1、2018-2019 学年江西省鹰潭市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（每小题 5 分，共分，共 20 个小题，本题满分个小题，本题满分 60 分）分） 1 （5 分）命题“x0，x20”的否定是（ ） Ax0，x20 Bx0，x20 Cx00，x20 Dx00，x20 2 （5 分）已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图 1 和图 2 所示，为了解该地区中小 学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取 4%的学生进行调查，则样本容量和抽取的 高中生近视人数分别为（ ） A200，20 B400，40 C200，40 D400，20 3 （5 分）甲乙两艘轮船都要在某个泊位停靠 8 小时
2、，假定他们在一昼夜的时间段中随机地 到达，试求这两艘船中至少有一艘在停泊位时必须等待的概率（ ） A B C D 4 （5 分）下列双曲线中，焦点在 y 轴上且渐近线方程为 y的是（ ） Ay21 Bx21 Cx21 Dy21 5 （5 分）某工厂利用随机数表对生产的 700 个零件进行抽样测试，先将 700 个零件进行编 号，001，002，699，700从中抽取 70 个样本，如下提供随机数表的第 4 行到第 6 行，若从表中第 5 行第 6 列开始向右读取数据，则得到的第 6 个样本编号是（ ） 32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 1
3、2 23 43 56 77 35 78 90 56 42 84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 04 32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45 A623 B328 C253 D007 6 （5 分）根据如图框图，当输入 x 为 2019 时，输出的 y 为（ ） 第 2 页（共 25 页） A1 B2 C5 D10 7 （5 分）王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手” ，其从
4、军行传诵至今， “青 海长云暗雪山，孤城遥望玉门关黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还” ，由此推断，其中 最后一句“攻破楼兰”是“返回家乡”的（ ） A必要条件 B充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 8 （5 分）已知椭圆+1（ab0）的面积公式为 Sab，某同学需通过下面的随 机模拟实验估计 的值过椭圆 E：+1 的左右焦点 F1，F2分别作与 x 轴垂直 的直线与椭圆 E 交于 A， B， C， D 四点， 随机在椭圆 E 内撒 m 粒豆子， 设落入矩形 ABCD 内的豆子数为 n，则圆周率 的值约为（ ） A B C D 9 （5 分）已知动圆圆心 M 到直线 x3
5、 的距离比到 A（2，0）的距离大 1，则 M 的轨迹 方程为（ ） Ay24x B+1 第 3 页（共 25 页） Cy28x D+y21 10 （5 分）如图，长方体 ABCDA1B1C1D1中，AA1AB2，AD1，E、F、G 分别是 DC、AB、CC1的中点，则异面直线 A1E 与 GF 所成角的余弦值是（ ） A0 B C D 11 （5 分）如图所示，过抛物线 y22px（p0）的焦点 F 的直线 l，交抛物线于点 A，B交 其准线 l于点 C，若|BC|BF|，且|AF|，则此抛物线的方程为（ ） Ay2 By22x Cy2 Dy23x 12 （5 分） 已知椭圆和双
6、曲线有共同的焦点 F1， F2， P 是它们的一个交点， 且F1PF2， 记椭圆和双曲线的离心率分别为 e1，e2，则 e1e2的最小值为（ ） A3 B C D 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 5 分，共分，共 4 小题，满分小题，满分 20 分）分） 13 （5 分）已知命题 p：xR，x2+mx+10，若命题 p 的逆否命题为真命题，则实数 m 的 取值范围为 14 （5 分）如图给出了一个程序框图，其作用是输入 x 的值，输出相应的 y 值若要使输 入的 x 值与输出的 y 值满足关系式 y2x+4，则这样的 x 值有 个 第 4 页（共 25 页）
