1、2019-2020 学年江西省南昌一中八年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分，每小题只有一个正确选项）分，每小题只有一个正确选项） 1 （3 分）计算 a3a，结果是（ ） Aa Ba2 Ca3 Da4 2 （3 分）下列图形中，一定是轴对称图形是（ ） A B C D 3 （3 分）下列计算正确的是（ ） A （x+y）2x2+y2 B （xy）2x22xyy2 C （x+2y） （x2y）x22y2 D （x+y）2x22xy+y2 4 （3 分）如图，ACAD，BCBD，则有（ ） AAB 垂直平分 CD &nbs
2、p;BCD 垂直平分 AB CAB 与 CD 互相垂直平分 DCD 平分ACB 5 （3 分）下列命题是假命题的是（ ） A到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上 B等边三角形是轴对称图形，且有三条对称轴 CRtABC 和 RtDEF，CF90若AD，ABDE，则 RtABCRt DEF D在ABC 和DEF 中，若CFBE，AD，则ABCDEF 6 （3 分）如图 1 是一个长为 2a，宽为 2b（ab）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴） 剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图 2 那样拼成一个正方形， 则中间空的部分的
3、面积为（ ） 第 2 页（共 33 页） Aab B （a+b）2 C （ab）2 Da2b2 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 7 （3 分）如图，已知ABCDCB，添加下列条件中的一个：AD，ACDB， ABDC，其中不能确定ABCDCB 的是 （只填序号） 8（3 分） 观察本题图案， 若图案中最大圆的直径是 4， 则阴影部分的面积和等于 （结 果保留 ） 9 （3 分）如图，直线 AB 右边是计算器上的数字“2” ，请在图中画一个图形使它与数字“2” 关于直线 AB 对称 10 （3 分
4、）已知点 P1与 P2，P2与 P3分别关于 y 轴和 x 轴对称，若点 P1在第一象限，则点 P3在第 象限 11 （3 分）如图 1、2，小明为了测出塑料瓶直壁厚度，由于不便测出塑料瓶的内径，小明 动手制作一个简单的工具（如图 2，ACBD，O 为 AC、BD 的中点）解决了测瓶的内径 问题，测得瓶的外径为 a、图 2 中的刀 DC 长为 b，瓶直壁厚度 x （用含 a，b 的代数式表示） 第 3 页（共 33 页） 12 （3 分）若（a2）5 a1，则 a 三、 （本大题共三、 （本大题共 5 小题，每小题小题，每小题 8 分，共分，共 30
5、分）分） 13 （8 分） （1）2（a3）3（a2）2+（2a）2（a）3 （2）先化简，再求值： （a+b）2（ab）2，其中 a2，b3 14 （6 分）如图给出下列五个等量关系 ABAC；BDCD；BADCAD；BC90；BDACDA 请你以其中两个为条件，另三个中的一个为结论，写出一个正确命题（只需写出一种情 况） ，并加以证明 解：我选作为题设的等量关系是： 、 ； 作为正确结论的等量关系是 证明： 15 （6 分）如图，在矩形 ABDE 和矩形 AGHF 中，各分出正方形 CDEF、正方形 BGHC， 矩形 ABCF 的周长是
6、 14cm，若正方形 CDEF 和正方形 BGHC 的面积之和为 29cm2，求矩 形 ABCF 的面积 16 （6 分）在直角坐标系中，ABC 的顶点坐标如图所示， （1）请你在图中先作出ABC 关于直线 m（直线 m 上点的横坐标均为1）对称图形 A1B1C1，再作出A1B1C1关于直线 n（直线 n 上点的纵坐标均为 2）对称图形A2B2C2； （2）线段 BC 上有一点 M（a，b） ，点 M 关于直线 m 的对称点为 N，点 N 关于直线的 n 的对称点为 E，求 N、E 的坐标（用含 a，b 的代数式表示） 第 4 页（共 33 页） 17 （6 分）在图 1 中，已知
