1、2018-2019学年江西省赣州市南康中学高二（下）第一次月考数学试卷（理科）（3月份）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的. 1 （5 分）设 f（x）sinxcosx，则 f（x）在 x处的导数 f（）（ ） A B C0 D 2 （5 分）双曲线 x22y21 的离心率是（ ） A B C D2 3 （5 分）下列三个命题： 命题“若 x2x0，则 x1”的逆否命题为“若 x1，则 x2x0” ； 若 p：x（x2）0，q：log2x1，则
2、 p 是 q 的充要条件； 若命题 p：存在 xR，使得 2xx2，则 p：任意 xR，均有 2xx2； 其中正确命题的个数是（ ） A0 个 B1 个 C2 个 D3 个 4 （5 分）用数学归纳法证明 1+a+a2+an+1（a1，nN*） ，在验证 n1 成立 时，左边的项是（ ） A1 B1+a C1+a+a2 D1+a+a2+a4 5 （5 分）如图示，边长为 2 的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒 一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为，则阴影区域的面积为（ ） A B C D无法计算 6 （5 分）抛物线 y28x 的焦点为 F，O 为坐标原点，M 为抛物线上一点
3、，且|MF|4|OF|， 则MFO 的面积为（ ） A B C D6 第 2 页（共 22 页） 7 （5 分）设实数 x，y 满足约束条件，则的最大值是（ ） A64 B32 C2 D1 8 （5 分）如图可能是下列哪个函数的图象（ ） Ay2xx21 B C Dy（x22x）ex 9 （5 分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A+ B+2 C+8 D+4 10 （5 分）已知椭圆+1（ab0）上一点 A 关于原点的对称点为点 B，F 为其右 焦点，若 AFBF，ABF，则该椭圆的离心率为（ ） A B1 C D 11（5 分） 已知球的直径 SC2， A， B 是该球球
4、面上的两点， AB1， ASCBSC45， 则棱锥 SABC 的体积为（ ） A B C D 12 （5 分）已知函数 f（x）（e 为自然对数的底数） ，函数 g（x）满足 g（x） 第 3 页（共 22 页） f（x）+2f（x） ，其中 f（x） ，g（x）分别为函数 f（x）和 g（x）的导函数，若函 数 g（x）在1，1上是单调函数，则实数 a 的取值范围为（ ） Aa1 Ba1 Ca1 Da 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 20 分分.把正确答案填在题中相应的横线上把正确答案填在题中相应的横线上. 13 （5 分）函数（
5、x0）的最小值为 14 （5 分）函数 f（x）xex在点（1，f（1） ）处的切线的斜率是 15 （5 分）已知 f（x）sin（x1） ，若 p1，3，5，7，则 f（p）0 的概率为 16 （5 分）若双曲线 x2y2a2（a0）的左、右顶点分别是 A，B，点 P 是第一象限内双 曲线上的点，若直线 PA，PB 的倾斜角分别为 ，那么 + 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤骤 17 （10 分）为了美化校园环境，某校计划对学生乱扔垃圾现象进行罚款处理，为了更好的
6、 了解学生的态度，随机抽取了 200 人进行了调查，得到如下数据： 罚款金额 x（单位：元） 0 5 10 15 20 会继续乱扔垃圾的人数 y 80 50 40 20 10 （）若乱扔垃圾的人数 y 与罚款金额 x 满足线性回归方程，求回归方程，其中 b3.4，a b ，并据此分析，要使乱扔垃圾者不超过 20%，罚款金额至少是多少 元？ （）若以调查数据为基础，从这 5 种罚款金额中随机抽取 2 种不同的数额，求这两种 金额之和不低于 25 元的概率 18 （12 分）已知ABC 的角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c，设向量， ， （1）若 ，求证：ABC 为等腰三角形； （2）若
