1、2020 年高三年级年高三年级 3 月联合考试数学月联合考试数学(理科理科) 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的. 1设集合 Ax|y= 3，Bx|1x9，则（RA）B（ ） A （3，9） B （1，3） C3，9 D 2已知复数 = 5 2 + 5，则|z|（ ） A5 B32 C52 D25 3已知向量 =（0，2） ， =（23，x） ，且 与 的夹角为 3，则 x（ ） A2 B2 C1 D1 4若双曲线 C： 2
2、 2= 1的一条渐近线方程为 3x+2y0，则 m（ ） A4 9 B9 4 C2 3 D3 2 5已知底面是等腰直角三角形的三棱锥 PABC 的三视图如图所示，俯视图中的两个小三 角形全等，则（ ） APA，PB，PC 两两垂直 B三棱锥 PABC 的体积为8 3 C| = | = | = 6 D三棱锥 PABC 的侧面积为35 6山东烟台苹果因“果形端正、色泽艳丽、果肉甜脆、香气浓郁”享誉国内外据统计，烟 台苹果（把苹果近似看成球体）的直径（单位：mm）服从正态分布 N（80，52） ，则直径 在（75，90内的概率为（ ） 附：若 XN（，2） ，则 P（X+）0.6826，P（2X+2
3、）0.9544 A0.6826 B0.8413 C0.8185 D0.9544 7将函数 f（x）3sin（3x+ 6）2 的图象向右平移 6个单位长度得到函数 g（x）的图 象，若 g（x）在区间 18，上的最大值为 1，则 的最小值为（ ） A 3 B 12 C 18 D 6 8函数 f（x）|x| | 2 的图象大致为（ ） A B C D 9设不等式组 + 0 3 0表示的平面区域为 ，若从圆 C：x 2+y24 的内部随机选取一 点 P，则 P 取自 的概率为（ ） A 5 24 B 7 24 C11 24 D17 24 10已知定义在 R 上的函数 f（x）满足 f（x）f（x）
4、，且在0，+）上是增函数，不等 式 f（ax+2）f（1）对于 x1，2恒成立，则 a 的取值范围是（ ） A1.5，1 B1，0.5 C0.5，0 D0，1 11已知直线 yk（x1）与抛物线 C：y24x 交于 A，B 两点，直线 y2k（x2）与抛 物线 D：y28x 交于 M，N 两点，设 |AB|2|MN|，则（ ） A16 B16 C120 D12 12“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作孙子算经 卷下第二十六题，叫做“物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五 数之剩三，七七数之剩二问物几何？现有这样一个相关的问题：将 1 到 202
5、0 这 2020 个自然数中被 5 除余 3 且被 7 除余 2 的数按照从小到大的顺序排成一列， 构成一个数列， 则该数列各项之和为（ ） A56383 B57171 C59189 D61242 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.把答案填在答题卡中的横线上把答案填在答题卡中的横线上. 13 （2x3 1 ） 8 的展开式中常数项是 （用数字表示） 14函数 f（x）= （ 4）+x1 的值域为 15在数列an中，a11，an0，曲线 yx3在点(， 3)处的切线经过点（an+1，0） ，下 列四个结论： 2= 2 3；3 =
6、 1 3； 4 1 = 65 27；数列an是等比数列 其中所有正确结论的编号是 16如图，在三棱锥 ABCD 中，点 E 在 BD 上，EAEBECED，BD= 2CD，ACD 为正三角形，点 M，N 分别在 AE，CD 上运动（不含端点） ，且 AMCN，则当四面体 C EMN 的体积取得最大值2 3时，三棱锥 ABCD 的外接球的表面积为 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步 骤骤.1721 题为必考题，每题为必考题，每个试题考生都必须作答个试题考生都必须作答.第第
