1、2018-2019 学年江西省宜春市上高二中高二（下）第二次月考数学试卷（文科） （5 月份）一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.） 1 （5 分）已知 i 为虚数单位，z（1+i）3i，则在复平面上复数 z 对应的点位于（ ） A第四象限 B第三象限 C第二象限 D第一象限 2 （5 分） 用反证法证明命题： “三角形三个内角至少有一个不大于 60” 时， 应假设 （ ） A三个内角都不大于 60 B三个内角至多有一个大于 60 C三个内角都大于 60 D三个内角至多有两个大于 6
2、0 3 （5 分）函数 f（x）x22lnx 的单调减区间是（ ） A （0，1） B （1，+） C （，1） D （1，1） 4 （5 分）已知关于某设各的使用年限 x（单位：年）和所支出的维修费用 y（单位：万元） 有如下的统计资料， x 2 3 4 5 6 y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 由上表可得线性回归方程， 若规定当维修费用 y12 时该设各必须报废， 据 此模型预报该设各使用年限的最大值为（ ） A7 B8 C9 D10 5 （5 分）某工科院校对 A、B 两个专业的男、女生人数进行调查统计，得到以下表格： 专业 A 专业 B 合计 女生 12 男生 4
3、6 84 合计 50 100 如果认为工科院校中“性别”与“专业”有关，那么犯错误的概率不会超过（ ） 注：x2 P（x2k） 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 第 2 页（共 20 页） k0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 A0.005 B0.01 C0.025 D0.05 6 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为（ 为参数） 若 以射线 Ox 为极轴建立极坐标系，则曲线 C 的极坐标方程为（ ） Asin B2sin Ccos D2cos 7 （5 分）已知 anlogn+1（n+2） （nN*） ，观察下列算式
4、：a1a2log23log34 2；a1a2a3a4a5a6log23log34log783，；若 a1a2 a3am2016（mN*） ，则 m 的值为（ ） A22016+2 B22016 C220162 D220164 8 （5 分）给出定义：设 f（x）是函数 yf（x）的导函数，f（x）是函数 f（x）的导 函数， 若方程 f （x） 0 有实数解 x0， 则称点 （x0， f （x0） ） 为函数 yf （x） 的 “拐点” 已 知函数 f（x）3x+4sinxcosx 的拐点是 M（x0，f（x0） ） ，则点 M（ ） A在直线 y3x 上 B在直线 y3x 上 C
5、在直线 y4x 上 D在直线 y4x 上 9 （5 分）已知定义在 R 上的可导函数 f（x）的导函数为 f'（x） ，满足 f'（x）f（x） ，且 f （0）2，则不等式 f（x）2ex0 的解集为（ ） A （2，+） B （0，+） C （1，+） D （4，+） 10 （5 分）若函数 f（x）x（xc）2在 x2 处有极大值，则常数 c 为（ ） A2 B6 C2 或 6 D2 或6 11 （5 分）若函数 f（x）xsin2x+asinx 在（，+）单调递增，则 a 的取值范围 是（ ） A1，1 B1， C， D1， 12 （5 分）设 f（x）|lnx|，若函
6、数 g（x）f（x）ax 在区间（0，4）上有三个零点，则 实数 a 的取值范围是（ ） A （0，） B （，e） C （，） D （0，） 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分）一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下： 第 3 页（共 20 页） 甲说： “罪犯在乙、丙、丁三人之中” ；乙说： “我没有作案，是丙偷的” ；丙说： “甲、乙 两人中有一人是小偷” ；丁说： “乙说的是事实” ，经过调查核实，四人中有两人说的是真 话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此
