1、2018-2019 学年江西省景德镇一中学年江西省景德镇一中 10-12 班高二（下）期中数学试卷 一、选择题一、选择题（每小题 5 分，共分，共 60 分）分） 1 （5 分）已知集合 Ax|x2x60，集合 Bx|x10，则（RA）B（ ） A （1，3） B （1，3 C3，+） D （3，+） 2 （5 分）记复数 z 的共轭复数为 ，已知复数 z 满足（2i）z5，则（ ） A B C D5 3 （5 分）济南市某公交线路某区间内共设置四个站点（如图） ，分别记为 A0，A1，A2，A3， 现有甲、乙两人同时从 A0站点上车，且他们中的每个人在站点 Ai（i0，1，2，3）下 车是等
2、可能的则甲、乙两人不在同一站点下车的概率为（ ） A B C D 4 （5 分）在ABC 中， “tanBtanC1”是“ABC 为锐角三角形”的（ ） A充分非必要条件 B必要非充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 5 （5 分）我国古代数学著作九章算术中有如下问题： “今有器中米，不知其数，前人 取半，中人三分取一，后人四分取一，余米五升问米几何？”如图是解决该问题的程 序框图，执行该程序框图，若输出的 S5（单位：升） ，则输入 k 的值为（ ） 第 2 页（共 29 页） A7.5 B15 C20 D25 6 （5 分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A16
3、 B16 C8 D8 7 （5 分）设函数 f（x）sin（2x+） （x0，） ，若方程 f（x）a 恰好有三个根， 分别为 x1，x2，x3（x1x2x3） ，则 2x1+3x2+x3的值为（ ） A B C D 8 （5 分）已知等差数列an，S36，a9+a11+a1360，则 S13的值为（ ） A66 B42 C169 D156 9 （5 分）在抛物线 yx2与直线 y2 围成的封闭图形内任取一点 A，O 为坐标原点，则直 线 OA 被该封闭图形解得的线段长小于的概率是（ ） A B C D 10 （5 分）已知正方形 ABCD 的边长为 2，E 是 BC 的中点，以点 C 为圆心
4、，CE 长为半径 作圆，点 P 是该圆上的任一点，则的取值范围是（ ） A B C D 11 （5 分）如图，已知双曲线的左、右焦点分别为 F1、F2，左、 右顶点分别为 A、B，M 在双曲线上，且 MF1x 轴，直线 MA，MB 与 y 轴分别交于 P， Q 两点，若，则（ ） 第 3 页（共 29 页） A B2 C2 D 12 （ 5 分 ） 已 知 奇 函 数 f （ x ） ， 当 x 0 时， 又 函 数 ，若在 y 轴的右侧，满足 f1（x）的图象在 f2（x）图 象上方的整数 x 不超过三个，则 a 的取值范围是（ ） A （0，2ln2 B （2ln3，2ln2 C （0，2
5、ln3 D （0，2ln3） 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分）二项式中含 x2项的二项式系数为 14 （5 分）F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，点 P 在椭圆 C 上，|PF1|6， 过 F1作F1PF2的角平分线的垂线，垂足为 M，则|OM|的长为 15 （5 分）已知奇函数 yf（x）单调递减，实数 x，y 满足不等式 f（x23x）+f（3y y2）0，则 zx2+y2+4x+6y+13 的最小值为 16 （5 分）数列an是等差数列，3a58a120，数列bn满足 bnan+1an+2an+3 （nN*） ， 设 Sn为bn的前
6、 n 项和，则当 Sn取得最大值时，n 的值等于 三、解答题（共三、解答题（共 70 分）分） 17 （12 分）如图，在ABC 中，角 A 的平分线 AD 交 BC 于点 D，设BAD， 第 4 页（共 29 页） （）求 sinC； （）若，求 AC 的长 18 （12 分）如图，在梯形 ABCD 中，ABCD，ADDCCB2，ABC60，平面 ACEF平面 ABCD，四边形 ACEF 是菱形，CAF60 （1）求证：BFAE； （2）求二面角 BEFD 的平面角的余弦值 19 （12 分）已知圆 C：x2+（y+）216，点 A（0，） ，P 是圆上任意一点，线段 AP 的垂直平分线交
