证 第 16 页（共 21 页） 【解答】 （1）解：x1 ， （0，1） ，（0， 则的最小值为 4； （2）证明：当 n1 时，不等式的左边，右边，不等式成立； 假设 nk 时不等式成立，即成立， 则当 nk+1 时，左边 ， 即当 nk+1 时不等式成立 综上所述，（nN*） 【点评】本题考查函数最值的求法，训练了利用数学归纳法证明数列不等式，是中档题  19某城市关系要好的 A，B，C，D 四个家庭各有两个小孩共 8 人，准备使用滴滴打车软 件，分乘甲、乙两辆汽车出去游玩，每车限坐 4

30、 人， （乘同一辆车的 4 名小孩不考虑位置 差异） （1）共有多少种不同的乘坐方式？ （2）若 A 户家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的 4 名小孩恰有 2 名来自于同一 个家庭的乘坐方式共有多少种？ 【分析】 （1）根据题意，分 2 步进行分析：，将 8 人分成 2 组，将分好的 2 组全 排列，安排到甲乙两辆车，由分步计数原理计算可得答案； （2）根据题意，分 2 种情况讨论：、A 户家庭的孪生姐妹在甲车上，甲车上剩下两个 要来自不同的家庭，、A 户家庭的孪生姐妹不在甲车上，每种情况下分析乘坐人员的 情况，由排列、组合数公式计算可得其乘坐方式的数目，由分类计数原理计算可得答案 &n

31、bsp;【解答】解： （1）根据题意，8 个小孩坐 2 辆汽车，每车限坐 4 人， 分 2 步进行分析： 第 17 页（共 21 页） ，将 8 人分成 2 组，有35 种分组方法， ，将分好的 2 组全排列，安排到甲乙两辆车，有 A222 种情况， 则有 35270 种不同的乘坐方式； （2）根据题意，分 2 种情况讨论： 、A 户家庭的孪生姐妹在甲车上，甲车上剩下两个要来自不同的家庭， 可以在剩下的三个家庭中任选 2 个，再从每个家庭的 2 个小孩中任选一个，来乘坐甲车，  有 C32C21C2112 种乘坐方式； 、A 户家庭的孪生姐妹不在甲车上， 需要在剩下的三个家庭中任选

32、1 个，让其 2 个小孩都在甲车上， 对于剩余的 2 个家庭，从每个家庭的 2 个小孩中任选一个，来乘坐甲车， 有 C31C21C2112 种乘坐方式； 则共有 12+1224 种乘坐方式 【点评】本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题 20某理财公司有两种理财产品 A 和 B这两种理财产品一年后盈亏的情况如下（每种理财 产品的不同投资结果之间相互独立） ： 产品 A 产品 B（其中 p、q0） 投资结果 获利 40% 不赔不赚 亏损 20% 概 率 投资结果 获利 20% 不赔不赚 亏损 10% 概 率 p （）已知甲、乙两人分别选择了产品 A 和产品 B 进行投资，如

33、果一年后他们中至少有 一人获利的概率大于，求 p 的取值范围； （）丙要将家中闲置的 10 万元钱进行投资，以一年后投资收益的期望值为决策依据， 在产品 A 和产品 B 之中选其一，应选用哪个？ 【分析】 （）利用相互独立事件和对立事件的概率计算公式，求出“甲选择产品 A 且盈 利” 、 第 18 页（共 21 页） “乙选择产品 B 且盈利”和“一年后甲、乙两人中至少有一人投资获利”的概率值， 列出不等式求出 p 的取值范围； （）设丙选择产品 A 进行投资，记 X 为获利金额，写出 X 的分布列，计算数学期望； 设丙选择产品 B 进行投资，记 Y 为获利金额，写出 Y 的分布列，计算数学期

34、望； 讨论 p 的取值，得出 E（X）与 E（Y）的大小关系即可 【解答】解： （）记事件 A 为“甲选择产品 A 且盈利” ， 事件 B 为“乙选择产品 B 且盈利” ， 事件 C 为“一年后甲、乙两人中至少有一人投资获利” ， 则， 所以，所以；4 分 又因为， 所以； 所以；6 分 （）假设丙选择产品 A 进行投资，且记 X 为获利金额（单位：万元） ，所以随机变量 X 的分布列为： X 4 0 2 P 则8 分 假设丙选择产品 B 进行投资，且记 Y 为获利金额（单位：万元） ，所以随机变量 Y 的分布 列为： Y 2 0 1 P p q 则；10 分 当时，E（X）E（Y） ，选择产