7、可判断罪犯是 14 （5 分）用长为 18m 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为 2： 1，该长方体的最大体积是 15 （5 分）已知 f（x）为奇函数，当 x0 时，f（x）x23x，则曲线 yf（x）在点（1， 4）处的切线方程为 16 （5 分）若过定点（0，1）的直线与曲线 yxlnx+1 相交不同两点 A，B，则直线的斜 率的取值范围是 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 70 分，第分，第 17 题题 10 分，其他各题每题分，其他各题每题 12 分 ）分 ） 17
8、 （10 分）在平面直角坐标系中，以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系， 两种坐标系中取相同的长度单位已知直线 l 的参数方程为（t 为参数） ，曲 线 C 的极坐标方程为 4sin（+） （1）求直线 l 的普通方程与曲线 C 的直角坐标方程； （2）若直线 l 与曲线 C 交于 M，N 两点，求MON 的面积 18 （12 分）某地随着经济的发展，居民收入逐年增长，下表是该地一建设银行连续五年的 储蓄存款（年底余额） 下表 1： 年份 x 2011 2012 2013 2014 2015 储蓄存款 y 5 6 7 8 10 为了研究计算方便，工作人员将上表的数据进行了处理，
9、tx2010，zy5 得到下表 2： 时间代号 t 1 2 3 4 5 z 0 1 2 3 5 （）求 z 关于 t 的线性回归方程； （）用所求的回归方程预测到 2020 年年底，该地储蓄存款额可达多少？ （附：对于线性回归方程 第 4 页（共 20 页） ） 19 （12 分）如图，四棱锥 PABCD 中，PA底面 ABCD，ADBC，ABADAC3， PABC4，M 为线段 AD 上一点，AM2MD，N 为 PC 的中点 （）证明 MN平面 PAB； （）求四面体 NBCM 的体积 20 （12 分）已知椭圆 C：+1（ab0）的离心率为，椭圆的短轴端点与双曲 线x21 的焦点重合，过点
10、 P（4，0）且不垂直于 x 轴的直线 l 与椭圆 C 相交于 A， B 两点 （1）求椭圆 C 的方程； （2）求的取值范围 21 （12 分）已知函数 （）讨论函数 f（x）的单调性； （）令，若对任意的 x0，a0，恒有 f（x）g（a）成立，求实 数 k 的最大整数 22 （12 分）已知函数 f（x）（a+1）lnx+ax2+1 （）讨论函数 f（x）的单调性； （）设 a2，证明：对任意 x1，x2（0，+） ，|f（x1）f（x2）|4|x1x2| 第 5 页（共 20 页） 2018-2019 学年江西省宜春市上高二中高二（下）第学年江西省宜春市上高二中高二（下）第二次月考数二
11、次月考数 学试卷（文科） （学试卷（文科） （5 月份）月份） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.） 1 （5 分）已知 i 为虚数单位，z（1+i）3i，则在复平面上复数 z 对应的点位于（ ） A第四象限 B第三象限 C第二象限 D第一象限 【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案 【解答】解：由 z（1+i）3i， 得 z， 在复平面上复数 z 对应的点的坐标为（1，2） ，位于第四象限， 故选：A 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复
12、数的代数表示法及其几何意义，是 基础题 2 （5 分） 用反证法证明命题： “三角形三个内角至少有一个不大于 60” 时， 应假设 （ ） A三个内角都不大于 60 B三个内角至多有一个大于 60 C三个内角都大于 60 D三个内角至多有两个大于 60 【分析】熟记反证法的步骤，从命题的反面出发假设出结论，直接得出答案即可 【解答】解：用反证法证明在一个三角形中，至少有一个内角不大于 60， 第一步应假设结论不成立， 即假设三个内角都大于 60 故选：C 【点评】此题主要考查了反证法的步骤，熟记反证法的步骤： （1）假设结论不成立； （2） 从假