7、 ABAC，EBFC，在图 2 中，五边形 ABCDE 是正五边形， 请你只用无刻度的直尺分别画出两个图中的一条对称轴 四、 （本大题四、 （本大题 3 小题，每小题小题，每小题 8 分，共分，共 24 分）分） 18 （8 分）如图，在等边ABC 中，过 A，B，C 三点在三角形内分别作123， 三个角的边相交于 D，E，F， （1）你认为DEF 是什么三角形？并证明你的结论； （2）当1，2，3 三个角同时逐渐增大仍保持相等时，DEF 会发生什么变化？试 说明理由 19 （8 分）如图，在ABC 和ADE 中，点 P 是线段 BC 上的动点（P 不与 B、C 重合） ， 且 AD 经过 P
8、 点；已知BD30，BCDE，ABAD10，PAC 的平分线与 ACB 的平分线交于 O （1）BAD 与CAE 相等吗？说明其理由； 第 5 页（共 33 页） （2）若 AP 长为 m，请用含 m 的代数式表示线段 PD 的长，并求 PD 的最大值； （3）当BAC90时，AOC，那么 ， 20 （8 分）如图，ABC 中，ABACO 是ABC 内一点，OD 是 AB 的垂直平分线，OF AC，且 ODOF （1）当OAC27时，求：OBC 的度数 （2）求证：AFCF 21 （8 分）如图，在 RtABC 中，ACB90，点 D 在边 AC 上，将ABD 沿
9、BD（对 称轴）翻折，点 A 落在点 E 处，连接 AE，CE （1）如图 1，当AEC90时，求证：CDAD； （2）当点 E 落在 BC 边所在直线上，且AEC60时 猜想BAE 是什么三角形并证明； 试求线段 CD、AD 之间的数量关系 22 （8 分） 如图 1， ABC 和DEF 是两块可以完全重合的三角板， BACDEF90， 第 6 页（共 33 页） ABCDEF30在图 1 所示的状态下，DEF 固定不动，将ABC 沿直线 a 向 左平移 （1）当ABC 移到图 2 位置时，连解 AF、DC，求证：AFDC； （2）若 EF8，在上述平移过程中，试问点 C 距点 E 多远时，
10、线段 AD 被直线 a 垂直平 分？并证明你的猜想 五、 （本大题共五、 （本大题共 12 分）分） 23 （12 分）如下图，在ABC 中，ABBC，ADBC 于点 D，BEAC 于点 E，AD 与 BE 交于点 F，BHAB 于点 B，点 M 是 BC 的中点，连接 FM 并延长交 BH 于点 H （1）在图 1 中，ABC60，AF3 时，FC ，BH ； （2）在图 2 中，ABC45，AF2 时，FC ，BH ； （3）从第（1） 、 （2）中你发现了什么规律？在图 3 中，ABC30，AF1 时，试猜 想 BH 等于多少？并证
11、明你的猜想 六、解答题（共六、解答题（共 3 小题，满分小题，满分 0 分）分） 24我们已经学习过多项式除以单项式，多项式除以多项式一般可用竖式计算，步骤如下： 把被除式、除式按某个字母作降幂排列，并把所缺的项用零补齐； 用被除式的第一项除以除式第一项，得到商式的第一项； 用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下面（同类项对齐） ，消去相等项； 把减得的差当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次 数低于除式的次数时为止，被除式除式商式+余式若余式为零，说明这个多项式能 被另一个多项式整除 第 7 页（共 33 页） 例如：计算（6x47x3x21）（2x+
12、1） ，可用竖式除法如图： 所以 6x47x3x21 除以 2x+1，商式为 3x35x2+2x1，余式为 0 根据阅读材料，请回答下列问题（直接填空） ： （1） （2x3+x3）（x1） ； （2） （4x24xy+y2+6x3y10）（2xy+5） ； （3）（x2） （x3）+1（x1）的余式为 ； （4）x3+ax2+bx15 能被 x22x+3 整除，则 a ，b 25如图，已知等腰ABC，BAC120，ADBC 于 D 点，点 P 为 BA 延长线上一点， 点 O 是线段 AD 上一点，若 ACAO+AP （1
