1、2018-2019 学年江西省九江市八年级（下）期末数学试卷一、选择题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分，每小题只有一个正确选项，请将这分，每小题只有一个正确选项，请将这 个正确的选项填在下面表格中。 ）个正确的选项填在下面表格中。 ） 1 （3 分）下面四张扑克牌，其中是中心对称的是（ ） A B C D 2 （3 分）下列式子：，其中分式的数量有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 3 （3 分）若 5x5y，则下列不等式中一定成立的有（ ） Axy Bxy Cx+y0 Dx+y0 4 （3 分）已知|ab2|+0，则 b2a2的值是（ ） A5
2、 B5 C6 D6 5 （3 分）小明和小莉同时从学校出发，按相同路线去图书馆，小明骑自行车前往，小莉前 一半路程先乘坐公共汽车到图书馆站，然后步行剩下的路程走到图书馆已知小明骑车 的速度是小莉步行速度的 2 倍，小莉乘坐公共汽车的速度是小明骑车速度的 2 倍，则比 较小明与小莉到达图书馆需要的时间是（ ） A一样多 B小明多 C小莉多 D无法确定 6 （3 分）已知锐角三角形 ABC 中，A65o，点 O 是 AB、AC 垂直平分线的交点，则 BCO 的度数是（ ） A25 B30 C35o D40 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每题小题，每题 3 分，共分，共 18
3、分）分） 7 （3 分）命题“若1，则 ab ”的逆命题是 命题（填“真”或“假” ） 8 （3 分）把多项式 x34x 分解因式的结果为 9 （3 分）已知一个多边形的每一个内角都等于 108，则这个多边形的边数是 10（3分） 如图， 在ABC中， ABAC10， AD平分BAC， 点E为AC中点， 则DE 第 2 页（共 25 页） 11 （3 分）已知实数 AB 满足，则 A+B 12 （3 分）在ABCD 中，B60，ABBC4，点 E 在 BC 上，CE若点 P 是 ABCD 边上异于点 E 的另一个点，且 CECP，则 BP2的值为 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 5
4、小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 30 分）分） 13 （6 分） （1）分解因式： （a2+b2）24a2b2 （2）解方程：+1 14 （ 6 分 ） 解 不 等 式 组 ， 并 将 不 等 式 组 的 解 集 在 下 面 的 数 轴 上 表 示 出 来 ； 15 （6 分）在平面直角坐标系中，ABC 三个顶点的坐标分别是 A（3，1） ，B（1，A） ， C（0，1） （1）将ABC 绕点 C 旋转 180，请画出旋转后对应的A1B1C1； （2）将A1B1C1沿着某个方向平移一定的距离后得到A2B2C2，已知点 A1的对应点 A2 的坐标为（3，1） ，请画出平移后的A2B2
5、C2； （3）若ABC 与A2B2C2关于某一点中心对称，则对称中心的坐标为 16 （6 分）如图，经过点（3，0）的一次函数 yx+b 与正比例函数 yax 交于点 P（m， 2） （1）求 a，b，m 的值； 第 3 页（共 25 页） （2）请直接写出不等式组 axx+b0 的解集 17 （6 分）如图，BDAC 于点 D，CEAB 于点 E，BD 与 CE 相交于点 O，连接线段 AO， AO 恰好平分BAC求证：OBOC 四、解答题（本大题共四、解答题（本大题共 3 小题，每题小题，每题 8 分，共分，共 24 分）分） 18 （8 分）已知 m 是不等式 2（5m+3）m3（12m
6、）的一个负整数解，请求出代数式 m1+的值 19 （8 分）如图，在平行四边形 ABCD 的对角线 BD 上存在 P，Q 两个点，且 BPDQ试 探究 AP 与 CQ 的关系 20 （8 分）甲、乙两家旅行社为了吸引更多的顾客，分别推出赴某地旅游的团体（多于 4 人）优惠办法甲旅行社的优惠办法是：买 4 张全票，其余人按半价优惠；乙旅行社的 优惠办法是：所有人都打七五折优惠已知这两家旅行社的原价均为每人 1000 元，那么 随着团体人数的变化，哪家旅行社的收费更优惠 五、解答题（本大题共五、解答题（本大题共 2 小题，每小题小题，每小题 9 分，共分，共 18 分分.） 21 （9 分）在AB
