1、2018-2019 学年江西省南昌市八一中学、洪都中学、麻丘高中等高二（下）期末数学试卷（理科）七校高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共 12 小题，共小题，共 60.0 分）分） 1 （3 分）对于实数 a，b，c，下列结论中正确的是（ ） A若 ab，则 ac2bc2 B若 ab0，则 C若 ab0，则 D若 ab，则 ab0 2 （3 分）某中学组织了“自主招生数学选拔赛” ，已知此次选拔赛的数学成绩 X 服从正态 分布 N （75， 121） ， 考生共有 1000 人， 估计数学成绩在 75 分到 86 分之间的人数约为 （ ） 人 （参考数据 P（X+）0.6826，
2、P（2X+2）0.9544） A261 B341 C477 D683 3 （3 分）已知有穷数列an（n1，2，3，6满足 an（1，2，3，10，且当 i j（i，j1，2，3，6）时，aiaj若 a1a2a3，则符合条件的数列an的个数 是（ ） A B C D 4 （3 分）通过随机询问 110 名性别不同的大学生是否爱好体育，得到如表的列联表： 男 女 总计 爱好 40 20 60 不爱好 20 30 50 总计 60 50 110 由公式算得： 附表： P（K2 K0） 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 K0 1.323 2.07
3、2 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 参照附表，得到的正确结论是（ ） 第 2 页（共 26 页） A有 99%以上的把握认为“爱好体育运动与性别有关” B有 99%以上的把握认为“爱好体育运动与性别无关” C在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下，认为“爱好体育运动与性别有关” D在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下，认为“爱好体育运动与性别无关” 5 （3 分）设复数 x（i 是虚数单位） ，则x+x2+x3+x2019 （ ） Ai Bi C1+i D1i 6 （3 分）若随机变量 X 的分布列为： X 0 1 P 0.2 m 已知随机变量 Ya
4、X+b（a，bR，a0） ，且 E（Y）10，D（Y）4，则 a 与 b 的值 为（ ） Aa10，b3 Ba3，b10 Ca5，b6 Da6，b5 7 （3 分）某学校开展研究性学习活动，某同学获得一组实验数据如下表： x 1.99 3 4 5.1 6.12 y 1.5 4.04 7.5 12 18.01 对于表中数据，现给出以下拟合曲线，其中拟合程度最好的是（ ） Ay2x2 By（）x Cylog2x Dy（x21） 8 （3 分） 对任意实数 x， 若不等式|x+1|x2|k 在 R 上恒成立， 则 k 的取值范围是 （ ） Ak3 Bk3 Ck3 Dk3 9 （3 分）若某校研究性学
5、习小组共 6 人，计划同时参观科普展，该科普展共有甲，乙，丙 三个展厅，6 人各自随机地确定参观顺序，在每个展厅参观一小时后去其他展厅，所有展 厅参观结束后集合返回，设事件 A 为：在参观的第一小时时间内，甲，乙，丙三个展厅 恰好分别有该小组的 2 个人；事件 B 为：在参观的第二个小时时间内，该小组在甲展厅 人数恰好为 2 人则 P（B|A）（ ） A B C D 10 （3 分） 节次日期 第一节 第二节 第三节 第四节 第 3 页（共 26 页） 星期一 语文 数学 外语 历史 星期二 星期三 星期四 某教师要把语文、数学、外语、历史四个学科排到如下的课表中，如果相同科目既不同 行也不同
6、列， 星期一的课表已经确定如下表， 则其余三天的课表的不同排法种数有 （ ） A96 B36 C24 D12 11 （3 分）在体育选修课排球模块基本功（发球）测试中，计分规则如下（满分为 10 分） ： 每人可发球 7 次，每成功一次记 1 分；若连续两次发球成功加 0.5 分，连续三次发 球成功加 1 分， 连续四次发球成功加 1.5 分， 以此类推， ， 连续七次发球成功加 3 分 假 设某同学每次发球成功的概率为，且各次发球之间相互独立，则该同学在测试中恰好 得 5 分的概率是（ ） A B C D 12 （3 分）已知 n 元均值不等式为：，其中 x1， x2，xn均为正数，已知球的
