1、2018-2019 学年江苏省盐城一中、建湖高中、阜宁中学、滨海中学四校联考高二（下）期中数学试卷（理科）一、填空题（本题包括 14 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 70 分分.） 1 （5 分）已知复数 z 满足 z（2+i）3+4i，则|z| 2 （5 分）从 300 名学生（其中男生 180 人，女生 120 人）中按性别用分层抽样的方法抽取 40 人参加比赛，则应该抽取男生人数为 3 （5 分） 某校连续 5 天对同学们穿校服的情况进行统计， 没有穿校服的人数用茎叶图表示， 如图，若该组数据的平均数为 18，则 x 4 （5 分）如
2、图是一个算法的伪代码，则输出的 i 的值为 5 （5 分）若 CC，则 x 的值为 6 （5 分）连续抛掷一颗骰子 2 次，则掷出的点数之和不超过 9 的概率为 7 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，中心在原点，焦点在 y 轴上的双曲线的一条渐近线经 过点（2，1） ，则该双曲线的离心率为 8 （5 分）曲线 yx+1+2ex在 x0 处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为 9 （5 分）已知，若 a0+a1+a2+a8 0，则 a3 10 （5 分）把 4 名优秀学生 A，B，C，D 全部保送到甲、乙、丙
3、三所大学，每个学校至少 去一名，不同的保送方案有 种 11 （5 分）已知（1+x）n的展开式中第 4 项与第 8 项的二项式系数相等，则奇数项的二项 式系数和为 第 2 页（共 22 页） 12 （5 分） 过椭圆 C：的右焦点 F 作斜率为 1 的直线 l 与椭圆 C 交于 A， B 两点， P 为右准线与 x 轴的交点，记直线 PA 的斜率为 k1，直线 PB 的斜率为 k2，则的 值为 13 （5 分）已知，则的最小值为 14 （5 分）已知函数 f（x），设 g（x）kx+1，且函数 yf（x）g （x）的图象经过四个象限，则实
4、数 k 的取值范围为 二、解答题： （二、解答题： （15、16、17 题均为题均为 14 分，分，18、19、20 题均为题均为 16 分，请在答题纸的指定区分，请在答题纸的指定区 域内答题，并写出必要的计算、证明、推理过程）域内答题，并写出必要的计算、证明、推理过程） 15 （14 分）某班 50 名学生在一次百米测试中，成绩全部介于 13 秒与 18 秒之间，将测试 结果按如下方式分成五组：第一组13，14） ，第二组14，15） ，第五组17，18，下 图是按上述分组方法得到的频率分布直方图 （）若成绩大于或等于 14 秒且小于 16 秒认为良好，求该班在这次百米测试中成
5、绩良 好的人数； （）若从第一、五组中随机取出两个成绩，求这两个成绩的差的绝对值大于 1 的概率 16 （14 分） （理科加试题）若二项式的展开式中的常数项为第五项 （1）求 n 的值； （2）求展开式中系数最大的项 17 （14 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，平面 PAD 第 3 页（共 22 页） 平面 ABCD，APD 为等腰直角三角形，APD90，E 为 PB 的中点，F 为 PC 的中 点 （1）求异面直线 ED 与 BF 所成角的余弦值； （2）求二面角 ABDP 的余弦值 18 （16 分）如图，某地村庄 P 与村庄 O
6、 的距离为千米，从村庄 O 出发有两条道路 l1， l2， 经测量， l1， l2的夹角为 60， OP 与 l1的夹角 满足 tan（其中 0） ， 现要经过 P 修一条直路分别与道路 l1，l2交汇于 A，B 两点，并在 A，B 处设立公共设施 （1）已知修建道路 PA，PB 的单位造价分别为 2m 元/千米和 m 元/千米，若两段道路的 总造价相等，求此时点 A，B 之间的距离； （2）考虑环境因素，需要对 OA，OB 段道路进行翻修，OA，OB 段的翻修单价分别为 n 元/千米和 2n 元/千米，要使两段道路的翻修总价最少，试确定 A，B 点的位置 19 （16 分）在平面
