1、2018-2019 学年江西省吉安市高二（下）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的. 1 （5 分）设命题 p：xR，ex+sin（3x）0，则p 为（ ） AxR，ex+sin（3x）0 BxR，ex+sin（3x）o Cx0R，e+sin（3x0）0 Dx0R，e+sin（3x0）0 2 （5 分）复数 z（23i） （1+2i）在复平面内对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三
2、象限 D第四象限 3 （5 分）将两个随机变量 x，y 之间的相关数据统计如表所示： x 8 4 2 4 8 y 11 6 2 1 2 根据上述数据，得到的回归直线方程为，则可以判断（ ） A 0， 0 B 0， 0 C 0， 0 D 0， 0 4 （5 分）曲线 y（2x+1）2+lnx 在点（1，m）处的切线方程为（ ） Ay13x4 By7x+2 Cy11x4 Dy5x+4 5 （5 分）设 alog410，blog827，c，则实数 a，b，c 的大小关系为（ ） Abca Babc Cbac Dacb 6 （5 分）执行如图所示的程序框图，若输入的 a2，输出的 S20，那么判断框内
3、的条 件可以为（ ） Ak4？ Bk5？ Ck6？ Dk7？ 第 2 页（共 19 页） 7 （5 分）设集合 Ax|yln（3x9），By|yx+，x0则（RA）B（ ） A，+） B3，+） C，3） D，3 8 （5 分）若定义域为 R 的函数 f（x）满足 f（x） f（x+7）1，且当 xo，7）时，f（x） 则 f（1500）（ ） A B C2 D2 9 （5 分）已知命题 p： “0”是“4m4n”的充要条件；命题 q： “函数 f（x） x2ax+3 在2，+）上单调递减”的一个必要不充分条件是“a5” 则下列命题为 真命题的是（ ） Ap（q） B （p）（q）
4、 C （p）q Dpq 10 （5 分）设函数 f（x）（e 为自然对数的底数）在（，2）上单调递增，则 实数 m 的取值范围为（ ） A （，0） B （，） C （， D （，0 11 （5 分）对于一个数的三次方，我们可以分解为若干个数字的和如下所示： 131， 233+5， 337+9+11， 4313+15+17+19， 根据上述规律，173的分解式中，等号右边的所有数的个位数之和为（ ） A71 B75 C83 D88 12 （5 分）若 aln，be 1，c （e 为自然对数的底数） ，则实数 a，b，c 的大小关系为（ ） Abac Bcab Ccba Dbca 二、二、填空题
5、：本大题共填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）已知命题 p： “若 x26x160，则 x2 或 x8” ，则命题 p 的逆否命题为 14 （5 分）若函数 f（x）的图象关于原点对称，则 m+n 15 （5 分）在 1，2，3，80 这八十个数中，随机抽取一个数作为数 a，将 a 分别除以 3， 第 3 页（共 19 页） 5，7 后所得余数按顺序拼凑成一个具有三位数字的数 b，例如，a22 时，b121；a 33 时，b035若 b140，则 a 16 （5 分）已知
6、函数 f（x），若函数 f（x）仅有 2 个零点，则实 数 m 的取值范围为 三、解答题：共三、解答题：共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 17 题题21 题为必考题为必考 题，每个试题考生都必须作答，第题，每个试题考生都必须作答，第 22-23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题： 共共 60 分分 17 （12 分）已知集合 Ax|0，Bx|2m1xm5） ，其中 mR （）若 m7，求 AB； （）若 ABB，求实数 m 的取值范围 18 （12 分）为了调查观
7、众对电影“复仇者联盟 4”结局的满意程度，研究人员在某电影院 随机抽取了 1000 名观众作调查，所得结果如下所示，其中不喜欢“复仇者联盟 4”的结 局的观众占被调查观众总数的高 男性观众 女性观众 总计 喜欢“复仇者联盟 4”的结局 400 不喜欢“复仇者联盟 4”的结局 200 总计 （）完善上述 22 列联表； （）是否有 99.9%的把握认为观众对电影“复仇者联盟 4”结局的满意程度与性别具有 相关性？ 附：， P（K2k）