7、 22，23 题为选考题，考生根据要求作题为选考题，考生根据要求作 答答.（一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分. 17在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 2ac2bcosC （1）求(+ 2 + )的值； （2）若 b= 3，求 ca 的取值范围 18在四棱锥 PABCD 中，PAB 是边长为 2 的等边三角形，底面 ABCD 为直角梯形，AB CD，ABBC，BCCDl，PD= 2 （l）证明：ABPD （2）求二面角 APBC 的余弦值 19 追求人类与生存环境的和谐发展是中国特色社会主义生态文明的价值取向 为了改善空 气质量，某城市环保局随机抽取了一年内
8、 100 天的空气质量指数（AQI）的检测数据，结 果统计如表： AQI 0，50 （50，100 （100，150 （150，200 （200， 250 （250，300 空气质量 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 重度污染 天数 6 14 18 27 25 10 （1）从空气质量指数属于0，50， （50，100的天数中任取 3 天，求这 3 天中空气质量 至少有 2 天为优的概率； （2）已知某企业每天因空气质量造成的经济损失 y（单位：元）与空气质量指数 x 的关 系式为 = 0，9 100 220，100 250 1480，250 300 ，假设该企业所在地 7 月与 8 月每天
9、空气质量为优、 良、 轻度污染、 中度污染、 重度污染、 严重污染的概率分别为1 6 ， 1 3 ， 1 6 ， 1 12 ， 1 12 ， 1 6 9 月每天的空气质量对应的概率以表中 100 天的空气质量的频率代替 （i）记该企业 9 月每天因空气质量造成的经济损失为 X 元，求 X 的分布列； （ii）试问该企业 7 月、8 月、9 月这三个月因空气质量造成的经济损失总额的数学期望 是否会超过 2.88 万元？说明你的理由 20已知椭圆 C： 2 2 + 2=1（a1）的左顶点为 A，右焦点为 F，斜率为 1 的直线与椭圆 C 交于 A、B 两点，且 OBAB，其中 O 为坐标原点 （1
10、）求椭圆 C 的标准方程； （2） 设过点F且与直线AB平行的直线与椭圆C交于M、 N两点， 若点P满足 = 3 ， 且 NP 与椭圆 C 的另一个交点为 Q，求| |的值 21设函数 f（x）x 1 ，g（x）tlnx，其中 x（0，1） ，t 为正实数 （l）若 f（x）的图象总在函数 g（x）的图象的下方，求实数 t 的取值范围； （2）设 H（x）（lnxx2+1）ex+（x2l） （l 1 ） ，证明：对任意 x（0，1） ，都有 H （x）0 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分.请考生从第请考生从第 22，23 两题中任选一题作答两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第
11、如果多做，则按所做的第 一个题目计分一个题目计分. 22选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程 = 4， = 42 （t 为参数） ，以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 C2的极 坐标方程为 4sin （1）求 C1的极坐标方程与 C2的直角坐标方程； （2）已知射线 = (0 2)与 C1 交于 O，P 两点，与 C2交于 O，Q 两点，且 Q 为 OP 的中点，求 来源:学科网 ZXXK 23选修 4-5：不等式选讲 已知函数 f（x）|x2|+|2x1| （1）求不等式 f（x）3 的解集； （2） 记函数 f （x）
12、 的最小值为 m， 若 a， b， c 均为正实数， 且1 2 + + = ， 求 a2+b2+c2 的最小值 答案答案 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的. 1Ax|x3， RAx|x3， Bx|1x9， （RA）Bx|1x3， 故选：B 2 = 5 2 + 5 = 5(2+) 5 + 5 = 1 + 7， | = (1)2+ 72= 52 故选：C 3向量 =（0，2） ， =（23，x） ，且 与 的夹角为 3， =0