7、直角坐标系 xOy 中，A，B 分别是椭圆1（ab0）的左、 右顶点（如图所示） ，点 M： （m，0）在椭圆的长轴 AB 上运动，且 m0设圆 M 是以 点 M 为圆心，MB 为半径的圆 （1）若 m2，圆 M 和椭圆在第一象限的交点坐标为（1，） ，求椭圆的方程； （2）若椭圆的离心率为，过点 B 作互相垂直的两条直线，交椭圆于 P，Q 两点，若 直线 PQ 过点 M，求 m 的值（用含 b 的代数式表示） ； 第 4 页（共 22 页） （3）当圆 M 与椭圆有且仅有点 B 一个交点时，求 M 的运动范围（用含 a，b 的代数式 表示） 20 （16 分）已知函数 m（x）ax3+x24
8、，n（x）（b1）x24a+4， （a，bR） （1）当 a1 时，求 m（x）的单调增区间； （2）令 f（x）m（x）+n（x） 当 a0 时，若函数 f（x）恰有两个不同的零点，求的值； 当 a0 时，若 f（x）lnx 的解集为（m，n） ，且（m，n）中有且仅有一个整数，求 实数 b 的取值范围 第 5 页（共 22 页） 2018-2019 学年江苏省盐城一中、建湖高中、阜宁中学、滨海中学年江苏省盐城一中、建湖高中、阜宁中学、滨海中 学四校联考高二（下）期中数学试卷（理科）学四校联考高二（下）期中数学试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、填空题（本题包括一、填空题
9、（本题包括 14 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 70 分分.） 1 （5 分）已知复数 z 满足 z（2+i）3+4i，则|z| 【分析】把已知等式变形，再由商的模等于模的商求解 【解答】解：由 z（2+i）3+4i，得 z， 则|z| 故答案为： 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题 2 （5 分）从 300 名学生（其中男生 180 人，女生 120 人）中按性别用分层抽样的方法抽取 40 人参加比赛，则应该抽取男生人数为 24 【分析】抽样比为，男生有 180 人，乘以抽样比即可得到男生抽取的人数 【解答】解：依题意，抽样比为，男生有 180
10、人， 故抽取的男生的人数为：18024 人 故填：24 【点评】本题考查了分层抽样，求出抽样比是求出每层抽取样本数的前提，本题属基础 题 3 （5 分） 某校连续 5 天对同学们穿校服的情况进行统计， 没有穿校服的人数用茎叶图表示， 如图，若该组数据的平均数为 18，则 x 8 【分析】根据茎叶图结合平均数的性质进行求解即可 【解答】解：该组数据的平均数为 18， 5 天的总人数为 18590 个数为为 0， 第 6 页（共 22 页） 0+6+7+922，个位数为 2，则 x 为 8， 故答案为：8 【点评】本题主要考查茎叶图的应用，结合平均数计算出总数的个位数，结合个数数相 同是解决本题的
11、关键 4 （5 分）如图是一个算法的伪代码，则输出的 i 的值为 5 【分析】算法的功能是求满足 S9（1+2+3+i）0 的最大正整数 i+1 的值，计算 S 的值确定输出 i 的值 【解答】解：由算法语句知：算法的功能是求满足 S9（1+2+3+i）0 的最小正 整数 i+1 的值， S9（1+2+3）30，S9（1+2+3+4）10， 输出的 i 值为 5 故答案为：5 【点评】本题考查了当型循环结构的程序语句，根据算法的流程判断算法的功能是解题 的关键 5 （5 分）若 CC，则 x 的值为 1 或 2 【分析】结合组合数公式建立方程进行求解即可 【解答】解：CC， 2x3x1 或 2