7、半径为 R，利用 n 元均值不等式求得球的内接正四棱锥的 体积的最大值为（ ） A B C D 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，共小题，共 20.0 分）分） 13 （3 分）有 10 件产品，其中 3 件是次品，从这 10 件产品中任取两件，用 表示取到次 品的件数，则 1 的概率是 ；E（） 14 （3 分）组合恒等式，可以利用“算两次”的方法来证明：分别求（1+x） n+1 和 （1+x） （1+x） n 的展开式中 xm的系数 前者 （1+x） n+1 的展开式中 xm的系数为； 后者（1+x） （1+x）n的展开式中 xm的系数为因为（1+x）n+1（1+x） （
8、1+x）n，则两个展开 式中 xm的系数也相等，即 第 4 页（共 26 页） 请用 “算两次” 的方法化简下列式子： 15 （3 分）如图，某建筑工地搭建的脚手架局部类似于一个 223 的长方体框架，一个 建筑工人欲从 A 处沿脚手架攀登至 B 处，则其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率 为 16 （3 分）伟大的数学家高斯说过：几何学唯美的直观能够帮助我们了解大自然界的基本 问题一位同学受到启发，借助以下两个相同的矩形图形，按以下步骤给出了不等式： （ac+bd）2（a2+b2） （c2+d2）的一种“图形证明” 证明思路： （1）图 1 中白色区域面积等于右图中白色区域面积； （2）图
9、 1 中阴影区域的面积为 ac+bd，图 2 中，设BAD，图 2 阴影区域的面积可表 示为 （用含 a，b，c，d， 的式子表示） ； （3）由图中阴影面积相等，即可导出不等式（ac+bd） 2（a2+b2） （c2+d2） 当且仅当 a， b，c，d 满足条件 时，等号成立 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 70.0 分）分） 17已知的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是 9：1 （1）求展开式中各项二项式系数的和； 第 5 页（共 26 页） （2）求展开式中中间项 18已知 a，b，cR+，且 a+b+c1证明： （1）a2+b2+c2， ； （2）
10、+1 19大型综艺节目最强大脑中，有一个游戏叫做盲拧魔方，就是玩家先观察魔方状态并 进行记忆，记住后蒙住眼睛快速还原魔方，盲拧在外人看来很神奇，其实原理是十分简 单的，要学会盲拧也是很容易的根据调查显示，是否喜欢盲拧魔方与性别有关为了 验证这个结论，某兴趣小组随机抽取了 50 名魔方爱好者进行调查，得到的情况如表（1） 所示，并邀请其中 20 名男生参加盲拧三阶魔方比赛，其完成情况如表（2）所示： 表（1） 喜欢盲拧 不喜欢盲拧 总计 男 23 30 女 11 总计 50 表（2） 成功完成时间（分钟） 0，10） 10，20） 20，30） 30，40 人数 10 4 4 2 （1）将表（1
11、）补充完整，并判断能否在犯错误的概率不超过 0.025 的前提下认为是否喜 欢官拧与性别有关？ （2）现从表（2）中成功完成时间在20，30）和30，40这两组内的 6 名男生中任意抽 取 2 人对他们的盲拧情况进行视频记录，求 2 人成功完成时间恰好在同一组内的概率 附参考公式及数据：K2，其中 na+b+c+d P（K2k0） 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 20如图 1，已知四边形 BCDE 为直角梯形，B90，BECD，且 BE2CD2BC2， A 为 BE 的中点将ED
12、A 沿 AD 折到PDA 位置（如图 2） ，连结 PC，PB 构成一个四 棱锥 PABCD 第 6 页（共 26 页） （）求证 ADPB； （）若 PA平面 ABCD 求二面角 BPCD 的大小； 在棱 PC 上存在点 M，满足（01） ，使得直线 AM 与平面 PBC 所成的角 为 45，求 的值 21十九大提出，加快水污染防治，建设美丽中国根据环保部门对某河流的每年污水排放 量 X（单位：吨）的历史统计数据，得到如下频率分布表： 污水量 230，250） 250，270） 270，290） 290，310） 310，330） 330，350） 频率 0.3 0.44 0.15 0.1