7、C 中，ACB90，ACBC6，点 D 是 AC 的中点，点 E 是射线 DC 上一点，DFDE 于点 D，且 DEDF，连接 CF，作 FHCF 于点 F，交直线 AB 于点 第 4 页（共 25 页） H （1）如图（1） ，当点 E 在线段 DC 上时，判断 CF 和 FH 的数量关系，并加以证明； （2）如图（2） ，当点 E 在线段 DC 的延长线上时，问题（1）中的结论是否依然成立？ 如果成立， 请求出当ABC 和CFH 面积相等时， 点 E 与点 C 之间的距离； 如果不成立， 请说明理由 22 （9 分）其商店用 1000 元人民币购进水果销售，过了一段时间又用 2800 元购
8、进这种水 果，所购数量是第一次购进数量的 2 倍，但每千克的价格比第一次购进的贵了 2 元 （1）求该商店第一次购进水果多少千克？ （2）该商店两次购进的水果按照相同的标价销售一段时间后，将最后剩下的 50 千克按 照标价半价出售，售完全部水果后，利润不低于 3100 元，则最初每千克水果的标价是多 少？ 六、解答题（本大六、解答题（本大题共题共 1 小题，小题，12 分）分） 23 （12 分） 【课题研究】旋转图形中对应线段所在直线的夹角（小于等于 90的角）与旋 转角的关系 【问题初探】线段 AB 绕点 O 顺时针施转得线段 CD，其中点 A 与点 C 对应，点 B 与点 D 对应，旋转
9、角的度数为 ，且 0180 （1）如图（1）当 90时，线段 AB、CD 所在直线夹角为 ； （2）如图（2）当 60时，线段 AB、CD 所在直线夹角为 ； （3）如图（3） ，当 90180时，直线 AB 与直线 CD 夹角与旋转角 存在着怎样 的数量关系？请说明理由； 【形成结论】旋转图形中，当旋转角小于平角时，对应线段所在直线的夹角与旋转 角 ； 【运用拓广】运用所形成的结论求解下面的问题： 第 5 页（共 25 页） （4）如图（4） ，四边形 ABCD 中，ABC60，ADC30，ABBC，AD2， CD，试求 BD 的长度 第 6 页（共 25 页） 2018-2019 学年江西
10、省九江市八年级（下）期末数学试卷学年江西省九江市八年级（下）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分，每小题只有一个正确选项，请将这分，每小题只有一个正确选项，请将这 个正确的选项填在下面表格中。 ）个正确的选项填在下面表格中。 ） 1 （3 分）下面四张扑克牌，其中是中心对称的是（ ） A B C D 【分析】根据中心对称图形的概念即可求解 【解答】解：A、不是中心对称图形，不符合题意； B、是中心对称图形，符合题意； C、不是中心对称图形，不符合题意； D、不是中心对称图形，不符合
11、题意 故选：B 【点评】本题考查了中心对称的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后 两部分重合，难度一般 2 （3 分）下列式子：，其中分式的数量有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【分析】根据分式定义：如果 A，B 表示两个整式，并且 B 中含有字母，那么式子叫 做分式进行分析即可 【解答】解：，是分式，共 2 个， 故选：B 【点评】此题主要考查了分式定义，关键是掌握分式的分母必须含有字母，而分子可以 含字母，也可以不含字母，亦即从形式上看是的形式，从本质上看分母必须含有字母 3 （3 分）若 5x5y，则下列不等式中一定成立的有（ ） Axy Bxy Cx+
12、y0 Dx+y0 第 7 页（共 25 页） 【分析】根据不等式的性质，两边同时除以 5 进行计算，判断出结论成立的是哪个即可 【解答】解：5x5y， xy， x+y0 故选：C 【点评】此题主要考查了不等式的性质，要熟练掌握，特别要注意在不等式两边同乘以 （或除以）同一个数时，不仅要考虑这个数不等于 0，而且必须先确定这个数是正数还是 负数，如果是负数，不等号的方向必须改变 4 （3 分）已知|ab2|+0，则 b2a2的值是（ ） A5 B5 C6 D6 【分析】利用非负数的性质列出方程组，求出方程组的解得到 a 与 b 的值，即可求出所 求 【解答】解：|ab2|+0， ， 则原式（b+