8、0.100 0.050 0.010 0.001 k 2.706 3.841 6.635 10.828 19 （12 分）完成下列证明： （）求证：|x2y|； （）若 m，求证： 第 4 页（共 19 页） 20 （12 分）已知函数 f（x）In+cosx|x| （）求证：函数 f（x）在0，+）上单调递减； （）若 f（2x3）+1+ln（2+32）0，求 x 的取值范围 21 （12 分）已知函数 f（x）exmx3（e 为自然对数的底数） （）若函数 f（x）有 2 个零点，求实数 m 的取值范围； （）若 m0，关于 x 的不等式 f（x）+1m（xx3）在（，1）上恒成立，求实 数
9、 m 的取值范围 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分.请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第 一题计分一题计分选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为， （0 为参数在 以原点 O 为极点，为参数） 在以原点 O 为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直 线 l 的极坐标方程为 （）求曲线 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程； （）设 A（2，1） ，直线 l 与曲线 C 交于 M，N 两点，求|AM|AN|的值 选修选修
10、4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 f（x）|2x+3|x2| （）求不等式 f（x）3 的解集； （）若关于 x 的不等式 f（x）m|3x6|在 R 上恒成立，求实数 m 的取值范围， 第 5 页（共 19 页） 2018-2019 学年江西省吉安市高二（下）期末数学试卷（文科）学年江西省吉安市高二（下）期末数学试卷（文科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的. 1 （5 分
11、）设命题 p：xR，ex+sin（3x）0，则p 为（ ） AxR，ex+sin（3x）0 BxR，ex+sin（3x）o Cx0R，e+sin（3x0）0 Dx0R，e+sin（3x0）0 【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可 【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以：命题 p：xR，ex+sin（3x） 0，则p：x0R，e+sin（3x0）0 故选：D 【点评】本题考查命题的否定特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查 2 （5 分）复数 z（23i） （1+2i）在复平面内对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象
12、限 D第四象限 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案 【解答】解：z（23i） （1+2i）2+4i3i+68+i， 故复数 z（23i） （1+2i）在复平面内对应的点的坐标为（8，1） ，位于第一象限 故选：A 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是 基础题 3 （5 分）将两个随机变量 x，y 之间的相关数据统计如表所示： x 8 4 2 4 8 y 11 6 2 1 2 根据上述数据，得到的回归直线方程为，则可以判断（ ） 第 6 页（共 19 页） A 0， 0 B 0， 0 C 0， 0 D 0， 0 【分析】由已知求得，进一步求得
13、 与 的值得答案 【解答】解：， ， 0.780，0 故选：C 【点评】本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是基础题 4 （5 分）曲线 y（2x+1）2+lnx 在点（1，m）处的切线方程为（ ） Ay13x4 By7x+2 Cy11x4 Dy5x+4 【分析】求得函数 y 的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得所求切线方程 【解答】解：y（2x+1）2+lnx 的导数为 y4（2x+1）+， 可得 x1 处的切线斜率为 13，切点为（1，9） ， 可得切线方程为 y913（x1） ， 即为 y13x4 故选：A 【点评】本题考查导数的运用：求切线方程，考查直线方程