13、设出发推出矛盾； （3）假设不成立，则结论成立 3 （5 分）函数 f（x）x22lnx 的单调减区间是（ ） A （0，1） B （1，+） C （，1） D （1，1） 【分析】求出函数的导数，令导数小于 0，注意函数的定义域，解不等式即可得到单调减 第 6 页（共 20 页） 区间 【解答】解：函数 f（x）x22lnx（x0）的导数为 f（x）2x， 令 f（x）0，解得 0x1 即有单调减区间为（0，1） 故选：A 【点评】本题考查函数的单调区间的求法，考查导数的运用：判断单调性，注意函数的 定义域，考查运算能力，属于基础题和易错题 4 （5 分）已知关于某设各的使用年限 x（单位：
14、年）和所支出的维修费用 y（单位：万元） 有如下的统计资料， x 2 3 4 5 6 y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 由上表可得线性回归方程， 若规定当维修费用 y12 时该设各必须报废， 据 此模型预报该设各使用年限的最大值为（ ） A7 B8 C9 D10 【分析】求出 ， 代入回归方程求出 ，令 12 解出 x， 【解答】解： （2+3+4+5+6）4， （2.2+3.8+5.5+6.5+7）554 +0.08， 解得 1.23， 1.23x+0.08， 令 1.23x+0.0812 解得 x9.7该设备的使用年限最大为 9 年 故选：C 【点评】本题考查了线性回归方程的求解
15、及数值估计，属于基础题 5 （5 分）某工科院校对 A、B 两个专业的男、女生人数进行调查统计，得到以下表格： 专业 A 专业 B 合计 女生 12 男生 46 84 合计 50 100 如果认为工科院校中“性别”与“专业”有关，那么犯错误的概率不会超过（ ） 第 7 页（共 20 页） 注：x2 P（x2k） 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 k0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 A0.005 B0.01 C0.025 D0.05 【分析】根据题意填写列联表，计算 K2，对照临界值得出结论 【解答】解：根据题意，填写 22 列联表
16、如下； 得到以下表格： 专业 A 专业 B 合计 女生 12 4 16 男生 38 46 84 合计 50 50 100 计算 K24.762； 且 4.7623.841， 所以认为工科院校中“性别”与“专业”有关，犯错误的概率不会超过 0.05 故选：D 【点评】本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，是基础题 6 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为（ 为参数） 若 以射线 Ox 为极轴建立极坐标系，则曲线 C 的极坐标方程为（ ） Asin B2sin Ccos D2cos 【分析】曲线 C 的参数方程消去参数，求出曲线的直角坐标方程，由此能求出曲线 C 的 极
17、坐标方程 【解答】解：曲线 C 的参数方程为（ 为参数） 曲线的直角坐标方程为（x1）2+y21，即 x2+y22x0， 曲线 C 的极坐标方程为 22cos0，即 2cos 故选：D 【点评】本题考查曲线的极坐标方程的求法，考查参数方程、直角坐标方程、极坐标方 程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题 7 （5 分）已知 anlogn+1（n+2） （nN*） ，观察下列算式：a1a2log23log34 第 8 页（共 20 页） 2；a1a2a3a4a5a6log23log34log783，；若 a1a2 a3am2016（mN*） ，则 m 的值为（ ） A2
18、2016+2 B22016 C220162 D220164 【分析】由已知得 lg（m+2）lg 22014，由此能求出 m 【解答】解：由已知得 a1a2a3am2 016， lg（m+2）lg 22016， 解得 m220162 故选：C 【点评】本题考查归纳推理的问题，解题时要注意对数性质的合理运用，是中档题 8 （5 分）给出定义：设 f（x）是函数 yf（x）的导函数，f（x）是函数 f（x）的导 函数， 若方程 f （x） 0 有实数解 x0， 则称点 （x0， f （x0） ） 为函数 yf （x） 的 “拐点” 已 知函数 f（x）3x+4sinxcosx 的拐点是 M（x0，
