1、2018-2019 学年江西省南昌二中高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题 1 （5 分）若复数 Z 满足（1+i）Z|3+4i|，则 Z 的实部为（ ） A B C D 2 （5 分）若函数 yx3+log2x+e x，则 y（ ） Ax4+e x Bx4+e x C3x2+e x D3x2+e x 3 （5 分）直线 ykx+b 与曲线 yx3+ax+1 相切于点（2，3） ，则 b 的值为（ ） A3 B9 C15 D7 4 （5 分）下列说法正确的是（ ） A “若 x21，则 x1，或 x1”的否定是“若 x21 则 x1，或 x1” Ba，b 是两个命题，如果 a 是 b 的充
2、分条件，那么a 是b 的必要条件 C命题“x0R，使得 x02+x0+10”的否定是： “xR，均有 x2+x+10” D命题“若 ，则 sin sin ”的否命题为真命题 5 （5 分）已知 f（x）f（1）+xlnx，则 f（e）（ ） A1+e Be C2+e D3 6 （5 分）设抛物线 y24x 的焦点为 F，不过焦点的直线与抛物线交于 A（x1，y1） ，B（x2， y2）两点，与 y 轴交于点 C（异于坐标原点 O） ，则ACF 与BCF 的面积之比为（ ） A B C D 7 （5 分）已知定义在 R 上的函数 f（x）满足 f（4）f（2）1，f（x）为 f（x）的导 函数，
3、且导函数 yf（x）的图象如图所示则不等式 f（x）1 的解集是（ ） 第 2 页（共 21 页） A （2，0） B （2，4） C （0，4） D （，2）（4，+） 8 （5 分）函数 f（x）x3+x，xR，当时，f（msin）+f（1m）0 恒成立， 则实数 m 的取值范围是（ ） A （0，1） B （，0） C D （，1） 9 （5 分）直线与双曲线（a0，b0）的左支、右支分别交于 A，B 两点，F 为右焦点，若 ABBF，则该双曲线的离心率为（ ） A B C D2 10 （5 分）设函数 f（x）是定义在（，0）上的可导函数，其导函数为 f（x） ，且有 f （x）+xf
4、（x）0，则不等式（x+2014）f（x+2014）+2f（2）0 的解集为（ ） A （，2012） B （2012，0） C （，2016） D （2016，0） 11 （5 分）已知函数 f（x）kx，g（x）2lnx+2e（xe2） ，若 f（x）与 g（x）的图 象上分别存在点 M，N，使得 M，N 关于直线 ye 对称，则实数 k 的取值范围是（ ） A， B，2e C，2e D，+） 12 （5 分）已知当 x（1，+）时，关于 x 的方程有唯一实数解，则 k 值所在的范围是（ ） A （3，4） B （4，5） C （5，6） D （6，7） 二、填空二、填空 13 （5 分）
5、定义运算a1b2a2b1，则函数 f（x）的图象在点（1， ） 处的切线方程是 14 （5 分）复数 Z112i，|Z2|3，则|Z2Z1|的最大值是 15 （5 分）语文中有回文句，如： “上海自来水来自海上” ，倒过来读完全一样数学中也 有类似现象，如：88，454，7337，43534 等，无论从左往右读，还是从右往左读，都是 同一个数，称这样的数为“回文数” ！ 二位的回文数有 11，22，33，44，55，66，77，88，99，共 9 个； 第 3 页（共 21 页） 三位的回文数有 101，111，121，131，969，979，989，999，共 90 个； 四位的回文数有 1
6、001，1111，1221，9669，9779，9889，9999，共 90 个； 由此推测：11 位的回文数总共有 个 16 （5 分）已知函数 f（x），如果当 x0 时，若函数 f（x）的图象恒在直线 y kx 的下方，则 k 的取值范围是 三、解答题三、解答题 17 （10 分）已知 p：方程1 表示双曲线，q：2x29x+k0 在（2，3）内 恒成立若 pq 是真命题，求实数 k 的取值范围 18 （12 分）已知曲线 E 的极坐标方程为，倾斜角为 的直线 l 过点 P（2，2） （1）求 E 的直角坐标方程和直线 l 的参数方程； （2）设 l1，l2是过点 P 且关于直线 x2