13、）求证：APOOCA； （2）求证：OCP 是等边三角形 26在图 1、2 中，已知ABC120，BD2，点 E 为直线 BC 上的动点，连接 DE，以 DE 为边向上作等边DEF，使得点 F 在ABC 内部，连接 BF （1）如图 1，当 BDBE 时，EBF ； （2）如图 2，当 BDBE 时， （1）中的结论是否成立？若成立，请予以证明，若不成立 请说明理由； （3）请直接写出线段 BD，BE，BF 之间的关系式 第 8 页（共 33 页） 第 9 页（共 33 页） 2019-2020 学年江西省南昌一中八年级（上）期中数学试卷学年江西省南昌一中八年级（上）期中数学试卷
14、 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题一、选择题（本大题 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分，每小题只有一个正确选项）分，每小题只有一个正确选项） 1 （3 分）计算 a3a，结果是（ ） Aa Ba2 Ca3 Da4 【分析】根据同底数的幂相除，底数不变指数相减计算 【解答】解：a3aa2 故选：B 【点评】本题考查同底数幂的除法，熟练掌握运算性质是解决本题的关键 2 （3 分）下列图形中，一定是轴对称图形是（ ） A B C D 【分析】根据轴对称图形的概念求解即可 【解答】解：A、不是轴对称图形，本选项不合题意； B、一定是轴对称图形，本选项正确
15、； C、不是轴对称图形，本选项不合题意； D、不是轴对称图形，本选项不合题意 故选：B 【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分 折叠后可重合 3 （3 分）下列计算正确的是（ ） A （x+y）2x2+y2 B （xy）2x22xyy2 C （x+2y） （x2y）x22y2 D （x+y）2x22xy+y2 【分析】根据完全平方公式，平方差公式，逐一检验 【解答】解：A、 （x+y）2x2+2xy+y2，故本选项错误； B、 （xy）2x22xy+y2，故本选项错误； C、 （x+2y） （x2y）x24y2，故本选项错误； D、 （x+y）
16、2（xy）2x22xy+y2，故本选项正确 第 10 页（共 33 页） 故选：D 【点评】本题主要考查了对完全平方公式、平方差公式的理解能力，如何确定用哪一个 公式，主要看两数的符号是相同还是相反 4 （3 分）如图，ACAD，BCBD，则有（ ） AAB 垂直平分 CD BCD 垂直平分 AB CAB 与 CD 互相垂直平分 DCD 平分ACB 【分析】由 ACAD，BCBD，可得点 A 在 CD 的垂直平分线上，点 B 在 CD 的垂直平 分线上，又由两点确定一条直线，可得 AB 是 CD 的垂直平分线 【解答】解：ACAD，BCBD， 点 A 在 CD 的垂直平
17、分线上，点 B 在 CD 的垂直平分线上， AB 是 CD 的垂直平分线 即 AB 垂直平分 CD 故选：A 【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质此题难度不大，注意掌握数形结合思想的 应用 5 （3 分）下列命题是假命题的是（ ） A到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上 B等边三角形是轴对称图形，且有三条对称轴 CRtABC 和 RtDEF，CF90若AD，ABDE，则 RtABCRt DEF D在ABC 和DEF 中，若CFBE，AD，则ABCDEF 【分析】根据线段垂直平分线的的判定定理、轴对称图形的概念、全等三角形的判定定 理判断即可 【解答
