1、2018-2019 学年江西省吉安市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填入答题卡中有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填入答题卡中) 1 （5 分）在空间直角坐标系中，点 M（1，2，3）到 z 轴的距离为（ ） A B3 C D 2 （5 分）下列说法正确的是（ ） A函数 f（x）既是奇函数又在区间（，0）上单调递增 B若命题 p，q 都是真命题，则命题 pq”为真命题 C命题： “若
2、 xy0，则 x0 或 y0 的否命题为若 xy0，则 x0 或 y0” D命题“xR，2x0”的否定是“x0R，20” 3 （5 分） “a1”是“直线 ax+y1 与直线 x+ay2 平行”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 4 （5 分）设 m，n 为两条不同的直线， 为两个不同的平面，下列命题中正确的（ ） A若 m，mn，n，则 B若 m，mn，n，则 C若 m，mn，n，则 D若 m，mn，n，则 5 （5 分）已知O： （x1）2+（y+2）24，则O 关于直线 l：yx+1 对称的
3、圆的方程为 （ ） A （x+3）2+（y2）22 B （x+3）2+（y2）24 C （x+3）2+（y+2）24 D （x2）2+（y+3）22 6 （5 分）已知向量 （2，1，3） ， （4，2，x） ，若 ，则 x（ ） A2 B2 C3 D4 7 （5 分）抛物线 y的准线方程为（ ） A B C D 8 （5 分）已知 x，y 满足 x24x+y20，则 x2y 的最大值为（ ） A2 B2+2 C3+2 D4 9 （5 分）在三棱锥 ABCD 中，AD平面 BCD，BDBC3，AB5，DBC90， 则该四面体外接球的半径为（ ） 第 2 页（共 21 页） A B
4、C D 10 （5 分）设抛物线 C：y24x 的焦点为 F，直线 l：x，若过焦点 F 的直线与抛物 线 C 相交于 A、B 两点，则以线段 AB 为直径的圆与直线 l 的位置关系为（ ） A相交 B相切 C相离 D以上三个答案均有可能 11 （5 分）如图所示，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则 此几何体的体积为（ ） A B2 C4 D 12 （5 分）已知 P 为抛物线 y24x 上一个动点，P 到其 y 轴的距离为 d，Q 为圆（x+1）2+ （y4）21 上一个动点，d+|PQ|的最小值是（ ） A21 B22 C1 D2 二、填空题（本大题
5、共二、填空题（本大题共 4 小题，每题小题，每题 5 分，满分分，满分 20 分将答案直接填在答题卡相应的横线分将答案直接填在答题卡相应的横线 上上) 13 （5 分）某圆锥的母线和底面半径分别为，1，则此圆锥的体积是 14 （5 分）命题“对任意 xR，mx2+（m+1）x+10 恒成立”是真命题，则实数 m 的取值 集合是 15（5 分） 若点 P 是椭圆1 上的一动点， F1， F2是椭圆的两个焦点， 则 sinF1PF2 最大值为 16 （5 分）如图 ABCDA1B1C1D1是棱长为 1 的正方体，下面结论：BD平面 B1D1C； AC1B1
6、C；AC1平面 CB1D1；直线 AC1与 BC 所成的角为 45；A 到平面 CD1B1的距离为，其中正确结论的个数是 第 3 页（共 21 页） 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤骤) 17 （10 分）命题 p：若存在 x0R，使得 m2sinx00 成立；命题 q：方程1 表示焦点在 x 轴上的双曲线如果“p 且 q”为假命题， “p 或 q”为真命题，求实数 m 的 取值范围 18 （12 分）在菱形 ABCD 中，A（4，6） ，C（6，4）
7、 ，边 CD 所在直线过点 M（3，3） （1）求对角线 BD 及边 AB 所在直线的方程； （2）求菱形 ABCD 内切圆方程，并判断此圆与直线 AM 的位置关系 19 （12 分）如图，四边形 ABCD 为边长为 1 的正方形，PD平面 ABCD，DPC45， AFPC 于点 F，FECD，交 PD 于点 E （1）求三棱锥 PACD 的体积； （2）求二面角 CAFE 的正弦值 20 （12 分）如图，四面体 PABC 中，PA平面 ABC，PA1，AB1，AC2，BC （1）证明 BC平面 PAB； （2）在四面体 PABC 面上是否存在点 H 使得 ACBH，
