1、2018-2019 学年江西省南昌市八一中学、洪都中学、麻丘高中等七校高二（下）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的）有一项是符合题目要求的） 1 （5 分）（ ） A1+2i B1+2i C12i D12i 2 （5 分）下列说法错误的是（ ） A回归直线过样本点的中心（ ， ） B两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于 1 C在回归直线方程 0.2x+0.8 中，当解释变量 x 每增加 1 个单位时
2、，预报变量 平均 增加 0.2 个单位 D对分类变量 X 与 Y，随机变量 K2的观测值 k 越大，则判断“X 与 Y 有关系”的把握 程度越小 3 （5 分）若执行右侧的程序框图，当输入的 x 的值为 4 时，输出的 y 的值为 2，则空白判 断框中的条件可能为（ ） Ax3 Bx4 Cx4 Dx5 4 （5 分）设 m，n 是不同的直线， 是不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A若 m，n，mn，则 B若 m，n，mn，则 C若 m，n，mn，则 D若 m，n，mn，则 5 （5 分）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的四个面的面积中，最大的面积是（ ） 第 2
3、页（共 26 页） A4 B8 C4 D8 6 （5 分）正三棱柱 ABCA1B1C1的底面边长为 2，侧棱长为，D 为 BC 中点，则三棱锥 AB1DC1的体积为（ ） A3 B C1 D 7 （5 分）甲乙丙三位同学独立的解决同一个问题，已知三位同学能够正确解决这个问题的 概率分别为、，则有人能够解决这个问题的概率为（ ） A B C D 8（5 分） 在长方体 ABCDA1B1C1D1中， ABBC2， AC1与平面 BB1C1C 所成的角为 30， 则该长方体的体积为（ ） A8 B6 C8 D8 9 （5 分）已知三棱锥 PABC 的底面是边长为 3 的正三角形，PA底面 ABC，且
4、 PA2， 则该三棱锥的外接球的体积是（ ） A48 B C D 10 （5 分）某中学学生会为了调查爱好游泳运动与性别是否有关，通过随机询问 110 名性 别不同的高中生是否爱好游泳运动得到如下的列联表： p（k2k） 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 男 女 总计 爱好 40 20 60 不爱好 20 30 50 第 3 页（共 26 页） 总计 60 50 110 由 并参照附表，得到的正确结论是（ ） A在犯错误的概率不超过 1%的前提下，认为“爱好游泳运动与性别有关” B在犯错误的概率不超过 1%的前提下，认为“爱好游泳运动与性
5、别无关” C有 99.9%的把握认为“爱好游泳运动与性别有关” D有 99.9%的把握认为“爱好游泳运动与性别无关” 11 （5 分）给出下面类比推理命题（其中 Q 为有理数集，R 为实数集，C 为复数集） “若 a，bR，则 ab0ab”类比推出“若 a，bC，则 ab0ab” “若 a，b，c，dR，则复数 a+bic+diac，bd” 类比推出“若 a，b，c，dQ，则 a+bc+dac，bd” ； 其中类比结论正确的情况是（ ） A全错 B对错 C错对 D全对 12 （5 分）如图，在正方形 ABCD 中，E、F 分别是 BC、CD 的中点，G 是 EF 的中点
6、，现 在沿 AE、AF 及 EF 把这个正方形折成一个空间图形，使 B、C、D 三点重合，重合后的 点记为 H，那么，在这个空间图形中必有（ ） AAGEFH 所在平面 BAHEFH 所在平面 CHFAEF 所在平面 DHGAEF 所在平面 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每题小题，每题 5 分，共分，共 20 分，把答案填在题中横线上）分，把答案填在题中横线上） 13 （5 分）口袋中装有大小形状相同的红球 2 个，白球 3 个，黄球 1 个，甲从中不放回的 逐一取球，已知第一次取得红球，则第二次取得白球的概率为 14 （5 分）有三张卡片，分别