14、的运用，以及运算能力，属 于基础题 5 （5 分）设 alog410，blog827，c，则实数 a，b，c 的大小关系为（ ） Abca Babc Cbac Dacb 【分析】根据换底公式可以得出，从而得出 ab，而可以得出 c2，a2，从而可得出 a，b，c 的大小关系 【解答】解：，blog827log23； ab； 又； 第 7 页（共 19 页） bac 故选：C 【点评】考查对数的换底公式，对数函数和指数函数的单调性，增函数的定义，以及对 数的运算 6 （5 分）执行如图所示的程序框图，若输入的 a2，输出的 S20，那么判断框内的条 件可以为（ ） Ak4？ Bk5？ Ck6？
15、Dk7？ 【分析】根据程序框图进行模拟计算，确定 k 终止的条件即可 【解答】解：模拟程序的运行，可得 第 1 次执行循环体，S2，a2，k2 第 2 次执行循环体，S6，a2，k3 第 3 次执行循环体，S12，a2，k4 第 4 次执行循环体，S20，a2，k5 此时要输出 S 的值，观察可知判断框内可以填“k5？” 故选：B 【点评】本题主要考查程序框图的识别和应用，利用模拟运算法是解决本题的关键，属 于基础题 7 （5 分）设集合 Ax|yln（3x9），By|yx+，x0则（RA）B（ ） A，+） B3，+） C，3） D，3 【分析】可以求出集合 A，B，然后进行补集
16、、交集的运算即可 【解答】解：； RAx|x3； 第 8 页（共 19 页） 故选：D 【点评】考查描述法、区间的定义，对数函数的定义域，以及基本不等式的应用，交集 和补集的运算 8 （5 分）若定义域为 R 的函数 f（x）满足 f（x） f（x+7）1，且当 xo，7）时，f（x） 则 f（1500）（ ） A B C2 D2 【分析】由题意可得 f（x）f（x+14） ，故 f（x）是周期为 14 的周期函数，再根据 f（ 1500）f（2），计算可得结果 【解答】解：f（x） f（x+7）1，f（x）f（x+14） ，故 f（x）是周期为 14 的周期 函数 当 x0，7）时，f（x）
17、log2（9x） 则 f（1500）f（214107）f（2）， 故选：B 【点评】本题主要考查函数的周期性，求函数的值，属于基础题 9 （5 分）已知命题 p： “0”是“4m4n”的充要条件；命题 q： “函数 f（x） x2ax+3 在2，+）上单调递减”的一个必要不充分条件是“a5” 则下列命题为 真命题的是（ ） Ap（q） B （p）（q） C （p）q Dpq 【分析】由不等式的性质，指数函数的单调性及充分必要条件的判定判断命题 p 的真假； 由函数单调性的性质结合充分必要条件的判定判断命题 q 的真假，再由复合命题的真假 判断得答案 【解答】解：对于命题 p：0mn04m4n，
18、 反之不成立，如 m1，n2 故 0是 4m4n的充分不必要条件，故命题 p 为假命题； 第 9 页（共 19 页） 若函数 f（x）x2ax+3 在2，+）上单调递减，则，则 a4， a5 不能推出 a4，a4a5，则命题 q 为真 p（q） ， （p）（q） ，pq 为假； （p）q 为真 故选：C 【点评】本题考查不等式的性质，考查函数的单调性及其应用，考查复合命题的真假判 断，是基础题 10 （5 分）设函数 f（x）（e 为自然对数的底数）在（，2）上单调递增，则 实数 m 的取值范围为（ ） A （，0） B （，） C （， D （，0 【分析】函数 f（x）（e 为自然对数的底
19、数）在（，2）上单调递增，即其 导数 f（x）0 恒成立，即m 在（，2）上恒成立 将恒成立问题转换成最小值问题，利用导数求 g（x）的最小值，即可得 到 m 的范围 【解答】解：依题意得：f（x）0， m 在（，2）上恒成立 令 g（x），故 g（x）0 函数 g（x）在（，2）上单调递增，则 g（）0m 实数 m 的取值范围为（，0 故选：D 【点评】本题考查函数单调性与导数的关系，关键是将在某个区间是单调的转化为导数 0 或0 的恒成立问题，以及恒成立问题的处理，是常规题，属于中档题 11 （5 分）对于一个数的三次方，我们可以分解为若干个数字的和如下所示： 131， 第 10 页（共
20、19 页） 233+5， 337+9+11， 4313+15+17+19， 根据上述规律，173的分解式中，等号右边的所有数的个位数之和为（ ） A71 B75 C83 D88 【分析】观察可知，等号的右边为数列2n1中的数，故在 173之前，已经使用了 个数，故 173273+275+305，故所有数的个位数之和为 83 【解答】解：观察可知，等号的右边为数列2n1中的数， 故在 173之前，已经使用了个数， 故 173273+275+305， 故所有数的个位数之和为 83， 故选：C 【点评】本题考查归纳推理，对观察能力考查较多，注意发现规律 12 （5 分）若 aln，be 1，c （e
