1、 第 1 页（共 18 页） 2019-2020 学年江西省南昌二中高二（上）期末数学试卷（理科）学年江西省南昌二中高二（上）期末数学试卷（理科） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 （5 分）复数 z3i 的虚部是（ ） A1 Bi C1 Di 2 （5 分）用反证法证明“a，bN*，ab 可被 5 整除，那么 a，b 中至少有一个能被 5 整除” 时，假设的内容是（ ） Aa 不能被 5 整除 Bb 不能被 5 整
2、除 Ca，b 都不能被 5 整除 D以上都不正确 3 （5 分）函数 f（x）excosx 的图象在点（0，f（0） ）处的切线方程的倾斜角为（ ） A0 B C1 D 4 （5 分）下列命题中错误的是（ ） A若命题 p 为真命题，命题 q 为假命题，则命题“p（q） ”为真命题 B命题“若 a+b7，则 a2 或 b5”为真命题 C命题“若函数 f（x）的导函数 f（x）满足 f（x0）0，则 x0是函数 f（x）的极值 点”的逆否命题是真命题 D命题 p：x0，sinx2x1，则p 为x0，sinx2x1 5 （5 分）直线 x+（a2+1）y10 的倾斜角的取值范围是（ ） A B，
3、C （0， D，） 6 （5 分） 若 aR， 则 “复数 z在复平面内对应的点在第三象限” 是 “a3” 的 （ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 7 （5 分）函数在区间0，6上的最大值是（ ） A B C12 D9 8 （5 分）若 S1x2dx，S2，S3，则 S1，S2，S3的大小关系是 （ ） AS1S2S3 BS2S1S3 CS2S3S1 DS3S2S1 第 2 页（共 18 页） 9 （5 分）甲、乙、丙，丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩老师说：你们四人 中有两位优秀，两位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲
4、的 成绩看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则（ ） A乙、丁可以知道自己的成绩 B乙可以知道四人的成绩 C乙、丁可以知道对方的成绩 D丁可以知道四人的成绩 10 （5 分）下列命题为真命题的个数是（ ） A0 B1 C2 D3 11 （5 分）双曲线 C：y21 的左，右顶点分别是 A1，A2，P 是 C 上任意一点，直线 PA1，PA2分别与直线 l：x1 交于 M，N，则|MN|的最小值是（ ） A1 B C2 D3 12 （5 分）若函数 f（x）x21 与函数 g（x）alnx1 的图象存在公切线，则正实数 a 的取值范围是（ ） A （0，e） B （0，e C （
5、0，2e） D （0，2e 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）已知函数 f（x）sin（2x） ，那么 f（）的值是 14 （5 分） 15 （5 分）已知点 P（x，y）是抛物线 y24x 上任意一点，Q 是圆（x+2）2+（y4）21 上任意一点，则|PQ|+x 的最小值为 16 （5 分）已知函数 f（x）exlnx2，下列说法正确的是 f（x）有且仅有一个极值点； f（x）有零点； 若 f（x）极小值点为 x0，则 0f（x0）； 若 f（x）极小值点为 x0，则f（x0）1 三、解答题：本大题共三、解
6、答题：本大题共 6 个题，共个题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 第 3 页（共 18 页） 17 （10 分）命题 p：xR，ax2+ax10，命题 q：方程表示焦点在 y 轴上 的椭圆 （1）若“p 或 q”为假命题，求实数 a 的取值范围； （2）若“非 q”是“am，m+1”的必要不充分条件，求实数 m 的取值范围 18 （12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1为（ 为参数） 在以 O 为原 点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2的极坐标方程为 4cos，射线 与 C2除极点外的一个交点为 M，设直线 l