19、f（x0） ） ，则点 M（ ） A在直线 y3x 上 B在直线 y3x 上 C在直线 y4x 上 D在直线 y4x 上 【分析】求出原函数的导函数，再求出导函数的导函数，由导函数的导函数等于 0，即可 得到拐点，问题得以解决 【解答】解：f'（x）3+4cosx+sinx，f''（x）4sinx+cosx0，4sinx0cosx00， 所以 f（x0）3x0， 故 M（x0，f（x0） ）在直线 y3x 上 故选：B 【点评】本题是新定义题，考查了函数导函数零点的求法；解答的关键是函数值满足的 规律，是中档题 9 （5 分）已知定义在 R 上的可导函数 f
20、（x）的导函数为 f'（x） ，满足 f'（x）f（x） ，且 f （0）2，则不等式 f（x）2ex0 的解集为（ ） A （2，+） B （0，+） C （1，+） D （4，+） 【分析】构造函数 g（x），利用导数研究函数的单调性，转化不等式即可得到 结论 【解答】解：构造函数 g（x），则函数的导数为 第 9 页（共 20 页） g（x）， f（x）f（x） ，g（x）0， 即 g（x）在 R 上单调递减； 又f（0）2，g（0）2， 则不等式 f（x）2ex0 化为2， 它等价于 g（x）2， 即 g（x）g（0） ， x0， 即所求不等式的解集为（0，+） 故选：
21、B 【点评】本题主要考查不等式的求解，根据条件构造函数，利用函数的单调性和导数之 间的关系是解决本题的关键 10 （5 分）若函数 f（x）x（xc）2在 x2 处有极大值，则常数 c 为（ ） A2 B6 C2 或 6 D2 或6 【分析】求出函数的导数，再令导数等于 0，求出 c 值，再检验函数的导数是否满足在 x 2 处左侧为正数，右侧为负数， 把不满足条件的 c 值舍去 【解答】 解： 函数 f （x） x （xc） 2x32cx2+c2x， 它的导数为 f （x） 3x24cx+c2， 由题意知，在 x2 处的导数值为 128c+c20，c6，或 c2， 又函数 f（x）
22、x（xc）2在 x2 处有极大值，故导数值在 x2 处左侧为正数，右侧 为负数 当 c2 时，f（x）3x28x+43（x） （x2） ，不满足导数值在 x2 处左侧为 正数，右侧为负数 当 c6 时，f（x）3x224x+363（x28x+12）3（x2） （x6） ， 满足导数值在 x2 处左侧为正数，右侧为负数故 c6 故选：B 【点评】本题考查函数在某点取得极大值的条件：导数值等于 0，且导数在该点左侧为正 数，右侧为负数 第 10 页（共 20 页） 11 （5 分）若函数 f（x）xsin2x+asinx 在（，+）单调递增，则 a 的取值范围 是（ ） A1，1 B1， C， D
23、1， 【分析】求出 f（x）的导数，由题意可得 f（x）0 恒成立，设 tcosx（1t1） ， 即有 54t2+3at0，对 t 讨论，分 t0，0t1，1t0，分离参数，运用函数的单 调性可得最值，解不等式即可得到所求范围 【解答】解：函数 f（x）xsin2x+asinx 的导数为 f（x）1cos2x+acosx， 由题意可得 f（x）0 恒成立， 即为 1cos2x+acosx0， 即有cos2x+acosx0， 设 tcosx（1t1） ，即有 54t2+3at0， 当 t0 时，不等式显然成立； 当 0t1 时，3a4t， 由 4t在（0，1递增，可得 t1 时，取得最大值1，
24、可得 3a1，即 a； 当1t0 时，3a4t， 由 4t在1，0）递增，可得 t1 时，取得最小值 1， 可得 3a1，即 a 综上可得 a 的范围是， 另解：设 tcosx（1t1） ，即有 54t2+3at0， 由题意可得 54+3a0，且 543a0， 解得 a 的范围是， 故选：C 【点评】本题考查导数的运用：求单调性，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参 数分离和换元法，考查函数的单调性的运用，属于中档题 第 11 页（共 20 页） 12 （5 分）设 f（x）|lnx|，若函数 g（x）f（x）ax 在区间（0，4）上有三个零点，则 实数 a 的取值范围是（ ） A （0，）
25、 B （，e） C （，） D （0，） 【分析】g（x）f（x）ax 在区间（0，4）上有三个零点可化为|lnx|ax0 在区间（0， 4）上有三个不同的解，令 a；讨论函数的取值即可 【解答】解：g（x）f（x）ax 在区间（0，4）上有三个零点， |lnx|ax0 在区间（0，4）上有三个不同的解， 令 a； 则当 0x1 时，的值域为（0，+） ； 当 1x4 时，a在1，e上是增函数， 0， 在e，4）上是减函数， ； 故当 a（，）时，有三个不同的解 故选：C 【点评】本题考查了函数的零点与方程的根及函数的取值的关系应用，属于中档题 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小