18、】解：A、到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，是真命题； B、等边三角形是轴对称图形，且有三条对称轴，是真命题； C、RtABC 和 RtDEF，CF90若AD，ABDE，则 RtABCRt 第 11 页（共 33 页） DEF，是真命题； D、在ABC 和DEF 中，若CFBE，AD，则ABC 与DEF 不 一定全等，本选项说法是假命题； 故选：D 【点评】 本题考查的是命题的真假判断， 正确的命题叫真命题， 错误的命题叫做假命题 判 断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理 6 （3 分）如图 1 是一个长为 2a，宽为 2b（ab）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴） 剪开，把
19、它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图 2 那样拼成一个正方形， 则中间空的部分的面积为（ ） Aab B （a+b）2 C （ab）2 Da2b2 【分析】由图 1 得，一个小长方形的长为 a，宽为 b，由图 2 得：中间空的部分的面积 大正方形的面积4 个小长方形的面积，代入计算 【解答】解：中间空的部分的面积大正方形的面积4 个小长方形的面积， （a+b）24ab， a2+2ab+b24ab， （ab）2； 故选：C 【点评】本题考查了完全平方公式几何意义的理解，利用几何图形面积公式和或差列等 式进行计算 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 3
20、 分，共分，共 18 分）分） 7 （3 分）如图，已知ABCDCB，添加下列条件中的一个：AD，ACDB， ABDC，其中不能确定ABCDCB 的是 （只填序号） 【分析】一般三角形全等的判定方法有 SSS，SAS，AAS，ASA，据此可逐个对比求解 【解答】解：已知ABCDCB，且 BCCB 第 12 页（共 33 页） 若添加AD，则可由 AAS 判定ABCDCB； 若添加ACDB，则属于边边角的顺序，不能判定ABCDCB； 若添加ABDC，则属于边角边的顺序，可以判定ABCDCB 故答案为： 【点评】本题考查全等三角形的几种基本判定方法，只要判定方法掌握得牢固，此题不 难判断 8（3
21、分） 观察本题图案， 若图案中最大圆的直径是 4， 则阴影部分的面积和等于 2 （结 果保留 ） 【分析】将阴影面积转化为大圆的面积的一半，求出大圆的面积的一半即可 【解答】解：如右图，由题意知AOBCOD， S扇形AOBS扇形COD， 即 S1S2， 同理，S3S4，S5S6， 大圆的直径为 4， 大圆的半径为 2， S阴影S大圆O222， 故答案为：2 【点评】本题考查了对顶角相等的性质，旋转的性质，圆的面积公式等，解题关键是能 够灵活运用旋转的性质及对顶角相等的性质等 9 （3 分）如图，直线 AB 右边是计算器上的数字“2” ，请在图中画一个图形使它与数字“2” 关于直线 AB 对称
22、第 13 页（共 33 页） 【分析】依据轴对称的性质，即可得到与数字“2”关于直线 AB 对称的图形 【解答】解：如图所示： 【点评】本题主要考查了利用轴对称变换作图，几何图形都可看做是由点组成，我们在 画一个图形的轴对称图形时，关键是确定一些特殊点的对称点 10 （3 分）已知点 P1与 P2，P2与 P3分别关于 y 轴和 x 轴对称，若点 P1在第一象限，则点 P3在第 三 象限 【分析】根据平面直角坐标系中两个关于坐标轴成轴对称的点的坐标特点得到点 P3在第 三象限 【解答】解：若 P1在第一象限，则根据 P1与 P2关于 y 轴对称，P2在第二象限；再根据 P2与 P3关于 x 轴
23、对称，则 P3在第三象限 【点评】理解轴对称的概念，依次分析它们的位置 11 （3 分）如图 1、2，小明为了测出塑料瓶直壁厚度，由于不便测出塑料瓶的内径，小明 动手制作一个简单的工具（如图 2，ACBD，O 为 AC、BD 的中点）解决了测瓶的内径 问题，测得瓶的外径为 a、图 2 中的刀 DC 长为 b，瓶直壁厚度 x （用含 a，b 的代数式表示） 【分析】直接利用全等三角形的判定与性质得出DOCBOA，进而得出答案 【解答】解：ACBD，O 为 AC、BD 的中点， 第 14 页（共 33 页） DOOBOACO， 在DOC 和BOA 中 ， DOCBOA（SAS） ， ABDCb，