7、经过点 M，且倾斜角为， 直线 l 与曲线 C1的两个交点为 A，B （1）求 C1的普通方程和 C2的直角坐标方程； （2）求|MA|MB|的值 19 （12 分）数列an的前 n 项和为 Sn，且满足 a2（nN*） （）求 S1，S2，S3，S4的值； （）猜想数列Sn的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论 20 （12 分）设函数 f（x）lnxax2+x （1）当 a2 时，f（x）k 恒成立，求 k 的取值范围； （2）方程 mf（x）（1）x2有唯一实数解，求正数 m 的值 21 （12 分）在平面直角坐标系中，点 P（x，y）为动点，已知点， 直线 PA 与 PB 的斜率之积为
8、 （I）求动点 P 轨迹 E 的方程； （ II）过点 F（1，0）的直线 l 交曲线 E 于 M，N 两点，设点 N 关于 x 轴的对称点为 Q （M、Q 不重合） ，求证：直线 MQ 过定点 22 （12 分）已知函数 （1）讨论 f（x）的单调性； （2）当 0a1 时，证明：xf（x）a（sinx+1） 第 4 页（共 18 页） 2019-2020 学年江西省南昌二中高二（上）期末数学试卷（理科）学年江西省南昌二中高二（上）期末数学试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分，
9、在每小题给出的四个选项中，只分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 （5 分）复数 z3i 的虚部是（ ） A1 Bi C1 Di 【分析】根据复数的基本概念解答 【解答】解：复数 z3i3+（1）i，所以其虚部为1； 故选：C 【点评】如果复数 za+bi，a，bR，则实部是 a，虚部是 b 2 （5 分）用反证法证明“a，bN*，ab 可被 5 整除，那么 a，b 中至少有一个能被 5 整除” 时，假设的内容是（ ） Aa 不能被 5 整除 Bb 不能被 5 整除 Ca，b 都不能被 5 整除 D以上都不正确 【分析】反设是一种对立性假设，即想证
10、明一个命题成立时，可以证明其否定不成立， 由此得出此命题是成立的 【解答】解：由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其 否定成立进行推证 命题“a，bN，如果 ab 可被 5 整除，那么 a，b 至少有 1 个能被 5 整除 ”的否定是“a， b 都不能被 5 整除” 故选：C 【点评】反证法是命题的否定的一个重要运用，用反证法证明问题大大拓展了解决证明 问题的技巧 3 （5 分）函数 f（x）excosx 的图象在点（0，f（0） ）处的切线方程的倾斜角为（ ） A0 B C1 D 【分析】求导函数，可得 f（0）1，从而可求切线方程的倾斜角 【解答】解：求导函数，可
11、得 f（x）ex（cosxsinx） f（0）1 第 5 页（共 18 页） 函数 f（x）excosx 的图象在点（0，f（0） ）处的切线方程的倾斜角为 故选：B 【点评】本题考查导数的几何意义，考查学生的计算能力，属于基础题 4 （5 分）下列命题中错误的是（ ） A若命题 p 为真命题，命题 q 为假命题，则命题“p（q） ”为真命题 B命题“若 a+b7，则 a2 或 b5”为真命题 C命题“若函数 f（x）的导函数 f（x）满足 f（x0）0，则 x0是函数 f（x）的极值 点”的逆否命题是真命题 D命题 p：x0，sinx2x1，则p 为x0，sinx2x1 【分析】A，根据命题
12、复合命题的真假性，判断命题“p（q） ”为真命题； B，根据互为逆否命题的真假性相同，判断它的逆否命题真假性即可； C，判断原命题错误，即可得出它的逆否命题也是错误； D，根据特称命题的否定是全称命题，判断即可 【解答】解：对于 A，若命题 p 为真命题，命题 q 为假命题， 则命题q 是真命题，命题“p（q） ”为真命题，A 正确； 对于 B，命题“若 a2 且 b5，则 a+b7”是真命题， 它的逆否命题“若 a+b7，则 a2 或 b5”也是真命题，B 正确； 对于 C，函数 f（x）的导函数 f（x）满足 f（x0）0， 则 x0是函数 f（x）的极值点，它是假命题； 所以该命题的逆否
13、命题也是假命题，C 错误； 对于 D，特称命题 p：x0，sinx2x1， 则它的否定命题是p：x0，sinx2x1，D 正确 故选：C 【点评】本题考查了命题真假的判断问题，也考查了简易逻辑的应用问题，是基础题 5 （5 分）直线 x+（a2+1）y10 的倾斜角的取值范围是（ ） A B， C （0， D，） 【分析】根据题意求出直线的斜率，再求倾斜角取值范围 【解答】解：直线 x+（a2+1）y10 可化为 第 6 页（共 18 页） yx+； 且直线的斜率为 k， 由 a2+11，所以 01， 所以10， 所以1tan0， 又 0，） ， 所以直线的倾斜角 的取值范围是，） 故选：D