7、对称的两条直线，l1与 E 交于 A，B 两点，l2与 E 交于 C，D 两点求证：|PA|：|PD|PC|：|PB| 19 （12 分）设函数 f（x）lnx+2x25x （1）求函数 f（x）的极小值； （2）若关于 x 的方程 f（x）2m1 在区间1，e上有唯一实数解，求实数 m 的取值范 围 20 （12 分）已知函数（m，nR）在 x1 处取到极值 2 （）求 f（x）的解析式； （）设函数，若对任意的 x11，1，总存在 x21，e（e 为自然对数 的底数） ，使得，求实数 a 的取值范围 21 （12 分）定圆 M：16，动圆 N 过点 F且与圆 M 相切，记圆 心 N 的轨迹
8、为 E （I）求轨迹 E 的方程； （）设点 A，B，C 在 E 上运动，A 与 B 关于原点对称，且|AC|CB|，当ABC 的面 积最小时，求直线 AB 的方程 22 （12 分）已知函数 f（x）（x1）e1 x （）求曲线 yf（x）在点（1，f（1） ）处的切线方程； 第 4 页（共 21 页） （）函数 f（x）与函数 yx24x+m（mR）的图象总有两个交点，设这两个交点的 横坐标分别为 x1，x2 （）求 m 的取值范围； （）求证：x1+x24 第 5 页（共 21 页） 2018-2019 学年江西省南昌二中高二（上）期末数学试卷（文科）学年江西省南昌二中高二（上）期末数学
9、试卷（文科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题一、选择题 1 （5 分）若复数 Z 满足（1+i）Z|3+4i|，则 Z 的实部为（ ） A B C D 【分析】把已知等式变形，求出分子的模，再利用复数代数形式的乘除运算化简得答案 【解答】解：由（1+i）Z|3+4i|，得， Z 的实部为 故选：D 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题 2 （5 分）若函数 yx3+log2x+e x，则 y（ ） Ax4+e x Bx4+e x C3x2+e x D3x2+e x 【分析】根据导数运算法则，计算即可 【解答】解：yx3+log2x+e x， y
10、3x2+e x 故选：C 【点评】本题主要考查了导数的运算法则，属于基础题 3 （5 分）直线 ykx+b 与曲线 yx3+ax+1 相切于点（2，3） ，则 b 的值为（ ） A3 B9 C15 D7 【分析】先根据曲线 yx3+ax+1 过点（2，3）求出 a 的值，然后求出 x2 处的导数求 出 k 的值，根据切线过点（2，3）求出 b 即可 【解答】解：yx3+ax+1 过点（2，3） ， a3，y3x23， ky|x23439， bykx39215， 第 6 页（共 21 页） 故选：C 【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，直线的斜率等有关基础知 识，考查运算求解能
11、力，属于基础题 4 （5 分）下列说法正确的是（ ） A “若 x21，则 x1，或 x1”的否定是“若 x21 则 x1，或 x1” Ba，b 是两个命题，如果 a 是 b 的充分条件，那么a 是b 的必要条件 C命题“x0R，使得 x02+x0+10”的否定是： “xR，均有 x2+x+10” D命题“若 ，则 sin sin ”的否命题为真命题 【分析】利用命题的否定判断 A 的正误；利用充要条件，判断 B 的正误；利用命题的否 定判断 C 的正误；利用否命题的真假判断 D 的正误 【解答】解： “若 x21，则 x1，或 x1”的否定是“若 x21 则 x1，且 x1” ， 所以 A
12、不正确； a，b 是两个命题，如果 a 是 b 的充分条件，那么a 是b 的必要条件，满足充要条件的 定义，所以 B 正确； 命题“x0R，使得 x02+x0+10”的否定是： “xR，均有 x2+x+10” ， 不满足命题的否定的定义，所以不正确； 命题“若 ，则 sinsin”的否命题为：若 ，则 sinsin， 反例，30，390时，sinsin，所以 D 不正确 故选：B 【点评】本题考查命题的真假的判断与应用，命题的否定以及四中命题的真假的判断， 基本知识的考查 5 （5 分）已知 f（x）f（1）+xlnx，则 f（e）（ ） A1+e Be C2+e D3 【分析】把给出的函数求