7、CP 于点 Q，当的 P 在圆上运动时，点 Q 的轨迹为曲线 E，直线 l：y kx+m 与 y 轴交于点 D，与曲线 E 交于 M，N 两个相异点，且 （）求曲线 E 的方程； （）是否存在实数 m，使4？，若存在，求出 m 的取值范围，若不存在， 请说明理由 20 （12 分）2018 年 12 月 18 日，庆祝改革开放 40 周年大会在北京召开，习近平在会上强 调“改革开放 40 年来，民营企业蓬勃发展，民营经济从小到大、由弱变强，在稳定增长、 促进创新、增加就业、改善民生等方面发挥了重要作用，成为推动经济社会发展的重要 第 5 页（共 29 页） 力量支持民营企业发展，是党中央的贯方
8、针，这一点丝毫不会动摇 ”在习近平总书记 讲话的鼓舞下，长沙某民营商场与某跨国生产厂家甲、乙签署了合作协议商场邀请甲、 乙两个厂家进场试销 10 天，两个厂家提供的返利方案如下：甲厂家每天固定返利 70 元， 且每卖出一件产品厂家再返利 2 元；乙厂家无固定返利，卖出 40 件以内（含 40 件）的 产品，每件产品厂家返利 4 元，超出 40 件的部分每件返利 6 元分别记录其 10 天内的 销售件数，得到如下频数表：甲厂家销售件数频数表： 销售件数 38 39 40 41 42 天数 2 4 2 1 1 乙厂家销售件数频数表： 销售件数 38 39 40 41 42 天数 1 2 2 4 1
9、 （1） 现从甲厂家试销的 10 天中抽取两天， 求一天销售量大于 40 而另一天销售量小于 40 的概率； （2）若将類率视作概率，回答以下向题： 记乙厂家的日返利额为 X（单位：元） ，求 X 的分布列和数学期望； 商场拟在甲、乙两个厂家中选择一家长期销售，如果仅从日返利额的角度考虑，请利 用所学的统计学知识为商场作出选择，并说明理由 21 （12 分）已知函数为自然 对数的底数） （1）若函数 f（x）在（，1）上有零点，求实数 a 的取值范围； （2）当 x1 时，不等式 f（x）g（x）恒成立，求实数 a 的取值范围 请考生在第请考生在第 22、23 两题中任选一题作答两题中任选一题
10、作答.注意：只能做所选定的题目注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做如果多做，则按所做 的第一个题目计分的第一个题目计分.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在极坐标系中，曲线 C1的极坐标方程是 ，以极点为原点 O，极轴为 x 轴正半轴（两坐标系取相同的单位长度）的直角坐标系 xOy 中，曲线 C2的 参数方程为（ 为参数） （1）求曲线 C1的直角坐标方程与曲线 C2的普通方程； 第 6 页（共 29 页） （2）将曲线 C2经过伸缩变换后得到曲线 C3，若 M，N 分别是曲线 C1和曲 线 C3上的动点，求|MN|的最小值 选修选修 4-5：不等
11、式选讲：不等式选讲 23已知函数 f（x）|2x+1|+|x1| （1）求关于 x 的不等式 f（x）2 的解集； （2）xR，x00，使得（a0）成立，求实数 a 的取值范围 第 7 页（共 29 页） 2018-2019 学年江西省景德镇一中学年江西省景德镇一中 10-12 班高二（下）期中数学班高二（下）期中数学 试卷试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 5 分，共分，共 60 分）分） 1 （5 分）已知集合 Ax|x2x60，集合 Bx|x10，则（RA）B（ ） A （1，3） B （1，3 C3，+） D （3，+） 【分析】先确定 A