21、 为自然对数的底数） ，则实数 a，b，c 的大小关系为（ ） Abac Bcab Ccba Dbca 【分析】可以令，通过求导，根据导数符号可以判断出 f（x）在e，+）上 单调递减，并且可以得出，从而根据 f（x）的单调性即 可得出 a，b，c 的大小关系 【解答】解：令，则； xe，+）时，f（x）0； f（x）在e，+）上单调递减； 又，； ； ； cab 故选：B 【点评】考查通过构造函数解决问题的方法，根据导数符号判断函数单调性的方法，以 第 11 页（共 19 页） 及减函数的定义，对数的运算性质 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共
22、分，共 20 分分 13 （5 分）已知命题 p： “若 x26x160，则 x2 或 x8” ，则命题 p 的逆否命题为 若 x2 且 x8，则 x26x160 【分析】根据命题“若 p，则 q”的逆否命题为“若q，则p” ，写出即可 【解答】解：命题 p： “若 x26x160，则 x2 或 x8” ， 则命题 p 的逆否命题为： “若 x2 且 x8，则 x26x160” 故答案为： “若 x2 且 x8，则 x26x160” 【点评】本题考查了四种命题的关系与应用问题，是基础题 14 （5 分）若函数 f（x）的图象关于原点对称，则 m+n 8 【分析】根据题意可知 f（x
23、）是奇函数，根据 f（x）的解析式，可设 x0，从而可得出 f（x）3x35x2f（x） ，这样即可求出 x0 时的解析式，从而求出 m，n，进而 得出 m+n 【解答】解：依题意，函数 f（x）为奇函数； 设 x0，x0，则 f（x）3x35x2f（x） ； x0 时，f（x）3x3+5x2mx3+nx2； m3，n5； m+n8 故答案为：8 【点评】考查奇函数图象的对称性，求奇函数在对称区间上解析式的方法，以及多项式 相等的充要条件 15 （5 分）在 1，2，3，80 这八十个数中，随机抽取一个数作为数 a，将 a 分别除以 3， 5，7 后所得余数按顺序拼凑成一个具有三位数字的数 b
24、，例如，a22 时，b121；a 33 时，b035若 b140，则 a 49 【分析】当 b40 时，a 一定是 7 的倍数，则 a 的值为 7，14，21，28，35，42，49，56， 63，70，77，所对应的 b 分别为 120，240，010，130，200，020，140，210，030，100， 220，故 a49 【解答】解：当 b40 时，a 一定是 7 的倍数，则 a 的值为 7，14，21，28，35，42，49， 56，63，70，77， 第 12 页（共 19 页） 所对应的 b 分别为 120，240，010，130，200，020，140，210，0
25、30，100，220，故 a 49 【点评】本题考查合情推理，要列举，找规律，容易题 16 （5 分）已知函数 f（x），若函数 f（x）仅有 2 个零点，则实 数 m 的取值范围为 （2，4 【分析】由 ln（x+2）0，可得 x1；x36x2+8x0，可得 x0，或 x2，或 x4， 求得 yx36x2+8x 的导数和单调性，画出 yln（x+2） ，yx36x2+8x 的图象，可得所 求范围 【解答】解：由 ln（x+2）0，可得 x1； x36x2+8x0，可得 x0，或 x2，或 x4， 由 yx36x2+8x 的导数为 y3x212x+8， 由 y0，可得 x2， 可得 x2+，或
26、 x2，函数 y 递增， 当 2x2+，函数 y 递减， 画出 yln（x+2） ，yx36x2+8x 的图象， 可得当 2m4，函数 f（x）仅有 2 个零点， 故答案为： （2，4 【点评】本题考查方程的根与函数的零点的关系应用考查导数的综合应用，属于中档 题 三、解答题：共三、解答题：共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 17 题题21 题为必考题为必考 第 13 页（共 19 页） 题，每个试题考生都必须作答，第题，每个试题考生都必须作答，第 22-23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：题为选考题，考生根据要求作答
27、 （一）必考题： 共共 60 分分 17 （12 分）已知集合 Ax|0，Bx|2m1xm5） ，其中 mR （）若 m7，求 AB； （）若 ABB，求实数 m 的取值范围 【分析】 （）可以求出 Ax|12x6，m7 时，可以求出集合 B，然后进行并 集的运算即可； （）根据 ABB 即可得出 BA，从而可讨论 B 是否为空集：B时，2m1m 5；B时，解出 m 的范围即可 【解答】解： （）Ax|12x6； m7 时，Bx|15x12； AB（15，6； （）ABB； BA； B时，2m1m5； m4； B时，； 解得； 综上，实数 m 的取值范围为 【点评】考查描述法的定义，分式不等式