7、写有 1 和 2，1 和 3，2 和 3甲，乙，丙三人各取走一张卡片， 甲看了乙的卡片后说： “我与乙的卡片上相同的数字不是 2” ，乙看了丙的卡片后说： “我 与丙的卡片上相同的数字不是 1” ，丙说： “我的卡片上的数字之和不是 5” ，则甲的卡片 第 4 页（共 26 页） 上的数字是 15 （5 分）设 P 是边长为 a 的正ABC 内的一点，P 点到三边的距离分别为 h1、h2、h3， 则；类比到空间，设 P 是棱长为 a 的空间正四面体 ABCD 内的一点， 则 P 点到四个面的距离之和 h1+h2+h3+h4 16 （5 分）如图，正方体 ABCDA1
8、B1C1D1的棱长为 1，线段 B1D1上有两个动点 E、F， 且 EF现有如下四个结论： ACBE； EF平面 ABCD； 三棱锥 ABEF 的体积为定值； 异面直线 AE、BF 所成的角为定值， 其中正确结论的序号是 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17 （10 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是正方形，侧面 PAD底面 ABCD， 若 E、F 分别为 PC、BD 的中点 （）求证：EF平面 PAD； （）求证：平面 PDC平面
9、PAD 18 （12 分）设复数 z2m+（4m2）i，其中 i 为虚数单位，当实数 m 取何值时，复数 z 对应的点： （1）位于虚轴上； 第 5 页（共 26 页） （2）位于一、三象限； （3）位于以原点为圆心，以 4 为半径的圆上 19 （12 分）如图，棱锥 PABCD 的底面 ABCD 是矩形，PA平面 ABCD，PAAD2， BD （1）求证：BD平面 PAC； （2）求二面角 PCDB 余弦值的大小； （3）求点 C 到平面 PBD 的距离 20 （12 分）衡阳市第一次联考后，某校对甲、乙两个文科班的数学考试成绩进行分析，规 定：大于或等于 120 分为优秀，120 分以下为
10、非优秀统计成绩后，得到如下的 22 列 联表，且已知在甲、乙两个文科班全部 110 人中随机抽取 1 人为优秀的概率为 优秀 非优秀 合计 甲班 10 乙班 30 合计 110 （1）请完成上面的列联表； （2）根据列联表的数据，若按 99.9%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系” ； （3）若按下面的方法从甲班优秀的学生中抽取一人：把甲班优秀的 10 名学生从 2 到 11 进行编号，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数之和为被抽取人的序号试求抽 到 9 号或 10 号的概率 参考公式与临界值表： P（K2k） 0.100 0.050 0.025
11、0.010 0.001 第 6 页（共 26 页） k 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 21 （12 分）如图，在多面体 ABCDEF 中，ABCD 是正方形，BF平面 ABCD，DE平面 ABCD，BFDE，点 M 为棱 AE 的中点 （1）求证：平面 BMD平面 EFC； （2）若 AB1，BF2，求三棱锥 ACEF 的体积 22 （12 分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费 x（单位：千 元）对年销售量 y（单位：t）和年利润 z（单位：千元）的影响，对近 8 年的年宣传费 xi和年销售量 yi（i1，2，8）数据作了初步处理，得到如
12、图的散点图及一些统计量 的值 46. 6 56 3 6. 8 289.8 1.6 1469 108.8 表中 wii， wi （1）根据散点图判断，ya+bx 与 yc+d哪一个适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 第 7 页（共 26 页） 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由） （2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立 y 关于 x 的回归方程； （3）已知这种产品的年利润 z 与 x，y 的关系为 z0.2yx根据（2）的结果回答下列 问题： 年宣传费 x49 时，年销售量及年利润的预报值是多少？ 年宣传费 x 为何值时，年利润的预报值最大？ 附：对于一组数据（u1，v1）