13、0.005 0.005 将污水排放量落入各组的频率作为概率，并假设每年该河流的污水排放量相互独立 （）求在未来 3 年里，至多 1 年污水排放量 X270，310）的概率； （）该河流的污水排放对沿河的经济影响如下：当 X230，270）时，没有影响；当 X270，310）时，经济损失为 10 万元；当 X310，350）时，经济损失为 60 万元为 减少损失，现有三种应对方案： 方案一：防治 350 吨的污水排放，每年需要防治费 3.8 万元； 方案二：防治 310 吨的污水排放，每年需要防治费 2 万元； 方案三：不采取措施 试比较上述三种文案，哪种方案好，并请说明理由 22在某市举行的一
14、次市质检考试中，为了调查考试试题的有效性以及试卷的区分度，该市 教研室随机抽取了参加本次质检考试的 500 名学生的数学考试成绩，并将其统计如表所 示 成绩 X 75，85） 85，95） 95，105） 105，115） 115，125） 人数 Y 30 120 m n 40 第 7 页（共 26 页） 根据上表数据统计，可知考试成绩落在105，125之间的频率为 0.28 （）求 m、n 的值； （）已知本欢质检中的数学测试成绩 XN（，2） ，其中 近似为样本的平均数， 2近似为样本方差 s2，若该市有 4 万考生，试估计数学成绩介于 110120 分的人数； （以各组的区间的中点值代表
15、该组的取值） （）现按分层抽样的方法从成绩在85，95） 以及115， 125之间的学生中随机抽取 12 人， 再从这 12 人中随机抽取 4 人进行试卷分析， 记被抽取的 4 人中成绩在115，125之间的人数为 X，求 X 的分布列以及期望 E（X） 参考数据：若 XN（，2） ，则 P（X+）0.6826，P（2X+2 ）0.9544，P（3X+3）0.9974 第 8 页（共 26 页） 2018-2019 学年江西省南昌市八一中学、洪都中学、麻丘高中等学年江西省南昌市八一中学、洪都中学、麻丘高中等 七校高二（下）期末数学试卷（理科）七校高二（下）期末数学试卷（理科） 参考答案与试题解
16、析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，共小题，共 60.0 分）分） 1 （3 分）对于实数 a，b，c，下列结论中正确的是（ ） A若 ab，则 ac2bc2 B若 ab0，则 C若 ab0，则 D若 ab，则 ab0 【分析】分别对各个选项进行判断即可 【解答】解：对于 A：c0 时，不成立，A 错误； 对于 B：若 ab0，则，B 错误； 对于 C：令 a2，b1，代入不成立，C 错误； 对于 D：若 ab，则 a0，b0，则 ab0，D 正确； 故选：D 【点评】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握其性质是解题的关键，本题是一道基 础题 2 （3
17、分）某中学组织了“自主招生数学选拔赛” ，已知此次选拔赛的数学成绩 X 服从正态 分布 N （75， 121） ， 考生共有 1000 人， 估计数学成绩在 75 分到 86 分之间的人数约为 （ ） 人 （参考数据 P（X+）0.6826，P（2X+2）0.9544） A261 B341 C477 D683 【分析】此次选拔赛的数学成绩 X 服从正态分布 N（75，121） ，所以数学成绩在 75 分到 86 分之间即为数学成绩在（75，75+11）之间，先根据正态曲线的对称性，求出数学成 绩在 75 分到 86 分之间概率，再乘以总人数即可估计出数学成绩在 75 分到 86 分之间人 数