14、【点评】本题考查了直线的倾斜角与斜率的问题，是基础题 6 （5 分） 若 aR， 则 “复数 z在复平面内对应的点在第三象限” 是 “a3” 的 （ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】根据题意解出关于 a 的不等式，结合充分必要条件的定义，从而求出答案 【解答】解：z， 复数 z 在复平面内对应的点在第三象限，解得：a3， “复数 z在复平面内对应的点在第三象限”是“a3”的充要条件， 故选：C 【点评】本题考查了充分必要条件，考查解不等式问题，是一道基础题 7 （5 分）函数在区间0，6上的最大值是（ ） A B C12 D9 【分析】求导数
15、 f（x） ，根据导数的符号变化可求函数的极大值，易判断该极大值即为最 大值 【解答】解：f（x）4xx2x（x4） ， 当 0x4 时，f（x）0，f（x）递增； 当 4x6 时，f（x）0，f（x）递减； 第 7 页（共 18 页） x4 时 f（x）取得极大值，也即最大值， f（x）maxf（4）216， 故选：A 【点评】考查利用导数求函数的最值，属中档题，当函数在一区间上有唯一的极值时， 该极值即为相应的最值 8 （5 分）若 S1x2dx，S2，S3，则 S1，S2，S3的大小关系是 （ ） AS1S2S3 BS2S1S3 CS2S3S1 DS3S2S1 【分析】根据积分公式分别计
16、算 S1，S2，S3的值，即可比较大小 【解答】解：S1x2dxx3（2，3） ， ln2ln1ln21， 3， 则 S2S1S3 故选：B 【点评】本题主要考查积分的计算，要求熟练掌握常见函数的积分公式 9 （5 分）甲、乙、丙，丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩老师说：你们四人 中有两位优秀，两位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的 成绩看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则（ ） A乙、丁可以知道自己的成绩 B乙可以知道四人的成绩 C乙、丁可以知道对方的成绩 D丁可以知道四人的成绩 【分析】先阅读题意，再结合简单的合情推理逐一判断即可得解 【解
17、答】解：因为甲、乙、丙，丁四位同学中有两位优秀，两位良好， 又甲看了乙、丙的成绩且甲还是不知道自己的成绩，即可推出乙、丙的成绩一位优秀， 一位良好， 又乙看了丙的成绩，即乙由丙的成绩可知自己的成绩， 又甲、丁的成绩一位优秀，一位良好，则丁由甲的成绩可知自己的成绩， 第 8 页（共 18 页） 即乙、丁可以知道自己的成绩， 故选：A 【点评】本题考查了阅读能力及简单的合情推理，属中档题 10 （5 分）下列命题为真命题的个数是（ ） A0 B1 C2 D3 【分析】构造函数 f（x），x（0，+） ，利用导数得到，当 x（0，e）时，f （x）0，f（x）单调递增；当 x（e，+）时，f（x）0
18、，f（x）单调递减，f（e） f（3）f（） ，即，故正确，错误，构造函数 g（x）， x（0，+） ，利用导数得到当 x（0，e）时，g（x）0，g（x）单调递减；当 x（e， +）时，g（x）0，g（x）单调递增，g（e）g（3） ，即 0，ln3， ，故正确，从而确定真命题的个数 【解答】解：构造函数 f（x），x（0，+） ， ，令 f（x）0 得：xe， 当 x（0，e）时，f（x）0，f（x）单调递增；当 x（e，+）时，f（x）0，f（x） 单调递减， f（e）f（3）f（） ，即，故正确，错误， 构造函数 g（x），x（0，+） ， ，令 g（x）0 得：xe， 当 x（0，e
19、）时，g（x）0，g（x）单调递减；当 x（e，+）时，g（x）0，g （x）单调递增， g（e）g（3） ，即 0， ln3，故正确， 真命题的个数是 2 个， 第 9 页（共 18 页） 故选：C 【点评】本题主要考查了利用构造函数，以及利用导数研究函数的单调性，是中档题 11 （5 分）双曲线 C：y21 的左，右顶点分别是 A1，A2，P 是 C 上任意一点，直线 PA1，PA2分别与直线 l：x1 交于 M，N，则|MN|的最小值是（ ） A1 B C2 D3 【分析】联立方程组求出交点坐标，结合两点间的距离公式进行求解即可 【解答】解：由双曲线的对称性可知，P 在右支上时，|MN|
20、取最小值 由上可得 A1（2，0） ，A2（2，0） ，根据双曲线方程y21 可得， 所以设直线 PA1、PA2的斜率分别为 k1、k2（k1、k20） ， 则 k1k2 PA1的方程为 yk1（x+2） ，令 x1，解得 M（1，3k1） ， PA2的方程为 yk2（x2） ，令 x1，解得 N（1，k2） ， 所以|MN|3k1（k2）|3k1+k22（当且仅当 3k1k2，即 k1， k2时等号成立） 故选：B 【点评】本题主要考查双曲线方程的求解以及两点间距离的计算，考查学生的运算能力 12 （5 分）若函数 f（x）x21 与函数 g（x）alnx1 的图象存在公切线，则正实数 a