7、，边长 c2，角 C，求ABC 的面积 19 （12 分）直三棱柱 ABCA1B1C1中，AA1ABAC1，E，F 分别是 CC1，BC 的中点， AEA1B1，D 为棱 A1B1上的点 （1）证明：ABAC； 第 4 页（共 22 页） （2）证明：DFAE； （3）是否存在一点 D，使得平面 DEF 与平面 ABC 所成锐二面角的余弦值为？若存 在，说明点 D 的位置，若不存在，说明理由 20 （12 分）已知椭圆（ab0）的焦距为 4，且与椭圆有相同 的离心率，斜率为 k 的直线 l 经过点 M（0，1） ，与椭圆 C 交于不同两点 A、B （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）当椭圆
8、C 的右焦点 F 在以 AB 为直径的圆内时，求 k 的取值范围 21 （12 分）已知函数 f（x）xalnx（aR） （1）当 a2 时，求曲线 f（x）在 x1 处的切线方程； （2）设函数，求函数 h（x）的单调区间 22 （12 分）已知椭圆 C：+1（ab0）的离心率为，且 C 上任意一点到两 个焦点的距离之和都为 4 （）求椭圆 C 的方程； （） 设直线 l 与椭圆交于 P、 Q， O 为坐标原点， 若POQ90， 求证+ 为定值 第 5 页（共 22 页） 2018-2019 学年江西省赣州市南康中学高二（下）第一次月考数学年江西省赣州市南康中学高二（下）第一次月考数 学试卷
9、（理科） （学试卷（理科） （3 月份）月份） 参考答案与参考答案与试题解析试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的. 1 （5 分）设 f（x）sinxcosx，则 f（x）在 x处的导数 f（）（ ） A B C0 D 【分析】根据求导法则计算即可 【解答】解：f（x）sinxcosx， f（x）cosx+sinx， f（）cos+sin 故选：A 【点评】本题主要考查了求导的运算法则，属于基础题 2 （5 分）双曲
10、线 x22y21 的离心率是（ ） A B C D2 【分析】将双曲线方程化为标准方程，求出 a，b，c，再由离心率公式计算即可得到 【解答】解：双曲线 x22y21 即为 1， 即有 a1，b，c， 则 e 故选：C 【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查离心率的求法，属于基础题 3 （5 分）下列三个命题： 命题“若 x2x0，则 x1”的逆否命题为“若 x1，则 x2x0” ； 若 p：x（x2）0，q：log2x1，则 p 是 q 的充要条件； 第 6 页（共 22 页） 若命题 p：存在 xR，使得 2xx2，则 p：任意 xR，均有 2xx2； 其中正确命题的个数是（ ） A0
11、个 B1 个 C2 个 D3 个 【分析】根据逆否命题的定义进行判断， 根据充分条件和必要条件的定义进行判断， 根据特称命题的否定是全称命题进行判断 【解答】解：命题“若 x2x0，则 x1”的逆否命题为“若 x1，则 x2x0” ； 故正确， 若 p：x（x2）0，则 p：0x2，q：log2x1，得 0x2，则 p 是 q 的必要不 充分条件，故错误； 若命题 p：存在 xR，使得 2xx2，则 p：任意 xR，均有 2xx2；正确， 故选：C 【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及四种命题的判断，充分条件和必要条件以 及含有量词的命题的否定，比较基础 4 （5 分）用数学归纳法证明 1
12、+a+a2+an+1（a1，nN*） ，在验证 n1 成立 时，左边的项是（ ） A1 B1+a C1+a+a2 D1+a+a2+a4 【分析】在验证 n1 时，左端计算所得的项把 n1 代入等式左边即可得到答案 【解答】解：用数学归纳法证明 1+a+a2+an+1（a1，nN*） ， 在验证 n1 时，把当 n1 代入，左端1+a+a2 故选：C 【点评】此题主要考查数学归纳法证明等式的问题，属于概念性问题 5 （5 分）如图示，边长为 2 的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒 一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为，则阴影区域的面积为（ ） 第 7 页（共 22 页） A B