28、的解法，以及并集的运算，交集、子集的定义 18 （12 分）为了调查观众对电影“复仇者联盟 4”结局的满意程度，研究人员在某电影院 随机抽取了 1000 名观众作调查，所得结果如下所示，其中不喜欢“复仇者联盟 4”的结 局的观众占被调查观众总数的高 男性观众 女性观众 总计 喜欢“复仇者联盟 4”的结局 400 300 700 第 14 页（共 19 页） 不喜欢“复仇者联盟 4”的结局 100 200 300 总计 500 500 1000 （）完善上述 22 列联表； （）是否有 99.9%的把握认为观众对
29、电影“复仇者联盟 4”结局的满意程度与性别具有 相关性？ 附：， P（K2k） 0.100 0.050 0.010 0.001 k 2.706 3.841 6.635 10.828 【分析】 （）由题意计算不喜欢“复仇者联盟 4”结局的观众人数，由此填写列联表即 可； （）由表中数据计算 K2，对照临界值得出结论 【解答】解： （）由题意知，不喜欢“复仇者联盟 4”的结局的观众人数为 1000 300， 由此填写列联表如下； 男性观众 女性观众 总计 喜欢“复仇者联盟 4”的结局 400 300 700 不喜欢“复仇者联盟 4”的结局 100 200 300 总计 500 500 1000 （
30、）由表中数据，计算 K24.61910.828， 所以有 99.9%的把握认为观众对电影“复仇者联盟 4”结局满意程度与性别具有相关性 【点评】本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，是基础题 19 （12 分）完成下列证明： （）求证：|x2y|； （）若 m，求证： 【分析】 （）运用分析法证明，结合两边平方，配方即可得证； （）运用变形和基本不等式，即可得证 第 15 页（共 19 页） 【解答】证明： （）要证|x2y|， 即证（x2y）2x（2yx） ， 即为 x24xy+4y22xy+x20， 即为 9x224xy+16y20，即（3x4y）20， 上式显然成立， 故|
31、x2y|； （）若 m，m+m+（） m+m+2+， 当且仅当 m1 时，上式取得等号 【点评】本题考查不等式的证明，注意运用分析法和基本不等式，考查变形能力和化简 能力，推理能力，属于中档题 20 （12 分）已知函数 f（x）In+cosx|x| （）求证：函数 f（x）在0，+）上单调递减； （）若 f（2x3）+1+ln（2+32）0，求 x 的取值范围 【分析】 （1）根据对函数函数 f（x）In+cosx|x|求导，容易得到0，+）时 f （x）sinx10，从而即可得证 （2）观察 f（2x3）+1+ln（2+32）0 可知 f（2x3）+1+ln（2+32）0f （2x3）f（
32、） ， 判断 f（x）的为偶函数，得出 f（x）在0，+）上单调递减；f（x）在（，0 上单调递增； 利用函数的性质可得 f（2x3）f（）|2x3|2x3 或 2x3，即 可得出 x 的取值范围 【解答】解： （1）证明：函数 f（x）In+cosx|x| x0，+）时 f（x）ln（2+3x2）+cosxx f（x）sinx1， 第 16 页（共 19 页） x0，+）时 f（x）sinx10， 函数 f（x）在0，+）上单调递减； （2）函数 f（x）In+cosx|x|定义域为 R f（x）ln（2+3x2）+cos（x）|x|ln（2+3x2）+cosxxf（x） f（x）是偶函数
33、由（1）知 f（x）在0，+）上单调递减；f（x）在（，0上单调递增； 又 f（2x3）+1+ln（2+32）0f（2x3）f（） |2x3|2x3 或 2x3 解得 x或 x x 的取值范围为： （，）（，+） 【点评】本题考查利用导数判断函数的单调性，以及利用函数的性质解不等式，当然该 题还可以利用单调性的定义判断单调性，常规解题思路，属于中档题 21 （12 分）已知函数 f（x）exmx3（e 为自然对数的底数） （）若函数 f（x）有 2 个零点，求实数 m 的取值范围； （）若 m0，关于 x 的不等式 f（x）+1m（xx3）在（，1）上恒成立，求实 数 m 的取值范围 【分析】
34、 （）若函数 f（x）有 2 个零点，求函数 f（x）0，对应方程的根，可得 m，令 （x），求新函数 （x）的单调性极值，由数形结合可得实数 m 的取值范 围； （）若 m0，关于 x 的不等式 f（x）+1m（xx3）在（，1）上恒成立，将其 转换成 exmx+10，在 x（，1）上恒成立，令 g（x）exmx+1，x（，1） 分类讨论求 g（x）在区间的最小值大于 0 可得实数 m 的取值范围 【解答】解： （）函数 f（x）exmx3（e 为自然对数的底数） 若函数 f（x）有 2 个零点，令 f（x）0，故 exmx3，显然：x0， 故：m，令 （x）， 第 17 页（共 19 页）