8、若存在，求 H 点的轨迹长 第 4 页（共 21 页） 21 （12 分）已知圆 O：x2+y24 （1）过点 P（1，2）向圆 O 引切线，求切线 l 的方程； （2）过点 M（1，0）任作一条直线交圆 O 于 A、B 两点，问在 x 轴上是否存在点 N，使 得ANMBNM？若存在，求出 N 的坐标，若不存在，请说明理由 22 （12 分）椭圆 C 的焦点在 y 轴上，与 x 轴交于 A、B，与 y 轴交于 C、D，若 S四边形ACBD 2，且 e （1）求椭圆 C 的方程； （2）设过点 G（1，0）的直线 l 与 C 交于两个不同的点 M、N，求的取值范围 第 5 页（共 21 页） 2
9、018-2019 学年江西省吉安市高二（上）期末数学试卷（理科）学年江西省吉安市高二（上）期末数学试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填入答题卡中有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填入答题卡中) 1 （5 分）在空间直角坐标系中，点 M（1，2，3）到 z 轴的距离为（ ） A B3 C D 【分析】空间直角坐标系中点 M（x，y，z）到 z 轴的距离为 【解答】解：空间
10、直角坐标系中，点 M（1，2，3）到 z 轴的距离为 故选：A 【点评】本题考查了空间直角坐标系下的距离计算问题，是基础题 2 （5 分）下列说法正确的是（ ） A函数 f（x）既是奇函数又在区间（，0）上单调递增 B若命题 p，q 都是真命题，则命题 pq”为真命题 C命题： “若 xy0，则 x0 或 y0 的否命题为若 xy0，则 x0 或 y0” D命题“xR，2x0”的否定是“x0R，20” 【分析】由反比例函数的奇偶性和单调性可判断 A；由 p 真 q 假，结合复合命题的真假， 可判断 B； 由命题的否命题为既对条件否定，又对结论否定，可判断 C
11、；由全称命题的否定为特称 命题，可判断 D 【解答】解：函数 f（x）既是奇函数又在区间（，0）上单调递减，故 A 错误； 命题 p，q 都是真命题，即 p 真 q 假则命题 pq”为假命题，故 B 错误； 命题： “若 xy0，则 x0 或 y0 的否命题为若 xy0，则 x0 且 y0” ，故 C 错误； 命题“xR，2x0”的否定是“x0R，20” ，故 D 正确 故选：D 【点评】本题考查函数的单调性和奇偶性的判断，复合命题的真假和命题的否定与否命 题的区别，考查判断能力，是一道基础题 第 6 页（共 21 页） 3 （5 分） “a1”是“直线 ax+y1 与直线 x+a
12、y2 平行”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】由 a1 能得到直线 ax+y1 与直线 x+ay2 平行，反之由两直线平行可得 a 1由此可得答案 【解答】解：由 a1，得两直线方程为 x+y1 与 x+y2，两直线平行； 由直线 ax+y1 与直线 x+ay2 平行，可得，解得：a1 “a1”是“直线 ax+y1 与直线 x+ay2 平行”的充分而不必要条件 故选：A 【点评】本题考查了充分必要条件的判定方法，考查了直线的一般式方程与直线平行的 关系，是基础题 4 （5 分）设 m，n 为两条不同的直线， 为两个不同的平
13、面，下列命题中正确的（ ） A若 m，mn，n，则 B若 m，mn，n，则 C若 m，mn，n，则 D若 m，mn，n，则 【分析】作出示意图，可逐个否定 A，B，C，故选 D 【解答】解：A，如图可否定 A； B， 如图可否定 B； 第 7 页（共 21 页） D， 如图可否定 D； 故选：C 【点评】此题考查了直线，平面的各种位置关系，难度不大 5 （5 分）已知O： （x1）2+（y+2）24，则O 关于直线 l：yx+1 对称的圆的方程为 （ ） A （x+3）2+（y2）22 B （x+3）2+（y2）24 C （x+3）2+（y+2）24 D （
14、x2）2+（y+3）22 【分析】由圆方程求出圆心和半径，再求出圆心关于直线的对称点的坐标，即可求出对 称圆的方程 【解答】解：O： （x1）2+（y+2）24，则圆心 O（1，2） ，半径 r2， 设圆心 O（1，2）关于直线 l：yx+1 对称的点为 O（a，b） ， 则， 解得 a3，b2 圆 O 关于直线 l：yx+1 对称的圆的方程为（x+3）2+（y2）24 故选：B 【点评】本题考查了关于点、直线对称的圆的方程，是基础题 6 （5 分）已知向量 （2，1，3） ， （4，2，x） ，若 ，则 x（ ） A2 B2 C3 D4 【分析】利用向量垂直的性质直接求解 【解答】解：向量