35、品 A 和产品 B 一年后投资收益的数学期望相同，可 以在产品 A 和产品 B 中任选一个； 第 19 页（共 21 页） 当时，E（X）E（Y） ，选择产品 A 一年后投资收益的数学期望大，应选产品 A； 当时，E（X）E（Y） ，选择产品 B 一年后投资收益的数学期望大，应选产 品 B12 分 【点评】本题考查了古典概型的概率计算问题，也考查了离散型随机变量的分布列与数 学期望，是中等题 21基因编辑婴儿“露露”和“娜娜”出生的消息成了全球瞩目的焦点，为了解学生对基因 编辑婴儿的看法，某中学随机从该校一年级学生中抽取了 100 人进行调查，抽取的 45 女 生中赞成基因编辑婴儿的占，而 5

36、5 名男生中有 10 人表示赞成基因编辑婴儿 （1）完成 22 列联表，并回答能否有 90%的把握认为“对基因编辑婴儿是否赞成与性 别有关”？ 不赞成 赞成 合计 男 45  10 55 女 30  15  45  合计 75  25  100  （2）现从该校不赞成基因编辑婴儿的学生中，采用分层抽样的方法抽取 7 名学生，再从 被抽取的 7 名学生中任取 3 人，记被抽取的 3 名学生女生的人数为 X，求 X 的分布列和 期望 附表： P（K2k0） 0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 k0 2.0

37、72 2.706 3.841 5.024 6.635 K2，na+b+c+d 【分析】 （1）根据抽取的女生中赞成基因编辑婴儿的比值，名男生中赞成基因编辑婴儿 的比值，求出女生和男生中不赞成基因编辑婴儿的人数，填写列联表，计算 K2查表判断 即可； （2）由题意知随机变量 X 的所有可能取值，分别计算对应的概率，写出分布列，计算期 望值 第 20 页（共 21 页） 【解答】解： （1）根据题意完成 22 列联表，如下； 不赞成 赞成 合计 男 45 10 55 女 30 15 45 合计 75 25 100 利用表中数据，计算 K23.030； 且 K23.0302.706， 所以有 90%

38、的把握认为“对基因编辑婴儿是否赞成与性别有关“； （2）用分层抽样法抽取 7 人，其中从不赞成基因编辑婴儿的男生抽取 454（人） ，  从不赞成基因编辑婴儿的女生抽取 303（人） ； 由题意知，X 服从超几何分布； 则 P（Xk）（k0，1，2，3） ； 从而 X 的分布列为： X 0 1 2 3 P X 的数学期望为 E（X）3 【点评】本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，也考查了独立性 检验的问题，是中档题 22设函数 f（x）ax2+4x+b （1）当 b2 时，若对于 x1，2，有 f（x）0 恒成立，求 a 的取值范围； （2）已知 ab，若 f（x）

39、0 对于一切实数 x 恒成立，并且存在 x0R，使得 ax02+4x0+b 0 成立，求的最小值 【分析】 （1）由 f（x）0 可得 a恒成立，转化为求解相应函数的 最值即可； 第 21 页（共 21 页） （2）由 f（x）0 对于一切实数 x 恒成立，可得，由存在 x0R，使得 ax02+4x0+b 0 成立可得0，从而164ab0 可求 ab，然后利用基本不等式可求 【解答】解： （1）据题意知，对于 x1，2，有 f（x）ax2+4x+20 恒成立， 即 a恒成立， 设 t，t，所以 g（t）2t24t2（t+1）2+2， 函数 g（t）在区间，1上是单调递减的， g（t）maxg（）， ； （2）由 f（x）0 对于一切实数 x 恒成立，可得，即， 由存在 x0R，使得 ax02+4x0+b0 成立可得164ab0， 164ab0， ab4， 4，当且仅当 ab2 时等号成立， 的最小值 4 【点评】本题主要考查了二次不等式的恒成立问题求解参数的范围，要注意所对应的区 间不同的处理