24、x+x+ba， 解得：x 故答案为： 【点评】此题主要考查了全等三角形的应用，正确掌握全等三角形的判定方法是解题关 键 12 （3 分）若（a2）5 a1，则 a 1，3，5 【分析】利用零指数幂的性质求解即可 【解答】解：（a2）5 a1， 5a0， a5， 底数为 1 时，a3，底数为1 时，a1， 故答案为：1，3，5 【点评】考查了零指数幂及有理数的乘方的知识，解题的关键是了解所有非零实数的零 次幂等于 1 三、 （本大题共三、 （本大题共 5 小题，每小题小题，每小题 8 分，共分，共 30 分）分） 13 （8 分） （1）2（a3）3（a2）2+（2a）2（a）3 （2）先化简，
25、再求值： （a+b）2（ab）2，其中 a2，b3 【分析】 （1）直接利用积的乘方运算法则以及同底数幂的乘除运算法则分别化简得出答 案； （2）直接利用乘法公式化简进而得出答案 【解答】解： （1）2（a3）3（a2）2+（2a）2（a）3 2（a9a4）+4a2 （a3） 2a54a5 第 15 页（共 33 页） 2a5； （2） （a+b）2（ab）2 a2+2ab+b2（a22ab+b2） 4ab， 当 a2，b3 时， 原式42324 【点评】此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键 14 （6 分）如图给出下列五个等量关系 ABAC；BDCD；BADCAD；B
26、C90；BDACDA 请你以其中两个为条件，另三个中的一个为结论，写出一个正确命题（只需写出一种情 况） ，并加以证明 解：我选作为题设的等量关系是： ABAC 、 BDCD ； 作为正确结论的等量关系是 BADCAD 证明： 【分析】根据全等三角形的判定定理得到ABDACD，根据全等三角形的性质定理 证明结论 【解答】解：我选作为题设的等量关系是：ABAC，BDCD， 作为正确结论的等量关系是BADCAD， 证明：在ABD 和ACD 中， ， ABDACD（SAS） BADCAD 故答案为：ABAC，BDCD；BADCAD 第 16 页（共 33 页） 【点评】本题考查的是全等三
27、角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定 理是解题的关键 15 （6 分）如图，在矩形 ABDE 和矩形 AGHF 中，各分出正方形 CDEF、正方形 BGHC， 矩形 ABCF 的周长是 14cm，若正方形 CDEF 和正方形 BGHC 的面积之和为 29cm2，求矩 形 ABCF 的面积 【分析】根据长方形的周长是 14 表示长方形的两边长分别为 xcm， （7x）cm，进而表 示两个正方形的面积和，再利用整体思想即可求解 【解答】解：设矩形 ABCF 的两边分别为 xcm， （7x）cm，根据 题意，得 x2+（7x）229 x2+4914x+x229 2x214x20， 7x
28、x210 矩形 ABCF 的面积为：x（7x）7xx210（cm2） 答：矩形 ABCF 的面积为 10cm2 【点评】本题考查了完全平方公式的几何背景，解决本题的关键是利用整体思想 16 （6 分）在直角坐标系中，ABC 的顶点坐标如图所示， （1）请你在图中先作出ABC 关于直线 m（直线 m 上点的横坐标均为1）对称图形 A1B1C1，再作出A1B1C1关于直线 n（直线 n 上点的纵坐标均为 2）对称图形A2B2C2； （2）线段 BC 上有一点 M（a，b） ，点 M 关于直线 m 的对称点为 N，点 N 关于直线的 n 的对称点为 E，求 N、E 的坐标（用含 a，b