13、 C D无法计算 【分析】本题考查的知识点是根据几何概型的意义进行模拟试验，计算不规则图形的面 积，关键是要根据几何概型的计算公式，列出豆子落在阴影区域内的概率与阴影部分面 积及正方形面积之间的关系 【解答】解：正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率， P， 又S正方形4， S阴影， 故选：B 【点评】利用几何概型的意义进行模拟试验，估算不规则图形面积的大小，关键是要根 据几何概型的计算公式，探究不规则图形面积与已知的规则图形的面积之间的关系，及 它们与模拟试验产生的概率（或频数）之间的关系，并由此列出方程，解方程即可得到 答案 6 （5 分）抛物线 y28x 的焦点为 F，O 为坐标
14、原点，M 为抛物线上一点，且|MF|4|OF|， 则MFO 的面积为（ ） A B C D6 【分析】根据 M 为抛物线上一点，且|MF|4|OF|，可确定 M 的坐标，利用MFO 的面 积求解即可 【解答】解：由题意，F（2，0） ，准线方程为 x2，|MF|4|OF|，|MF|8 M 的横坐标为 826， M 的纵坐标为 y4， MFO 的面积为：4 故选：B 【点评】本题考查抛物线的标准方程，考查抛物线的定义，解题的关键是确定 M 的坐标 7 （5 分）设实数 x，y 满足约束条件，则的最大值是（ ） A64 B32 C2 D1 第 8 页（共 22 页） 【分析】画可行域z3x+2y
15、为目标函数纵截距倍画直线 03x+2y，平移直线 过（1，1）时 z 有最大值，求出即可 【解答】解：画可行域如图，如图示： 由 8x23x+2y 令 z3x+2y， 可看成是直线 z3x+2y 的纵截距倍， 画直线 03x+2y，平移直线过 A（1，1）点时 z 有最大值 5 故 23x+2y2532， 故选：B 【点评】线性规划问题，难度较小目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类 问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解 8 （5 分）如图可能是下列哪个函数的图象（ ） Ay2xx21 B C Dy（x22x）ex 【分析】A 中 y2xx21 可以看成函数 y2x与 y
16、x2+1 的差，分析图象是不满足条件 第 9 页（共 22 页） 的； B 中由 ysinx 是周期函数，知函数 y的图象是以 x 轴为中心的波浪线，是不 满足条件的； C 中 y的定义域是（0，1）（1，+） ，分析图象是不满足条件的； D 中函数 yx22x 与 yex的积，通过分析图象是满足条件的 【解答】解：A 中，y2xx21，当 x 趋向于时，函数 y2x的值趋向于 0，y x2+1 的值趋向+， 函数 y2xx21 的值小于 0，A 中的函数不满足条件； B 中，ysinx 是周期函数，函数 y的图象是以 x 轴为中心的波浪线， B 中的函数不满足条件； C 中，y的定义域是（0
17、，1）（1，+） ，且在 x（0，1）时，lnx0， y0，C 中函数不满足条件； D 中，函数 yx22x（x1）21，当 x0 或 x2 时，y0，当 0x2 时，y 0； 且 yex0 恒成立， y（x22x）ex的图象在 x 趋向于时，y0，0x2 时，y0，在 x 趋向于+ 时，y 趋向于+； D 中的函数满足条件 故选：D 【点评】本题考查了函数的图象和性质的应用问题，解题时要注意分析每个函数的定义 域与函数的图象特征，是综合性题目 9 （5 分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） 第 10 页（共 22 页） A+ B+2 C+8 D+4 【分析】由三视图可知：该
18、几何体由两部分组成，左边为三棱锥，右边为圆柱的一半即 可得出 【解答】解：由三视图可知：该几何体由两部分组成，左边为三棱锥，右边为圆柱的一 半 V+8 故选：C 【点评】本题考查了三视图的有关知识与计算，考查了推理能力与计算能力，属于中档 题 10 （5 分）已知椭圆+1（ab0）上一点 A 关于原点的对称点为点 B，F 为其右 焦点，若 AFBF，ABF，则该椭圆的离心率为（ ） A B1 C D 【分析】根据对称性得出四边形 AF2BF1为矩形，设 AF1x，则 BF1，运用矩形 的几何性质，得出边长， 再运用定义判断得出（）c2a，即可求解离心率 【解答】解：椭圆+1（ab0）上一点 A
19、 关于原点的对称点为 B， F1（c，0） ，F2（c，0）A（x0，y0） ，B（x0，y0） ， AFBF，设ABF， 根据椭圆的对称性可知：四边形 AF2BF1为矩形， 第 11 页（共 22 页） AF2BF1，F1F22x x2aF1F22c2x， （）c2a， 故选：B 【点评】本题考察了椭圆的几何性质，定义，解直角三角形，矩形的几何性质，运用数 形结合数学解决代数问题，属于中档题 11（5 分） 已知球的直径 SC2， A， B 是该球球面上的两点， AB1， ASCBSC45， 则棱锥 SABC 的体积为（ ） A B C D 【分析】证明 SC面 ABO，利用 VSABCVC