13、， （u2，v2） ， （un，vn） ，其回归直线 v+u 的斜率和 截距的最小二乘估计分别为： 第 8 页（共 26 页） 2018-2019 学年江西省南昌市八一中学、洪都中学、麻丘高中等学年江西省南昌市八一中学、洪都中学、麻丘高中等 七校高二（下）期中数学试卷（文科）七校高二（下）期中数学试卷（文科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的）有一项是符合题目要求的） 1 （5 分）（ ） A1+2i B
14、1+2i C12i D12i 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案 【解答】解：， 故选：B 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题 2 （5 分）下列说法错误的是（ ） A回归直线过样本点的中心（ ， ） B两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于 1 C在回归直线方程 0.2x+0.8 中，当解释变量 x 每增加 1 个单位时，预报变量 平均 增加 0.2 个单位 D对分类变量 X 与 Y，随机变量 K2的观测值 k 越大，则判断“X 与 Y 有关系”的把握 程度越小 【分析】利用线性回归的有
15、关知识即可判断出 【解答】解：A回归直线过样本点的中心（ ， ） ，正确； B两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近 1，因此正确； C在线性回归方程 0.2x+0.8 中，当 x 每增加 1 个单位时，预报量平均增加 0.2 个单 位，正确； D对分类变量 X 与 Y 的随机变量 K2的观测值 k 来说，k 越大， “X 与 Y 有关系”可信程 度越大，因此不正确 综上可知：只有 D 不正确 故选：D 第 9 页（共 26 页） 【点评】本题考查了线性回归的有关知识，考查了推理能力，属于基础题 3 （5 分）若执行右侧的程序框图，当输入的 x 的值为 4 时，输出的 y 的值为 2
16、，则空白判 断框中的条件可能为（ ） Ax3 Bx4 Cx4 Dx5 【分析】方法一：由题意可知：输出 y2，则由 ylog2x 输出，需要 x4，则判断框中 的条件是 x4， 方法二：采用排除法，分别进行模拟运算，即可求得答案 【解答】解：方法一：当 x4，输出 y2，则由 ylog2x 输出，需要 x4， 故选 B 方法二：若空白判断框中的条件 x3，输入 x4，满足 43，输出 y4+26，不满足， 故 A 错误， 若空白判断框中的条件 x4， 输入 x4， 满足 44， 不满足 x3， 输出 yylog242， 故 B 正确； 若空白判断框中的条件 x4，输入 x4，满足 44，满足
17、x4，输出 y4+26，不满 足，故 C 错误， 若空白判断框中的条件 x5，输入 x4，满足 45，满足 x5，输出 y4+26，不满 足，故 D 错误， 故选：B 【点评】本题考查程序框图的应用，考查计算能力，属于基础题 4 （5 分）设 m，n 是不同的直线， 是不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A若 m，n，mn，则 B若 m，n，mn，则 第 10 页（共 26 页） C若 m，n，mn，则 D若 m，n，mn，则 【分析】利用线面平行、垂直的判定定理和性质定理及面面垂直的判定定理即可判断出 答案 【解答】解：选择支 C 正确，下面给出证明 证明：如图所示： mn，m
18、、n 确定一个平面 ，交平面 于直线 l m，ml，ln n，l， l， 故 C 正确 故选：C 【点评】正确理解和掌握线面平行、垂直的判定定理和性质定理及面面垂直的判定定理 是解题的关键 5 （5 分）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的四个面的面积中，最大的面积是（ ） A4 B8 C4 D8 【分析】根据三视图分析出几何体的图形，利用三视图中的数据求出四个面的面积中的 最大值 【解答】解：根据几何体的三视图知，该几何体底面是边长为 4 的正三角形，高为 4 的 第 11 页（共 26 页） 三棱锥， 且侧棱垂直于底面三角形的一个顶点，如图所示； 则两个垂直底面的侧面面积为 SPACSPA