7、15 （5 分）如图，已知 F1，F2是双曲线 C：1（a0，b0）的左、右焦点， 若直线 y2与双曲线 C 交于 P，Q 两点，且四边形 PF1QF2是矩形，则双曲线的离 心率为 16 （5 分）设 P 是椭圆+1 上一点，M，N 分别是两圆： （x2）2+y21 和（x+2） 2+y2 上的点，则|PM|+|PN|的取值范围为 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 小题，小题，17 题题 10 分，分，18-22 题均为题均为 12 分，共计分，共计 70 分，解答时应写分，解答时应写 出解答过程或证明步骤）出解答过程或证明步骤） 17 （10 分）已知
8、命题 p：方程+1 表示焦点在 y 轴上的双曲线，命题 q：关于 x 的方程 x2+2mx+m+60 无实根， （1）若命题 p 为真命题，求实数 m 的取值范围； （2）若“pq”为假命题， “pq”为真命题，求实数 m 的取值范围 18 （12 分）某城市交通部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了 100 人就该城市 共享单车的推行情况进行问卷调查，并将问卷中的这 100 人根据其满意度评分值（百分 第 5 页（共 25 页） 制）按照50，60） ，60，70） ，90，100分成 5 组，制成如图所示频率分直方图 （1）求图中 x 的值； （2）求这组数据的平均数和中位数； （3
9、）已知满意度评分值在50，60）内的男生数与女生数的比为 3：2，若在满意度评分 值为50，60）的人中随机抽取 2 人进行座谈，求 2 人均为男生的概率 19 （12 分）如图，三棱柱 ABCA1B1C1的所有棱长都是 2，AA1平面 ABC，D，E 分别 是 AC，CC1的中点 （1）求证：面 AEB面 A1BD； （2）求二面角 DBEA1的余弦值 20 （12 分）在ABC 中，D，E 分别为 AB，AC 的中点，AB2BC2CD，以 DE 为折痕 将ADE 折起，使点 A 到达点 P 的位置，如图 （1）证明：DE平面 PBC； （2）若平面 DEP平面 BCED，求直线 DC 与平
10、面 BCP 所成角的正弦值 21 （12 分）已知抛物线 C：y22px 过点 A（1，2） 第 6 页（共 25 页） （1）求抛物线 C 的方程； （2） 求过点 P （3， 2） 的直线与抛物线 C 交于 M， N 两个不同的点 （均与点 A 不重合） 设 直线 AM，AN 的斜率分别为 k1，k2，求证：k1k2为定值 22 （12 分）已知椭圆 C 的方程为+1（ab0） ，F1，F2为椭圆 C 的左右焦点， 离心率为，短轴长为 2 （1）求椭圆 C 的方程； （2）如图，椭圆 C 的内接平行四边形 ABCD 的一组对边分别过椭圆的焦点 F1、F2，求 该平行四边形 ABCD 面积的
11、最大值 第 7 页（共 25 页） 2018-2019 学年江西省鹰潭市高二（上）期末数学试卷（理科）学年江西省鹰潭市高二（上）期末数学试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 5 分，共分，共 20 个小题，本题满分个小题，本题满分 60 分）分） 1 （5 分）命题“x0，x20”的否定是（ ） Ax0，x20 Bx0，x20 Cx00，x20 Dx00，x20 【分析】利用全称命题的否定是特称命题，去判断 【解答】解：因为命题是全称命题，根据全称命题的否定是特称命题， 所以命题的否定x00，x20， 故选：D 【点评】本题主要考查全称命题的
12、否定，要求掌握全称命题的否定是特称命题 2 （5 分）已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图 1 和图 2 所示，为了解该地区中小 学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取 4%的学生进行调查，则样本容量和抽取的 高中生近视人数分别为（ ） A200，20 B400，40 C200，40 D400，20 【分析】由扇形图能得到总数，利用抽样比能求出样本容量；由分层抽样和条形图能求 出抽取的高中生近视人数 【解答】解：用分层抽样的方法抽取 4%的学生进行调查， 样本容量为： （3500+4500+2000）4%400， 抽取的高中生近视人数为：20004%50%40 故选：B 【点评】本题考查