13、导得其导函数，在导函数解析式中取 x1 可求 f（1）的值， 再代值计算即可 【解答】解：由 f（x）f（1）+xlnx， 得：f（x）1+lnx， 取 x1 得：f（1）1+ln11 故 f（e）f（1）+elne1+e 故选：A 第 7 页（共 21 页） 【点评】本题考查了导数运算，解答此题的关键是理解原函数解析式中的 f（1） ，在这 里 f（1）只是一个常数，此题是基础题 6 （5 分）设抛物线 y24x 的焦点为 F，不过焦点的直线与抛物线交于 A（x1，y1） ，B（x2， y2）两点，与 y 轴交于点 C（异于坐标原点 O） ，则ACF 与BCF 的面积之比为（ ） A B C
14、 D 【分析】由题意画出图形，把三角形面积比转化为线段长度比，则答案可求 【解答】解：如图， ， 分别过 A 作 AMy 轴，过 B 作 BNy 轴， 则 AMx1，BNx2， 而AMCBNC， 故选：A 【点评】本题考查抛物线的简单性质，考查数形结合的解题思想方法和数学转化思想方 法，是中档题 7 （5 分）已知定义在 R 上的函数 f（x）满足 f（4）f（2）1，f（x）为 f（x）的导 第 8 页（共 21 页） 函数，且导函数 yf（x）的图象如图所示则不等式 f（x）1 的解集是（ ） A （2，0） B （2，4） C （0，4） D （，2）（4，+） 【分析】由函数 yf（x
15、）的图象，确定函数的单调性和单调区间，然后函数的单调性 即可求不等式的解集 【解答】解：由导函数 yf（x）的图象可知，当 x0 时，f（x）0，此时函数 f（x） 单调递增， 当 x0 时，f（x）0，此时函数 f（x）单调递减， 当 x0 时，函数 f（x）取得极小值，同时也是最小值， f（4）f（2）1， 不等式 f（x）1 的解为2x4， 即不等式 f（x）1 的解集为（2，4） ， 故选：B 【点评】本题主要考查不等式的解法，利用函数的单调性和导数之间的关系是解决本题 的关键 8 （5 分）函数 f（x）x3+x，xR，当时，f（msin）+f（1m）0 恒成立， 则实数 m 的取值
16、范围是（ ） A （0，1） B （，0） C D （，1） 【分析】 由 f （x） x3+x， 可知 f （x） 为奇函数， 增函数， 得出 msinm1， 根据 sin0， 1，即可求解 【解答】解：由 f（x）x3+x，f（x）为奇函数，增函数，f（msin）+f（1m） 0 恒成立， 即 f（msin）f（m1） ， msinm1，当时，sin0，1， 第 9 页（共 21 页） ，解得 m1， 故实数 m 的取值范围是（，1） ， 故选：D 【点评】本题考查了函数恒成立的问题及函数的奇偶性与单调性，难度较大，关键是先 判断函数的奇偶性与单调性 9 （5 分）直线与双曲线（a0，b0
17、）的左支、右支分别交于 A，B 两点，F 为右焦点，若 ABBF，则该双曲线的离心率为（ ） A B C D2 【分析】 联立， 得 xB， 由 F 为右焦点， ABBF， 得直线 BF： y （xc） ，联立，得 xB，从而，由此能求出 该双曲线的离心率 【解答】解：直线与双曲线（a0，b0）的左支、右支分别交于 A， B 两点， 联立，得 xB， F 为右焦点，ABBF，F（c，0） ，直线 BF：y（xc） ， 联立，得 xB， ，整理，得：， 第 10 页（共 21 页） 由 e1，解得该双曲线的离心率 e 故选：B 【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，考查直线、双曲线等基础知识，考
18、查运用求 解能力，考查函数与方程思想，是中档题 10 （5 分）设函数 f（x）是定义在（，0）上的可导函数，其导函数为 f（x） ，且有 f （x）+xf（x）0，则不等式（x+2014）f（x+2014）+2f（2）0 的解集为（ ） A （，2012） B （2012，0） C （，2016） D （2016，0） 【分析】令 g（x）xf（x） ，根据函数的单调性，问题转化为 g（x+2014）g（2） ， 求出不等式的解集即可 【解答】解：令 g（x）xf（x） ， 则 g（x）f（x）+xf（x）0， 则 g（x）在（，0）递减， 由（x+2014）f（x+2014）+2f（2）0