13、a） （ba）6， 故选：D 【点评】此题考查了解二元一次方程组，以及非负数的性质，熟练掌握运算法则是解本 题的关键 5 （3 分）小明和小莉同时从学校出发，按相同路线去图书馆，小明骑自行车前往，小莉前 一半路程先乘坐公共汽车到图书馆站，然后步行剩下的路程走到图书馆已知小明骑车 的速度是小莉步行速度的 2 倍，小莉乘坐公共汽车的速度是小明骑车速度的 2 倍，则比 较小明与小莉到达图书馆需要的时间是（ ） A一样多 B小明多 C小莉多 D无法确定 【分析】设全程为单位 1，小莉步行的速度为 v，则小明骑自行车的速度是 2v，小莉乘坐 公共汽车的速度是 4v，分别求出小明所用时间为，小莉所用时间为
14、+，即 可求解 【解答】解：设全程为单位 1，小莉步行的速度为 v， 则小明骑自行车的速度是 2v，小莉乘坐公共汽车的速度是 4v， 第 8 页（共 25 页） 小明所用时间为，小莉所用时间为+， ， ， 小莉所需时间多， 故选：C 【点评】本题考查列分式；理解题意，从题目中获取信息，列出正确的代数式，再通过 分式大小的比较进行求解是解题的关键 6 （3 分）已知锐角三角形 ABC 中，A65o，点 O 是 AB、AC 垂直平分线的交点，则 BCO 的度数是（ ） A25 B30 C35o D40 【分析】连接 OA、OB，根据三角形内角和定理求出ABC+ACB115，根据线段的 垂直平分线的
15、性质得到 OAOB，OAOC，根据等腰三角形的性质计算即可 【解答】解：如图，连接 OA、OB， BAC65， ABC+ACB115， O 是 AB，AC 垂直平分线的交点， OAOB，OAOC， OABOBA，OCAOAC，OBOC， OBA+OCA65， OBC+OCB1156550， OBOC， BCOCBO25， 故选：A 【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质以及三角形内角和定理，解决问题的关 键是掌握：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等 第 9 页（共 25 页） 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每题小题，每题 3 分，共分，共 18 分）分）
16、 7 （3 分）命题“若1，则 ab ”的逆命题是 假 命题（填“真”或“假” ） 【分析】写出该命题的逆命题后判断正误即可 【解答】解：命题“若1，则 ab ”的逆命题是若 ab，则1，当 a3，b 2 时错误，为假命题， 故答案为：假 【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是交换命题的题设写出该命题的逆 命题，难度不大 8 （3 分）把多项式 x34x 分解因式的结果为 x（x+2） （x2） 【分析】先提取公因式 x，然后再利用平方差公式进行二次分解 【解答】解：x34x， x（x24） ， x（x+2） （x2） 【点评】本题主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，
17、关键在于要进 行二次分解因式 9 （3 分）已知一个多边形的每一个内角都等于 108，则这个多边形的边数是 5 【分析】 先求出这个多边形的每一个外角的度数， 再用 360除以一个外角的度数即可得 到边数 【解答】解：多边形的每一个内角都等于 108， 多边形的每一个外角都等于 18010872， 边数 n360725 故答案为：5 【点评】本题主要考查了多边形的内角与外角的关系，求出每一个外角的度数是关键 10 （3 分）如图，在ABC 中，ABAC10，AD 平分BAC，点 E 为 AC 中点，则 DE 5 第 10 页（共 25 页） 【分析】根据等腰三角形的三线合一得到ADC90，根据
18、直角三角形的性质计算即 可 【解答】解：ABAC，AD 平分BAC， ADBC， ADC90，又点 E 为 AC 中点， DEAC5， 故答案为：5 【点评】本题考查的是直角三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握在直角三角形中， 斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键 11 （3 分）已知实数 AB 满足，则 A+B 3 【分析】根据分式的运算法则即可求出答案 【解答】解：等式的右边等式 的左边， ， 解得：， A+B3， 故答案为：3 【点评】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算以及二元一次方程组 的解法，本题属于基础题型 12 （3 分）在ABCD 中，B60，ABBC4，点