12、，再求出RA，而后可求（RA）B 【解答】解：Ax|2x3，RAx|x2 或 x3， （RA）Bx|x33，+） 故选：C 【点评】此题考查了交、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键 2 （5 分）记复数 z 的共轭复数为 ，已知复数 z 满足（2i）z5，则（ ） A B C D5 【分析】根据复数的运算法则进行化简，结合复数的模长公式进行计算即可 【解答】解：（2i）z5， z2+i， 则 2i，则， 故选：B 【点评】本题主要考查复数模长的计算，结合复数的运算法则求出复数以及复数的共轭 复数是解决本题的关键 3 （5 分）济南市某公交线路某区间内共设置四个站点（如图） ，分别
13、记为 A0，A1，A2，A3， 现有甲、乙两人同时从 A0站点上车，且他们中的每个人在站点 Ai（i0，1，2，3）下 车是等可能的则甲、乙两人不在同一站点下车的概率为（ ） A B C D 【分析】甲、乙两人下车包含的基本事件个数 n339，甲、乙两人不在同一站点下 第 8 页（共 29 页） 车包含的基本事件个数 m6，由此能求出甲、乙两人不在同一站点下车的概率 【解答】解：济南市某公交线路某区间内共设置四个站点（如图） ， 分别记为 A0，A1，A2，A3， 现有甲、乙两人同时从 A0站点上车， 且他们中的每个人在站点 Ai（i0，1，2，3）下车是等可能的 则甲、乙两人包含的基本事件个
14、数 n339， 甲、乙两人不在同一站点下车包含的基本事件个数 m6， 甲、乙两人不在同一站点下车的概率为 p 故选：A 【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能 力，是基础题 4 （5 分）在ABC 中， “tanBtanC1”是“ABC 为锐角三角形”的（ ） A充分非必要条件 B必要非充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可 【解答】解：tanBtanC10，B、C 为锐角，tanB0，tanC0， tan（A）tan（B+C）0 tanA0，A 为锐角，ABC 为锐角三角形； ABC 为锐角三角
15、形，A、B、C 为锐角， B+C 为钝角，tan（B+C）0，0， tanB0，tanC0，1tanBtanC0， tanBtanC1 “tanBtanC1”是“ABC 为锐角三角形”的充要条件 故选：C 【点评】本题以简易逻辑为载体，考查了两角和的正切公式，考查了推理能力，属中档 题 5 （5 分）我国古代数学著作九章算术中有如下问题： “今有器中米，不知其数，前人 第 9 页（共 29 页） 取半，中人三分取一，后人四分取一，余米五升问米几何？”如图是解决该问题的程 序框图，执行该程序框图，若输出的 S5（单位：升） ，则输入 k 的值为（ ） A7.5 B15 C20 D25 【分析】直
16、接利用程序框图的循环结构求出结果 【解答】解：根据程序框图：当 n1 时，sk， 当 n2 时，sk， 当 n3 时，sk（1） （1）5， 解得：k15 故选：B 【点评】本题考查的知识要点：程序框图的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力， 属于基础题型 6 （5 分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） 第 10 页（共 29 页） A16 B16 C8 D8 【分析】由三视图可知：该几何体为一个半圆柱挖取一个倒立的四棱锥 【解答】解：由三视图可知：该几何体为一个半圆柱挖取一个倒立的四棱锥 该几何体的体积 V 8 故选：D 【点评】本题考查了三棱台的三视图的有关知识、圆柱与
17、四棱锥的体积计算公式，考查 了推理能力与计算能力，属于中档题 7 （5 分）设函数 f（x）sin（2x+） （x0，） ，若方程 f（x）a 恰好有三个根， 分别为 x1，x2，x3（x1x2x3） ，则 2x1+3x2+x3的值为（ ） A B C D 【分析】 先求出y轴右边第一条对称轴x和第二条对称轴x， 然后将2x1+3x2+x3 2（x1+x2）+x2+x3后利用对称轴计算 【解答】解：由 2x+，得 x， x1+x22， 由 2x+，得 x， x2+x32， 2x1+3x2+x32（x1+x2）+x2+x3 第 11 页（共 29 页） 2+， 故选：D 【点评】本题考查了正弦函