15、（2，1，3） ， （4，2，x） ， ， 第 8 页（共 21 页） 2（4）+12+（3）x0， 解得 x2 故选：B 【点评】本题考查实数值的求法，考查向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力， 是基础题 7 （5 分）抛物线 y的准线方程为（ ） A B C D 【分析】先将抛物线方程化为标准方程，其为开口向上，焦准距为 1 的抛物线，写出其 准线方程 y即可 【解答】解：抛物线的标准方程为 x22y， 焦准距 p1， 抛物线的准线方程为 y 故选：A 【点评】本题主要考查了抛物线的标准方程及其几何意义，特别注意方程是否标准形式， 属基础题 8 （5 分）已知 x，y 满足 x24x
16、+y20，则 x2y 的最大值为（ ） A2 B2+2 C3+2 D4 【分析】设 x2yt，则可利用 直线 x2yt0 与圆有交点列式解不等式可解得 【解答】解：x24x+y20 可化为（x2）2+y24，设 x2yt， 则直线 x2yt0 与圆有交点，所以2，解得 22t2+2， 故选：B 【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，属中档题 9 （5 分）在三棱锥 ABCD 中，AD平面 BCD，BDBC3，AB5，DBC90， 则该四面体外接球的半径为（ ） A B C D 【分析】取 AC 中点 O，DC 中点 F，易知 F 为底面外心，且 OF 垂直底面，即 O 为外接 球球心，容易求解
17、半径 第 9 页（共 21 页） 【解答】解：取 CD 中点 F，AC 中点 O，连接 OF， 则 OFAD， AD平面 BCD， OF平面 BCD， DBC90， F 为BCD 的外心， OAOCOBOD， 即 O 为外接球的球心， 由 BDBC3，AB5， 可得 AC， 外接球半径为， 故选：C 【点评】此题考查了三棱锥外接球问题，难度不大 10 （5 分）设抛物线 C：y24x 的焦点为 F，直线 l：x，若过焦点 F 的直线与抛物 线 C 相交于 A、B 两点，则以线段 AB 为直径的圆与直线 l 的位置关系为（ ） A相交 B相切 C相离 D以上三个答案均有可能 【分析】
18、由题意画出图形，可得以 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切， 以线段 AB 为直径的圆与直线 l 的位置关系为相交 【解答】解：如图所示， 第 10 页（共 21 页） 抛物线 C：y24x 的焦点为 F（1，0） ，准线方程为 x1 设 AB 中点为 G，过 G 作抛物线准线的垂线，垂足为 H，则 GHAB， 即以 AB 为直径的圆与抛物线准线相切， 以线段 AB 为直径的圆与直线 l 的位置关系为相交 故选：A 【点评】本题考查了抛物线的简单性质和直线与抛物线的位置关系应用问题，是中档题 11 （5 分）如图所示，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则
19、此几何体的体积为（ ） A B2 C4 D 【分析】首先由三视图还原几何体，利用三视图的数据求解几何体的体积即可 【解答】解：三视图表示的几何体为三棱锥 DABC，是正方体的一部分，则此几何体 的体积为： 故选：A 第 11 页（共 21 页） 【点评】本题考查了由几何体的三视图求几何体的体积，判断直观图是解题的关键 12 （5 分）已知 P 为抛物线 y24x 上一个动点，P 到其 y 轴的距离为 d，Q 为圆（x+1）2+ （y4）21 上一个动点，d+|PQ|的最小值是（ ） A21 B22 C1 D2 【分析】由抛物线定义知 P 到准线的距离等于 P 到焦点 F 的距离，连结圆心 C
20、与 F，交 圆于 Q， FC 交抛物线的点即为使 d+|PQ|最小时 P 的位置，由此求出结果 【解答】解：点 P 是抛物线 y24x 上的点， 点 P 到 y 轴的距离为 d，则点 P 到抛物线准线的距离为 d+1； 又点 P 到圆 C： （x+1）2+（y4）21 上的动点 Q 的距离为|PQ|， 由抛物线定义知：点 P 到准线的距离等于 P 到焦点 F 的距离， 如图所示，连结圆心 C 与 F，交圆于 Q， FC 交抛物线的点即为使（d+1）+|PQ|的最小时 P 的位置； （d+1+|PQ|）min|FQ|， C（1，4） ，F（1，0） ， |FC|2，|CQ|1， |FQ|21，