19、B448； 底面面积为 SABC42sin604； 另一个侧面的面积为 SPBC44； 所以四个面中面积的最大值为 4 故选：C 【点评】本题考查了利用三视图求几何体各个面的面积的应用问题，也考查了空间想象 能力与计算能力，是基础题 6 （5 分）正三棱柱 ABCA1B1C1的底面边长为 2，侧棱长为，D 为 BC 中点，则三棱锥 AB1DC1的体积为（ ） A3 B C1 D 【分析】由题意求出底面 B1DC1的面积，求出 A 到底面的距离，即可求解三棱锥的体积 【解答】解：正三棱柱 ABCA1B1C1的底面边长为 2，侧棱长为，D 为 BC 中点， 底面 B1DC1的面积：，
20、A 到底面的距离就是底面正三角形的高： 三棱锥 AB1DC1的体积为：1 故选：C 【点评】本题考查几何体的体积的求法，求解几何体的底面面积与高是解题的关键 7 （5 分）甲乙丙三位同学独立的解决同一个问题，已知三位同学能够正确解决这个问题的 概率分别为、，则有人能够解决这个问题的概率为（ ） A B C D 第 12 页（共 26 页） 【分析】利用相互独立事件的概率乘法公式求出“问题未被解答”的概率，利用对立事 件的概率公式得到“问题被解答”的概率 【解答】解：此题没有被解答的概率为 （1） （1） （1）， 故能够将此题解答出的概率为 1， 故选：B 【点评】本题考查相互独立事件的概率乘
21、法公式、互斥事件的概率和公式、对立事件的 概率公式；注意正难则反的原则，属于中档题 8（5 分） 在长方体 ABCDA1B1C1D1中， ABBC2， AC1与平面 BB1C1C 所成的角为 30， 则该长方体的体积为（ ） A8 B6 C8 D8 【分析】画出图形，利用已知条件求出长方体的高，然后求解长方体的体积即可 【解答】解：长方体 ABCDA1B1C1D1中，ABBC2， AC1与平面 BB1C1C 所成的角为 30， 即AC1B30，可得 BC12 可得 BB12 所以该长方体的体积为：28 故选：C 【点评】本题考查长方体的体积的求法，直线与平面所成角的求法，考查计算能力 9 （5
22、 分）已知三棱锥 PABC 的底面是边长为 3 的正三角形，PA底面 ABC，且 PA2， 则该三棱锥的外接球的体积是（ ） A48 B C D 【分析】先利用正弦定理求出正ABC 的外接圆直径 2r， 再利用公式 可计算出外接球的半径 R，最后利用球体体积公式可得出答案 第 13 页（共 26 页） 【解答】解：由正弦定理可知，正ABC 的外接圆直径为， PA平面 ABC，所以，该三棱锥的外接球直径为，则 R2， 因此，该三棱锥的外接球的体积为 故选：B 【点评】本题考查球体体积的计算，解决本题的关键在于找出合适的模型计算出球体的 半径，考查计算能力，属于中等题 10 （5 分）某中学学生会
23、为了调查爱好游泳运动与性别是否有关，通过随机询问 110 名性 别不同的高中生是否爱好游泳运动得到如下的列联表： p（k2k） 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 男 女 总计 爱好 40 20 60 不爱好 20 30 50 总计 60 50 110 由 并参照附表，得到的正确结论是（ ） A在犯错误的概率不超过 1%的前提下，认为“爱好游泳运动与性别有关” B在犯错误的概率不超过 1%的前提下，认为“爱好游泳运动与性别无关” C有 99.9%的把握认为“爱好游泳运动与性别有关” D有 99.9%的把握认为“爱好游
24、泳运动与性别无关” 【分析】根据题意，由题目中的数据，计算可得 K2的值，比较即可得答案 【解答】解：根据题意，由题目所给的表格： 有 K27.8226.635； 则可以在犯错误的概率不超过 1%的前提下，认为“爱好游泳运动与性别有关” ； 故选：A 第 14 页（共 26 页） 【点评】本题考查独立性检验的应用，关键是掌握独立性检验中 K2的值意义 11 （5 分）给出下面类比推理命题（其中 Q 为有理数集，R 为实数集，C 为复数集） “若 a，bR，则 ab0ab”类比推出“若 a，bC，则 ab0ab” “若 a，b，c，dR，则复数 a+bic+diac，bd” 类比推出“若 a，b