12、x+3x19， 得 x1 或 x2， 经检验知 x1 或 2 成立， 故答案为：1 或 2 【点评】本题主要考查组合数公式的计算，结合组合数公式建立方程是解决本题的关键 6 （5 分）连续抛掷一颗骰子 2 次，则掷出的点数之和不超过 9 的概率为 第 7 页（共 22 页） 【分析】 基本事件总数 n6636， 利用列举法求出掷出的点数之和超过 9 包含的基本 事件（a，b）有 6 个，由此能求出掷出的点数之和不超过 9 的概率 【解答】解：连续抛掷一颗骰子 2 次， 基本事件总数 n6636， 掷出的点数之和超过 9 包含的基本事件（a，b）有： （4，6） ， （6，4） ，
13、（5，5） ， （5，6） ， （6，5） ， （6，6） ，共 6 个， 则掷出的点数之和不超过 9 的概率 p1 故答案为： 【点评】本题考查概率的求法，考查列举法、对立事件概率计算公式等基础知识，考查 运算求解能力，是基础题 7 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，中心在原点，焦点在 y 轴上的双曲线的一条渐近线经 过点（2，1） ，则该双曲线的离心率为 【分析】根据双曲线的渐近线方程可得 a 与 b 的关系，再根据离心率公式计算即可 【解答】解：设中心在原点，焦点在 y 轴上的双曲线的双曲线的方程为1， 则其渐近线方程为 yx， 由一条渐近线经过点（2，1） ， 则 1， 即2，
14、e， 故答案为： 【点评】本题考查了双曲线的方程和渐近线方程，离心率，属于基础题 8 （5 分）曲线 yx+1+2ex在 x0 处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为 【分析】求出原函数的导函数，得到曲线 yx+1+2ex在 x0 处的切线的斜率，再求出 x 0 时的 y 值，写出直线方程斜截式，分别求得直线在两坐标轴上的截距，代入三角形面 积公式得答案 第 8 页（共 22 页） 【解答】解：由 yx+1+2ex，得 y1+2ex， 则 y|x01+23 又当 x0 时，y3 曲线 yx+1+2ex在 x0 处的切线方程为 y3x+3 取 x0，得 y3，取 y0，得 x1 曲线 yx+1+2
15、ex在 x0 处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为 S 故答案为： 【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，是基础的计算题 9 （5 分）已知，若 a0+a1+a2+a8 0，则 a3 14 【分析】， 令 x1， 则 a0+a1+a2+ +a802（a1）7，解得 a1利用（1x）7的通项公式即可得出 【解答】解：， 令 x1，则 a0+a1+a2+a802（a1）7， 解得 a1 （1x）7的通项公式：T4（x）335x3T3（x）221x2 则 a335+2114 故答案为：14 【点评】本题考查了二项式定理的通项公式应用，考查了推理能力与计算能力，属于基 础题 10 （5
16、 分）把 4 名优秀学生 A，B，C，D 全部保送到甲、乙、丙三所大学，每个学校至少 去一名，不同的保送方案有 36 种 【分析】分两步进行，先把 4 名学生分为 211 的三组，再将 3 组对应 3 个学校，有 A336 种情况，进而由分步计数原理，计算可得答案 【解答】解：分两步进行，先把 4 名学生分为 211 的三组，有 C426 种分法， 再将 3 组对应 3 个学校，有 A336 种情况， 则共有 6636 种保送方案 故答案为：36 第 9 页（共 22 页） 【点评】本题考查分步计数原理的运用，关键是审清题意，明确分组的方法 11 （5 分）已知（1+x）n的展开式中第 4 项
17、与第 8 项的二项式系数相等，则奇数项的二项 式系数和为 512 【分析】由题意利用二项式系数的性质，求得奇数项的二项式系数和 【解答】解：（1+x）n的展开式中第 4 项与第 8 项的二项式系数相等， ，n10，则奇数项的二项式系数和为 2n 129512， 故答案为：512 【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，属于基础题 12 （5 分） 过椭圆 C：的右焦点 F 作斜率为 1 的直线 l 与椭圆 C 交于 A， B 两点， P 为右准线与 x 轴的交点，记直线 PA 的斜率为 k1，直线 PB 的斜率为 k2，则的 值为 8 【分析】F（，0） ，设 A（x1，y1）