29、的代数式表示） 第 17 页（共 33 页） 【分析】 （1）依据轴对称的性质，即可得到对称图形A1B1C1，A2B2C2； （2）设点 N 的坐标为（x，y） ，点 E 的坐标为（p，q） ，依据轴对称的性质，即可得到 N、 E 的坐标 【解答】解： （1）如图所示，A1B1C1，A2B2C2即为所求； （2）设点 N 的坐标为（x，y） ，点 E 的坐标为（p，q） ， 点 M 与点 N 关于直线 m 对称， 1，yb， 解得 x2a，yb， 点 N 的坐标为（2a，b） ， 又点 N 与点 E 关于直线 n 对称， p2a，2， 解得 p2a，q4b， 点 E 的坐标为（2a，4b） 【
30、点评】本题主要考查了利用轴对称变换作图，关键是熟练掌握轴对称的性质，并据此 得到三顶点关于直线的对称点 17 （6 分）在图 1 中，已知 ABAC，EBFC，在图 2 中，五边形 ABCDE 是正五边形， 请你只用无刻度的直尺分别画出两个图中的一条对称轴 第 18 页（共 33 页） 【分析】图（1）中，连结 BF，CE 交于 D，作直线 AD 即可； 图（2）中，连结 BD，CE 交于 F，作直线 AF 即可 【解答】解：如图 1 所示，直线 AD 即为所求；如图 2 所示，直线 AF 即为所求 【点评】本题考查了利用轴对称变换作图，熟练掌握等腰三角形三线合一的性质，正五 边形的对称性是解
31、题的关键 四、 （本大题四、 （本大题 3 小题，每小题小题，每小题 8 分，共分，共 24 分）分） 18 （8 分）如图，在等边ABC 中，过 A，B，C 三点在三角形内分别作123， 三个角的边相交于 D，E，F， （1）你认为DEF 是什么三角形？并证明你的结论； （2）当1，2，3 三个角同时逐渐增大仍保持相等时，DEF 会发生什么变化？试 说明理由 第 19 页（共 33 页） 【分析】 （1）证明ABDBCECAF（ASA） ，得出ADBBECCFA，证出 FDEDEFEFD，即可得出DEF 是等边三角形； （2）当 0130时，DEF 逐渐变小；当130时，DEF 变为一点；当
32、 30160时，DEF 逐渐变大 【解答】解： （1）DEF 是等边三角形，理由如下： ABC 是等边三角形， ABBCCA，BACCBAACB60， 123， ABDBCECAF， 在ABD、BCE 和CAF 中， ABDBCECAF（ASA） ， ADBBECCFA， FDEDEFEFD， DEF 是等边三角形； （2）DEF 先变小，再变为一点，再逐渐变大；理由如下： 当1，2，3 三个角大于 0小于 30或大于 30小于 60时，DEF 均为等边三 角形； 当 0130时，DEF 逐渐变小； 当130时，DEF 变为一点； 当 30160时，DEF 逐渐变大 【点评】本题考查了全等三角
33、形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识；熟练 掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键 19 （8 分）如图，在ABC 和ADE 中，点 P 是线段 BC 上的动点（P 不与 B、C 重合） ， 且 AD 经过 P 点；已知BD30，BCDE，ABAD10，PAC 的平分线与 ACB 的平分线交于 O （1）BAD 与CAE 相等吗？说明其理由； （2）若 AP 长为 m，请用含 m 的代数式表示线段 PD 的长，并求 PD 的最大值； （3）当BAC90时，AOC，那么 105 ， 150 第 20 页（共 33 页） 【分析】 （1）PDADAP6x，由点 P 在线段
34、BC 上且不与 B、C 重合，得出 AP 的 最小值即 APBC 时 AP 的长度，此时 PD 可得最大值 （2）O 为APC 角平分线的交点，应用“三角形内角和等于 180“及角平分线定义即 可表示出AOC，从而得到 ， 的值 【解答】解： （1）BADCAE，理由如下： 如图 1 所示： 在ABC 和ADE 中， ABCADE（SAS） BACDAE 即BAD+DACDAC+CAE BADCAE （2）AD6，APx， PD6x 当 ADBC 时，APAB3 最小， 即 PD633 为 PD 的最大值； （3）如图 2，设BAP'，则APC'+30， ABAC BAC90，