19、E 在 BC 上，CE若点 P 是 ABCD 边上异于点 E 的另一个点， 且 CECP， 则 BP2的值为 4 或 28 或 28+8； 【分析】点 P 是ABCD 边上异于点 E 的另一个点，可以分三种情形：当点 P 在边 AB 上时，当点 P 在边 AD 上时，当点 P 在边 CD 上时，分别进行探究；由 ABCD 是平 第 11 页（共 25 页） 行四边形，B60，ABBC4，可知 ABCD 是菱形，连接 AC，可得ABC，ACD 均为等边三角形，可知ABC，ACD 高均为 2，由此可判断或两种情形时， CPAB 或 CPAD，第种情形可作垂线构造直角三角形即可，再运用勾股定理或解
20、直角三角形求解即可 【解答】解：如图，连接 AC，ABCD 是平行四边形， ABCD，ADBC，ABCD，ADBC，DB60 ABCD 是菱形 ABC，ACD 均为等边三角形 CPCE2，B60，ABBC4CD， ABC，ACD 的高均为 2 当点 P 在边 AB 或 AD 上时，均有 CPAB 当点 P1在边 AB 上时，CPAB cosB，即 BP1BCcosB4cos602 BP24 当点 P2在边 AD 上时，CP2AD CP2BC BC2+42+28 当点 P3在边 CD 上时，过 P3作 P3QBC 延长线于 Q，则BQP390，DCQ 60 P3QCP3sinDCQ2sn603，
21、 CQCP3cosDCQ2cos60 BQ2+3228+8 综上所述，BP2的值为 4 或 28 或 28+8； 故答案为：4 或 28 或 28+8； 【点评】本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定和性质、等边三角形判定和性质、 第 12 页（共 25 页） 直角三角形性质、勾股定理及解直角三角形等，解题关键是构造直角三角形和分类讨论 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 5 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 30 分）分） 13 （6 分） （1）分解因式： （a2+b2）24a2b2 （2）解方程：+1 【分析】 （1）首先利用完全平方公式去括号，再合并同类项，进而利用公式
22、法分解因式 即可； （2）观察可得最简公分母是 2（2x1） ，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化 为整式方程求解 【解答】解： （1） （a2+b2）24a2b2 a4+2a2b2+b44a2b2 a42a2b2+b4 （a2b2）2 （a+b）2（ab）2； （2）方程两边同乘 2（2x1） ， 得：2（x2）+2（2x1）3， 整理得：2x4+4x23， 6x63 解得：x 经检验：当 x时，2（2x1）0， x是原方程的增根， 故原方程无解 【点评】此题主要考查了解分式方程以及分解因式，正确掌握解方式方程的方法和因式 分解的方法是解题关键 14 （ 6 分 ） 解 不 等 式 组
23、 ， 并 将 不 等 式 组 的 解 集 在 下 面 的 数 轴 上 表 示 出 来 ； 【分析】分别解两个不等式得到 x3 和 x2，然后根据大小小大中间找确定不等式组 的解集，最后利用数轴表示其解集 第 13 页（共 25 页） 【解答】解：， 解得 x3， 解得 x2， 所以不等式组的解集为2x3， 用数轴表示为： 【点评】本题考查了解一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各 不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解 集解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到 15 （6 分）在平面直角坐标系中，ABC 三个顶点的坐