20、OAB+VSOAB，求出棱锥 SABC 的体积 【解答】解：AB1，OAB 为正三角形 又BSCASC45，且 SC 为直径， ASC 与BSC 均为等腰直角三角形 BOSC，AOSC 又 AOBOO，SC面 ABO VSABCVCOAB+VSOABSOAB （SO+OC）2 故选：D 第 12 页（共 22 页） 【点评】本题考查线面垂直，考查棱锥 SABC 的体积，考查学生分析解决问题的能力， 考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考 查运算求解能力，是中档题 12 （5 分）已知函数 f（x）（e 为自然对数的底数） ，函数 g（x）满足 g（x） f
21、（x）+2f（x） ，其中 f（x） ，g（x）分别为函数 f（x）和 g（x）的导函数，若函 数 g（x）在1，1上是单调函数，则实数 a 的取值范围为（ ） Aa1 Ba1 Ca1 Da 【分析】求出 f（x）的导数，从而求出 g（x）的导数，构造 （x）ax2+2ax+1，通过 讨论 a 的范围结合函数的单调性求出 a 的具体范围即可 【解答】解：f（x）， ， ， g（x）在1，1上是单调函数， 则当1x1 时，g（x）0 恒成立或 g（x）0 恒成立， 又g（0）10，所以当1x1 时，g（x）0 恒成立必定无解， 必有当1x1 时，g（x）0 恒成立， 设 （x）ax2+2ax+1
22、， 当 a0 时，（x）1 成立； 当 a0 时，由于 （x）在1，1上是单调递增， 所以 （1）0 得 a1； 第 13 页（共 22 页） 当 a0 时，由于 （x）在在1，1上是单调递减， 所以 （1）0 得， 综上： 故选：B 【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中 档题 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 20 分分.把正确答案填在题中相应的横线上把正确答案填在题中相应的横线上. 13 （5 分）函数（x0）的最小值为 【分析】直接利用基本不等式的性质即可得出结果 【解答】解：x0，函数4
23、，当且仅当 3x时取等号 因此函数的最小值为 4 故答案为：4 【点评】本题考查函数的最值，基本不等式的应用，考查计算能力 14 （5 分）函数 f（x）xex在点（1，f（1） ）处的切线的斜率是 2e 【分析】求出原函数的导函数，在导函数解析式中取 x1 得答案 【解答】解：f（x）xex， f（x）ex+xex， 则 f（1）2e 故答案为：2e 【点评】本题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，考查了基本初等函 数的导数公式，是基础题 15 （5 分）已知 f（x）sin（x1） ，若 p1，3，5，7，则 f（p）0 的概率为 【分析】利用列举法能求出 f（p）0 的概率
24、【解答】解：f（x）sin（x1） ，p1，3，5，7， f（1）sin00， f（3）sin20， f（5）sin40， f（7）sin60， 第 14 页（共 22 页） f（p）0 的概率为 p 故答案为： 【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力， 是基础题 16 （5 分）若双曲线 x2y2a2（a0）的左、右顶点分别是 A，B，点 P 是第一象限内双 曲线上的点，若直线 PA，PB 的倾斜角分别为 ，那么 + 【分析】设 P（m，n） ，得直线 PA、PB 的斜率 KPA和 KPB满足：KPAKPB，由 点 P 是双曲线 x2y2a2上的点，得
25、n2m2a2，整理得 KPAKPB1由斜率与倾斜角 的关系，得 tantan1，结合三角函数诱导公式，得 + 【解答】解：双曲线方程为 x2y2a2，即1（a0） 双曲线的左顶点为 A（a，0） ，右顶点为 B（a，0） 设 P（m，n） ，得 直线 PA 的斜率为 KPA；直线 PB 的斜率为 KPB KPAKPB（1） P（m，n）是双曲线 x2y2a2上的点， m2n2a2，得 n2m2a2，代入（1）式得 KPAKPB1， 直线 PA、PB 的倾斜角分别为 ，得 tanKPA，tanKPB， tantan1， P 是第一象限内双曲线上的点，得 、 均为锐角 +， 故答案为： 第 15