18、【解答】解：依题意，此次选拔赛的数学成绩 X 服从正态分布 N（75，121） ， 所以数学成绩在 75 分到 86 分之间即为数学成绩在（75，75+11）之间， 所以 P（75X86）0.68260.3413， 第 9 页（共 26 页） 又因为考生共有 1000 人， 所以数学成绩在 75 分到 86 分之间的人数约为 10000.3413341 人， 故选：B 【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量 和的应用，考查曲线的对称性，属于基础题 3 （3 分）已知有穷数列an（n1，2，3，6满足 an（1，2，3，10，且当 i j（i，j1，2，3，6
19、）时，aiaj若 a1a2a3，则符合条件的数列an的个数 是（ ） A B C D 【分析】根据题意，用倍分法分析：首先计算在 1，2，3，10 任选 6 个数，全排列 组成数列an的排法，再分析其中 a1、a2、a3的排法以及满足 a1a2a3的排法，进而 分析可得答案 【解答】解：根据题意，在 1，2，3，10 任选 6 个数，全排列组成数列an，有 A106 种选法， 其中 a1、a2、a3的排法有 A33种， 而满足 a1a2a3的排法有 1 种， 则符合条件的数列an的个数为； 故选：A 【点评】本题考查排列、组合的计算，涉及分布计数原理的应用，属于基础题 4 （3 分）通过随机询
20、问 110 名性别不同的大学生是否爱好体育，得到如表的列联表： 男 女 总计 爱好 40 20 60 不爱好 20 30 50 总计 60 50 110 由公式算得： 附表： 第 10 页（共 26 页） P（K2 K0） 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 K0 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 参照附表，得到的正确结论是（ ） A有 99%以上的把握认为“爱好体育运动与性别有关” B有 99%以上的把握认为“爱好体育运动与性别无关” C在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下，
21、认为“爱好体育运动与性别有关” D在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下，认为“爱好体育运动与性别无关” 【分析】根据条件中所给的观测值，同题目中节选的观测值表进行检验，得到观测值对 应的结果，得到结论有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” 【解答】解：由题意知本题所给的观测值，k27.8， 7.86.635， 这个结论有 0.010 的机会出错， 即有 99%以上的把握认为“爱好体育运动与性别有关” 故选：A 【点评】本题考查了独立性检验的应用问题，也考查了对观测值表的认识与应用，是基 础题目 5 （3 分）设复数 x（i 是虚数单位） ，则x+x2+x3+x2019 （ ） A
22、i Bi C1+i D1i 【分析】先化简 x，再利用二项式定理、虚数单位 i 的幂运算性质，求得要求式子的值 【解答】解：复数 x1+i， 则x+x2+x3+x2019（+x+x2+x3+ +x2019）1（1+x）20191i20191i311i， 故选：D 【点评】本题主要考查复数代数形式的运算，虚数单位 i 的幂运算，二项式定理的应用， 6 （3 分）若随机变量 X 的分布列为： 第 11 页（共 26 页） X 0 1 P 0.2 m 已知随机变量 YaX+b（a，bR，a0） ，且 E（Y）10，D（Y）4，则 a 与 b 的值 为（ ） Aa10，b3 Ba3，b10 Ca5，b
23、6 Da6，b5 【分析】由随机变量 X 的分布列得 m10.20.8，从而求出 E（X）0.8，D（X） 0.16，再由随机变量 YaX+b（a，bR，a0） ，且 E（Y）10，D（Y）4，列出方 程组，能求出 a，b 的值 【解答】解：由随机变量 X 的分布列得： m10.20.8， E（X）00.2+10.80.8， D（X）（00.8）20.2+（10.8）20.80.16， 随机变量 YaX+b（a，bR，a0） ，且 E（Y）10，D（Y）4， ， 解得 a5，b6 故选：C 【点评】本题考查实数值的求法，考查离散型随机变量的性质等基础知识，考查运算求 解能力，考查函数与方程思想