18、数的图象属中档题 8 （5 分）已知等差数列an，S36，a9+a11+a1360，则 S13的值为（ ） A66 B42 C169 D156 【分析】利用等差数列前 n 项和公式、通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能 求出结果 【解答】解：等差数列an，S36，a9+a11+a1360， ， 解得 a10，d2， S1313156 故选：D 【点评】本题考查等差数列的前 13 和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差 数列的性质的合理运用 9 （5 分）在抛物线 yx2与直线 y2 围成的封闭图形内任取一点 A，O 为坐标原点，则直 线 OA 被该封闭图形解得的线段长小于的概率是
19、（ ） A B C D 【分析】欲求直线 OA 被该封闭图形解得的线段长小于的概率，利用几何概型解决， 只须利用定积分求出阴影图的面积，最后利用它们的面积比求得即可概率 【解答】解：抛物线 yx2与直线 y2 所围成的面积为 S阴影（2x2）dx（2xx3）， 以 O 为原点，为半径的圆与抛物线 yx2分别交于 B，C 两点， 则 OBOC，圆 O 的方程为 x2+y22， 故 A 点只有在红色区域内时， 直线 OA 被直线 OA 被该封闭图形解得的线段长小于， 由，解得或， 第 12 页（共 29 页） B（1，1） ，C（1，1） ， 直线 OB，OC 的解析式分别为 yx 或 yx， 红
20、色区域面积 S 红+（xx2）dx（）+ （）+， 直线 OA 被该封闭图形截得的线段长小于的概率 P， 故选：C 【点评】本题考查了利用定积分求面积以及几何摡型知识，考查运算求解能力，考查数 形结合思想、化归与转化思想属于中档题 10 （5 分）已知正方形 ABCD 的边长为 2，E 是 BC 的中点，以点 C 为圆心，CE 长为半径 作圆，点 P 是该圆上的任一点，则的取值范围是（ ） A B C D 【分析】由题意，建立平面直角坐标系，设出各点坐标，利用数量积的坐标运算，得到 P 的关系式，结合点在圆上得到所求范围 【解答】解：由题意，建立平面直角坐标系，如图则 A（0，0） ，C（2，
21、2） ，D（0，2） ， E（2，1） ，P（x，y） ，则（x2）2+（y2）21， （x，y） ，（2，1） ， 所以2xyz，则 y2xz，当此直线与圆相切时使得在 y 轴的截距取得最值， 第 13 页（共 29 页） 所以，解得 z2， 所以的取值范围是2，2+； 故选：D 【点评】本题考查了向量的坐标运算、点与圆的位置关系，考查了分类讨论思想方法， 考查了推理能力与计算能力，属于中档题 11 （5 分）如图，已知双曲线的左、右焦点分别为 F1、F2，左、 右顶点分别为 A、B，M 在双曲线上，且 MF1x 轴，直线 MA，MB 与 y 轴分别交于 P， Q 两点，若，则（ ） A B
22、2 C2 D 第 14 页（共 29 页） 【分析】设 A（a，0） ，B（a，0） ，F1（c，0） ，设 M（c，） ，P（0，m） ，Q（0， n） ，由三点共线的条件：斜率相等，分别求得 m，n，可得|OP|，|OQ|，|PQ|，化简整理 结合离心率公式可得所求值 【解答】解：由题意可得 A（a，0） ，B（a，0） ，F1（c，0） ，设 M（c，） ， 设 P（0，m） ，由 kMAkAP，即， 解得 m， 设 Q（0，n） ，由 kMBkBQ，即， 解得 n， 若，可得2+， 解得 e， 则e 故选：D 【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用三点共线的条件：斜率相等，考查
23、 方程思想和转化思想，属于中档题 12 （ 5 分 ） 已 知 奇 函 数 f （ x ） ， 当 x 0 时， 又 函 数 ，若在 y 轴的右侧，满足 f1（x）的图象在 f2（x）图 象上方的整数 x 不超过三个，则 a 的取值范围是（ ） A （0，2ln2 B （2ln3，2ln2 C （0，2ln3 D （0，2ln3） 【分析】根据函数的奇偶性的性质求出当 x0 时函数的解析式，结合在 y 轴的右侧，满 足 f1（x）的图象在 f2（x）图象上方的整数 x 不超过三个，转化为两个函数交点个数，利 用数形结合进行求解即可 【解答】解：奇函数 f（x） ，当 x0 时， 当 x0 时，