25、，c，dQ，则 a+bc+dac，bd” ； 其中类比结论正确的情况是（ ） A全错 B对错 C错对 D全对 【分析】在数集的扩展过程中，有些性质是可以传递的，但有些性质不能传递，因此， 要判断类比的结果是否正确，关键是要在新的数集里进行论证，当然要想证明一个结论 是错误的，也可直接举一个反例，要想得到本题的正确答案，可对 2 个结论逐一进行分 析，不难解答 【解答】解：在复数集 C 中，若两个复数满足 ab0，则它们的实部和虚部均相等， 则 a，b 相等故正确； 在有理数集 Q 中，若 a+bc+d，则（ac）+（bd）0，易得：ac，b d故正确； 故选：D 【点评】类比推理的一般步骤是：
26、 （1）找出两类事物之间的相似性或一致性； （2）用一 类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想） 但类比推理的结 论不一定正确，还需要经过证明 12 （5 分）如图，在正方形 ABCD 中，E、F 分别是 BC、CD 的中点，G 是 EF 的中点，现 在沿 AE、AF 及 EF 把这个正方形折成一个空间图形，使 B、C、D 三点重合，重合后的 点记为 H，那么，在这个空间图形中必有（ ） AAGEFH 所在平面 BAHEFH 所在平面 CHFAEF 所在平面 DHGAEF 所在平面 【分析】 本题为折叠问题， 分析折叠前与折叠后位置关系、 几何量的变与不变，
27、可得 HA、 第 15 页（共 26 页） HE、HF 三者相互垂直，根据线面垂直的判定定理，可判断 AH 与平面 HEF 的垂直 【解答】解：根据折叠前、后 AHHE，AHHF 不变，AH平面 EFH，B 正确； 过 A 只有一条直线与平面 EFH 垂直，A 不正确； AGEF，EFAH，EF平面 HAG，平面 HAGAEF，过 H 作直线垂直于平面 AEF，一定在平面 HAG 内， C 不正确； HG 不垂直于 AG，HG平面 AEF 不正确，D 不正确 故选：B 【点评】本题考查直线与平面垂直的判定，一般利用线线线面面面，垂直关系的相 互转化判断 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共
28、 4 小题，每题小题，每题 5 分，共分，共 20 分，把答案填在题中横线上）分，把答案填在题中横线上） 13 （5 分）口袋中装有大小形状相同的红球 2 个，白球 3 个，黄球 1 个，甲从中不放回的 逐一取球，已知第一次取得红球，则第二次取得白球的概率为 【分析】设事件 A 表示： “第一次取得红球” ，事件 B 表示“第二次取得白球” ，则 P（A） ，P（AB），由此利用条件概率能求出第一次取得红球，第二次取 得白球的概率 【解答】解：口袋中装有大小形状相同的红球 2 个，白球 3 个，黄球 1 个， 甲从中不放回的逐一取球， 设事件 A 表示： “第一次取得红球” ，事件 B 表示“
29、第二次取得白球” ， 则 P（A），P（AB）， 第一次取得红球，第二次取得白球的概率为： P（B|A） 第 16 页（共 26 页） 故答案为： 【点评】本题考查概率的求法，考查条件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力， 考查函数与方程思想，是基础题 14 （5 分）有三张卡片，分别写有 1 和 2，1 和 3，2 和 3甲，乙，丙三人各取走一张卡片， 甲看了乙的卡片后说： “我与乙的卡片上相同的数字不是 2” ，乙看了丙的卡片后说： “我 与丙的卡片上相同的数字不是 1” ，丙说： “我的卡片上的数字之和不是 5” ，则甲的卡片 上的数字是 1 和 3 【分析】 可先根据丙的说法推出丙
30、的卡片上写着 1 和 2， 或 1 和 3， 分别讨论这两种情况， 根据甲和乙的说法可分别推出甲和乙卡片上的数字，这样便可判断出甲卡片上的数字是 多少 【解答】解：根据丙的说法知，丙的卡片上写着 1 和 2，或 1 和 3； （1）若丙的卡片上写着 1 和 2，根据乙的说法知，乙的卡片上写着 2 和 3； 根据甲的说法知，甲的卡片上写着 1 和 3； （2）若丙的卡片上写着 1 和 3，根据乙的说法知，乙的卡片上写着 2 和 3； 又甲说， “我与乙的卡片上相同的数字不是 2” ； 甲的卡片上写的数字不是 1 和 2，这与已知矛盾； 甲的卡片上的数字是 1 和 3 故答案为：1 和 3 【点评