21、第 12 页（共 21 页） （d+|PQ|）min22 故选：B 【点评】本题考查了与抛物线有关的两条线段和最小值的求法问题，解题时要应用抛物 线定义和性质，是中档题 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每题小题，每题 5 分，满分分，满分 20 分将答案直接填在答题卡相应的横线分将答案直接填在答题卡相应的横线 上上) 13 （5 分）某圆锥的母线和底面半径分别为，1，则此圆锥的体积是 【分析】根据圆锥的底面半径和母线长求出高，再计算圆锥的体积大小 【解答】解：圆锥的底面半径为 r1，母线长为 l，则高为 h2，如图所 示 ； 所以圆锥的体积为 Vr2h122 故答案为： 【
22、点评】本题考查了圆锥的体积计算问题，是基础题 14 （5 分）命题“对任意 xR，mx2+（m+1）x+10 恒成立”是真命题，则实数 m 的取值 集合是 1 【分析】结合分类讨论的数学思想方法分m0 时，m0 时及二次不等式恒成立问 题解题即可， 【解答】解：由命题“对任意 xR，mx2+（m+1）x+10 恒成立”是真命题， 则m0 时，不等式可变为 x+10，显然不满足题意， m0 时，由已知有，解得：m1， 综合得： 实数 m 的取值集合是1， 故答案为：1 【点评】本题考查了不等式恒成立问题及分类讨论的数学思想方法，属简单题 第 13 页（共 21 页） 15（5 分） 若点 P 是
23、椭圆1 上的一动点， F1， F2是椭圆的两个焦点， 则 sinF1PF2 最大值为 【分析】点 P 是椭圆1 上的一动点，F1、F2是椭圆上的两个焦点，P 是短轴 端点时， F1PF2为锐角， 从而 sinF1PF2最大值为 P 是短轴端点时 sinF1PF2的值 【解答】解：点 P 是椭圆1 上的一动点，F1、F2是椭圆上的两个焦点， a3，b，c2， 而b， P 是短轴端点时，F1PF2为锐角，从而 sinF1PF2最大值为 P 是短轴端点时 sin F1PF2的值 sinF1PF2最大值为 2 故答案为： 【点评】本题考查椭圆的定义和性质，考查转化思想，属于中档题 16 （
24、5 分）如图 ABCDA1B1C1D1是棱长为 1 的正方体，下面结论：BD平面 B1D1C； AC1B1C；AC1平面 CB1D1；直线 AC1与 BC 所成的角为 45；A 到平面 CD1B1的距离为，其中正确结论的个数是 4 【分析】在中，由 BDB1D1，推导出 BD平面 CB1D1；在中，推导出 B1CBC1， 由三垂线定理知，AC1B1C；在中，推导出 AC1BD，AC1B1D1，AC1CB1，从 而得到 AC1平面 CB1D1；在中，BCAD，异面直线 AC1与 BC 所成的角就是直线 AC1与 AD 所成的角，计算可判断；在中，A 到平面 CD1B1的距离为 AC1h（h 为
25、C1 第 14 页（共 21 页） 到平面 CD1B1的距离） ，运用正三棱锥的性质，计算可判断 【解答】解：在中，由正方体的性质得，BDB1D1，BD平面 CB1D1，B1D1平面 CB1D1， BD平面 CB1D1，故正确； 在中，由正方体的性质得 B1CBC1，而 BC1是 AC1在底面 B1BCC1内的射影， 由三垂线定理知，AC1B1C，故正确； 在中，由正方体的性质得 BDB1D1，由知，AC1BD，AC1B1D1， 同理可证 AC1CB1，故 AC1平面 CB1D1内的两条相交直线， AC1平面 CB1D1，故正确； 在中，BCAD，异面直线 AC1与 BC 所成的角就是直线 A
26、C1与 AD 所成的角， 在直角三角形 ADC1中， tanDAC1， 故直线 AC1与 BC 所成的角不为 45， 故错误； 在中，A 到平面 CD1B1的距离为 AC1h（h 为 C1到平面 CD1B1的距离） ，由 AC1平 面 CB1D1； 且 C1B1D1C 为正三棱锥，可得 h， 可得 A 到平面 CD1B1的距离为故正确 故答案为：4 【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面的位置关系等基础知识，考 查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结合思想， 是中档题 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写