19、， 得 g（x+2014）g（2） ， 故 x+20142，解得：x2016， 故选：C 【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道基础题 11 （5 分）已知函数 f（x）kx，g（x）2lnx+2e（xe2） ，若 f（x）与 g（x）的图 象上分别存在点 M，N，使得 M，N 关于直线 ye 对称，则实数 k 的取值范围是（ ） A， B，2e C，2e D，+） 【分析】设 M（x，kx） ，则 N（x，2ekx） ，推导出 k，由此利用导数性质能 求出实数 k 的取值范围 【解答】解：函数 f（x）kx，g（x）2lnx+2e（xe2） ， f（x）与 g
20、（x）的图象上分别存在点 M，N，使得 M，N 关于直线 ye 对称， 设 M（x，kx） ，则 N（x，2ekx） ， 2ekx2lnx+2e，k， ，由 k0，得 xe， 第 11 页（共 21 页） xe2，x，e）时，k0，k是减函数； x（e，e2时，k0，是增函数， xe 时，k；xe2时，k；x时，k ， kmin，kmax2e 实数 k 的取值范围是，2e 故选：B 【点评】本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意函数性 质的合理运用 12 （5 分）已知当 x（1，+）时，关于 x 的方程有唯一实数解，则 k 值所在的范围是（ ） A （3，4） B （
21、4，5） C （5，6） D （6，7） 【分析】由方程，得 xlnx+（2k）xk，即 xlnx（k2）xk， 关于 x 的方程有唯一实数解，即函数 yxlnx 与 y（k2）xk 的 图象有唯一交点，求导研究 yxlnx 的图象形状，画出函数 yxlnx 与 y（k2）xk 的图象，直线 y（k2）xk 过定点 P（1，2） ，利用导数及函数的单调性求出过 P 与 yxlnx 相切的切点范围，求得切线斜率范围，则答案可求 【解答】解：由方程，得 xlnx+（2k）xk 即 xlnx（k2）xk， 关于 x 的方程有唯一实数解， 即函数 yxlnx 与 y（k2）xk 的图象有唯一交点， 由
22、 yxlnx，得 ylnx+1， 由 y0，得 x，由 y0，得 0x yxlnx 在（0，）上为减函数，在（ ，+）上为增函数 第 12 页（共 21 页） 画出函数 yxlnx 与 y（k2）xk 的图象如图： 直线 y （k2） xk 过定点 P （1， 2） ， 设过点 P 的直线与 yxlnx 相切于 （x0， x0lnx0） ， 则切线的斜率为 lnx0+1k2， 切线方程为 yx0lnx0（lnx0+1） （xx0） ， 把（1，2）代入，可得2x0lnx0（lnx0+1） （1x0）lnx0x0lnx0+1x0， 即 lnx0+3x00 令 g（x）lnx+3x，则 g（x）1
23、0（x1） ， g（x）lnx+3x 在（1，+）上为减函数， 由 g（4）0，g（5）0， x0（4，5） ， 则 k（ln4+3，ln5+3）（4，5） ， 故选：B 【点评】本题考查根的存在性与根的个数判断，考查数学转化思想方法与数形结合的解 题思想方法，是中档题 二、填空二、填空 13 （5 分）定义运算a1b2a2b1，则函数 f（x）的图象在点（1， ） 处的切线方程是 3x15y+20 第 13 页（共 21 页） 【分析】应用定义运算a1b2a2b1，化简函数的解析式，然后求解函数的导数， 得到切线的斜率，然后求解切线方程 【解答】解：定义运算a1b2a2b1，f（x）x3+x
24、x， f（x）x2，f（1）， 的图象在（1，）处的切线方程为：y（x1） ，即 3x15y+20 故答案为：3x15y+20 【点评】本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，考查计算能力 14 （5 分）复数 Z112i，|Z2|3，则|Z2Z1|的最大值是 3 【分析】根据复数模的几何意义，数形结合即可求出|Z2Z1|的最大值 【解答】解：根据题意，有|Z2|3， 则 Z2表示的点为距离原点距离为 3 的点， 即以原点为圆心，r3 的圆， 那么|Z2Z1|的几何意义为圆上的点与点（1，2）的距离， 设 A（1，2） ， 由点与圆的位置关系，分析可得|Z2Z1|的最大值是 OC+r， 即