35、 故 （x）； 故当 x（，0）时，（x）0， 当 x（0，3）时，（x）0， 当 x（3，+）时，（x）0， 作出函数 （x）的图象如下所示： 观察可知，m（3）时满足题意， 即实数 m 的取值范围为： （，+） ， （）依题意，若 m0，关于 x 的不等式 f（x）+1m（xx3）在（，1）上恒成 立， 则 exmx3+1m（xx3） ，即：exmx+10，在 x（，1）上恒成立， 令 g（x）exmx+1，x（，1） 则：g（x）exm， 令 g（x）0，即 exm，xlnm， 当 lnm1 时，即：0me， 对于任意 x（，lnm） ，g（x）0，故 g（x）在（，lnm）上单调递减；
36、 对于任意 x（lnm，1） ，g（x）0，故 g（x）在有（lnm，1）上单调递增； 因此当 xlnm 时， g（x）ming（lnm）mmlnm+1m（1lnm）+10，此时 g（x）0； 当 lnm1 时，即 me，对于任意 x（，1） g（x）0，故 g（x）在（，1）上单调递减， 因为 g（x）0，所以 g（1）0，即：eme+1， 综上所述，实数 m 的取值范围为（0，e+1 【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，零点，考查恒成立问题， 第 18 页（共 19 页） 分类讨论正确求导是关键 （二）选考题：（二）选考题：共共 10 分分.请考生在第请考生在第 22、
37、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第 一题计分一题计分选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为， （0 为参数在 以原点 O 为极点，为参数） 在以原点 O 为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直 线 l 的极坐标方程为 （）求曲线 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程； （）设 A（2，1） ，直线 l 与曲线 C 交于 M，N 两点，求|AM|AN|的值 【分析】 （）直接把曲线 C 的参数方程中的参数消去可得曲线 C 的普通方程，结合极 坐标与直角坐标的
38、互化公式可得直线 l 的直角坐标方程； （）写出直线 l 的参数方程，代入曲线 C 的普通方程，化为关于 t 的一元二次方程，再 由根与系数的关系及 t 的几何意义求解 【解答】解： （）由曲线 C 的参数方程为， （0 为参数） ， 消去参数 ，可得曲线 C 的普通方程为（x2）2+（y2）28； 由直线 l 的极坐标方程 ，得 3sin+4cos11， 即直线 l 的直角坐标方程为 4x+3y110； （）设直线 l 的参数方程为（t 为参数） ， 代入 C： （x2）2+（y2）28，得 设 M，N 对应的参数分别为 t1，t2， 则，t1t27 故|AM|AN|t1|t2|t1t2|7
39、 【点评】本题考查简单曲线的极坐标方程，考查普通方程与参数方程的互化，关键是直 线参数方程中参数 t 的几何意义的应用，是中档题 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 f（x）|2x+3|x2| 第 19 页（共 19 页） （）求不等式 f（x）3 的解集； （）若关于 x 的不等式 f（x）m|3x6|在 R 上恒成立，求实数 m 的取值范围， 【分析】 （）由绝对值的意义，去绝对值，解不等式，求并集可得所求解集； （）由题意可得 m|2x+3|+|2x4|的最小值，由绝对值不等式的性质即可得到所求范 围 【解答】解： （）不等式 f（x）3 即为|2x+3|x2|3， 当 x2 时，2x+3（x2）3，解得 x2； 当 x时，2x3+x23，解得 x8； 当x2 时，2x+3+x23，解得x2， 综上可得 f（x）3 的解集为x|x8 或 x； （）若关于 x 的不等式 f（x）m|3x6|在 R 上恒成立， 可得|2x3|x2|+|3x6|m，即为 m|2x+3|+|2x4|的最小值， 由|2x+3|+|2x4|2x+3（2x4）|7，当且仅当（2x+3） （2x4）0，取得等号， 则 m7 【点评】本题考查绝对值不等式的解法，以及绝对值不等式的性质，考查化简运算能力， 属于中档题
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