24、x0， 则 f（x）lnxx2f（x） ， 第 15 页（共 29 页） 则 f1（x）lnx+x2， （x0） ， 若在 y 轴的右侧，满足 f1（x）的图象在 f2（x）图象上方的整数 x 不超过三个， 则 f1（x）f2（x） ， 即 lnx+x2x2+（2a）x+2a4， 即 lnx+（a2）x+42a0， （a0） ， ax2a2xlnx4， （a0） 设 g（x）2xlnx4，h（x）ax2a 由 g（x）2，可知 g（x）在（0，）上为减函数， 则（，+）上为增函数， h（x）ax2a 的图象恒过点（2，0） ， 同一坐标系中，作出 g（x）和 h（x）的图象如图： 则当 x2
25、恒满足，当 h（1）g（1） ，即 a2 时，x1 满足， 当 h（3）g（3） ，即 a2ln3 时，x3 满足； 当 h（4）g（4） ，即 a2ln2 时，x4 满足， 当 h（5）g（5） ，即 a2ln5 时，x5 满足， 0a2ln3 时，有两个，2ln3a2ln2 时，有 3 个， 2ln2a 时，多于 3 个 0a2ln2， 故选：A 【点评】本题主要考查函数与方程的应用，结合函数奇偶性求出函数的解析式，利用函 数与方程的关系转化为两个函数交点个数问题，利用数形结合是解决本题的关键 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 第 16 页（共 29
26、页） 13 （5 分）二项式中含 x2项的二项式系数为 35 【分析】在二项展开式的通项公式中，令 x 的幂指数等于 2，求出 r 的值，即可求得含 x2项的二项式系数 【解答】解：二项式 的通项公式为 Tr+1 （2） rx143r，令 143r2， 求得 r4， 可得展开式中含 x2项的二项式系数为35， 故答案为：35 【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质， 属于基础题 14 （5 分）F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，点 P 在椭圆 C 上，|PF1|6， 过 F1作F1PF2的角平分线的垂线，垂足为 M，则|OM|的长为 1 【分析】根据椭圆定
27、义以及三角形中位线定理可得 【解答】解：延长 F1M，延长 PF2，交于 N，则 F1MMNPF1PN6， 又根据椭圆的定义知 PF1+PF22a2510，所以 PF24， F2NPNPF2642， 根据 OM 是三角形 F1NF2的中位线可得 OMF2N1 故答案为：1 【点评】本题考查了椭圆的定义，属中档题 15 （5 分）已知奇函数 yf（x）单调递减，实数 x，y 满足不等式 f（x23x）+f（3y y2）0，则 zx2+y2+4x+6y+13 的最小值为 2 【分析】由已知函数的性质化 f（x23x）+f（3yy2）0 为（x+y） （xy3）0， 第 17 页（共 29 页） 再
28、由 zx2+y2+4x+6y+13（x+2）2+（y+3） 2 的几何意义，即可行域内动点与定点（2， 3）距离最小值的平方求解 【解答】解：奇函数 yf（x）单调递减， 由 f（x23x）+f（3yy2）0，得 f（x23x）f（3yy2）f（3y+y2） ， 即 x23x3y+y2，（x+y） （xy3）0， 作出可行域如图： zx2+y2+4x+6y+13（x+2）2+（y+3）2的几何意义为可行域内动点与定点（2，3） 距离最小值的平方， 由图可知， 故答案为：2 【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题 16 （5 分）数列an是等差数列，3a58a120