35、PCA60，PAC90'， PAC 的平分线与ACB 的平分线交于 O， OACPAC，OCAPCA AOC180（OAC+OCA） 180（PAC+PCA） 第 21 页（共 33 页） 180（90'+60）'+105 0'90， 105'+105150，即 105AOC150， 105，150； 故答案为：105，150 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、点到直线的距离垂线段最短，30的角 所对的直角边等于斜边的一半，全等三角形的判定和性质以及角平分线定义等，解题关 键是将 PD 最大值转化为 PA 的最小值 20 （8 分）如图，ABC
36、中，ABACO 是ABC 内一点，OD 是 AB 的垂直平分线，OF AC，且 ODOF （1）当OAC27时，求：OBC 的度数 （2）求证：AFCF 【分析】 （1）由 ABAC可得ABCACB，由 OD 是 AB 的垂直平分线，OFAC， 且 ODOF可得 AO 是 BC 的垂直平分线，再根据等腰三角形的性质、三角形的内角和 第 22 页（共 33 页） 可求出结果； （2）可证出 OAOBOC，进而得出 OF 是 AC 的垂直平分线，证出 AFFC 【解答】解： （1）连接 AO，并延长交 BC 于点 E，连接 OB，OC， ABAC， ABCACB， OD 是 AB 的垂直平分线，O
37、FAC， AO 平分DAF，OAOB， OAC27 BAC27254， ABCACB（18054）63， OBCABCABO632736； （2）OD 是 AB 的垂直平分线，OFAC， AO 平分DAF，OAOB， 又ABAC， AEBC，BECE， OBOC， OAOC， OF 是 AC 的垂直平分线， AFFC 【点评】考查等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质以及三角形的内角和定理等 知识，掌握等腰三角形的性质和线段中垂线的性质是正确计算和证明的前提 21 （8 分）如图，在 RtABC 中，ACB90，点 D 在边 AC 上，将ABD 沿 BD（对 称轴）翻折，点 A 落在点 E
38、处，连接 AE，CE 第 23 页（共 33 页） （1）如图 1，当AEC90时，求证：CDAD； （2）当点 E 落在 BC 边所在直线上，且AEC60时 猜想BAE 是什么三角形并证明； 试求线段 CD、AD 之间的数量关系 【分析】 （1）先判断出AEDDAE，进而判断出CED+DAE90，再判断出 DAE+ACE90，得出CEDACE，即可得出结论； （2）由折叠的性质得出 BEBA，即可得出结论； 先判断出BAC30，进而得出 DE2CD，即可得出结论 【解答】解： （1）由折叠知，ADDE， AEDDAE， AEC90， CED+AED90， CED+DAE90， AEC90，
39、DAE+ACE90， CEDACE， CDDE， ADDE， CDAD； （2）BAE 是等边三角形， 理由：由折叠知，BEBA， 点 E 落在 BC 边所在直线上，且AEC60， ABE 是等边三角形； 第 24 页（共 33 页） AD2CD，理由： 由知，ABE 是等边三角形， BAE60， ACB90， BACBAE30， 由折叠知，ADDE，BEDBAC30， 在 RtCDE 中，BED30， DE2CD， AD2CD 【点评】此题是几何变换综合题，主要看出来折叠的性质，同角的余角相等，等边三角 形的判定和性质，利用折叠的性质得出 ADDE，BEBA 是解本题的关键 22 （8 分）
40、 如图 1， ABC 和DEF 是两块可以完全重合的三角板， BACDEF90， ABCDEF30在图 1 所示的状态下，DEF 固定不动，将ABC 沿直线 a 向 左平移 （1）当ABC 移到图 2 位置时，连解 AF、DC，求证：AFDC； （2）若 EF8，在上述平移过程中，试问点 C 距点 E 多远时，线段 AD 被直线 a 垂直平 分？并证明你的猜想 【分析】 （1）连接 AF，CD，由 BCEF，得到 BFCE，证明ABFDEC，得到 AF DC （2） 当点 C 距点 E 的距离为 4 时， 线段 AD 被直线 a 垂直平分， 利用直角三角形的性质， 进行解答即可 【解答】解：