31、】考查进行简单的合情推理的能力，以及分类讨论得到解题思想，做这类题注意 找出解题的突破口 15 （5 分）设 P 是边长为 a 的正ABC 内的一点，P 点到三边的距离分别为 h1、h2、h3， 则；类比到空间，设 P 是棱长为 a 的空间正四面体 ABCD 内的一点， 则 P 点到四个面的距离之和 h1+h2+h3+h4 【分析】由平面图形的性质向空间物体的性质进行类比时，常用的思路有：由平面图形 中点的性质类比推理出空间里的线的性质，由平面图形中线的性质类比推理出空间中面 的性质，由平面图形中面的性质类比推理出空间中体的性质固我们可以根据已知中平 面几何中，关于线的性质“正三角形内任意一点
32、到三边距离之和是一个定值” ，推断出一 个空间几何中一个关于面的性质 【解答】解：类比 P 是边长为 a 的正ABC 内的一点， 第 17 页（共 26 页） 本题可以用一个正四面体来计算一下棱长为 a 的三棱锥内任一点到各个面的距离之和， 如图： 由棱长为 a 可以得到 BFa，BOAO， 在直角三角形中，根据勾股定理可以得到 BO2BE2+OE2， 把数据代入得到 OEa， 棱长为 a 的三棱锥内任一点到各个面的距离之和 4aa， 故答案为：a 【点评】本题考查的知识点是类比推理，类比推理的一般步骤是： （1）找出两类事物之 间的相似性或一致性； （2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性
33、质，得出一个明确 的命题（猜想） 16 （5 分）如图，正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，线段 B1D1上有两个动点 E、F， 且 EF现有如下四个结论： ACBE； EF平面 ABCD； 三棱锥 ABEF 的体积为定值； 异面直线 AE、BF 所成的角为定值， 其中正确结论的序号是 第 18 页（共 26 页） 【分析】ACBE，可由线面垂直证两线垂直； EF平面 ABCD，可由线面平行的定义请线面平行； 三棱锥 ABEF 的体积为定值，可证明棱锥的高与底面积都是定值得出体积为定值； 异面直线 AE、BF 所成的角为定值，可由两个极好位置说明两异面直线所成的角不是 定值 【解答】
34、解：ACBE，由题意及图形知，AC面 DD1B1B，故可得出 ACBE，此命 题正确； EF平面 ABCD，由正方体 ABCDA1B1C1D1的两个底面平行，EF 在其一面上，故 EF 与平面 ABCD 无公共点，故有 EF平面 ABCD，此命题正确； 三棱锥 ABEF 的体积为定值， 由几何体的性质及图形知， 三角形 BEF 的面积是定值， A 点到面 DD1B1B 距离是定值，故可得三棱锥 ABEF 的体积为定值，此命题正确； 异面直线 AE、BF 所成的角为定值，由图知，当 F 与 B1 重合时，令上底面顶点为 O， 则此时两异面直线所成的角是A1AO，当 E 与 D1重合时，此时点 F
35、 与 O 重合，则两异 面直线所成的角是 OBC1，此二角不相等，故异面直线 AE、BF 所成的角不为定值 综上知正确 故答案为 【点评】本题考查棱柱的结构特征，解答本题关键是正确理解正方体的几何性质，且能 根据这些几何特征，对其中的点线面和位置关系作出正确判断熟练掌握线面平行的判 断方法，异面直线所成角的定义以及线面垂直的证明是解答本题的知识保证 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17 （10 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是正方形，侧面 PAD
36、底面 ABCD， 若 E、F 分别为 PC、BD 的中点 （）求证：EF平面 PAD； （）求证：平面 PDC平面 PAD 第 19 页（共 26 页） 【分析】 （）利用线面平行的判定定理证明 EFPA，即可 ） ）先证明线面垂直 CD平面 PAD，再证明面面垂直平面 PAD平面 PDC 即可 【解答】 （）证明：连结 AC，在正方形 ABCD 中，F 为 BD 中点 F 为 AC 中点 又 E 是 PC 中点，在CPA 中，EFPA（3 分） 且 PA平面 PAD，EF平面 PAD EF平面 PAD （）平面 PAD平面 ABCD，平面 PAD平面 ABCDAD，CDAD， CD平面 PA