24、标分别是 A（3，1） ，B（1，A） ， C（0，1） （1）将ABC 绕点 C 旋转 180，请画出旋转后对应的A1B1C1； （2）将A1B1C1沿着某个方向平移一定的距离后得到A2B2C2，已知点 A1的对应点 A2 的坐标为（3，1） ，请画出平移后的A2B2C2； （3）若ABC 与A2B2C2关于某一点中心对称，则对称中心的坐标为 （0，0） 【分析】 （1） 延长 BC 到 B1使 B1CBC， 延长 AC 到 A1使 A1CAC， 从而得到A1B1C1； （2）利用点 A1和 A2的坐标特征得到平移的规律，然后写出 B2、C2的坐标，从而描点 得到A2B2C2； （3）利用关
25、于原点对称的点的坐标特征进行判断 【解答】解： （1）如图，A1B1C1为所作； （2）如图，A2B2C2为所作， 第 14 页（共 25 页） （3）ABC 与A2B2C2关于原点对称 故答案为（0，0） 【点评】本题考查了作图旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转 角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法， 找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形 16 （6 分）如图，经过点（3，0）的一次函数 yx+b 与正比例函数 yax 交于点 P（m， 2） （1）求 a，b，m 的值； （2）请直接写出不等式组 axx+b0 的解集 【分析】 （1）
26、将点（3，0）和点 P 的坐标代入一次函数的解析式求得 m、b 的值，然后 将点 P 的坐标代入正比例函数即可求得 a 的值； （2）直接根据函数的图象结合点 P 的坐标确定不等式的解集即可 【解答】解： （1）经过点（3，0）的一次函数 yx+b 与正比例函数 yax 交于点 P （m，2） 3+b0， b3， yx+3， 2m+3， m1， 第 15 页（共 25 页） P（1，2） ， a2 （2）观察图象得：不等式组 axx+b0 的解集为 1x3， 【点评】考查了一次函数与一元一次不等式的问题，解题的关键是能够确定有关待定系 数的值，难度不大 17 （6 分）如图，BDAC 于点 D
27、，CEAB 于点 E，BD 与 CE 相交于点 O，连接线段 AO， AO 恰好平分BAC求证：OBOC 【分析】由角平分线的性质得出 OEOD，由 ASA 证得BOECOD，即可得出结论 【解答】证明：BDAC，CEAB，AO 平分BAC， OEOD，BEOCDO90， 在BOE 和COD 中， BOECOD（ASA） ， OBOC 【点评】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握角平 分线的性质、证明三角形全等是解题的关键 四、解答题（本大题共四、解答题（本大题共 3 小题，每题小题，每题 8 分，共分，共 24 分）分） 18 （8 分）已知 m 是不等式 2（5
28、m+3）m3（12m）的一个负整数解，请求出代数式 m1+的值 【分析】先根据分式的运算法则进行化简，再求出不等式的负整数解，最后代入求出即 可 【解答】解：m1+ m1+ m1+ 第 16 页（共 25 页） ， 解不等式 2（5m+3）m3（12m）得：m3， m1 或3 或2， 当 m1 或 m3 时，分式无意义， m 只能等于2， 当 m2 时，原式4 【点评】本题考查了分式的混合运算和求值，解一元一次不等式，不等式的整数解等知 识点，能求出符合的 m 值是解此题的关键 19 （8 分）如图，在平行四边形 ABCD 的对角线 BD 上存在 P，Q 两个点，且 BPDQ试 探究 AP 与
29、 CQ 的关系 【分析】根据平行四边形性质可得 ABCD，ABCD，可证ABPCDQ（SAS） ，即 可得：APCQ，APBCQD可得APDCQB，结论可证 【解答】解：APCQ，APCQ 如图，四边形 ABCD 是平行四边形， ABCD，ABCD ABPCDQ， BPDQ， ABPCDQ（SAS） ， APCQ，APBCQD APCQ 第 17 页（共 25 页） 【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握性质定理和判定定理是解题的 关键平行四边形的五种判定方法与平行四边形的性质相呼应，每种方法都对应着一种 性质，在应用时应注意它们的区别与联系 20 （8 分）甲、乙两家旅行社为了吸