25、3+， 故答案为 3+ 【点评】本题考查复数模的求法，考查复数模的几何意义，是基础题 第 14 页（共 21 页） 15 （5 分）语文中有回文句，如： “上海自来水来自海上” ，倒过来读完全一样数学中也 有类似现象，如：88，454，7337，43534 等，无论从左往右读，还是从右往左读，都是 同一个数，称这样的数为“回文数” ！ 二位的回文数有 11，22，33，44，55，66，77，88，99，共 9 个； 三位的回文数有 101，111，121，131，969，979，989，999，共 90 个； 四位的回文数有 1001，1111，1221，9669，9779，9889，999
26、9，共 90 个； 由此推测：11 位的回文数总共有 900000 个 【分析】先阅读理解题意，再归纳出奇数位与相邻后一位偶数位回文数有相等，第 2n+1 位的回文数有有 an个，则 an910n，得解 【解答】解：由题意知，二位的回文数有 11，22，33，44，55，66，77，88，99，共 9 个， 三位的回文数有 101，111，121，131，969，979，989，999，共 90 个， 四位的回文数有 1001，1111，1221，9669，9779，9889，9999，共 90 个， 五位的回文数有 101，111，121，131，969，979，989，999，共 900
27、个， 六位的回文数有 1001，1111，1221，9669，9779，9889，9999，共 900 个， 即奇数位与相邻后一位偶数位回文数有相等， 设第 2n+1 位的回文数有有 an个，则 an910n， 即 11 位的回文数总共有 9105900000 个， 故答案为：900000 【点评】本题考查了阅读理解能力及结合题意进行简单的合情推理，属中档题， 16 （5 分）已知函数 f（x），如果当 x0 时，若函数 f（x）的图象恒在直线 y kx 的下方，则 k 的取值范围是 ，+） 【分析】本题先观察两个函数都经过原点，再通过判断直线 ykx 可作为函数 f（x）在 原点处的切线来思
28、考，则只要算出函数 f（x）在原点处的斜率就可以判断出 k 的取值范 围 【解答】解：由题意，函数 f（x）的图象恒在直线 ykx 的下方， 又函数 f（x）和直线 ykx 都过原点， 函数 f（x）和直线 ykx 的图象如下： 第 15 页（共 21 页） 当直线 ykx 为函数 f（x）切线时，则函数 f（x）的图象在直线 ykx 下方，此时切点为 （0，0） 对 f（x）求导，得： f （x） 切点为（0，0） f（x）在原点处的斜率为 f （0）， f（x）在原点处的切线方程为 yx 结合图象，可知：k 故答案为：，+） 【点评】本题有一定的难度，要能联想到直线可以作为曲线的切线这一思
29、路才能找到答 案，本题较难的中档题 三、解答题三、解答题 17 （10 分）已知 p：方程1 表示双曲线，q：2x29x+k0 在（2，3）内 恒成立若 pq 是真命题，求实数 k 的取值范围 【分析】根据题意，分析 p、q 为真命题时 k 的取值范围，进而分析若 pq 是假命题， 则 P、q 都是假命题，求出 k 的取值范围，据此分析可得当 pq 是真命题时，k 的取值范 围，即可得答案 【解答】解：根据题意，p：方程1 表示双曲线，必有（10k） （k12） 0， 第 16 页（共 21 页） 解可得：10k12， q：2x29x+k0 在（2，3）内恒成立，则 k2x2+9x 在（2，3
30、）上恒成立， 则有 k9， 若 pq 是假命题， 则 p、 q 都是假命题， 则有， 此时 k 的取值范围为 （9， 1012，+） ， 反之：当 pq 是真命题时，则有 k9 或 10k12， 故 k 的取值范围为： （，9（10，12） 【点评】本题考查复合命题真假的判断，涉及双曲线的标准方程以及二次函数恒成立问 题，属于基础题 18 （12 分）已知曲线 E 的极坐标方程为，倾斜角为 的直线 l 过点 P（2，2） （1）求 E 的直角坐标方程和直线 l 的参数方程； （2）设 l1，l2是过点 P 且关于直线 x2 对称的两条直线，l1与 E 交于 A，B 两点，l2与 E 交于 C，