18、 ，B（x2，y2） ，右准线方程为：x2，可 得 P（2，0） 直线 l 的方程为：yx与椭圆方程联立解得交点 A，B，再利用 斜率计算公式即可得出 【解答】解：F（，0） ，设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 右准线方程为：x2，P（2，0） 直线 l 的方程为：yx 联立，化为：3x24x0， 解得 x10，x2， y1，y2 A（0，） ，B（，） kPA，kPB 第 10 页（共 22 页） 8 故答案为：8 【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、斜率计算公式，考查了推理能力与计算 能力，属于中档题 13 （5 分）已知，则的最小值为 【分析】根据题意，+0，变形可得
19、y，有 y0 分析可得 x 的取值范围， 进而可得+1，设 f（x）1，求出函数 f（x）的 导数，利用导数与函数的单调性分析可得在（0，）上，f（x）0，函数 f（x）为减 函数，在（，2）上，f（x）0，函数 f（x）为增函数；则 f（x）在（0，2）上的最 小值为 f（） ，计算可得答案 【解答】解：根据题意，+0，变形可得 y， 又由 y0，即0，解可得2x2， 又由 x0，则 x 的取值范围为（0，2） ； 则+1， 设 f（x）1， （0x2） ， 则 f（x）， （0x2） ， 分析可得：在（0，）上，f（x）0，函数 f（x）为减函数，在（，2）上，f（x） 0，函数 f（x）
20、为增函数； 则 f（x）在（0，2）上的最小值为 f（）1， 即的最小值为， 故答案为： 【点评】本题考查函数的最值，关键是构造关于 x 的函数，属于综合题 第 11 页（共 22 页） 14 （5 分）已知函数 f（x），设 g（x）kx+1，且函数 yf（x）g （x）的图象经过四个象限，则实数 k 的取值范围为 （1，3） 【分析】yf（x）g（x）的图象经过四个象限等价于 x0 时 yxlnx+2 的图象有一部 分在 ykx+1 的上方，有一部分在 ykx+1 的下方且 x0 时，f（x）的图象有一部分在 y kx+1 的上方，有一部分在 ykx+1 的下方，根据图象可得 【解答】解：
21、f（x）的图象如右图： yf（x）g（x）的图象经过四个象限等价于 x0 时 yxlnx+2 的图象有一部分在 y kx+1 的上方，有一部分在 ykx+1 的下方且 x0 时，f（x）的图象有一部分在 ykx+1 的上方，有一部分在 ykx+1 的下方， 利用导数的几何意义可求得 ykx+1 与 yxlnx+2 相切时，k1， 由图可知， 故答案为（1，3） 【点评】本题考查了函数与方程的综合运用，属难题 二、解答题： （二、解答题： （15、16、17 题均为题均为 14 分，分，18、19、20 题均为题均为 16 分，请在答题纸的指定区分，请在答题纸的指定区 域内答题，并写域内答题，并
22、写出必要的计算、证明、推理过程）出必要的计算、证明、推理过程） 15 （14 分）某班 50 名学生在一次百米测试中，成绩全部介于 13 秒与 18 秒之间，将测试 结果按如下方式分成五组：第一组13，14） ，第二组14，15） ，第五组17，18，下 图是按上述分组方法得到的频率分布直方图 （）若成绩大于或等于 14 秒且小于 16 秒认为良好，求该班在这次百米测试中成绩良 好的人数； 第 12 页（共 22 页） （）若从第一、五组中随机取出两个成绩，求这两个成绩的差的绝对值大于 1 的概率 【分析】（1） 根据频率分步直方图做出这组数据的成绩在14， 16） 内的人数为 5