30、引更多的顾客，分别推出赴某地旅游的团体（多于 4 人）优惠办法甲旅行社的优惠办法是：买 4 张全票，其余人按半价优惠；乙旅行社的 优惠办法是：所有人都打七五折优惠已知这两家旅行社的原价均为每人 1000 元，那么 随着团体人数的变化，哪家旅行社的收费更优惠 【分析】 设团体有 x 人， 收费 y 元， 得出 y甲4000+500 （x4） 500x+2000， y乙750x， 再分情况列不等式和方程求解可得 【解答】解：设团体有 x 人，收费 y 元， y甲4000+500（x4）500x+2000，y乙750x， 当 y甲y乙时，500x+2000750x，解得 x8； 当 y甲y乙时，50
31、0x+2000750x，解得 x8； y甲y乙时，500x+2000750x，解得 x8； 当团体人数超过 8 人时，选甲旅行社收费更优惠； 当团体人数为 8 人时，两家旅行社收费相同； 当团体人数少于 8 人时，选乙旅行社收费更优惠 【点评】本题主要考查一元一次不等式的应用，解题的关键是理解题意，找到题目中蕴 含的相等关系与不等关系 五、解答题（本大题共五、解答题（本大题共 2 小题，每小题小题，每小题 9 分，共分，共 18 分分.） 21 （9 分）在ABC 中，ACB90，ACBC6，点 D 是 AC 的中点，点 E 是射线 DC 上一点，DFDE 于点 D，且 DEDF，连接 CF，
32、作 FHCF 于点 F，交直线 AB 于点 H （1）如图（1） ，当点 E 在线段 DC 上时，判断 CF 和 FH 的数量关系，并加以证明； 第 18 页（共 25 页） （2）如图（2） ，当点 E 在线段 DC 的延长线上时，问题（1）中的结论是否依然成立？ 如果成立， 请求出当ABC 和CFH 面积相等时， 点 E 与点 C 之间的距离； 如果不成立， 请说明理由 【分析】 （1）延长 DF 交 AB 于点 G，根据三角形中位线的判定得出点 G 为 AB 的中点， 根据中位线的性质及已知条件 ACBC，得出 DCDG，从而 ECFG，易证12 90DFC， CEFFGH135， 由
33、AAS 证出CEFFGH 可得 CFFH （2）通过证明CEFFGH（ASA）得出 【解答】解： （1）FH 与 FC 的数量关系是：FHFC 证明如下：延长 DF 交 AB 于点 G， 由题意，知EDFACB90，DEDF， DGCB， 点 D 为 AC 的中点， 点 G 为 AB 的中点，且 DCAC， DG 为ABC 的中位线， DGBC ACBC， 第 19 页（共 25 页） DCDG， DCDEDGDF， 即 ECFG EDF90，FHFC， 1+CFD90，2+CFD90， 12 DEF 与ADG 都是等腰直角三角形， DEFDGA45， CEFFGH135， CEFFGH（AS
34、A） ， CFFH （2）FH 与 FC 仍然相等 理由：由题意可得出：DFDE， DFEDEF45， ACBC， ACBA45， DFBC， CBAFGB45， FGHCEF45， 点 D 为 AC 的中点，DFBC， DGBC，DCAC， DGDC， ECGF， DFCFCB， GFHFCE， FCEHFG（ASA） ， HFFC， ABC，CFH 都是等腰直角三角形， 第 20 页（共 25 页） 当面积相等时，CFAC6， DEDF3， CEDEDE33， 点 E 与点 C 之间的距离为 33 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形中位线定理等知识，解题的关键 是正确寻找全等
35、三角形解决问题，属于中考常考题型 22 （9 分）其商店用 1000 元人民币购进水果销售，过了一段时间又用 2800 元购进这种水 果，所购数量是第一次购进数量的 2 倍，但每千克的价格比第一次购进的贵了 2 元 （1）求该商店第一次购进水果多少千克？ （2）该商店两次购进的水果按照相同的标价销售一段时间后，将最后剩下的 50 千克按 照标价半价出售，售完全部水果后，利润不低于 3100 元，则最初每千克水果的标价是多 少？ 【分析】 （1）设该商店第一次购进水果 x 千克，则第二次购进水果 2x 千克，然后根据每 千克的价格比第一次购进的价格贵了 2 元，列出方程求解即可； （2）设每千克