24、，是中档题 7 （3 分）某学校开展研究性学习活动，某同学获得一组实验数据如下表： x 1.99 3 4 5.1 6.12 y 1.5 4.04 7.5 12 18.01 对于表中数据，现给出以下拟合曲线，其中拟合程度最好的是（ ） Ay2x2 By（）x Cylog2x Dy（x21） 【分析】根据所给的五组数据，在平面直角坐标系中画出五个点，观察这几个点在变化 趋势上是在第一象限单调递增，递增的速度比较快，排除 B，C 两个选项，当 x4 时， 不符合 A 选项，得到结果 【解答】解：在直角坐标系中画出这几对数据的散点图， 观察图形的变化趋势， 第 12 页（共 26 页） 这几个点在变化
25、趋势上是在第一象限单调递增， 递增的速度比较快，排除 B，C 两个选项， 当 x4 时，不符合 A 选项， 故选：D 【点评】本题考查选择合适的模型来拟合一组数据，考查作图法解题，考查四种函数的 性质，本题是一个比较简单的综合题目 8 （3 分） 对任意实数 x， 若不等式|x+1|x2|k 在 R 上恒成立， 则 k 的取值范围是 （ ） Ak3 Bk3 Ck3 Dk3 【分析】令 g（x）|x+1|x2|，由绝对值的几何意义可求得 g（x）min，从而可得 k 的取值范围 【解答】解：令 g（x）|x+1|x2|，则 g（x）， g（x）min3 不等式|x+1|x2|k 在 R 上恒成立
26、kg（x）min恒成立， k3 故选：B 【点评】本题考查绝对值不等式的应用，利用绝对值的几何意义求得 g（x）min是关键， 也是难点，属于中档题 第 13 页（共 26 页） 9 （3 分）若某校研究性学习小组共 6 人，计划同时参观科普展，该科普展共有甲，乙，丙 三个展厅，6 人各自随机地确定参观顺序，在每个展厅参观一小时后去其他展厅，所有展 厅参观结束后集合返回，设事件 A 为：在参观的第一小时时间内，甲，乙，丙三个展厅 恰好分别有该小组的 2 个人；事件 B 为：在参观的第二个小时时间内，该小组在甲展厅 人数恰好为 2 人则 P（B|A）（ ） A B C D 【分析】在参观的第一小
27、时时间内，甲，乙，丙三个展厅恰好分别有该小组的 2 个人的 方法有90 种，B 发生，共有240，可得 P（B|A） 【解答】解：由题意，甲，乙，丙三个展厅恰好分别有该小组的 2 个人的方法有 90 种，B 发生，共有240 P（B|A） 故选：A 【点评】本题考查了条件概率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 10 （3 分） 节次日期 第一节 第二节 第三节 第四节 星期一 语文 数学 外语 历史 星期二 星期三 星期四 某教师要把语文、数学、外语、历史四个学科排到如下的课表中，如果相同科目既不同 行也不同列， 星期一的课表已经确定如下表， 则其余三天的课表的不同排法种数有 （
28、） A96 B36 C24 D12 【分析】本题是一个分类和分步计数问题，周二，周三和周四的第一节课可以把除去语 文以外的三节课全排列，周二排列第一节以后，第二节只要不和第一节相同，再不和周 一的第二节相同，有 2 种选法，以此类推排出结果 【解答】解：由题意知本题是一个分类和分步计数问题， 周二，周三和周四的第一节课可以把除去语文以外的三节课全排列，结果是 A33， 第 14 页（共 26 页） 周二排列第一节以后，第二节只要不和第一节相同，再不和周一的第二节相同，有 2 种 选法， 第三节和第四节是确定的 周三的第一节确定，第二节有 2 种结果，后面的位置是确定的科目， 根据计数原理知共有
29、 A332224 种结果， 故选：C 【点评】本题考查计数原理，考查排列在实际问题中的应用，解题时注意要做到不重不 漏，实际上本题考查借助于表格帮助计数 11 （3 分）在体育选修课排球模块基本功（发球）测试中，计分规则如下（满分为 10 分） ： 每人可发球 7 次，每成功一次记 1 分；若连续两次发球成功加 0.5 分，连续三次发 球成功加 1 分， 连续四次发球成功加 1.5 分， 以此类推， ， 连续七次发球成功加 3 分 假 设某同学每次发球成功的概率为，且各次发球之间相互独立，则该同学在测试中恰好 得 5 分的概率是（ ） A B C D 【分析】该同学在测试中恰好得 5 分包含两