41、（1）如图 2，连接 AF，CD， 第 25 页（共 33 页） BCEF， BCFCEFFC， 即 BFCE， 在ABF 和DEC 中， ， ABFDEC， AFDC （2）当点 C 距点 E 的距离为 4 时，线段 AD 被直线 a 垂直平分， 证明：如图 3， AFDC，ACDF， 四边形 AFDC 是平行四边形， 若 AD 被直线 a 垂直平分，假设 a 与 AD 交于点 O， 在 RtEFD 中，DEF30 DFEF4， 在 RtFDO 中，FDO30， OFDF2， OC2， CEEFOFOC8224 【点评】本题考查了全等三角形的性质与判定，直角三角形的性质，解决本题的关键是 证
42、明ABFDEC 第 26 页（共 33 页） 五、 （本大题共五、 （本大题共 12 分）分） 23 （12 分）如下图，在ABC 中，ABBC，ADBC 于点 D，BEAC 于点 E，AD 与 BE 交于点 F，BHAB 于点 B，点 M 是 BC 的中点，连接 FM 并延长交 BH 于点 H （1）在图 1 中，ABC60，AF3 时，FC 3 ，BH 3 ； （2）在图 2 中，ABC45，AF2 时，FC 2 ，BH 2 ； （3）从第（1） 、 （2）中你发现了什么规律？在图 3 中，ABC30，AF1 时，试猜 想 BH 等于多少？并证明你的猜想 【分析】 （1）如图连接 CF，由
43、垂心的性质可得 CFAB，可得 CFBH，由“ASA” 可证BMHCMF，可得 BHCF，由线段垂直平分线的性质可得 AFCF，可得 AFCFBH3； （2）如图连接 CF，由垂心的性质可得 CFAB，可得 CFBH，由“ASA”可证 BMHCMF，可得 BHCF，由线段垂直平分线的性质可得 AFCF，可得 AFCF BH2； （3）如图连接 CF，由垂心的性质可得 CFAB，可得 CFBH，由“ASA”可证 BMHCMF，可得 BHCF，由线段垂直平分线的性质可得 AFCF，可得 AFCF BH1 【解答】解： （1）如图连接 CF， ADBC，BEAC， 第 27 页（共 33 页） CF
44、AB， BHAB， CFBH， CBHBCF， 点 M 是 BC 的中点， BMMC， 在BMH 和CMF 中， ， BMHCMF（ASA） ， BHCF， ABBC，BEAC， BE 垂直平分 AC， AFCF， BHAF， AFCFBH3， 故答案为：3，3； （2）如图，连接 CF， ADBC，BEAC， CFAB， BHAB， CFBH， CBHBCF， 点 M 是 BC 的中点， 第 28 页（共 33 页） BMMC， 在BMH 和CMF 中， ， BMHCMF（ASA） ， BHCF， ABBC，BEAC， BE 垂直平分 AC， AFCF， BHAF， AFCFBH2， 故答案
45、为：2，2； （3）从第（1） 、 （2）中发现 AFCFBH； 猜想 BH1， 理由如下： 如图，连接 CF， ADBC，BEAC， CFAB， BHAB， CFBH， CBHBCF， 点 M 是 BC 的中点， BMMC， 在BMH 和CMF 中， 第 29 页（共 33 页） ， BMHCMF（ASA） ， BHCF， ABBC，BEAC， BE 垂直平分 AC， AFCF， BHAF， AFCFBH1 【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，垂心的性质，平行线 的性质，证明三角形全等是解题的关键 六、解答题（共六、解答题（共 3 小题，满分小题，满分 0 分）分） 24我们已经学习过多项式除以单项式，多项式除以多项式一般可用竖式计算，步骤如下： 把被除式、除式按某个字母作降幂排列，并把所缺的项用零补齐； 用被除式的第一项除以除式第一项，得到商式的第一项；
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