23、00.16+50 0.38，这是频率，频数和样本容量之间的关系 （2）根据频率分步直方图做出要用的各段的人数，设出各段上的元素，用列举法写出所 有的事件和满足条件的事件，根据概率公式做出概率 【解答】解： （）由频率分布直方图知，成绩在14，16）内的 人数为 500.16+500.3827（人） 该班成绩良好的人数 为 27 人 （）由频率分布直方图知，成绩在13，14）的人数为 500.063 人， 设为 x，y，z 成绩在17，18）的人数为 500.084 人，设为 A，B，C，D 若 m，n13，14）时，有 xy，zx，zy，3 种情况； 若 m，n17，18）时，有 AB，AC，
24、AD，BC，BD，CD 共 6 种情况； 若 m，n 分别在13，14）和17，18）内时， 第 13 页（共 22 页） A B C D x xA xB xC xD y yA yB yC yD z zA zB zC zD 共 12 种情况 基本事件总数为 21 种，事件“|mn|1”所包含的基本事件个数有 12 种 P（|mn|1） 【点评】本题是一个典型的古典概型问题，本题可以列举出试验发生包含的事件和满足 条件的事件，应用列举法来解题是这一部分的精髓 16 （14 分） （理科加试题）若二项式的展开式中的常数项为第五项 （1）求 n 的值； （2）求展开式中系数最大的项 【分析】 （1）
25、利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令 x 的指数为 0，据题意当 r4 时 x 的指数为 0，代入求出 n 的值 （2）将 n 的值代入通项，求出通项的系数，设第 k+1 项的系数最大，令其大于等于前一 项的系数同时大于等于后一项的系数，利用组合数公式解不等式求出 k 的值，代入通项 即可 【解答】解： （1）， x 的指数为， 的展开式中的常数项为第五项， r4， 解得：n10 （2）， 其系数为 C10r210 r 第 14 页（共 22 页） 设第 k+1 项的系数最大，则 化简得：即， k3， 即第四项系数最大， 【点评】解决二项展开式的特定项问题常利用的工具是二项
26、展开式的通项公式；求二项 展开式的项的最大系数问题， 常令其大于等于前一项的系数同时大于等于后一项的系数， 解不等式即可 17 （14 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，平面 PAD 平面 ABCD，APD 为等腰直角三角形，APD90，E 为 PB 的中点，F 为 PC 的中 点 （1）求异面直线 ED 与 BF 所成角的余弦值； （2）求二面角 ABDP 的余弦值 【分析】 （1）以 AD 的中点为坐标原点，建立坐标系后，将异面直线的夹角问题，转化 成向量的方向向量的夹角处理 （2）根据（1）建立的坐标系，求出平面 ABD 和平面 PBD 的法向量
27、，将二面角 ABD P 的余弦值转化成法向量的夹角余弦处理 【解答】解如图，设 AD 的中点为 G，连接 PG，因为APD 为等腰直角三角形，APD 90， 所以 PGAD又平面 PAD平面 ABCD，所以 PG平面 ABCD 以 G 为坐标原点，GA，GP 所在直线分别为 x，z 轴建立空间直角坐标系， 可得 A（1，0，0） ，P（0，0，1） ，B（1，2，0） ，C（1，2，0） ，D（1，0，0） ， 第 15 页（共 22 页） 则 E（，1，） ，F（，1，） ， 所以， 故（5 分） 故异面直线 ED 与 BF 所成角的余弦值为（6 分） （2）由（1）知，（2，2，0） ，设
28、平面 PBD 的法向量为 所以令 x1，则 yz1 所以平面 PBD 的一个法向量为 （1，1， 1） 易知平面 ABD 的一个法向量为 （0，0，1）（11 分） 所以（13 分） 由图可知，二面角 ABDP 为锐二面角， 所以二面角 ABDP 的余弦值为（14 分） 【点评】本题考查了空间中异面直线的夹角和二面角的平面角的求法，建立坐标系是常 见的解法，本题属于难题 18 （16 分）如图，某地村庄 P 与村庄 O 的距离为千米，从村庄 O 出发有两条道路 l1， l2， 经测量， l1， l2的夹角为 60， OP 与 l1的夹角 满足 tan（其中 0） ， 第 16 页（共 22 页