13、样本容量和抽取的高中生近视人数的求法，考查扇形图、条形图、分 层抽样等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结 合思想，是基础题 3 （5 分）甲乙两艘轮船都要在某个泊位停靠 8 小时，假定他们在一昼夜的时间段中随机地 第 8 页（共 25 页） 到达，试求这两艘船中至少有一艘在停泊位时必须等待的概率（ ） A B C D 【分析】先利用线性规划作出平面区域，再结合几何概型中的面积型求概率即可 【解答】解：设甲到达的时刻为 x，乙到达的时刻为 y，则所有的基本事件构成的区域为： ， 这两艘船中至少有一艘在停泊位时必须等待包含的基本事件构成的区域为 A（x，y） |，
14、 这两艘船中至少有一艘在停泊位时必须等待的概率为 P（A）1， 故选：C 【点评】本题考查了线性规划及几何概型中的面积型求概率，属中档题 4 （5 分）下列双曲线中，焦点在 y 轴上且渐近线方程为 y的是（ ） Ay21 Bx21 Cx21 Dy21 【分析】根据题意，依次分析选项，分析选项中双曲线的焦点的位置与渐近线方程，即 可得答案 【解答】解：根据题意，依次分析选项： 对于 A，双曲线y21，其焦点在 x 轴上，不合题意； 第 9 页（共 25 页） 对于 C，双曲线 x21，其焦点在 x 轴上，不合题意； 对于 B，双曲线x21，其焦点在 y 轴上，其渐近线方程为：y3x，
15、不符合题意； 对于 D，双曲线 y21，焦点在 y 轴上且渐近线方程为 yx，符合题意； 故选：D 【点评】本题考查双曲线的标准方程，涉及双曲线的渐近线的求法，关键是掌握双曲线 的标准方程的形式 5 （5 分）某工厂利用随机数表对生产的 700 个零件进行抽样测试，先将 700 个零件进行编 号，001，002，699，700从中抽取 70 个样本，如下提供随机数表的第 4 行到第 6 行，若从表中第 5 行第 6 列开始向右读取数据，则得到的第 6 个样本编号是（ ） 32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56
16、 77 35 78 90 56 42 84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 04 32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45 A623 B328 C253 D007 【分析】从表中第 5 行第 6 列开始向右读取数据，求出得到的前 6 个编号，由此能滶出 结果 【解答】解：从表中第 5 行第 6 列开始向右读取数据， 得到的前 6 个编号分别是：253，313，457，007，328，
17、623， 则得到的第 6 个样本编号是 623 故选：A 【点评】本题考查样本编号的求法，考查系统抽样的性质等基础知识，考查运算求解能 力，考查函数与方程思想，是基础题 6 （5 分）根据如图框图，当输入 x 为 2019 时，输出的 y 为（ ） 第 10 页（共 25 页） A1 B2 C5 D10 【分析】根据程序框图，利用模拟验算法进行求解即可 【解答】解：20193673， 经过 673 次循环后 x0，满足条件x0， 则 x033，此时 x0 不成立，输出 yx2+19+110， 故选：D 【点评】本题主要考查程序框图的识别和判断，利用模拟运算法是解决本题的关键 7 （5 分）王昌
18、龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手” ，其从军行传诵至今， “青 海长云暗雪山，孤城遥望玉门关黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还” ，由此推断，其中 最后一句“攻破楼兰”是“返回家乡”的（ ） A必要条件 B充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】先阅读理解题意，再利用充分必要条件判断即可得解 【解答】解：由题意可知： “返回家乡”则可推出“攻破楼兰” ， 故“攻破楼兰”是“返回家乡”必要条件， 故选：A 【点评】本题考查了充分必要条件及阅读理解能力，属简单题 第 11 页（共 25 页） 8 （5 分）已知椭圆+1（ab0）的面积公式为 Sab，某同学需通过下
19、面的随 机模拟实验估计 的值过椭圆 E：+1 的左右焦点 F1，F2分别作与 x 轴垂直 的直线与椭圆 E 交于 A， B， C， D 四点， 随机在椭圆 E 内撒 m 粒豆子， 设落入矩形 ABCD 内的豆子数为 n，则圆周率 的值约为（ ） A B C D 【分析】由随机模拟实验再结合几何概型中的面积型可得：，又易得 S矩 形ABCD，S椭圆3，则可得解 【解答】解：由椭圆 E：+1 的方程可得：a3，b， 易求得 A（2，） ，即 S矩形ABCD，S椭圆3， 由随机模拟实验结合几何概型中的面积型可得： ， 解得：， 故选：C 【点评】本题考查了几何概型中的面积型及椭圆的面积公式，属简单题
