1、(八八)不等式选讲不等式选讲 1.(2019 天水市第一中学模拟)设函数 f(x)|2xa|x2|(xR,aR). (1)当 a1 时,求不等式 f(x)0 的解集; (2)若 f(x)1 在 xR 上恒成立,求实数 a 的取值范围. 解 (1)a1 时,f(x)0 可得|2x1|x2|,即(2x1)2(x2)2, 化简得:(3x3)(x1)0,所以不等式 f(x)0 的解集为(,1)(1,). (2)当 a0),求4 a 1 b的取值范围. 解 (1)由 f(x)1, 即|2x1|1,得12x11, 解得1x0. 即不等式的解集为x|1x0. (2)g(x)f(x)f(x1)|2x1|2x1
2、| |2x1(2x1)|2, 当且仅当(2x1)(2x1)0, 即1 2x 1 2时取等号, m2. ab2(a,b0), 4 a 1 b 1 2(ab) 4 a 1 b 1 2 54b a a b 1 2 52 4b a a b 9 2, 当且仅当 a0,b0, 4b a a b, ab2, 即 a4 3,b 2 3时等号成立, 综上,4 a 1 b的取值范围为 9 2, . 4.(2019 郑州第一中学模拟)已知函数 f(x)|2x1|x1|. (1)解不等式 f(x)2; (2)记函数 g(x)f(x)f(x),若对于任意的 xR,不等式|k1|2, 解得 x0. 即不等式 f(x)2
3、的解集为 x x0 . (2)g(x)f(x)f(x)|x1|x1|(|2x1|2x1|) |(x1)(x1)|(2x1)(2x1)|4, 当且仅当 x1x10, 2x12x10, 即 x 1 2, 1 2 时取等号, 若对于任意的 xR,不等式|k1|g(x)恒成立, 则|k1|g(x)min4, 所以4k14,解得3k5,即实数 k 的取值范围为(3,5). 5.已知函数 f(x)|2x3| x1 2 . (1)在如图所示的网格纸中作出函数 f(x)的图象; (2)记函数 f(x)的最小值为 m,证明:不等式 n3n2nm 成立的充要条件是 n10. (1)解 依题意,f(x)|2x3| x1 2 3x7 2,x 1 2, , 作出函数 f(x)的图象如图所示. (2)证明 由(1)中图象可知 m1. n3n2n1n3n2n1n2(n1)n1 (n21)(n1)0(n1)(n1)20. 因为当 n10 时,(n1)(n1)20, 当(n1)(n1)20 时,n10, 故不等式 n3n2n1 成立的充要条件是 n10.