21、的取值范围是（ ） A （0，e） B （0，e C （0，2e） D （0，2e 【分析】分别求出导数，设出各自曲线上的切点，得到切线的斜率，再由两点的斜率公 式，结合切点满足曲线方程，可得切点坐标的关系式，整理得到关于一个坐标变量的方 程，借助于函数的极值和最值，即可得到 a 的范围 【解答】解：f（x）2x，g（x）， 设与曲线 f（x）x21 相切的切点为（m，n） ， 与 g（x）alnx1 相切的切点为（s，t） （s0） ， 则有公共切线斜率为 2m， 又 talns1，nm21， 第 10 页（共 18 页） 可得 ntm2alns2m22ms，m， 即有 m22msalns，
22、即aalns， 可得 a4s24s2lns，s0， 设 h（s）4s24s2lns，s0， h（s）8s4（2slns+s）4s8slns4s（12lns） ， 可得 0s时，h（s）0，h（s）递增，当 s时，h（s）0，h（s）递减， 可得 s处 h（s）取得极大值，且为最大值 2e， 则 0a2e， 故选：D 【点评】本题考查导数的几何意义，主要考查导数的运用：求单调区间和极值、最值， 考查运算能力，属于中档题 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）已知函数 f（x）sin（2x） ，那么 f（）的值是 1
23、【分析】利用复合函数的导数运算法则即可得出， 【解答】解：函数 f （x） sin（2x） ，f （x） 2，那么 f（） 1 故答案为：1 【点评】本题考查了复合函数的导数运算法则，属于基础题 14 （5 分） 【分析】由于dx， 第一个积分根据积分所表示的几何意义是以（0，0）为圆心，1 为半径第一、二象限内圆 弧与坐标轴围成的面积，只需求出圆的面积乘以二分之一即可，第二个积分利用公式进 行计算即可 【解答】解：由于， 表示的几何意义是：以（0，0）为圆心，1 为半径第一，二象限内圆弧与 坐标轴围成的面积 第 11 页（共 18 页） 1， 又0， 原式 故答案为： 【点评】本题主要考查了
24、定积分，定积分运算是求导的逆运算，解题的关键是求原函数， 也可利用几何意义进行求解，属于基础题 15 （5 分）已知点 P（x，y）是抛物线 y24x 上任意一点，Q 是圆（x+2）2+（y4）21 上任意一点，则|PQ|+x 的最小值为 3 【分析】当 C、P、F 三点共线时，|PQ|+d 取最小值，即（|PQ|+d）min|FC|r，由此能 求出结果 【解答】解：抛物线 y24x 的焦点 F（1，0） ，准线 l：x1 圆 C： （x+2）2+（y4）21 的圆心 C（2，4） ，半径 r1， 由抛物线定义知：点 P 到直线 l：x1 距离 d|PF|， 点 P 到 y 轴的距离为 xd1
25、， 当 C、P、F 三点共线时，|PQ|+d 取最小值， （|PQ|+x）min |FC|r1 5113 故答案为：3 【点评】本题考查两条线段和的最上值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意数 形结合思想的合理运用 第 12 页（共 18 页） 16 （5 分）已知函数 f（x）exlnx2，下列说法正确的是 f（x）有且仅有一个极值点； f（x）有零点； 若 f（x）极小值点为 x0，则 0f（x0）； 若 f（x）极小值点为 x0，则f（x0）1 【分析】先求出导函数 f（x） ，设 g（x）xex1，x （0，+） ，利用导数得到函数 g（x）xex1 在（0，+）上单调递增，又 ，
26、g（1）e10，故存在唯一 x0，使得 g （x0）0，所以 f（x）有且仅有一个极值点，再利用 x0，分析 f（x0）的范 围即可 【解答】解：f（x）exlnx2，x（0，+） ， ， 设 g（x）xex1，x（0，+） ， g（x）ex+xex0 恒成立， 函数 g（x）xex1，在（0，+）上单调递增， 又，g（1）e10， 存在唯一 x0，使得 g（x0）0，f（x）有且仅有一个极值点， 当 x时，g（x）0，f（x）0，函数 f（x）单调递减；当 x（x0，1） 时，g（x）0，f（x）0，函数 f（x）单调递增， x0是 f（x）的极小值点，且满足 x0， ， ， 对勾函数 yx