30、种情况：一种是四次发球功，且连续两次发 球成功的情况出现两次；一种是四次发球成功，且连续三次发球成功由此能求出该同 学在测试中恰好得 5 分的概率 【解答】解：该同学在测试中恰好得 5 分包含两种情况： 一种是四次发球功，且连续两次发球成功的情况出现两次， 概率为：（）4（）3， 一种是四次发球成功，且连续三次发球成功， 概率为：（）4（）3， 该同学在测试中恰好得 5 分的概率是 P（）4（）3+（）4（）3 + 故选：C 第 15 页（共 26 页） 【点评】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公 式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题
31、12 （3 分）已知 n 元均值不等式为：，其中 x1， x2，xn均为正数，已知球的半径为 R，利用 n 元均值不等式求得球的内接正四棱锥的 体积的最大值为（ ） A B C D 【分析】设正四棱锥的底面边长为 a，底面到球心的距离为 x，则， 四棱锥的体积 V（x），然后利用基本不等式求出最大值 即可 【解答】 解： 设正四棱锥的底面边长为 a， 底面到球心的距离为 x， 则， 而正四棱锥的高 hR+x， 四棱锥的体积 V（x），x（0，R） ， 当且仅当 x时取等号 球的内接正四棱锥的体积的最大值为： 故选：A 【点评】本题考查了球的内接正四棱锥的体积的求法和基本不等式，考查了转化思想，
32、 属中档题 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，共小题，共 20.0 分）分） 13 （3 分）有 10 件产品，其中 3 件是次品，从这 10 件产品中任取两件，用 表示取到次 品的件数，则 1 的概率是 ；E（） 【分析】依题意，随机变量 服从超几何分布，所以 P（k），E（）， 第 16 页（共 26 页） 【解答】 解： 依题意， 随机变量 服从超几何分布， 所以 P （1） E（） 故答案为：， 【点评】本题考查了超几何分布的概率求法，超几何分布的期望，属于中档题解题时 注意对公式 P（k），E（）的应用 14 （3 分）组合恒等式，可以利用“算两次”的方法来证明：分
33、别求（1+x） n+1 和 （1+x） （1+x） n 的展开式中 xm的系数 前者 （1+x） n+1 的展开式中 xm的系数为； 后者（1+x） （1+x）n的展开式中 xm的系数为因为（1+x）n+1（1+x） （1+x）n，则两个展开 式中 xm的系数也相等，即 请用 “算两次” 的方法化简下列式子： 【分析】利用（1+x）2n（1+x）n（1+x）n两 xn的系数相等以及 C C可得 【解答】解：利用（1+x）2n（1+x）n（1+x）n两 xn的系数相等可得， 在（1+x）2n中 xn的系数为 C， 在 （1+x） n （1+x） n 中 xn的系数为： C C +C C+C C
34、C C +C C +C C （C ）2+（C ）2+（C ）2， 所以C 故答案为：C 【点评】本题考查了二项式定理，属中档题 15 （3 分）如图，某建筑工地搭建的脚手架局部类似于一个 223 的长方体框架，一个 建筑工人欲从 A 处沿脚手架攀登至 B 处，则其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率 第 17 页（共 26 页） 为 【分析】根据题意，最近路线，那就是不能走回头路，不能走重复的路，一共要走 3 次 向上，2 次向右，2 次向前，一共 7 次，最近的行走路线共有：n5040，先把不向 上的次数排列起来，也就是 2 次向右和 2 次向前全排列，接下来，就是把 3 次向上插 到 4
35、次不向上之间的空当中，5 个位置排三个元素，也就是 A53，求出最近的行走路线中 不连续向上攀登的次数 m1440 种，由此能法语出其最近的行走路线中不连续 向上攀登的概率 【解答】解：解：根据题意，最近路线，那就是不能走回头路，不能走重复的路， 一共要走 3 次向上，2 次向右，2 次向前，一共 7 次， 最近的行走路线共有：n5040， 不能连续向上， 先把不向上的次数排列起来， 也就是 2 次向右和 2 次向前全排列， 接下来，就是把 3 次向上插到 4 次不向上之间的空当中，5 个位置排三个元素，也就是 A53， 则最近的行走路线中不连续向上攀登的共有 m1440 种， 其最近的行走路