26、题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分）一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下： 甲说： “罪犯在乙、丙、丁三人之中” ；乙说： “我没有作案，是丙偷的” ；丙说： “甲、乙 两人中有一人是小偷” ；丁说： “乙说的是事实” ，经过调查核实，四人中有两人说的是真 话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是 乙 【分析】这个问题的关键是四人中有两人说真话，另外两人说了假话，这是解决本题的 突破口；然后进行分析、推理即可得出结论 【解答】解：在甲、乙、丙、丁四人的供词不达意中，可以看出乙、丁两人的观点是一 第 1
27、2 页（共 20 页） 致的，因此乙、丁两人的供词应该是同真或同假（即都是真话或者都是假话，不会出现 一真一假的情况） ； 假设乙、丁两人说的是真话，那么甲、丙两人说的是假话，由乙说真话推出丙是罪犯的 结论；由甲说假话，推出乙、丙、丁三人不是罪犯的结论；显然这两个结论是相互矛盾 的； 所以乙、丁两人说的是假话，而甲、丙两人说的是真话；由甲、丙的供述内容可以断定 乙是罪犯，乙、丙、丁中有一人是罪犯，由丁说假说，丙说真话，推出乙是罪犯 故答案为乙 【点评】此题解答时应结合题意，进行分析，进而找出解决本题的突破口，然后进行推 理，得出结论 14 （5 分）用长为 18m 的钢条围成一个长方体形状的框
28、架，要求长方体的长与宽之比为 2： 1，该长方体的最大体积是 3 【分析】根据题意知，长方体的所有棱长和是 18m，故可设出宽，用宽表示出长和高， 将体积表示成宽的函数，用导数来求其最大值即可 【解答】解：设该长方体的宽是 x 米，由题意知，其长是 2x 米，高是米， （） 则该长方体的体积 V（x）， 由 V（x）0，得到 x1，且当 0x1 时，V（x）0；当 1x时，V（x） 0， 即体积函数 V（x）在 x1 处取得极大值 V（1）3，也是函数 V（x）在定义域上的最 大值 所以该长方体体积最大值是 3 故答案为：3 【点评】本小题主要考查长方体的体积及用导数求函数最值等知识，考查化归
29、与转化的 数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力 15 （5 分）已知 f（x）为奇函数，当 x0 时，f（x）x23x，则曲线 yf（x）在点（1， 4）处的切线方程为 5x+y10 【分析】求出函数的解析式，然后求解函数的导数，求出切线的斜率，然后求解切线方 第 13 页（共 20 页） 程 【解答】解：设 x0，则x0，f（x）（x）23（x）x2+3x 又 f（x）为奇函数，f（x）x2+3x，f（x）x23x（x0） ， f'（x）2x3， f'（1）235，f（1）4， y+45（x1）5x+5， 5x+y10 故答案为：5x+y10 【点评】本题
30、考查切线方程的求法，函数的解析式的求法，考查转化思想以及计算能力 16 （5 分）若过定点（0，1）的直线与曲线 yxlnx+1 相交不同两点 A，B，则直线的斜 率的取值范围是 （1+ln2，+） 【分析】设过（0，1）的切线的切点为（m，mlnm+1） ，求得函数的导数可得切线的斜 率，结合两点的斜率公式，可得切点，及切线斜率，结合图形和题意可得所求范围 【解答】解：设过定点（0，1）的直线与曲线 yxlnx+1 相切，切点为（m，mlnm+1） ， 由 yxlnx+1 的导数为 y1+lnx， 可得切线的斜率为 1+lnm，即有 1+lnm， 可得 m2，即切线的
31、斜率为 1+ln2 由题意可得直线的斜率的取值范围是（1+ln2，+） ， 故答案为： （1+ln2，+） 【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查直线的斜率公式的运用，以及数形 结合思想，是中档题 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 70 分，第分，第 17 题题 10 分，其他各题每题分，其他各题每题 12 分 ）分 ） 17 （10 分）在平面直角坐标系中，以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系， 两种坐标系中取相同的长度单位已知直线 l 的参数方程为（t 为参数） ，曲 第 14 页（共 20 页） 线 C 的极坐标方程为 4sin（+）