13、+2x212+2cos 3，即 2x= 12+ 2，求得 x2， 故选：B 4由题意知双曲线的渐近线方程为 = 1 (0)， 3x+2y0 可化为 = 3 2 ，则 1 = 3 2， 解得 = 4 9 故选：A 5根据三视图，可得三棱锥 PABC 的直观图如图所示， 其中 D 为 AB 的中点，PD底面 ABC 所以三棱锥 PABC 的体积为1 3 1 2 2 2 2 = 4 3，| = | = | = 6， PA，PB，PC 不可能两两垂直，三棱锥 PABC 的侧面积为25 + 22 故选：C 6烟台苹果（把苹果近似看成球体）的直径（单位：mm）服从正态分布 N（80，52） ，可 得：80
14、，5 则直径在（75，90内的概率P（2X+2） 1 2P（2X+2）P（ X+） = 1 2P（ 2X+2）+P（ X+）= 1 2 （0.6826+0.9544）0.8185 故选：C 7将函数 f（x）3sin（3x+ 6）2 的图象向右平移 6个单位长度得到函数 g（x）的图 象， 则 g（x）3sin3（x 6）+ 623sin（3x+ 2 + 6）23cos（3x+ 6）2 3cos（3x 6）2， x 18，3x 6，3，3x 6 3，3 6， g（x）在区间 18，上的最大值为 1， 角 3 6大于大于 0 度， 即 3 6 0，即 18， 即 的最小值为 18， 故选：C 8
15、因为 f（x）f（x） ，所以 f（x）是偶函数，排除 C 和 D 当 x0 时，() = 2 ，() = 3+21 3 ，令 f（x）0，得 0x1；令 f（x） 0，得 x1 所以 f（x）在 x1 处取得极小值，排除 B， 故选：A 9作出 中在圆 C 内部的区域，如图所示， 因为直线 x+y0， 3 = 0的倾斜角分别为3 4 ， 6， 所以由图可得 P 取自 的概率为 3 4 ; 6 2 = 7 24 故选：B 10f（x）满足 f（x）f（x） ， 故 f（x）为偶函数，且在0，+）上是增函数， 根据偶函数的对称性可知， （，0）上单调递减，距离对称轴越远，函数值越大， 不等式 f
16、（ax+2）f（1）对于 x1，2恒成立， 则|ax+2|1， 1ax+21， 即3ax1 对于 x1，2恒成立， 根据一次函数的性质可得，3 1 3 2 1， 解可得， 3 2 1来源:学。科。网 故选：A 11设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，联立 = ( 1) 2= 4 ， 得 k2x2（2k2+4）x+k20，则1+ 2= 22+4 2 = 2 + 4 2， 因为直线 yk（x1）经过 C 的焦点， 所以| = 1+ 2+ = 4 + 4 2 同理可得| = 8 + 2 2， 所以 41612 故选：D 12被 5 除余 3 且被 7 除余 2 的正整数构成首项为 23，公差
17、为 5 735 的等差数列，记数 列an 则 an23+35（n1）35n12， 令 an35n122020，解得 n 58 2 35 故该数列各项之和为 58 23 + 5857 2 35 = 59189来源:学,科,网 故选：C 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.把答案填在答题卡中的横线上把答案填在答题卡中的横线上. 13 （2x3 1 ） 8 的展开式的通项为：Tr+1C8r（2x3）8 r（1 ） r28r（1）rC8rx244r， 来源:Zxxk.Com 令 244r0，解得 r6， 则（2x3 1 ） 8 的展开式
18、中常数项是 28 6（1）6C 86112， 故答案为：112 14函数的定义域为0，+） f（x）= （ 4）+x1= 2 4 1 = 2( 1)2 3 3， 所以函数的值域为3，+） 故答案为：3，+） 15y3x2，曲线 yx3在点(， 3)处的切线方程为 3 = 3 2( )， 则 3 = 3 2(:1 )an0，:1= 2 3 ，则an是首项为 1，公比为2 3的等比 数列， 从而2= 2 3，3 = 4 9， 4 1 = 1(2 3) 4 12 3 = 65 27故所有正确结论的编号是 故答案为： 16设 EDa，则 CD= 2a可得 CE2+DE2CD2，CEED 当平面 ABD