20、 9 （5 分）已知动圆圆心 M 到直线 x3 的距离比到 A（2，0）的距离大 1，则 M 的轨迹 方程为（ ） 第 12 页（共 25 页） Ay24x B+1 Cy28x D+y21 【分析】由题意得，点 P 到直线 x2 的距离和它到点（2，0）的距离相等，故点 P 的 轨迹是以点（2，0）为焦点，以直线 x2 为准线的抛物线，p4，写出抛物线的方程 【解答】解：动圆圆心 M 到直线 x3 的距离比到 A（2，0）的距离大 1， 点 M 到直线 x2 的距离和它到点（2，0）的距离相等， 故点 M 的轨迹是以点（2，0）为焦点，以直线 x2 为准线的抛物线， 即
21、 p4，则点 P 的轨迹方程为 y28x， 故选：C 【点评】本题考查抛物线的定义，抛物线的标准方程，判断点 P 的轨迹是以点（2，0） 为焦点，以直线 y2 为准线的抛物线，是解题的关键 10 （5 分）如图，长方体 ABCDA1B1C1D1中，AA1AB2，AD1，E、F、G 分别是 DC、AB、CC1的中点，则异面直线 A1E 与 GF 所成角的余弦值是（ ） A0 B C D 【分析】以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DD1为 z 轴，建立空间直角坐标系，利 用向量法能求出异面直线 A1E 与 GF 所成角的余弦值 【解答】解：以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC
22、为 y 轴，DD1为 z 轴，建立空间直角坐标系， 长方体 ABCDA1B1C1D1中，AA1AB2，AD1，E、F、G 分别是 DC、AB、CC1 的中点， A1（1，0，2） ，E（0，0，1） ，G（0，2，1） ， F（1，1，0） ， ，（1，1，1） ， 第 13 页（共 25 页） 设异面直线 A1E 与 GF 所成角为 ， 则 cos0， 异面直线 A1E 与 GF 所成角的余弦值为 0 故选：A 【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的 位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 11 （5 分）如图所示，过抛物线 y22p
23、x（p0）的焦点 F 的直线 l，交抛物线于点 A，B交 其准线 l于点 C，若|BC|BF|，且|AF|，则此抛物线的方程为（ ） Ay2 By22x Cy2 Dy23x 【分析】设直线 l 的倾斜角为 ，结合抛物线的定义计算出，可得出 直线 l 的倾斜角，再利用焦半径公式可计算出 p 的值，从而可求 出抛物线的方程 【解答】解：如下图所示， 第 14 页（共 25 页） 过点 B 作 BDl，垂足为点 D，由抛物线的定义可知，|BF|BD|，设直线 l'的倾斜角 为 ， 则，则 所以，得 因此，抛物线的方程为 故选：A 【点评】本题考查直线与抛物线的综合，考查抛物线的定义，解决本题
24、的关键在于焦半 径公式的应用，考查计算能力，属于中等题 12 （5 分） 已知椭圆和双曲线有共同的焦点 F1， F2， P 是它们的一个交点， 且F1PF2， 记椭圆和双曲线的离心率分别为 e1，e2，则 e1e2的最小值为（ ） A3 B C D 【分析】设出椭圆与双曲线的标准方程分别为：（ab0） ， （a10，b10） ，利用定义可得：m+n2a，mn2a1，解出 m，n利用余弦定理可 得关于 e1，e2的等式，再由基本不等式求得当 e1e2取最小值时，e1，e2的值 【解答】解：不妨设椭圆与双曲线的标准方程分别为：（ab0） ， （a10，b10） ， 设|PF1|m，|PF2|nmn
25、 第 15 页（共 25 页） 则 m+n2a，mn2a1， ma+a1，naa1 cos， 化为： （a+a1）2+（aa1）24c2（a+a1） （aa1） a2+3a124c20， +4， 42，则，即 e1e2，当且仅当 e1，e2时取 等号 故选：D 【点评】本题考查了椭圆与双曲线的定义标准方程及其性质、余弦定理、基本不等式的 性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 5 分，共分，共 4 小题，满分小题，满分 20 分）分） 13 （5 分）已知命题 p：xR，x2+mx+10，若命题 p 的逆否命题为真命题，则实数 m 的 取值范围为 （2，