29、，数列bn满足 bnan+1an+2an+3 （nN*） ， 设 Sn为bn的前 n 项和，则当 Sn取得最大值时，n 的值等于 15 【分析】由 3a58a120，可得 3a58（a5+7d） ，a5d0，d0又 a16a5+11d 0，a17a5+12d0，n17 时，an0可得 a1a2a3a160a17 a18，b1b2b3b130b14，又由 b15a16a17a180，b16a17a18a190， n16，bn0比较 S14与 S15大小关系即可得出 【解答】解：3a58a120，3a58（a5+7d） ，a5d0，d0 又 a16a5+11d0，a17a5+12d0，n17 时，
30、an0 第 18 页（共 29 页） a1a2a3a160a17a18，b1b2b3b130b14， b15a16a17a180，b16a17a18a190，n16，bn0 n13 时，Sn0 S147（b7+b8）0 a15+a18d2+23dd0， b14+b15a16a17（a15+a18）0 故 S15S14，所以 Sn中 S15最大 故答案为：15， 【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其单调性、方程与不等式的解法， 考查了推理能力与计算能力，属于难题 三、解答题（共三、解答题（共 70 分）分） 17 （12 分）如图，在ABC 中，角 A 的平分线 AD 交 BC 于
31、点 D，设BAD， （）求 sinC； （）若，求 AC 的长 【分析】 （）由 为三角形 BAD 中的角，根据 sin 的值，利用同角三角函数间的基本 关系求出 cos 的值，进而利用二倍角的正弦函数公式求出 sinBAC 与 cosBAC 的值， 即为 sin2 与 cos2 的值，sinC 变形为 sin（+2），利用诱导公式，以及两角和 与差的正弦函数公式化简后，将各自的值代入计算即可求出 sinC 的值； （）利用正弦定理列出关系式，将 sinC 与 sinBAC 的值代入得出 ABBC，利 用平面向量的数量积运算法则化简已知等式左边，将表示出的 AB 代入求出 BC 的长，再 利用
32、正弦定理即可求出 AC 的长 第 19 页（共 29 页） 【解答】解： （）（0，） ，sin， cos， sinBACsin22sincos2， cosBACcos22cos2121， sinCsin（+2）sin（+2）（cos2+sin2）（+） ； （）由正弦定理，得， 即， ABBC， 又28， ABBC28， 由上两式解得：BC4， 由， 得：， AC5 【点评】此题考查了正弦定理，平面向量的数量积运算，二倍角的正弦、余弦函数公式， 以及两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握公式及定理是解本题的关键 18 （12 分）如图，在梯形 ABCD 中，ABCD，ADDCCB2，ABC60，
33、平面 ACEF平面 ABCD，四边形 ACEF 是菱形，CAF60 （1）求证：BFAE； （2）求二面角 BEFD 的平面角的余弦值 第 20 页（共 29 页） 【分析】 （1）推导出 BCAC，BC平面 ACEF，AEBC，连接 CF，AEFC，由此能 证明 AE平面 BCF，从而 BFAE （2）取 EF 的中点 M，连接 MC，以 CA、CB、CM 分别为 x、y、z 轴建立空间直角坐标 系，由此能求出二面角 BEFD 的平面角的余弦值 【解答】证明： （1）依题意，在等腰梯形 ABCD 中，AC2，AB4， BC2，AC2+BC2AB2，即 BCAC， （1 分） 平面 ACEF平
34、面 ABCD，BC平面 ACEF，（2 分） 而 AE平面 ACEF，AEBC，（3 分） 连接 CF，四边形 ACEF 是菱形，AEFC，（4 分） 又BCFCC，AE平面 BCF， BF平面 BCF，BFAE（6 分） 解： （2）取 EF 的中点 M，连接 MC， 四边形 ACEF 是菱形，且CAF60 由平面几何知 MCAC，平面 ACEF平面 ABCD， MC平面 ABCD 故此可以 CA、CB、CM 分别为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系， C（0，0，0） ，A（2，0，0） ，B（0，2，0） ，D（，1，0） ，E（） ， F（） ，（7 分） 设平面 BEF 为 （x，y