37、D， CD平面 PDC 平面 PAD平面 PDC 【点评】本题主要考查空间直线与平面平行的判定定理以及空间二面角大小的求法，要 求熟练掌握相关的判定定理 18 （12 分）设复数 z2m+（4m2）i，其中 i 为虚数单位，当实数 m 取何值时，复数 z 对应的点： （1）位于虚轴上； （2）位于一、三象限； （3）位于以原点为圆心，以 4 为半径的圆上 【分析】 （1）根据复数的几何意义求出点的坐标，利用点在虚轴上建立方程关系即可 （2）根据点在一三象限建立不等式关系即可 （3）根据点与圆的方程进行求解即可 【解答】解： （1）复数 z 对应的点位于虚轴上， 则 第 20 页（共 26 页）
38、 m0 时，复数 z 对应的点位于虚轴上 （2）复数 z 对应的点位于一、三象限， 则 2m（4m2）0m（m2） （m+2）0m2 或 0m2 当 m（，2）（0，2）时，复数 z 对应的点位于一、三象限 （3）复数 z 对应的点位于以原点为圆心，以 4 为半径的圆上， 则m0 或 m2 m0 或 m2 时，复数 z 对应的点位于以原点为圆心，以 4 为半径的圆上 【点评】本题主要考查复数的几何意义，根据条件求出点的坐标，根据条件建立坐标关 系是解决本题的关键 19 （12 分）如图，棱锥 PABCD 的底面 ABCD 是矩形，PA平面 ABCD，PAAD2， BD （1）求证：BD平面 P
39、AC； （2）求二面角 PCDB 余弦值的大小； （3）求点 C 到平面 PBD 的距离 【分析】 （1）推导出 PABD，BDAC，从而 BD平面 PAC （2）推导出 PACD，ADCD，从而PDA 是二面角 PCDB 的平面角，由此能求 出二面角 PCDB 余弦值 （3）以 A 为原点，AB 为 x 轴，AD 为 y 轴，AP 为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向 量法能求出点 C 到平面 PBD 的距离 【解答】证明： （1）棱锥 PABCD 的底面 ABCD 是矩形，PA平面 ABCD，PAAD 2，BD PABD，AB2， 第 21 页（共 26 页） ABCD 是正方形，BDA
40、C， PAACA，BD平面 PAC 解： （2）棱锥 PABCD 的底面 ABCD 是矩形， PA平面 ABCD，PAAD2，BD PACD，ADCD， PDA 是二面角 PCDB 的平面角， PAAD2，PAAD， PDA45，cosPDAcos45， 二面角 PCDB 余弦值为 （3）以 A 为原点，AB 为 x 轴，AD 为 y 轴，AP 为 z 轴，建立空间直角坐标系， 则 C（2，2，0） ，B（2，0，0） ，D（0，2，0） ，P（0，0，2） ， （2，0，2） ，（0，2，2） ，（2，2，2） ， 设平面 PBD 的法向量 （x，y，z） ， 则，取 x1，得 （1，1，1
41、） ， 点 C 到平面 PBD 的距离： d 【点评】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值、点到平面的距离的求法，考 查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能 第 22 页（共 26 页） 力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题 20 （12 分）衡阳市第一次联考后，某校对甲、乙两个文科班的数学考试成绩进行分析，规 定：大于或等于 120 分为优秀，120 分以下为非优秀统计成绩后，得到如下的 22 列 联表，且已知在甲、乙两个文科班全部 110 人中随机抽取 1 人为优秀的概率为 优秀 非优秀 合计
42、甲班 10 乙班 30 合计 110 （1）请完成上面的列联表； （2）根据列联表的数据，若按 99.9%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系” ； （3）若按下面的方法从甲班优秀的学生中抽取一人：把甲班优秀的 10 名学生从 2 到 11 进行编号，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数之和为被抽取人的序号试求抽 到 9 号或 10 号的概率 参考公式与临界值表： P（K2k） 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 k 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 【分析】 （1）由全部 110 人中抽到随机抽取