29、） 现要经过 P 修一条直路分别与道路 l1，l2交汇于 A，B 两点，并在 A，B 处设立公共设施 （1）已知修建道路 PA，PB 的单位造价分别为 2m 元/千米和 m 元/千米，若两段道路的 总造价相等，求此时点 A，B 之间的距离； （2）考虑环境因素，需要对 OA，OB 段道路进行翻修，OA，OB 段的翻修单价分别为 n 元/千米和 2n 元/千米，要使两段道路的翻修总价最少，试确定 A，B 点的位置 【分析】 （1）以 O 为原点，直线 OA 为 x 轴建立平面直角坐标系，由题意得 2mPAm PB，所以 BP2PA，得出 ABPB，计算出 P，B 的坐标可得 AB；
30、（2）设总造价为 S，则 SnOA+2nOB（OA+2OB） n，设 yOA+2OB，要使 S 最小， 只要 y 最小当 ABx 轴时，A（2，0） ，这时 OA2，OB4，所以 yOA+2OB2+8 10；当 AB 与 x 轴不垂直时，设直线 AB 方程为，再得到 A，B 的坐标，计算可得 【解答】解（1）以 O 为原点，直线 OA 为 x 轴建立平面直角坐标系， 因为，所以， 设，由，得 t1，所以 （2 分） 由题意得 2mPAmPB，所以 BP2PA，所以 B 点纵坐标为， 又因为点 B 在直线上，所以， （4 分） 所以（6 分） 答：A，B 之间的距离为千米 （6 分） （注：缺少
31、答扣 1 分） （2）设总造价为 S，则 SnOA+2nOB（OA+2OB） n， 设 yOA+2OB，要使 S 最小，只要 y 最小 当 ABx 轴时，A（2，0） ，这时 OA2，OB4， 第 17 页（共 22 页） 所以 yOA+2OB2+810 （8 分） 当 AB 与 x 轴不垂直时，设直线 AB 方程为， 令 y0，得点 A 的横坐标为，所以， 令，得点 B 的横坐标为，（10 分） 因为且，所以 k0 或， 此时， （12 分） 当 k0 时，y 在上递减，在上递增， 所以，此时； （14 分） 当时， 综上所述，要使 OA，OB 段道路的翻修总价最少，A 位于距 O 点 3
32、千米处，B 位于距 O 点 3 千米处 （16 分） 【点评】本题考查了解三角形，属中档题 19 （16 分）在平面直角坐标系 xOy 中，A，B 分别是椭圆1（ab0）的左、 右顶点（如图所示） ，点 M： （m，0）在椭圆的长轴 AB 上运动，且 m0设圆 M 是以 点 M 为圆心，MB 为半径的圆 （1）若 m2，圆 M 和椭圆在第一象限的交点坐标为（1，） ，求椭圆的方程； （2）若椭圆的离心率为，过点 B 作互相垂直的两条直线，交椭圆于 P，Q 两点，若 直线 PQ 过点 M，求 m 的值（用含 b 的代数式表示） ； （3）当圆 M 与椭圆有且仅有点 B 一个交点时，求 M 的运动
33、范围（用含 a，b 的代数式 第 18 页（共 22 页） 表示） 【分析】 （1）利用 MCMB 可得 a，再结合点在椭圆上可解； （2）设 PQ 的方程，与椭圆方程联立得根与系数关系，结合 BP，BQ 垂直，数量积为 0， 即可得解； （3）设 Q 是椭圆上不与 B 重合的一点，利用 QMQB 恒成立，转化为不等式恒成立问 题，可得范围 【解答】解： （1）记交点为 C（1，） ， 则， 则 OB4a， ， ， ； （2）椭圆的离心率为， 则， a24b2， 点 B（2b，0） ， 椭圆的方程为 x2+4y24b2， 设直线 PQ 的方程为 l：xty+m（0m2b） ， 将 xty+m