31、D 两点求证：|PA|：|PD|PC|：|PB| 【分析】 （1）由 2x2+y2，cosx，siny，能求出曲线的直角坐标方程；由三角 函数的关系求出直线 l 的参数方程即可； （2）利用韦达定理和弦长公式能求出|PA|PB|及|PC|PD|的值，从而证出结论 【解答】解： （1）E 的极坐标方程为， 2cos24sin， E：x24y（x0） ， 倾斜角为 的直线 l 过点 P（2，2） ， l：（t 为参数） （5 分） （2）l1，l2关于直线 x2 对称， l1，l2的倾斜角互补设 l1的倾斜角为 ，则 l2的倾斜角为 ， 把直线 l1：（t 为参数）代入 x24y 并整理得： t2
32、cos2+4（cossin）t40， 根据韦达定理，t1t2，即|PA|PB| （8 分） 第 17 页（共 21 页） 同理即|PC|PD| |PA|PB|PC|PD|， 即|PA|：|PD|PC|：|PB| （10 分） 【点评】本题考查曲线的极坐标方程化为直角坐标方程的应用，考查|PA|PB|及直线的倾 斜角 的值的求法，是中题，解题时要注意韦达定理和弦长公式的合理应用 19 （12 分）设函数 f（x）lnx+2x25x （1）求函数 f（x）的极小值； （2）若关于 x 的方程 f（x）2m1 在区间1，e上有唯一实数解，求实数 m 的取值范 围 【分析】 （1）求出函数的导数，解关
33、于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可； （2）根据函数的单调性得到 f（1）2m1f（e） ，得到关于 m 的不等式，解出即可 【解答】解： （1）依题意知 f（x）的定义域为（0，+） ， f（x）， 令 f（x）0，解得：x1 或 x， 当 0x或 x1 时，f（x）0， 当x1 时，f（x）0， 故 f（x）在（0，） ， （1，+）递增，在（，1）递减，（4 分） 所以函数 f（x）的极小值为 f（1）3（6 分） （2）由（1）得 f（x）在1，e递增， 所以要使方程 f（x）2m1 在区间1，e上有唯一实数解， 只需 f（1）2m1f（e）（10 分） 32m12e25e+1，
34、 1me2e+1， 故 m 的范围是1，e2e+1（12 分） 【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道综合题 20 （12 分）已知函数（m，nR）在 x1 处取到极值 2 （）求 f（x）的解析式； 第 18 页（共 21 页） （）设函数，若对任意的 x11，1，总存在 x21，e（e 为自然对数 的底数） ，使得，求实数 a 的取值范围 【分析】 （I）f（x），由题意可得：f（1）0，f（1） 2，解得 n，m （II）对任意的 x11，1，总存在 x21，e（e 为自然对数的底数） ，使得 ，x21，e，g（x2）minf（x1）min+，x11，1由
35、 f（x） ，x1，1可得 f（x）minf（1）.，x1，e，g （x）x1，e，对 a 分类讨论，即可得出最小值 【解答】解： （I）f（x）， 由题意可得：f（1）0，f（1）2， 解得 n1，m4 f（x） （II）对任意的 x11，1，总存在 x21，e（e 为自然对数的底数） ，使得 ， x21，e，g（x2）minf（x1）min+，x11，1 由 f（x），x1，1 可得 f（x）0，因此函数 f（x）单调递增，f（x）minf（1） 2 ，x1，e g（x） a1 时，g（x）0，此时函数 g（x）在 x1，e上单调递增，g（x）ming（1） a，由 a2+，a1，解得 a
36、1 ae 时，g（x）0，此时函数 g（x）在 x1，e上单调递减，g（x）ming（e） 第 19 页（共 21 页） 1+，由 1+2+，ae，解得 a 1ae 时，可得 xa 时，函数 g（x）取得极小值即最小值，g（a）lna+1lna+1 2+，1ae，解得 综上可得：实数 a 的取值范围是： 【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论方法、方程与不 等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题 21 （12 分）定圆 M：16，动圆 N 过点 F且与圆 M 相切，记圆 心 N 的轨迹为 E （I）求轨迹 E 的方程； （）设点 A，B，C 在 E 上运动，A