43、1 人为优秀的概率为，我们可以计算出优 秀人数为 30，我们易得到表中各项数据的值 （2）我们可以根据列联表中的数据，代入参考公式，计算出 k2值，然后代入离散系数 表，比较即可得到答案 （3）本小题考查的知识点是古典概型，关键是要找出满足条件抽到 9 或 10 号的基本事 件个数，及总的基本事件的个数，再代入古典概型公式进行计算求解 【解答】解析： （1） 优秀 非优秀 合计 甲班 10 50 60 乙班 20 30 50 合计 30 80 110 第 23 页（共 26 页） （2）根据列联表中的数据，得到因 此按 99.9%的可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系” （3）设“抽到 9
44、或 10 号”为事件 A，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数 为（x，y） 所有的基本事件有： （1，1） 、 （1，2） 、 （1，3） 、 （6，6）共 36 个 事件 A 包含的基本事件有： （3，6） 、 （4，5） 、 （5，4） 、 （6，3） 、 （5，5） 、 （4，6） （6，4） 共 7 个 所以，即抽到 9 号或 10 号的概率为 【点评】独立性检验的应用的步骤为：根据已知条件将数据归结到一个表格内，列出列 联表，再根据列联表中的数据，代入公式 K2，计算出 k 值，然后代入离散系数表，比较 即可得到答案 21 （12 分）如图，在多面体 ABCDEF 中，ABCD
45、是正方形，BF平面 ABCD，DE平面 ABCD，BFDE，点 M 为棱 AE 的中点 （1）求证：平面 BMD平面 EFC； （2）若 AB1，BF2，求三棱锥 ACEF 的体积 【分析】 （1）设 AC 与 BD 交于点 N，则 N 为 AC 的中点，可得 MNEC由线面平行的 判定可得 MN平面 EFC再由 BF平面 ABCD，DE平面 ABCD，且 BFDE，可得 BDEF 为平行四边形，得到 BDEF由面面平行的判定可得平面 BDM平面 EFC； （2）连接 EN，FN在正方形 ABCD 中，ACBD，再由 BF平面 ABCD，可得 BF AC从而得到 AC平面 BDEF，然后代入棱
46、锥体积公式求解 【解答】 （1）证明：设 AC 与 BD 交于点 N，则 N 为 AC 的中点， MNEC MN平面 EFC，EC平面 EFC， 第 24 页（共 26 页） MN平面 EFC BF平面 ABCD，DE平面 ABCD，且 BFDE， BFDE，BFDE， BDEF 为平行四边形，BDEF BD平面 EFC，EF平面 EFC， BD平面 EFC 又MNBDN， 平面 BDM平面 EFC； （2）解：连接 EN，FN在正方形 ABCD 中，ACBD， 又BF平面 ABCD，BFAC BFBDB， AC平面 BDEF，且垂足为 N， ， 三棱锥 ACEF 的体积为 【点评】本题考查面
47、面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了多面体体积 的求法，是中档题 22 （12 分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费 x（单位：千 元）对年销售量 y（单位：t）和年利润 z（单位：千元）的影响，对近 8 年的年宣传费 xi和年销售量 yi（i1，2，8）数据作了初步处理，得到如图的散点图及一些统计量 的值 第 25 页（共 26 页） 46. 6 56 3 6. 8 289.8 1.6 1469 108.8 表中 wii， wi （1）根据散点图判断，ya+bx 与 yc+d哪一个适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必
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