32、 （1）求直线 l 的普通方程与曲线 C 的直角坐标方程； （2）若直线 l 与曲线 C 交于 M，N 两点，求MON 的面积 【分析】 （1）消去参数 t 可得直线 l 的普通方程，两边同乘 后利用两角和的正弦公式以 及互化公式可得曲线 C 的直角坐标方程； （2）由点到直线 l 的距离求得三角形的高，再根据面积公式可得 【解答】解（1）由消去参数 t 得x+y4，直线 l 的普通方程为x+y4 0 （2 分） 由 4sin（+）2sin+2cos 得，22sin +2cos ， 即 x2+y22y+2x， 曲线 C 的直角坐标方程是圆： （x）2+（y1）24 （5 分） （2）原点 O
33、到直线 l 的距离 d2 （7 分） 直线 l 过圆 C 的圆心（，1） ，|MN|2r4， 所以MON 的面积 S|MN|d4 （10 分） 【点评】本题搞差了简单曲线的极坐标方程，属中档题 18 （12 分）某地随着经济的发展，居民收入逐年增长，下表是该地一建设银行连续五年的 储蓄存款（年底余额） 下表 1： 年份 x 2011 2012 2013 2014 2015 储蓄存款 y 5 6 7 8 10 为了研究计算方便，工作人员将上表的数据进行了处理，tx2010，zy5 得到下表 2： 时间代号 t 1 2 3 4 5 z 0 1 2 3 5 （）求 z 关于 t 的线性回归方程； （
34、）用所求的回归方程预测到 2020 年年底，该地储蓄存款额可达多少？ 第 15 页（共 20 页） （附：对于线性回归方程 ） 【分析】 （）由题意求出 ， ，代入公式求值，从而得到回归直 线方程； （）代入 t10 即可 【解答】解： （） ， 1+4+9+16+2555，0+2+6+12+2545， ， 3， 故回归直线方程为 zt （）tx2010，预测到 2020 年， 则 t10 时，预报 z 的值为 z10， 有 zy5，故得 y+515.6 【点评】本题考查了线性回归方程的求法及应用，属于基础题 19 （12 分）如图，四棱锥 PABCD 中，PA底面 ABCD，ADBC，ABA
35、DAC3， PABC4，M 为线段 AD 上一点，AM2MD，N 为 PC 的中点 （）证明 MN平面 PAB； （）求四面体 NBCM 的体积 第 16 页（共 20 页） 【分析】 （）取 BC 中点 E，连结 EN，EM，得 NE 是PBC 的中位线，推导出四边形 ABEM 是平行四边形，由此能证明 MN平面 PAB （）取 AC 中点 F，连结 NF，NF 是PAC 的中位线，推导出 NF面 ABCD，延长 BC 至 G，使得 CGAM，连结 GM，则四边形 AGCM 是平行四边形，由此能求出四面体 N BCM 的体积 【解答】证明： （）取 BC 中点 E，连结 EN，EM， N 为
36、 PC 的中点，NE 是PBC 的中位线 NEPB， 又ADBC，BEAD， ABADAC3，PABC4，M 为线段 AD 上一点，AM2MD， BEBCAM2， 四边形 ABEM 是平行四边形， EMAB，平面 NEM平面 PAB， MN平面 NEM，MN平面 PAB 解： （）取 AC 中点 F，连结 NF， NF 是PAC 的中位线， NFPA，NF2， 又PA面 ABCD，NF面 ABCD， 如图，延长 BC 至 G，使得 CGAM，连结 GM， AMCG，四边形 AGCM 是平行四边形， ACMG3， 又ME3，ECCG2， MEG 的高 h， 第 17 页（共 20 页） SBCM
37、2， 四面体 NBCM 的体积 VNBCM 【点评】本题考查线面平行的证明，考查四面体的体积的求法，是中档题，解题时要认 真审题，注意空间思维能力的培养 20 （12 分）已知椭圆 C：+1（ab0）的离心率为，椭圆的短轴端点与双曲 线x21 的焦点重合，过点 P（4，0）且不垂直于 x 轴的直线 l 与椭圆 C 相交于 A， B 两点 （1）求椭圆 C 的方程； （2）求的取值范围 【分析】 （1）由双曲线双曲线x21 得焦点（0，） ，得 b又 e， a2b2+c2，联立解得 a24，c1，即可 （2）由题意可知直线 l 的斜率存在，设直线 l 的方程为 yk（x4） ，与椭圆方程联立得