36、线中不连续向上攀登的概率 p 故答案为： 【点评】本题考查排列、组合的实际应用，解题的难点在于将原问题转化为排列、组合 问题，特别要注意题干中“不连续向上攀登”的限制，考查运算求解能力，是中档题 16 （3 分）伟大的数学家高斯说过：几何学唯美的直观能够帮助我们了解大自然界的基本 问题一位同学受到启发，借助以下两个相同的矩形图形，按以下步骤给出了不等式： （ac+bd）2（a2+b2） （c2+d2）的一种“图形证明” 第 18 页（共 26 页） 证明思路： （1）图 1 中白色区域面积等于右图中白色区域面积； （2）图 1 中阴影区域的面积为 ac+bd，图 2 中，设BAD，图 2 阴影
37、区域的面积可表 示为 （用含 a，b，c，d， 的式子表示） ； （3）由图中阴影面积相等，即可导出不等式（ac+bd） 2（a2+b2） （c2+d2） 当且仅当 a， b，c，d 满足条件 时，等号成立 【分析】利用矩形，平行四边形面积公式计算即可 【解答】解： （1）图 1 中阴影部分的面积 S1bd+ac；图 2 中的面积为 S2（a+d） （b+c） dcabac+bd，两图中的阴影部分面积相等； （2）图 2 阴影区域的面积 SADABsinDAB （3）sin1， （ac+bd）2（a2+b2） （c2+d2） 当且仅当时，取等号 答案为：， 【点评】本题考查了不等式的性质，属于
38、中档题， 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 70.0 分）分） 17已知的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是 9：1 （1）求展开式中各项二项式系数的和； （2）求展开式中中间项 【分析】 （1）由题意利用二项展开式的通项公式先求出 n 的值，可得展开式中各项二项 式系数的和 （2）根据 n 的值，确定中间项，再利用二项展开式的通项公式，求得结果 第 19 页（共 26 页） 【解答】解： （1）由题意知，展开式的通项为：Tr+1 （3）r， 第五项的系数与第三项的系数的比是 9：1，1，求得 n6， 可得各项的二项式系数和为 2664 （2）展开式共有 7
39、 项，故中间项为 【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质， 属于基础题 18已知 a，b，cR+，且 a+b+c1证明： （1）a2+b2+c2， ； （2）+1 【分析】 （1）由题意得，1（a+b+c）2a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac3（a2+b2+c2） ，结论 得证 （2）根据，可得，从而得 到结论 【解答】证明（1）a，b，cR+，且 a+b+c1， 1（a+b+c）2a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac3（a2+b2+c2） ， ，当且仅当 abc 时，等号成立 （2）， ， ， 【点评】本题考查用比较法证明不等式，基本不等式的应
40、用，将式子变形是证明的关键， 属中档题 19大型综艺节目最强大脑中，有一个游戏叫做盲拧魔方，就是玩家先观察魔方状态并 进行记忆，记住后蒙住眼睛快速还原魔方，盲拧在外人看来很神奇，其实原理是十分简 第 20 页（共 26 页） 单的，要学会盲拧也是很容易的根据调查显示，是否喜欢盲拧魔方与性别有关为了 验证这个结论，某兴趣小组随机抽取了 50 名魔方爱好者进行调查，得到的情况如表（1） 所示，并邀请其中 20 名男生参加盲拧三阶魔方比赛，其完成情况如表（2）所示： 表（1） 喜欢盲拧 不喜欢盲拧 总计 男 23 30 女 11 总计 50 表（2） 成功完成时间（分钟） 0，10） 10，20）
41、20，30） 30，40 人数 10 4 4 2 （1）将表（1）补充完整，并判断能否在犯错误的概率不超过 0.025 的前提下认为是否喜 欢官拧与性别有关？ （2）现从表（2）中成功完成时间在20，30）和30，40这两组内的 6 名男生中任意抽 取 2 人对他们的盲拧情况进行视频记录，求 2 人成功完成时间恰好在同一组内的概率 附参考公式及数据：K2，其中 na+b+c+d P（K2k0） 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【分析】 （）根据题意填写列联表，计算 K2，对照临界