26、页（共 22 页） 【点评】本题给出等轴双曲线上一点 P，求 P 与两个顶点连线的倾斜角之间的一个关系 式，着重考查了直线的斜率、三角函数公式和双曲线的简单几何性质等知识，属于中档 题 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤骤 17 （10 分）为了美化校园环境，某校计划对学生乱扔垃圾现象进行罚款处理，为了更好的 了解学生的态度，随机抽取了 200 人进行了调查，得到如下数据： 罚款金额 x（单位：元） 0 5 10 15 20 会继续乱扔垃圾的人数 y 80 50 40
27、 20 10 （）若乱扔垃圾的人数 y 与罚款金额 x 满足线性回归方程，求回归方程，其中 b3.4，a b ，并据此分析，要使乱扔垃圾者不超过 20%，罚款金额至少是多少 元？ （）若以调查数据为基础，从这 5 种罚款金额中随机抽取 2 种不同的数额，求这两种 金额之和不低于 25 元的概率 【分析】 （I）利用最小二乘法，分别计算两组数据的平均数，代入 a b ，求出 a 值， 可得回归方程，进而可分析罚款金额的预报值 （）确定从 5 种金额中随机抽取 2 种，可得总的抽选方法，满足金额之和不低于 25 元 的有 4 种，即可求得概率； 【解答】解： （） （0+5+10+15+20）10
28、， （80+50+40+20+10）40， a b 40+3.41074， 第 16 页（共 22 页） ， 要使乱扔垃圾者不超过 20%，则， 解得：x10， 即要使乱扔垃圾者不超过 20%，罚款金额至少是 10 元； （）设“两种金额之和不低于 25 元”的事件为 A，从 5 种金额中随机抽取 2 种，总的 抽选方法共有10 种， 满足金额之和不低于 25 元的有 4 种，故所求概率为 P（A） 【点评】本题考查概率的计算，考查回归直线的求法，考查学生的计算能力，属于中档 题 18 （12 分）已知ABC 的角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c，设向量， ， （1）若 ，求证：ABC
29、 为等腰三角形； （2）若 ，边长 c2，角 C，求ABC 的面积 【分析】 （1）利用向量平行的条件，写出向量平行坐标形式的条件，得到关于三角形的 边和角之间的关系，利用余弦定理变形得到三角形是等腰三角形 （2）利用向量垂直数量积为零，写出三角形边之间的关系，结合余弦定理得到求三角形 面积所需的两边的乘积的值，求出三角形的面积 【解答】证明： （1）mn asinAbsinB 即 ab其中 R 为ABC 外接圆半径 ab ABC 为等腰三角形 （2）由题意，mp0 a（b2）+b（a2）0 a+bab 第 17 页（共 22 页） 由余弦定理 4a2+b22abcos 4a2+b2ab（a+
30、b）23ab （ab）23ab40 ab4 或 ab1（舍去） SABCabsinC 4sin 【点评】向量是数学中重要和基本的概念之一，它既是代数的对象，又是几何的对象， 作为代数的对象，向量可以运算，而作为几何对象，向量有方向，可以刻画直线、平面 切线等几何对象；向量有长度，可以刻画长度等几何度量问题 19 （12 分）直三棱柱 ABCA1B1C1中，AA1ABAC1，E，F 分别是 CC1，BC 的中点， AEA1B1，D 为棱 A1B1上的点 （1）证明：ABAC； （2）证明：DFAE； （3）是否存在一点 D，使得平面 DEF 与平面 ABC 所成锐二面角的余弦值为？若存 在，说明
31、点 D 的位置，若不存在，说明理由 【分析】 （1）根据线面垂直的性质定理证明 AB面 A1ACC1即可 （2）建立空间坐标系，求出直线对应的向量，利用向量垂直的关系进行证明 （3）求出平面的法向量，利用向量法进行求解即可 【解答】 （1）证明：AEA1B1，A1B1AB，AEAB， 又AA1AB，AA1AEA，AB面 A1ACC1 又AC面 A1ACC1，ABAC， （2）以 A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz， 则有 第 18 页（共 22 页） ， 设且 （0，1） ， 即（x，y，z1）（1，0，0） ，则 D（，0，1） ， ，所以 DFAE； （3）结论：存在一点 D