35、，z） ， （） ，（2，0，0） 第 21 页（共 29 页） 由，取 y3，得 （0，3，2） ， （9 分） 同理，得平面 DEF 的法向量为 （0，3，1） ，（10 分） 设二面角 BEFD 的平面角的平面角为 ， cos， 故二面角 BEFD 的平面角的余弦值为（12 分） 【点评】本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线 面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题 19 （12 分）已知圆 C：x2+（y+）216，点 A（0，） ，P 是圆上任意一点，线段 AP 的垂直平分线交 CP 于点 Q，当的 P 在圆上运动时
36、，点 Q 的轨迹为曲线 E，直线 l：y kx+m 与 y 轴交于点 D，与曲线 E 交于 M，N 两个相异点，且 （）求曲线 E 的方程； （）是否存在实数 m，使4？，若存在，求出 m 的取值范围，若不存在， 请说明理由 【分析】 （）由题意画出图形，可得|QA|+|QC|PC|42，得到点 Q 的轨迹曲线 E 是以 A，C 为焦点的椭圆，求得 a 与 c，进一步得到 b，则曲线 E 的方程可求； （）联立直线方程与椭圆方程，可得（k2+4）x2+2kmx+m240由判别式大于 0 得 k2m2+40再由向量等式可得 k2，代入 k2m2+40，即可求得 m2的取值范围 【解答】解： （）
37、如图， 第 22 页（共 29 页） 由题意可得：|QA|QP|，则|QA|+|QC|PC|42， 点 Q 的轨迹曲线 E 是以 A，C 为焦点的椭圆， 其中 2a4，a2，c，则 b1 曲线 E 的方程为； （）联立，可得（k2+4）x2+2kmx+m240 由4k2m24（k2+4） （m24）0，得 k2m2+40 设 M（x1，y1） ，N（x2，y2） 则， D（0，m） ，（x1，my1） ，（x2，y2m） ， 由4， 3，得3 （x1，my1）（3x2，3y23m） ， 则x13x2， 联立，得， 代入，得3k2m2（k2+4） （m24） ， 即 k2m2k2+m240，得，
38、 代入 k2m2+40，得0，解得 1m24.1m2 或2m1 存在实数 m，使4，m 的取值范围是（1，2）（2，1） 第 23 页（共 29 页） 【点评】本题考查轨迹方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力， 是中档题 20 （12 分）2018 年 12 月 18 日，庆祝改革开放 40 周年大会在北京召开，习近平在会上强 调“改革开放 40 年来，民营企业蓬勃发展，民营经济从小到大、由弱变强，在稳定增长、 促进创新、增加就业、改善民生等方面发挥了重要作用，成为推动经济社会发展的重要 力量支持民营企业发展，是党中央的贯方针，这一点丝毫不会动摇 ”在习近平总书记 讲话的鼓舞
39、下，长沙某民营商场与某跨国生产厂家甲、乙签署了合作协议商场邀请甲、 乙两个厂家进场试销 10 天，两个厂家提供的返利方案如下：甲厂家每天固定返利 70 元， 且每卖出一件产品厂家再返利 2 元；乙厂家无固定返利，卖出 40 件以内（含 40 件）的 产品，每件产品厂家返利 4 元，超出 40 件的部分每件返利 6 元分别记录其 10 天内的 销售件数，得到如下频数表：甲厂家销售件数频数表： 销售件数 38 39 40 41 42 天数 2 4 2 1 1 乙厂家销售件数频数表： 销售件数 38 39 40 41 42 天数 1 2 2 4 1 （1） 现从甲厂家试销的 10 天中抽取两天， 求
40、一天销售量大于 40 而另一天销售量小于 40 第 24 页（共 29 页） 的概率； （2）若将類率视作概率，回答以下向题： 记乙厂家的日返利额为 X（单位：元） ，求 X 的分布列和数学期望； 商场拟在甲、乙两个厂家中选择一家长期销售，如果仅从日返利额的角度考虑，请利 用所学的统计学知识为商场作出选择，并说明理由 【分析】 （1） 记 “抽取的两天中一天销售量大于 40 而另一天的销售量小于 40” 为事件 A， 利用古典概型、排列组合能求出一天销售量大于 40 而另一天销售量小于 40 的概率 （2）设乙厂家的日销售量为 a，求出 X 的所有可能取值为 152，156，160，166，1