19、平面 BCD 时， 当四面体 CEMN 的体积才有可能取得最大值， 设 AMx 则四面体 CEMN 的体积= 1 3 （ax） 1 2 a x 2 2 = 2 12ax （ax） 2 12a( + 2 )2= 2 3， 当且仅当 x= 2时取等号 解得 a22 此时三棱锥 ABCD 的外接球的表面积4a232 故答案为：32 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步 骤骤.1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答题为必考题，每个试题考生都必须作答.第第 22，23 题为选
20、考题，考生根据要求作题为选考题，考生根据要求作 答答.（一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分. 17 （1）因为 2ac2bcosC= 2+22 2 2， 整理可得，a2+c2b2ac， 由余弦定理可得，cosB= 1 2， 故 B60 ，A+C120 ， 所以(+ 2 + ) =sin120 = 3 2 ； （2 由正弦定理可得， = = 3 60， 所以 a2sinA，c2sinC， 所以 ca2sinC2sinA2sinC2sin（120 C）sinC3cosC， 2sin（C60 ） ， 因为 0 C120 ，所以60 C30 60 ， 所以 3 2 sin（C300） 3 2
21、， 故3ca3 18 （1）证明：连结 BD， 在四棱锥 PABCD 中，PAB 是边长为 2 的等边三角形， 底面 ABCD 为直角梯形，ABCD，ABBC，BCCDl，PD= 2 BDAD= 1 + 1 = 2， AD2+PD2AP2，BD2+PD2PB2， ADPD，BDPD， ADBDD，PD平面 ABCD， AD平面 ABCD，ABPD （2）解：AD2+BD2AB2，ADBD， 以 D 为原点，DA 为 x 轴，DB 为 y 轴，DP 为 z 轴，建立空间直角坐标系， 则 A（2，0，0） ，B（0，2，0） ，C（ 2 2 2 2 ，0） ，P（0，0，2） ， =（2，0， 2
22、） ， =（0，2，2） ， =（ 2 2 ， 2 2 ，2） ， 设平面 ABP 的法向量 =（x，y，z） ， 则 = 2 2 = 0 = 2 2 = 0 ，取 x1，得 =（1，1，1） ， 设平面 PBC 的法向量 =（x，y，z） ， 则 = 2 2 = 0 = 2 2 + 2 2 2 = 0 ，取 z1，得 =（1，1，1） ， 设二面角 APBC 的平面角为 ， 则二面角 APBC 的余弦值为： cos= | | | |= 1 3 19 （1）设 为选取的 3 天中空气质量为优的天数， 则 P（2）= 6 2 14 1 20 3 = 7 38，P（3）= 6 3 20 3 = 1
23、 57， 则这 3 天中空气质量至少有 2 天为优的概率为 7 38 + 1 57 = 23 114； （2）（i） P （X0） P （0x100） = 20 100 = 1 5， P （X220） P （100x250） = 70 100 = 7 10， P（X1480）P（250x300）= 10 100 = 1 10， X 的分布列如下： X 0 220 1480 P 1 5 7 10 1 10 （ii）由（i）可得 E（X）0 1 5 +220 7 10 +1480 1 10 =302（元） ， 所以该企业 9 月的经济损失的数学期望为 30E（X）9060 元， 设该企业 7 月、
24、8 月每天因空气质量造成的经济损失为 Y 元， 可得 P（Y0）= 1 6 + 1 3 = 1 2，P（Y220）= 1 6 + 1 12 + 1 12 = 1 3，P（Y1480）= 1 6， E（Y）0 1 6 +220 1 3 +1480 1 6 =320（元） ， 所以该企业7月、 8月这两个月因空气质量造成的经济损失总额的数学期望为320 （31+31） 19840（元） ， 由 19840+90602890028800， 即7月、 8月、 9月这三个月因空气质量造成的经济损失总额的数学期望会超过2.88万元 20 （1）由题意得，设直线 AB 的方程：xya，与椭圆联立整理得： （