32、，使得平面 DEF 与平面 ABC 所成锐二面角的余弦值为，理 由如下： 由题可知面 ABC 的法向量，设面 DEF 的法向量为， 则， ， ，即， 令 z2（1） ，则 平面 DEF 与平面 ABC 所成锐二面角的余弦值为， ， 即， 解得或（舍） ， 所以当 D 为 A1B1中点时满足要求 第 19 页（共 22 页） 【点评】本题考查的知识点是空间直线的垂直的判断以及空间二面角的平面角，建立空 间坐标系，将二面角问题转化为向量夹角问题，是解答的关键考查学生的运算和推理 能力 20 （12 分）已知椭圆（ab0）的焦距为 4，且与椭圆有相同 的离心率，斜率为 k 的直线 l 经过点 M（0
33、，1） ，与椭圆 C 交于不同两点 A、B （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）当椭圆 C 的右焦点 F 在以 AB 为直径的圆内时，求 k 的取值范围 【分析】 （1）根据椭圆（ab0）的焦距为 4，可得 c2，利用与椭圆 有相同的离心率，可求得 a，进而可得 b2，故可求椭圆的标准方程 （2） 设直线l方程： ykx+1， A （x1， y1） ， B （x2， y2） ， 将直线方程与椭圆方程联立 可得（1+2k2）x2+4kx60，利用韦达定理有 x1+x2，x1x2，要使右 焦点 F 在圆内部，则有0，用坐标表示可得不等式，从而可求出 k 的范围 【解答】解： （1）焦距为 4，c
34、2（1 分） 又的离心率为（2 分） ，a，b2（4 分） 第 20 页（共 22 页） 标准方程为（6 分） （2）设直线 l 方程：ykx+1，A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，由得（1+2k2）x2+4kx 60（7 分） x1+x2，x1x2 由（1）知右焦点 F 坐标为（2，0） ，右焦点 F 在圆内部，0（8 分） （x12） （x22）+y1y20 即 x1x22（x1+x2）+4+k2 x1x2+k（x1+x2）+10（9 分） 0（11 分） k（12 分） 经检验得 k时，直线 l 与椭圆相交，直线 l 的斜率 k 的范围为（，）（13 分） 【点评】本题以椭圆为载体
35、，考查椭圆的标准方程与几何性质，考查直线与椭圆的位置 关系，考查向量与解析几何的连续，由较强的综合性，解题的关键是将右焦点 F 在圆内 部，转化为0 21 （12 分）已知函数 f（x）xalnx（aR） （1）当 a2 时，求曲线 f（x）在 x1 处的切线方程； （2）设函数，求函数 h（x）的单调区间 【分析】 （1）首先求得导函数，确定切线的斜率，然后求解切线方程即可； （2）首先求得函数 h（x）的导函数，然后分类讨论即可确定函数的单调性 【解答】 解： （1） 当 a2 时， f （x） x2lnx， f （1） 1， 切点 （1， 1） ， ， kf（1）121，曲线 f（x）在
36、点（1，1）处的切线方程为 y1（x1） ， 即 x+y20 （2）的定义域为（0，+） ， ， 当 a+10，即 a1 时，令 h（x）0，且 x0，所以 xa+1； 第 21 页（共 22 页） 令 h（x）0，且 x0，所以 0xa+1 当 a+10，即 a1 时，令 h（x）0 恒成立， 综上：当 a1 时，h（x）在（0，a+1）上单调递减，在（a+1，+）上单调递增； 当 a1 时，h（x）在（0，+）上单调递增 【点评】本题考查等导函数研究函数的单调性，分类讨论的数学思想，重点考查学生对 基础概念的理解和计算能力，属于中等题 22 （12 分）已知椭圆 C：+1（ab0）的离心率
37、为，且 C 上任意一点到两 个焦点的距离之和都为 4 （）求椭圆 C 的方程； （） 设直线 l 与椭圆交于 P、 Q， O 为坐标原点， 若POQ90， 求证+ 为定值 【分析】 （）由已知求得椭圆长半轴长，结合离心率求得半焦距，再由隐含条件求得 b， 则椭圆方程可求； （）设出直线 OP 的方程 ykx，和椭圆联立求出 P 的坐标，得到|OP|2，再由 OPOQ 写出 OQ 方程，和椭圆联立求出 Q 坐标，得到|OQ|2，代入+后整理可得 其为定值 【解答】 （）解：由题意可得：2a4，a2，又，c，则， 椭圆的方程是； （）证明：设 P（x1，y1） ， 若 k 存在，设直线 OP 的方程为 l1：ykx， 代入，得， 第 22 页（共 22 页） 即， PAQ90，以代换上式的 k 得， 若 k 不存在，即 P、Q 分别是椭圆长、短轴的顶点，|OP|24，|OQ|21 则 综上： 【点评】本题考查了椭圆方程的求法，考查了直线与椭圆的位置关系，考查了两点间的 距离公式，是中档题
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