41、72， 再求出相应的概率，由此能求出 X 的分布列和 E（X） 求出甲厂家的日平均销售量为 39.5从而得到甲厂家的日平均返利额为 149 元，求出 乙厂家的日平均返利额为 162 元，仅从日返利额的角度考虑，推荐该商场选择乙厂家长 期销售 【解答】解： （1）记“抽取的两天中一天销售量大于 40 而另一天的销售量小于 40”为事 件 A， 则一天销售量大于 40 而另一天销售量小于 40 的概率： P（A） （2）设乙厂家的日销售量为 a，则： 当 a38 时，X384152，P（X152）， 当 a39 时，X394156，P（X156）， 当 a40 时，X404160，P（X160），
42、 当 a41 时，X404+16166，P（X166）， 当 a42 时，X404+26172，P（X172）， X 的所有可能取值为 152，156，160，166，172， X 的分布列为： X 152 156 160 166 172 P 第 25 页（共 29 页） E（X）+162 依题意，甲厂家的日平均销售量为： 380.2+390.4+400.2+410.2+420.139.5 甲厂家的日平均返利额为：70+39.52149 元， 由得乙厂家的日平均返利额为 162 元， 162149， 仅从日返利额的角度考虑，推荐该商场选择乙厂家长期销售 【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随
43、机变量的分布列、数学期望的求法及应用， 考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 21 （12 分）已知函数为自然 对数的底数） （1）若函数 f（x）在（，1）上有零点，求实数 a 的取值范围； （2）当 x1 时，不等式 f（x）g（x）恒成立，求实数 a 的取值范围 【分析】 （1）根据导数和函数最值的关系，以及函数零点存在性定理即可求出 a 的取值 范围， （2）将参数进行分类，将不等式恒成立转化为含有参数问题求最值恒成立问题，然后利 用导数求构造函数的最值 【解答】解： （1）f（x）lnx+1x2， 设 （x）lnx+1x2， 则 （x）3x， 当 x（0，）时
44、，（x）0，（x）单调递增， 当 x（，+）时，（x）0，（x）单调递减， （x）max（）0， f（x）0， 函数 f（x）在（0，+）上递减，即在（，1）上递减， 若函数 f（x）在（，1）上有零点， 第 26 页（共 29 页） 则 f（）f（1）0， 即（ln+a） （+a）0， 解得+a， （2）当 x1 时，不等式 f（x）g（x）恒成立， 即 xlnxx3+axe1 x+ x3x， 化简 e1 xlnx+ax2 10， 设 F（x）e1 xlnx+ax2 1，x1， 由 F（1）0，F（x）e1 x +2ax+，则 F（1）3a2， （i）当 3a20 时，即 a时，令 h（x）
45、F（x）e1 x +2ax+， h（x）e1 x+ +2a（1）0， h（x）F（x）在1，+）上单调递增， F（x）F（1）3a20， F（x）在区间1，+）上单调递增，F（x）F（1）0 恒成立， 即不等式 f（x）g（x）恒成立， （ii）当 3a20 时，即 a时，若 F（x）在（1，+）上无零点， 则 F（x）0 恒成立， F（x）在1，+）上单调递增， F（x）F（1）0 恒成立，即 f（x）g（x）不成立， 若 F（x）在（1，+）上有零点，设第一个零点为 x0，当 x0（1，x0）时，F（x） 0， F（x）在区间（1，x0）上单调递减， F（x）F（1） ，即 f（x）g（x）在区间（1，x0）上不成立， 综上所述：实数 a 的取值范围为，+） 【点评】本题的考点是利用导数研究函数的
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