42、值得出结论； （II） 求出从 6 名男生中任意抽取 2 人的基本事件总数和这 2 人恰好在同一组内的基本事 件数，计算所求的概率值 【解答】解： （）根据题意填写列联表如下； 喜欢盲拧 不喜欢盲拧 总计 男 23 7 30 女 9 11 20 总计 32 18 50 由表中数据计算 K25.2235.024， 第 21 页（共 26 页） 所以能在犯错误的概率不超过 0.025 的前提下认为喜欢盲拧与性别有关； （4 分） （II）从成功完成时间在20，30）和30，40这两组内的 6 名男生中任意抽取 2 人， 基本事件总数为15（种） ，这 2 人恰好在同一组内的基本事件为+6+17，
43、故所求的概率为 P（12 分） 【点评】本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，也考查了古典概型的概率问题， 是中档题 20如图 1，已知四边形 BCDE 为直角梯形，B90，BECD，且 BE2CD2BC2， A 为 BE 的中点将EDA 沿 AD 折到PDA 位置（如图 2） ，连结 PC，PB 构成一个四 棱锥 PABCD （）求证 ADPB； （）若 PA平面 ABCD 求二面角 BPCD 的大小； 在棱 PC 上存在点 M，满足（01） ，使得直线 AM 与平面 PBC 所成的角 为 45，求 的值 【分析】 （）推导出 ABCD 为平行四边形，ADBC，ADBE，ADAB，ADPA
44、， 从而 AD平面 PAB，由此能证明 ADPB （）以点 A 为坐标原点，分别以 AB，AD，AP 为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系， 利用向量法能求出二面角 BPCD 的大小 求出平面 PBC 的法向量，由直线 AM 与平面 PBC 所成的角为 45，能求出 的值 【解答】证明： （）在图 1 中，ABCD，ABCD， ABCD 为平行四边形，ADBC， B90，ADBE， 第 22 页（共 26 页） 当EDA 沿 AD 折起时，ADAB，ADAE，即 ADAB，ADPA， 又 ABPAA，AD平面 PAB， 又PB平面 PAB，ADPB 解： （）以点 A 为坐标原点，分别以 A
45、B，AD，AP 为 x，y，z 轴，建立空间直角坐 标系， 则 A（0，0，0） ，B（1，0，0） ，C（1，1，0） ，P（0，0，1） ， （1，1，1） ，（0，1，0） ，（1，0，0） ， 设平面 PBC 的法向量为 （x，y，z） ， 则，取 z1，得 （1，0，1） ， 设平面 PCD 的法向量 （a，b，c） ， 则，取 b1，得 （0，1，1） ， 设二面角 BPCD 的大小为 ， 则 cos，120 二面角 BPCD 的大小为 120 设 AM 与面 PBC 所成角为 ， （0，0，1）+（1，1，1）（，1） ， 平面 PBC 的法向量 （1，0，0） ， 直线 AM
46、与平面 PBC 所成的角为 45， sin|cos|， 第 23 页（共 26 页） 解得 0 或 【点评】本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的大小的求法，考查实数值的求法， 是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的便于合理运用 21十九大提出，加快水污染防治，建设美丽中国根据环保部门对某河流的每年污水排放 量 X（单位：吨）的历史统计数据，得到如下频率分布表： 污水量 230，250） 250，270） 270，290） 290，310） 310，330） 330，350） 频率 0.3 0.44 0.15 0.1 0.005 0.005 将污水排放量落入各组的频率作为概率，并假设每年该河流的污水排放量相互独立 （）求在未来 3 年里，至多 1 年污水排放量 X270，310）的概率； （）该河流的污水排放对
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