37、与 B 关于原点对称，且|AC|CB|，当ABC 的面 积最小时，求直线 AB 的方程 【分析】 （I）因为|NM|+|NF|4|FM|，所以点 N 的轨迹 E 为椭圆，且，所 以 b1，从而可求求轨迹 E 的方程； （）分类讨论，直线 AB 的方程为 ykx，代入椭圆方程，求出|OA|，|OC|，可得 SABC 2SOAC|OA|OC|，利用基本不等式求最值，即可求直线 AB 的方程 【解答】解： （）因为点在圆内，所以圆 N 内切于 圆 M，因为|NM|+|NF|4|FM|，所以点 N 的轨迹 E 为椭圆，且，所以 b 1，所以轨迹 E 的方程为（4 分） （） （i）当 AB 为长轴（或
38、短轴）时，依题意知，点 C 就是椭圆的上下顶点（或左右顶 点） ， 此时|AB|2（5 分） （ii）当直线 AB 的斜率存在且不为 0 时，设其斜率为 k，直线 AB 的方程为 ykx， 联立方程得， 所以|OA|2（7 分） 由|AC|CB|知，ABC 为等腰三角形，O 为 AB 的中点，OCAB，所以直线 OC 的方程 第 20 页（共 21 页） 为， 由解得，（9 分） SABC2SOAC|OA|OC|， 由于， 所以， （11 分） 当且仅当 1+4k2k2+4，即 k1 时等号成立，此时ABC 面积的最小值是， 因为，所以ABC 面积的最小值为，此时直线 AB 的方程为 yx 或
39、 yx （12 分） 【点评】本题考查椭圆方程，考查直线与圆锥曲线的综合问题，考查基本不等式的运用， 考查学生分析解决问题的能力，属于中档题 22 （12 分）已知函数 f（x）（x1）e1 x （）求曲线 yf（x）在点（1，f（1） ）处的切线方程； （）函数 f（x）与函数 yx24x+m（mR）的图象总有两个交点，设这两个交点的 横坐标分别为 x1，x2 （）求 m 的取值范围； （）求证：x1+x24 【分析】 （）根据导数的几何意义求得切线的斜率，再由点斜式得切线方程； （） （i）两个函数作差后构造新函数，由这个新函数的最大值大于 0 即可解得 m 的范 围； （ii）不放设 x
40、12x2，则 4x22 且函数 g（x）在（，2）上单调递增，欲证 x1+x2 4，只需证明 g（x1）g（4x2） ，而 g（x1）g（x2） ，所以，只需证明 g（x2）g （4x2） 然后作差构造函数证明最小值大于 0 即可 【解答】 （）解：由已知得， f（1）0，又f（1）1， 曲线 yf（x）在点（1，f（1） ）处的切线方程为：yx1 第 21 页（共 21 页） （）解法一：令 g（x）f（x）x2+4xm（x1）e1 xx2+4xm， g（x）（e1 x2） （x2） ， 由 g（x）0 得，x2；由 g（x）0 得，x2 易知，x2 为 g（x）极大值点， 又 x时 g（x
41、），当 x+时，g（x） 即函数 g（x）在 x2 时有负值存在，在 x2 时也有负值存在 由题意，只需满足， m 的取值范围是： 解法二：f（x）e1 x（x2） ， 由 f（x）0 得，x2；由 f（x）0 得，x2 易知，x2 为极大值点 而 yx24x+m（mR）在 x2 时取得极小值， 由题意，只需满足，解得 由题意知，x1，x2为函数 g（x）f（x）x2+4xm（x1）e1 xx2+4xm 的两 个零 点，由知，不妨设 x12x2，则 4x22，且函数 g（x）在（，2）上单调递增， 欲证 x1+x24 只需证明 g（x1）g（4x2） ，而 g（x1）g（x2） ， 所以，只需证明 g（x2）g（4x2） 令 H（x2）g（x2）g（4x2） （x22） ，则 x12，即 所以，H（x2）0，即 H（x2）在（2，+）上为增函数， 所以，H（x2）H（2）0，g（x2）g（4x2）成立 所以，x1+x24 【点评】本题考查了利用导数研究函数的最值，属难题
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