25、1+a2）y22ay0， yB= 2 1+2， xB= 2 1+2 = 3 1+2， 因为 OBAB， = 2 ;3 = 1，a1，解得：a23， 所以椭圆 C 的标准方程： 2 3 + 2=1； （2）由（1）得，F（2，0）所以由题意得直线 MN 的方程为： = 2， 设 M（x1，y1） ，N（x2，y2） ，Q（x3，y3） ， 将 = 2代入 2 3 + 2=1，得42 62 + 3 = 0， 1+ 2= 32 2 ，12= 3 4， 12= (1 2)(2 2) = 1 4， = 3 ， = 3 4 ，则(3 41， 3 4 1)， 设| | = ，则 = ，即(3 41 2， 3
26、 4 1 2) = (3 3 41，3 3 41)， 3= 3(+1) 4 1 1 2 3= 3(+1) 4 1 1 2 ， 点 Q（x3，y3）在椭圆 C 上， 1 3 3(:1) 4 1 1 22+ 3(:1) 4 1 1 22= 1， 整理得9(:1) 2 162 (1 3 12+ 12) + 1 2 (1 3 22+ 22) 3(:1) 22 (1 3 12+ 12) = 1， 由上知，1 3 12+ 12= 0，且1 2 3 + 1= 1， 22 3 + 2= 1， 9(:1) 2 16 + 1 2 = 1，即 7m218m250，解得 = 25 7 或 m1（舍） ， 故| | =
27、 25 7 21 （1）依题意，() = () () = 1 0在（0，1）上恒成立， () = 1 + 1 2 = 2+1 2 ，= 2 4，0， 当t240，即 0t2 时，F（x）0， 函数 F（x）在（0，1）上单调递增，则 F（x）F（1）0，满足题意； 当 t240， 即 t2 时， 设 （x） x2tx+1， 0x1， 则 （x） 的对称轴为 = 2 1， （0） 1，（1）2t0， （x）在（0，1）上存在唯一零点 x1，当 x（x1，1）时，（x）0，F（x）0， F（x）在（x1，1）上单调递减，故 F（x）F（1）0，不合题意 综上，实数 t 的取值范围为（0，2； （2
28、）证明：由题意可得() = (21)(+1) ， 因为当 x（0，1）时，xexx+10，lnx0， 要证 H（x）0，即证 (21)(+1) ，即证 ;:1 2;1 ， 由常见不等式可知，exx+1 在（0，1）上恒成立， xexx+1x（x+1）x+1x2+1，从而 ;:1 2:1， 由（1）知，当 t2 时， 1 20在（0，1）上恒成立，整理得 2;1 2， 令() = 2+1 (01)，则() = (1)2 (2+1)2 0，故 m（x）在（0，1）单调递增， ()(1) = 2 2，即 m（x）2 在（0，1）上恒成立 综上可得，对任意 x（0，1） ，都有 H（x）0 22 （1
29、）曲线 C1的参数方程 = 4， = 42 （t 为参数） ，转换为直角坐标方程为 x24y 曲线 C2的极坐标方程为 4sin， 转换为直角坐标方程为 x2+y24y， 整理得 x2+ （y2） 24 （2）射线 = (0 2)与 C1 交于 O，P 两点， 直角坐标方程为 x24y，转换为极坐标方程为 2cos24sin，整理得 = 4 2 与 C2交于 O，Q 两点，所以 14sin， 且 Q 为 OP 的中点，所以 12， 整理得4 2 = 2 4， 整理得 = 2 2 解得 = 4 23 （1）f（x）|x2|+|2x1|= 3 3，2 + 1， 1 2 2 3 + 3， 1 2 f（x）3，3 3 3 2 或 + 1 3 1 2 2或 3 + 3 3 1 2 ， x2 或 x2 或 x0，x2 或 x0， 不等式的解集为x|x2 或 x0 （2）由（1）知，f（x）minm= 3 2， 1 2 + + = 3 2， 由柯西不等式，有(2+ 2+ 2)(1 2) 2 + 12+ 12 (1 2 + + ) 2， 来源:学,科,网 a2+b2+c21，当且仅当 2abc，即 a= 1 3，bc= 2 3时取等号， a2+b2+c2的最小值为 1
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