27、+在（，1）上单调递减， 第 13 页（共 18 页） ， 函数 f（x）恒大于 0，无零点， 综上所述：正确的是， 故答案为： 【点评】本题主要考查了利用导数以及函数的极值，是中档题 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 个题，共个题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （10 分）命题 p：xR，ax2+ax10，命题 q：方程表示焦点在 y 轴上 的椭圆 （1）若“p 或 q”为假命题，求实数 a 的取值范围； （2）若“非 q”是“am，m+1”的必要不充分条件，求实数 m 的取值范围 【分析】解： （1）求出命题
28、p 真、命题 q 真时 a 的取值范围即可 （2）非 q：a2 或 a1，由“已知可得所以，m+12 或 m1即可解得答案 【解答】解： （1）命题 p 真则： 当 a0 时，显然不成立； 当 a0 时成立，恒成立； 当 a0 时，只需a2+4a0 即可，解得：4a0， 故 p 为真时：a（4，0； 命题 q 真，则 4aa+20 解得：2a1， 命题“p 或 q”为假命题，即 p，q 均为假命题，则 a4 或 a1； （2）非 q：a2 或 a1， 因为“非 q”是“am，m+1”的必要不充分条件， 所以，m+12 或 m1 所以 m3 或 m1 【点评】本题考查了复合命题真假、充要条件的判
29、定，属于中档题 18 （12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1为（ 为参数） 在以 O 为原 点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2的极坐标方程为 4cos，射线 与 C2除极点外的一个交点为 M，设直线 l 经过点 M，且倾斜角为， 直线 l 与曲线 C1的两个交点为 A，B 第 14 页（共 18 页） （1）求 C1的普通方程和 C2的直角坐标方程； （2）求|MA|MB|的值 【分析】 （1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进 行转换 （2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果 【解答】解： （1）C1的普通方程是 由 4cos
30、 得 24cos，所以 C2的直角坐标方程是 x2+y24x0 （2）联立 x2+y24x0 与 yx 得 M（2，2）或 M（0，0） ， M 不是极点，M（2，2） 依题意，直线 l 的参数方程可以表示为 （t 为参数） ， 代入得，设 A，B 点的参数是 t1，t2， 则， 【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元 二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属 于基础题型 19 （12 分）数列an的前 n 项和为 Sn，且满足 a2（nN*） （）求 S1，S2，S3，S4的值； （）猜想数列Sn的通项公式，并用数学归
31、纳法证明你的结论 【分析】 （）根据 a2，a1S1，先求出 S1然后，再 S2，S3，S4的值； （）猜想，根据 nk+1 时，可 证明 nk+1 成立 【解答】解： （）a2， 当 n1 时， 第 15 页（共 18 页） 又， 同理，； （）猜想，下面用数学归纳法证明： 当 n1 时，显然结论成立； 假设 nk（kN*）时结论成立，即，则 当 nk+1 时， ， nk+1 时结论成立， 由知对任意的 nN*都成立 【点评】本题考查了利用通项公式求值和数学归纳法，考查了逻辑推理能力和运算能力， 属中档题 20 （12 分）设函数 f（x）lnxax2+x （1）当 a2 时，f（x）k 恒
32、成立，求 k 的取值范围； （2）方程 mf（x）（1）x2有唯一实数解，求正数 m 的值 【分析】 （1）求出函数的导数，求出函数的单调区间，求出函数的最大值，从而求出 k 的范围即可； （2）lnx+x0 时，不合题意，当 lnx+x0 时，m有唯一解，此时 xx0，记 h （x），根据函数的单调性求出 m 的值即可 【解答】解： （1）a2 时，f（x）lnxx2+x， f（x）的定义域是（0，+） ， f（x）2x+1， 令 f（x）0，解得：0x1，令 f（x）0，解得：x1， 故 f（x）在（0，1）递增，在（1，+）递减， 故 f（x）maxf（1）0， 若 f（x）k 恒成立，