27、出必要的文字说明、证明过程或演算步分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤骤) 第 15 页（共 21 页） 17 （10 分）命题 p：若存在 x0R，使得 m2sinx00 成立；命题 q：方程1 表示焦点在 x 轴上的双曲线如果“p 且 q”为假命题， “p 或 q”为真命题，求实数 m 的 取值范围 【分析】先求出 p 真和 q 真时的 m 的范围，又“p 且 q“为假命题， “p 或 q“为真命题， 则 p，q 中一真一假，在按照 p 真 q 假，p 假 q 真两种情况解不等式后结果相并 【解答】解：若命题 p 为真命题，则：m2sinx 有解，得2m2， 若命题 q 为真命
28、题，则，即 1m3， 又“p 且 q“为假命题， “p 或 q“为真命题，则 p，q 中一真一假， 即：或 2m1 或 2m3 实数 m 的取值范围为2，1（2，3） 【点评】本题考查了复合命题及其真假，属基础题 18 （12 分）在菱形 ABCD 中，A（4，6） ，C（6，4） ，边 CD 所在直线过点 M（3，3） （1）求对角线 BD 及边 AB 所在直线的方程； （2）求菱形 ABCD 内切圆方程，并判断此圆与直线 AM 的位置关系 【分析】 （1）由菱形的对角线相互垂直，可得 BDAC，利用斜率计算公式可得 kAC，可 得 kBD而 AC 的中点（1，1） ，也是 BD
29、 的中点，可得直线 BD 的方程由 kAB kCD，利用点斜式可得直线 AB 的方程 （2）直线 AC 的方程为：y6（x+4） ，化为：x+y20联立，解得菱 形 ABCD 内切圆的圆心利用点到直线的距离公式可得半径 r可得圆的方程通过计算 圆心到直线 AM 的距离 d，与半径比较即可得出 【解答】解： （1）菱形的对角线相互垂直，BDAC，kAC1 kBD1 而 AC 的中点（1，1） ，也是 BD 的中点， 直线 BD 的方程为：y1x1，即 yx 第 16 页（共 21 页） kABkCD 直线 AB 的方程为：y6（x+4） ，即 7x+3y+100 （2）直线 AC 的方程为：y6
30、（x+4） ，化为：x+y20 联立，解得 xy1 菱形 ABCD 内切圆的圆心为（1，1） 半径 r 菱形 ABCD 内切圆方程为： （x1）2+（y1）2 直线 AM 的方程为：y3（x3） ，即 3x+7y300 圆心到直线 AM 的距离 dr， 菱形 ABCD 内切圆与直线 AM 相切 【点评】本题考查了菱形的性质、点到直线的距离公式、斜率计算公式、相互垂直的直 线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 19 （12 分）如图，四边形 ABCD 为边长为 1 的正方形，PD平面 ABCD，DPC45， AFPC 于点 F，FECD，交 PD 于点 E （1）求三棱锥 PA
31、CD 的体积； （2）求二面角 CAFE 的正弦值 【分析】 （1）推导出 PDCD，DP1，由此能求出三棱锥 PACD 的体积 （2）推导出 ADPD，AD平面 PCD，AFPC，DFPC，以 D 为原点，建立空间直 角坐标系 Dxyz，利用向量法能求出二面角 CAFE 的正弦值 【解答】解： （1）PD平面 ABCD，DC平面 ABCD， PDCD， 第 17 页（共 21 页） DPC45，DP1， 三棱锥 PACD 的体积： VPACD （2）PD平面 ABCD，AD面 ABCD， ADPD，AD平面 PCD， AFPC，DFPC，DPC45，DFPC， E，F 为中点，以 D 为原点
32、，建立空间直角坐标系 Dxyz， 则 A（0，0，1） ，D（0，0，0） ，C（0，1，0） ， E（） ，F（，0） ， 设 （x，y，z）是平面 AEF 的一个法向量， 则，取 x1，得 （1，1，1） 设二面角 CAFE 的平面角为 ， 则|cos|， sin 二面角 CAFE 的正弦值为 【点评】本题考查三棱锥的体积的证明，考查二面角的正弦值的求法，考查空间中线线、 线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档 题 20 （12 分）如图，四面体 PABC 中，PA平面 ABC，PA1，AB1，AC2，BC 第 18 页（共 21 页） （