36、水果的标价是 y 元，然后根据两次购进水果全部售完，利润不低于 3100 元列出不等式，然后求解即可得出答案 【解答】解： （1）设该商店第一次购进水果 x 千克，则第二次购进这种水果 2x 千克 由题意，得+2， 解得 x200 经检验，x200 是所列方程的解 答：该商店第一次购进水果 200 千克 第 21 页（共 25 页） （2）设最初每千克水果的标价是 y 元，则 （200+200250） y+50y38003100， 解得 y12 答：最初每千克水果的标价是 12 元 【点评】此题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，分析题意，找到合适的 等量关系与不等关系是解决问题的关键
37、 六、解答题（本大题共六、解答题（本大题共 1 小题，小题，12 分）分） 23 （12 分） 【课题研究】旋转图形中对应线段所在直线的夹角（小于等于 90的角）与旋 转角的关系 【问题初探】线段 AB 绕点 O 顺时针施转得线段 CD，其中点 A 与点 C 对应，点 B 与点 D 对应，旋转角的度数为 ，且 0180 （1）如图（1）当 90时，线段 AB、CD 所在直线夹角为 90 ； （2）如图（2）当 60时，线段 AB、CD 所在直线夹角为 60 ； （3）如图（3） ，当 90180时，直线 AB 与直线 CD 夹角与旋转角 存在着怎样 的数量关系？请说明理由； 【形成结论】 旋转
38、图形中， 当旋转角小于平角时， 对应线段所在直线的夹角与旋转角 相 等或互补 ； 【运用拓广】运用所形成的结论求解下面的问题： （4）如图（4） ，四边形 ABCD 中，ABC60，ADC30，ABBC，AD2， CD，试求 BD 的长度 【分析】 （1）由旋转的性质可得 ABCD，OAOC，BODO，可证AOBCOD， 可得BD，由三角形内角和定理可求解； 第 22 页（共 25 页） （2）由旋转的性质可得 ABCD，OAOC，BODO，可证AOBCOD，可得B D，由三角形内角和定理可求解； （3）由旋转的性质可得 ABCD，OAOC，BODO，可证AOBCOD，可得B D，由平角的定义
39、和四边形内角和定理可求解； 【形成结论】 由（1） （2） （3）可知对应线段所在直线的所夹锐角角与旋转角：相等或互补 【运用拓广】 （4）将BCD 绕点 B 顺时针旋转 60，得到BAF，连接 FD，由旋转的性质可得 BF BD，AFCD，BDCBFA，由三角形内角和定理可求FAD90，由勾 股定理可求解 【解答】解： （1）如图 1，延长 DC 交 AB 于 F，交 BO 于 E， 90 BOD90 线段 AB 绕点 O 顺时针旋转得线段 CD， ABCD，OAOC，BODO AOBCOD（SSS） BD BD，OEDBEF BFEEOD90 故答案为：90 （2）如图 1，延长 DC 交
40、 AB 于 F，交 BO 于 E， 第 23 页（共 25 页） 60 BOD60 线段 AB 绕点 O 顺时针旋转得线段 CD， ABCD，OAOC，BODO AOBCOD（SSS） BD BD，OEDBEF BFEEOD60 故答案为：60 （3）直线 AB 与直线 CD 所夹锐角角与旋转角 互补， 理由如下： 如图，延长 AB，CD 交于点 E， 线段 AB 绕点 O 顺时针旋转得线段 CD， ABCD，OAOC，BODO AOBCOD（SSS） ABOD ABO+EBO180 D+EBO180 EBO+E+D+BOD360 第 24 页（共 25 页） E+BOD180 直线 AB 与
41、直线 CD 所夹锐角角与旋转角 互补， 【形成结论】 由（1） （2） （3）可知：旋转图形中，当旋转角小于平角时，对应线段所在直线的所夹锐 角角与旋转角：相等或互补 故答案为：相等或互补 【运用拓广】 （4）如图，将BCD 绕点 B 顺时针旋转 60，得到BAF，连接 FD， BCDBAF，FBD60 BFBD，AFCD，BDCBFA， BFD 是等边三角形 BFBDDF ADC30， ADB+BDC30 BFA+ADB30 FBD+BFA+BDA+AFD+ADF180 60+30+AFD+ADF180 AFD+ADF90 FAD90 DF BD 【点评】本题是三角形综合题，考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三 第 25 页（共 25 页） 角形的判定和性质等知识，添加辅助线构造全等三角形是本题的关键
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