33、 第 16 页（共 18 页） 则 k0； （2）方程 mf（x）（1）x2有唯一实数解， 即 m（lnx+x）x2有唯一实数解， 当 lnx+x0 时，显然不成立，设 lnx+x0 的根为 x0（，1） 当 lnx+x0 时，m有唯一解，此时 xx0 记 h（x）， h（x）， 当 x（0，1）时，x（x1）0，2xlnx0，h（x）0， 当 x（1，+）时，x（x1）0，2xlnx0，h（x）0， h（x）在（x0，1）上递减， （1，+）上递增 h（x）minh（1）1， 当 x（x0，1）时，h（x）（1，+） ， 当 x（1，+）时，h（x）（1，+） ， 要使 m有唯一解，应有 m
34、h（1）1， m1 【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查函数的最值，考查分离参数法的运 用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题 21 （12 分）在平面直角坐标系中，点 P（x，y）为动点，已知点， 直线 PA 与 PB 的斜率之积为 （I）求动点 P 轨迹 E 的方程； （ II）过点 F（1，0）的直线 l 交曲线 E 于 M，N 两点，设点 N 关于 x 轴的对称点为 Q （M、Q 不重合） ，求证：直线 MQ 过定点 【分析】 （I）利用直线 PA 与 PB 的斜率之积为，建立等式，化简，即可求得求动点 P 轨迹 E 的方程； （II）设出直线方程，代入椭圆方程，利用韦达
35、定理，求得直线方程，令 y0，即可证 得结论 第 17 页（共 18 页） 【解答】 （I）解：由题知：（2 分） 化简得：（4 分） （II）证明一：设 M（x1，y1） ，N（x2，y2） ，Q（x2，y2） ，l：xmy+1， 代入整理得（m2+2）y2+2my10（6 分） ，（8 分） MQ 的方程为 令 y0，得（10 分） 直线 MQ 过定点（2，0） （12 分） 证明二：设 M（x1，y1） ，N（x2，y2） ，Q（x2，y2） ，l：yk（x1） ， 代入整理得（1+2k2）x24k2x+2k220（6 分） ，（8 分） MQ 的方程为 令 y0， 得 （10 分） 直
36、线 MQ 过定点（2，0） （12 分） 【点评】本题考查轨迹方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，属于 中档题 22 （12 分）已知函数 （1）讨论 f（x）的单调性； （2）当 0a1 时，证明：xf（x）a（sinx+1） 【分析】 （1）求出导函数，通过当 a1 时，a1 时，判断导函数的符号，图象函数 的单调性 （2）要证 xf（x）a（sinx+1） 只需证明 xlnxasinx1，证明 xlnxax1设 g（x） 第 18 页（共 18 页） xlnxax+1 利用导函数转化证明， 再证： ax1asinx1， 设 h （x） xsinx， 则 h （x）1cos
37、x0利用函数的单调性转化证明即可 【解答】满分（12 分） 解： （1）由得 （1 分） 当 a+10 即 a1 时，f（x）0，所以 f（x）在（0，+）上单调递增 （2 分） 当 a+10 即 a1 时，由 f（x）0 得 xa+1；由 f（x）0 得 xa+1， （3 分） 所以 f（x）在（0，a+1）上单调递减，在（a+1，+）上单调递增 （4 分） （2）要证 xf（x）a（sinx+1）成立， 只需证 xlnx+a+1asinx+a 成立，即证 xlnxasinx1 （5 分） 现证：xlnxax1 设 g（x）xlnxax+1则 g（x）1+lnxalnx+1a， （6 分）
38、所以 f（x）在（0，ea 1）上单调递减，在（ea1，+）上单调递增 （7 分） 所以 g（x）g（ea 1）（a1）ea1aea1+11ea1 （8 分） 因为 0a1，所以 1ea 10，则 g（x）0， 即 xlnxax1，当且仅当 x1，a1 时取等号 （9 分） 再证：ax1asinx1 （10 分） 设 h（x）xsinx，则 h（x）1cosx0 所以 h（x）在（0，+）上单调递增，则 h（x）h（0）0，即 xsinx （11 分） 因为 0a1，所以 ax1asinx1当且仅当 a0 时取等号， 又 xlnxax1 与 ax1asinx1 两个不等式的等号不能同时取到， 即 xlnxasinx1， 所以 xf（x）a（sinx+1） （12 分） 【点评】本题主要考查函数的单调性与最值、导数的应用等基础知识，考查抽象概括能 力、推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、分类与整合思想、化归与转 化思想、数形结合思想考查数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算等核心素养
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