26、2） 【分析】直接利用原命题和逆否命题的等价性判断真假，进一步利用判别式求出结果 【解答】解：由于命题 p 的逆否命题为真命题， 则：原命题为真命题， 故：命题 p：xR，x2+mx+10，为真命题， 则：m240， 解得：2m2， 故：m 的取值范围是（2，2） 故答案为： （2，2） 【点评】本题考查的知识要点：四个命题的应用，等价命题的应用，主要考查学生的运 算能力和转化能力，属于基础题型 14 （5 分）如图给出了一个程序框图，其作用是输入 x 的值，输出相应的 y 值若要使输 入的 x 值与输出的 y 值满足关系式 y2x+4，则这样的 x 值有 2 个 第 16 页（共 25 页）
27、 【分析】根据程序框图，转化为分段函数，结合分段函数的解析式，解方程即可 【解答】解：程序框图对应分段函数为 y， 当 x2 时，由 x22x+4，得 x2+2x40，得 x1+， 或 x1， 若 2x5 时，由2x42x+4 得44 不成立， 当 x5 时，由2x+4，得 2x24x+10 得 x5，此时 x 无解， 综上满足条件的 x 有 2 个， 故答案为：2 【点评】本题主要考查程序框图的识别和判断，利用模拟运算转化为分段函数是解决本 题的关键 15 （5 分）如图，已知 F1，F2是双曲线 C：1（a0，b0）的左、右焦点， 若直线 y2与双曲线 C 交于 P，Q 两点，且四边形 P
28、F1QF2是矩形，则双曲线的离 心率为 + 第 17 页（共 25 页） 【分析】由题意，矩形的对角线长相等，由此建立方程，找出 a，c 的关系，即可求出双 曲线的离心率 【解答】解：由题意，矩形的对角线长相等，即|PQ|4c2， y2x 代入双曲线方程，可得 x，y2， c2， 9a2b2（b28a2）c2， 9a2（c2a2）（c29a2）c2， 由 e可得 e418e2+90， e1，e29+6， e+ 故答案为：+ 【点评】本题考查双曲线的离心率，考查矩形的性质，确定 a，c 的关系是关键，属于中 档题 16 （5 分）设 P 是椭圆+1 上一点，M，N 分别是两圆： （x2）2+y2
29、1 和（x+2） 2+y2 上的点，则|PM|+|PN|的取值范围为 【分析】圆外一点 P 到圆上所有点中距离最大值为|PC|+r，最小值为|PC|r，其中 C 为 第 18 页（共 25 页） 圆心，r 为半径，故只要连结椭圆上的点 P 与两圆心 M，N，直线 PM，PN 与两圆各交于 两处取得最值，最大值为|PM|+|PN|+两圆半径之和，最小值为|PM|+|PN|两圆半径之和 【解答】解：两圆圆心 M（2，0） ，N（2，0）恰好是椭圆+1 的焦点， |PF1|+|PF2|12，两圆半径分别为：1， （|PM|+|PN|）min|PF1|+|PF2|1121 （|PM|+|P
30、N|）max|PF1|+|PF2|+12+1+ 则|PM|+|PN|的取值范围为： 故答案为： 【点评】本题考查线段和的最大值和最小值的求法，是中档题，解题时要注意椭圆的定 义和圆的性质的合理运用 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 小题，小题，17 题题 10 分，分，18-22 题均为题均为 12 分，共计分，共计 70 分，解答时应写分，解答时应写 出解答过程或证明步骤）出解答过程或证明步骤） 17 （10 分）已知命题 p：方程+1 表示焦点在 y 轴上的双曲线，命题 q：关于 x 的方程 x2+2mx+m+60 无实根， （1）若命题 p 为真命题，求实数 m 的取值范围；
31、 （2）若“pq”为假命题， “pq”为真命题，求实数 m 的取值范围 【分析】 （1）由双曲线的性质得：所以，即 m1， （2）由复合命题的真假得：因为“pq”为假命题， “pq”为真命题，即命题 p，命题 q 一真一假，即或，运算可得解 第 19 页（共 25 页） 【解答】解： （1）因为方程+1 表示焦点在 y 轴上的双曲线， 所以， 即 m1， 即若命题 p 为真命题，实数 m 的取值范围： （，1） ， （2）当 q 为真时，即关于 x 的方程 x2+2mx+m+60 无实根， 则（2m）24（m+6）0， 解得：2m3， 又“pq”为假命题， “pq”为真命题， 即命题 p，命题
32、 q 一真一假， 即或， 解得：m2 或1x3 【点评】本题考查了双曲线的性质、复合命题的真假，属简单题 18 （12 分）某城市交通部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了 100 人就该城市 共享单车的推行情况进行问卷调查，并将问卷中的这 100 人根据其满意度评分值（百分 制）按照50，60） ，60，70） ，90，100分成 5 组，制成如图所示频率分直方图 （1）求图中 x 的值； （2）求这组数据的平均数和中位数； （3）已知满意度评分值在50，60）内的男生数与女生数的比为 3：2，若在满意度评分 值为50，60）的人中随机抽取 2 人进行座谈，求 2 人均为男生的概率 【