33、1）证明 BC平面 PAB； （2）在四面体 PABC 面上是否存在点 H 使得 ACBH，若存在，求 H 点的轨迹长 【分析】 （1）推导出 ABBC，PABC，PAAB，由此能证明 BC平面 PAB （2）在平面 ABC 内，过点 B 作 BNAC，垂足为 N，在平面 PAC 内，过点 N 作 MN PA，交 PC 于点 M，连结 BM，推导出 MNAC，从而 AC平面 MBN，进而 H 的轨迹 为三角形 MBN，由此能求出 H 的轨迹长 【解答】证明： （1）由题设 AB1，AC2，BC， AB2+BC2AC2，ABBC， 由 PA平面 ABC，PABC，PAAB， PAABA，BC平面
34、 PAB 解： （2）在平面 ABC 内，过点 B 作 BNAC，垂足为 N， 在平面 PAC 内，过点 N 作 MNPA，交 PC 于点 M，连结 BM， 由 PA平面 ABC，知 PAAC，MNAC， BNMNN，AC平面 MBN， H 的轨迹为三角形 MBN， ABNACB，NB，AN， NCACAN， MNPA， MN，BM， H 的轨迹长为 BN+BM+MN 第 19 页（共 21 页） 【点评】本题考查线面垂直的证明，考查点的轨迹的长的求法，考查空间中线线、线面、 面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题 21 （12 分）已知圆 O：x2+y24
35、（1）过点 P（1，2）向圆 O 引切线，求切线 l 的方程； （2）过点 M（1，0）任作一条直线交圆 O 于 A、B 两点，问在 x 轴上是否存在点 N，使 得ANMBNM？若存在，求出 N 的坐标，若不存在，请说明理由 【分析】 （1）设切线 l 的方程为 yk（x1）+2，由已知条件结合点到直线的距离公式 即可求出 l 的方程； （2）假设存在 N （a，0） ， 当直线 AB 与 x 轴不垂直时，设直线 AB 的方程为 yk （x1） ， 代入 x2+y24，得（1+k2）x22k2x+k240，设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，求出 x1+x2， x1x2，再由化简，然后
36、结合已知 条件即可求出 a 的值，则答案可求 【解答】解： （1）设切线 l 的方程为 yk（x1）+2， l 与圆 O 相切， d，解得 k0 或 k l 的方程为 y2 或； （2）假设存在 N （a，0） ， 当直线 AB 与 x 轴不垂直时，设直线 AB 的方程为 yk （x1） ， 代入 x2+y24，得（1+k2）x22k2x+k240， 设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， ， ， 第 20 页（共 21 页） 而（x11） （x2a）+（x21） （x1a）2x1x2（a+1） （x2+x1）+2a ， ANMBNM， ，即，得 a4 当直线 AB 与 x
37、轴垂直时，也成立 故存在点 N（4，0） ，使得ANMBNM 【点评】本题考查了圆的切线方程，考查了点到直线的距离公式，考查了分类讨论的数 学思想方法，是中档题 22 （12 分）椭圆 C 的焦点在 y 轴上，与 x 轴交于 A、B，与 y 轴交于 C、D，若 S四边形ACBD 2，且 e （1）求椭圆 C 的方程； （2）设过点 G（1，0）的直线 l 与 C 交于两个不同的点 M、N，求的取值范围 【分析】 （1）由题意可得，解得 a24，b2， （2） 用点斜式设直线 l 的方程， 代入曲线 C 的方程得到根与系数的关系， 判别式大于零， 代入的式子化简，即可求出 【解答】解： （1）由
38、题意可得，解得 a24，b2， 椭圆 C 的方程为+1 （2）椭圆 C 的方程为 8x2+y24 当过 G（1，0）的直线 l 与 x 轴垂直时，l 与曲线 C 无交点，不合题意， 设直线 l 的方程为：yk（x1） ，l 与曲线 C 交于 M（x1，y1） ，N（x2，y2） ， 第 21 页（共 21 页） 由可得（k2+8）x22k2x+k240， 则4k24（8+k2） （k24）0，解得 k28， x1+x2，x1x2 又（x11，y1） ，（x21，y2） ， （x11，y1） （x21，y2） x1x2（x1+x2）+1+y1y2 x1x2（x1+x2）+1+k2（x11） （x21） （1+k2）x1x2（1+k2） （x1+x2）+1+k2 （1+k2） （+1） 4， 0k28， 的取值范围是，） 【点评】本题考查求点的轨迹方程，一元二次方程根与系数的关系，两个向量的数量积 公式，属于中档题
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