38、到， （4k2+3）x232k2x+64k2120，由0 得 k2设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 利用根与系数的关系可得x1x2+y1y2，进而得到取值范围 【解答】解： （1）由双曲线双曲线x21 得焦点（0，） ，得 b 又 e，a2b2+c2，联立解得 a24，c1 故椭圆 C 的方程为； 第 18 页（共 20 页） 由题意可知直线 l 的斜率存在，设直线 l 的方程为 yk（x4） ， 联立 （4k2+3）x232k2x+64k2120， 由（32k2）24（4k2+3） （64k212）0 得 k2 设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，则， x1x2+y1y2
39、25 ， 的取值范围为：4，） 【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得 到判别式0 即根与系数的关系、数量积运算等基础知识与基本技能，属于难题 21 （12 分）已知函数 （）讨论函数 f（x）的单调性； （）令，若对任意的 x0，a0，恒有 f（x）g（a）成立，求实 数 k 的最大整数 【分析】 （）求出函数的定义域为（0，+） ，再求出原函数的导函数，分 a0 和 a 0 两类求解函数的单调区间； （）由（）知 f（x）minf（a）lna+1，把 f（x）g（a）恒成立，转化为 lna+1 g（a）恒成立，进一步得到 lna+k6，令
40、h（a）lna+，则只需 h（a）mink 6，利用导数求最值，则答案可求 【解答】解： （）此函数的定义域为（0，+） ，f（x） （1）当 a0 时，f（x）0，f（x）在（0，+）上单调递增， （2）当 a0 时，当 x（0，a）时，f（x）0，f（x）单调递减，当 x（a，+）时， 第 19 页（共 20 页） f（x）0，f（x）单调递增 综上所述：当 a0 时，f（x）在（0，+）上单调递增； 当 a0 时，若 x（0，a） ，单调递减，若 x（a，+） ，f（x）单调递增； （）由（）知 f（x）minf（a）lna+1， f（x）g（a）恒成立，则只需 lna+1g（a）恒成立
41、， 则 lna+1，即 lna+k6， 令 h（a）lna+，则只需 h（a）mink6， 则 h（a），当 a（0，2）时，h（a）0，h（a）单调递减， 当 a（2，+）时，h（a）0，h（a）单调递增，h（a）minh（2）ln2+1 即 ln2+1k6，则 k7+ln2， k 的最大整数为 7 【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求最值，考查数学转化思 想方法，是中档题 22 （12 分）已知函数 f（x）（a+1）lnx+ax2+1 （）讨论函数 f（x）的单调性； （）设 a2，证明：对任意 x1，x2（0，+） ，|f（x1）f（x2）|4|x1x2| 【分析】
42、 （1）先求出函数的定义域，然后对函数 f（x）进行求导，根据导函数大于 0 时 原函数单调递增、导函数小于 0 时原函数单调递减对 a 分 3 种情况进行讨论 （2）先根据 a 的范围对函数 f（x）的单调性进行判断，然后根据单调性去绝对值，将问 题转化为证明函数 g（x）f（x）+4x 的单调性问题 【解答】解： （）f（x）的定义域为（0，+） ， 当 a0 时，f（x）0，故 f（x）在（0，+）单调增加； 当 a1 时，f（x）0，故 f（x）在（0，+）单调减少； 当1a0 时，令 f（x）0，解得 x当 x（0，）时，f（x） 0； x（，+）时，f（x）0， 故 f（x）在（0
43、，）单调增加，在（，+）单调减少 第 20 页（共 20 页） （）不妨假设 x1x2由于 a2，故 f（x）在（0，+）单调递减 所以|f（x1）f（x2）|4|x1x2|等价于 f（x1）f（x2）4x24x1， 即 f（x2）+4x2f（x1）+4x1 令 g（x）f（x）+4x，则+4 于是 g（x）0 从而 g（x）在（0，+）单调减少，故 g（x1）g（x2） ， 即 f（x1）+4x1f（x2）+4x2，故对任意 x1，x2（0，+） ，|f（x1）f（x2）|4|x1x2| 【点评】本题主要考查函数的单调性与其导函数正负之间的关系，即当导函数大于 0 时 原函数单调递增，当导函数小于 0 时原函数单调递减
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