33、分析】 （1）由频率分布直方图的性质列方程能求出 x 第 20 页（共 25 页） （2）由频率分布直方图能求出这组数据的平均数和中位数 （3）满意度评分值在50，60）内有 5 人，其中男生 3 人，女生 2 人记为 A1，A2，A3， B1，B2，记“满意度评分值为50，60）的人中随机抽取 2 人进行座谈，恰有 1 名女生” 为事件 A，利用列举法能求出 2 人均为男生的概率 【解答】解： （1）由 0.005+0.01+0.035+0.030+x）101， 解得 x0.02（3 分） （2）这组数据的平均数为 550.05+650.2+750.35+850.3+950.177 （6 分
34、） 中位数设为 m，则 0.05+0.2+（m70）0.0350.5， 解得（9 分） （3）满意度评分值在50，60）内有 1000.005105 人， 其中男生 3 人，女生 2 人记为 A1，A2，A3，B1，B2， （10 分） 记“满意度评分值为50，60）的人中随机抽取 2 人进行座谈，2 人均为男生”为事件 A 总基本事件个数为 n10 个， A 包含的基本事件个数为 3 个，分别为： （A1，A2） ， （A1，A3） ， （A2，A3） ，（11 分） 利用古典概型概率公式可知 2 人均为男生的概率 P（A）（12 分） 【点评】本题考查频率平均数、中位数、概率的
35、求法，考查频率分布直方图的性质、列 举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题 19 （12 分）如图，三棱柱 ABCA1B1C1的所有棱长都是 2，AA1平面 ABC，D，E 分别 是 AC，CC1的中点 （1）求证：面 AEB面 A1BD； （2）求二面角 DBEA1的余弦值 第 21 页（共 25 页） 【分析】 （1）推导出 BDAC，BDAE，A1ADACE，A1DAE，从而 AE平面 A1BD，由此能证明面 AEB面 A1BD （2）取 A1C1中点 F，以 DF，DA，DB 为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，求出平面 DBE 的一个法向量和平面 A1BE 的一个法向量，利用向
36、量法能求出二面角 DBEA1的余弦 值 【解答】证明： （1）ABBCCA，D 是 AC 的中点，BDAC， AA1平面 ABC，平面 AA1C1C平面 ABC， BD平面 AA1C1C，BDAE 又在正方形 AA1C1C 中，D，E 分别是 AC，CC1的中点， 易证得A1ADACE A1DAAEC，AEC+CAE90，A1DA+CAE90， 即 A1DAE 又 A1DBDD，AE平面 A1BD 又 AE面 AEB，则面 AEB面 A1BD 解： （2）取 A1C1中点 F，以 DF，DA，DB 为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系， D（0，0，0） ，E（1，1，0） ，A1（2，1，0
37、） ， （1，1，0） ，（1，1，） ，（2，1， ） ， 设平面 DBE 的一个法向量为 （x，y，z） ， 则，令 x1，则 （1，1，0） ， 设平面 A1BE 的一个法向量为 （a，b，c） ， 第 22 页（共 25 页） 则，令 b1，则 （2，1，） ， 设二面角 DBEA1的平面角为 ，观察可知 为锐角， cos， 故二面角 DBEA1的余弦值为 【点评】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线 面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 20 （12 分）在ABC 中，D，E 分别为 AB，AC 的中点，AB2BC2CD，以 DE
38、 为折痕 将ADE 折起，使点 A 到达点 P 的位置，如图 （1）证明：DE平面 PBC； （2）若平面 DEP平面 BCED，求直线 DC 与平面 BCP 所成角的正弦值 【分析】 （1）推导出 DEBC，由此能证明 DE平面 PBC （2）推导出 EP平面 BCED，从而 EPCE，以 E 为坐标原点，分别以，的 方向为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线 DC 与平 面 BCP 所成角的正弦值 【解答】证明： （1）D，E 分别为 AB，AC 的中点， DEBC，又 BC平面 PBC，DE平面 PBC， 第 23 页（共 25 页） DE平面 PBC
39、（4 分） 解： （2）平面 DEP平面 BCED，平面 DEP平面 BCEDDE， EP平面 DEP，EPDE EP平面 BCED又因为 CE平面 BCED，所以 EPCE （6 分） 以 E 为坐标原点，分别以，的方向为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立如图所示 的空间直角坐标系 在题图 1 中，设 BC2a，则 AB4a，DEa 则，D（a，0，0） ， （a，0） ， （8 分） 设 （x，y，z）为平面 BCP 的法向量， 则，即令 y1，则 z1 （0，1，1） （10 分） 设 DC 与平面 BCP 所成的角为 ， 则 sin|cos| 直线 DC 与平面 BCP 所成角的正弦
40、值为 （12 分） 【点评】本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线 面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题 21 （12 分）已知抛物线 C：y22px 过点 A（1，2） （1）求抛物线 C 的方程； （2） 求过点 P （3， 2） 的直线与抛物线 C 交于 M， N 两个不同的点 （均与点 A 不重合） 设 第 24 页（共 25 页） 直线 AM，AN 的斜率分别为 k1，k2，求证：k1k2为定值 【分析】 （1）由抛物线仅供的点，可得 p，可求抛物线的标准方程； （2）设过点 Q（3，2）的
41、直线 l 的方程为 x3t（y+2） ，代入 y2x 利用韦达定理， 结合斜率公式，化简，即可求 k1k2的值 【解答】解： （1）抛物线 C：y22px 过点 A（1，2） 得 2p4，所以抛物线方程为 y24x（4 分） （2）设 M（x1，y1） ，N（x2，y2） ，直线 MN 的方程为 x3t（y+2） ， 代入抛物线方程得 y24ty8t120 所以16t2+32t+480，y1+y24t，y1y28t12 （6 分） 所以 k1k2 2 所以 k1k2为定值2 （12 分） 【点评】本题考查抛物线方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用， 考查学生的计算能
42、力，属于中档题 22 （12 分）已知椭圆 C 的方程为+1（ab0） ，F1，F2为椭圆 C 的左右焦点， 离心率为，短轴长为 2 （1）求椭圆 C 的方程； （2）如图，椭圆 C 的内接平行四边形 ABCD 的一组对边分别过椭圆的焦点 F1、F2，求 该平行四边形 ABCD 面积的最大值 【分析】 （1）由已知依题意得 2b2，e，解得 a，bc1，能求出椭圆 第 25 页（共 25 页） C 的标准方程 （2）当直线 AD 的斜率不存在时，平行四边形 ABCD 的面积 S2当直线 AD 的存 在时，设其方程为 yk（x1） ，设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，由此利用韦达定理求
43、出平 行四边形 ABCD 的面积 S2，由此求出符合条件的平行四边形 ABCD 的面积的最大 值为 2 【解答】解： （1）依题意得 2b2，e，解得 a，bc1，所以椭圆 C 的 方程为+y21 （2）当 AD 所在直线与 x 轴垂直时，则 AD 所在直线方程为 x1，联立+y21，解 得 y，此时平行四边形 ABCD 的面积 S2； 当 AD 所在的直线斜率存在时，设直线方程为 yk（x1） ，联立+y21，消去 y 整 理，得： （1+2k2）x24k2x+2k220，设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 则x1+x2，x1x2， 则 |AD| ，两条平行线间的距离 d， 则平行四边形 ABCD 的面积 S4， 令 t1+2k2，t1， 则 S422，（0，1） ，开口向下，关 于单调递减，则 S（0，2） ， 综上所述，平行四边形 ABCD 的面积的最大值为 2 【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查平行四边形面积的最大值的求法，解题时要认 真审题，注意分类讨论思想的合理运用
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