34、代入 x2+4y24b2， 得（t2+4）y2+2mty+m24b20， 由题设可知16（4b2m2+b2t2）0， 设 P（x1，y1） ，Q（x2，y2） ， 则 y1+y2，y1y2， 而 x1+x2t（y1+y2）+2m， 第 19 页（共 22 页） x1x2（ty1+m） （ty2+m） t2y1y2+tm（y1+y2）+m2 ， 由题设 BPBQ，即， （x12b，y1） （x22b，y2） （x12b） （x22b）+y1y2 x1x2+（y11） （y21） x1x2+y1y22b（x1+x2）+4b2 +4b20， 化简得 5m216bm+12b20， 解得 m2b（舍）
35、，m m； （3）设 Q 是椭圆上不与 B 重合的一点，椭圆焦距为 2c， 若圆 M 与椭圆仅有 B 一个交点，则 QMMB 对任意 Q 恒成立， 设 Q（x，y） ，M（m，0） ， 由 QM2MB2得， y2+（xm）2（am）2， ， （x+a） ， 令 f（x）（x+a） ，xa，a） ， 则 f（x）f（a）， 第 20 页（共 22 页） ， m 的取值范围为 【点评】此题考察了椭圆方程的求法，直线与椭圆，圆与椭圆的综合，难度较大 20 （16 分）已知函数 m（x）ax3+x24，n（x）（b1）x24a+4， （a，bR） （1）当 a1 时，求 m（x）的单调增区间； （2）
36、令 f（x）m（x）+n（x） 当 a0 时，若函数 f（x）恰有两个不同的零点，求的值； 当 a0 时，若 f（x）lnx 的解集为（m，n） ，且（m，n）中有且仅有一个整数，求 实数 b 的取值范围 【分析】 （1）当 a1 时，代入求出 m（x） ，结合导数与函数的单调性关系即可判断 （2）法一：对函数求导，若使得函数 f（x）有两个不同的零点，结合函数的性质及函 数图象的趋势可知，须有 f（0）0 或，代入求解检验可求； 法二：直接由 f（0）0 及 f（x）0，然后结合函数的单调性及函数图象的性质可求 当 a0 时，由 f（x）lnx，可得 bx2lnx，构造函数 g（x）lnxb
37、x2，结合导数判 断函数的单调性，进而可求 【解答】解： （1）当 a1 时，m（x）x3+x24，m（x）3x2+2x （2 分） 令 m（x）0，解得 x0 或， 所以 f（x）的单调增区间是和（0，+） （4 分） （2）因为 f（x）m（x）+n（x）ax3+bx24a 法一：f'（x）3ax2+2bx，令 f'（x）0，得 x0 或， （6 分） 因为函数 f（x）有两个不同的零点，所以 f（0）0 或 当 f（0）0 时，得 a0，不合题意，舍去； （8 分） 当时，代入得， 即，所以 （10 分） 法二：由于 a0，所以 f（0）0， 第 21 页（共 22 页）
38、 由 f（x）0 得方程 （6 分） 设，令 h'（x）0，得 x2， 当 x（，2）时，h'（x）0，h（x）递减；当 x（2，0）时，h'（x）0，h （x）递增， 当 x（0，+）时，h'（x）0，h（x）单调递增， 当 x0 时，h（x）的值域为 R， 故不论取何值，方程有且仅有一个根； （8 分） 当 x0 时， 所以时，方程恰有一个根2， 此时函数 f（x）a（x+2）2（x1）恰有两个零点2 和 1 （10 分） （注：第问其他方法酌情给分，但用分离参数法不给分） 当 a0 时，因为 f（x）lnx，所以 bx2lnx， 设 g（x）lnxbx2，
39、则， 当 b0 时，因为 g'（x）0，所以 g（x）在（0，+）上递增，且 g（1）b0， 所以在（1，+）上，g（x）lnxbx20，不合题意； （11 分） 当 b0 时，令，得， 所以 g（x）在递增，在递减， 所以 g（x）maxg（）ln， 要使 g（x）0 有解，首先要满足 ln，解得 b （13 分） 又因为 g（1）b0，g（）， 要使 f（x）lnx 的解集（m，n）中只有一个整数，则 即 解得 （15 分） 第 22 页（共 22 页） 设 h（x），则， 当 x（0，e）时，h'（x）0，h（x）递增；当 x（e，+）时，h'（x）0，h（x）递 减 所以，所以， 所以由和得， （16 分） （注：用数形结合方法做不给分） 【点评】本题综合考查了函数的性质及导数在函数性质求解由中的应用，还考查了一定 的逻辑思维能力的应用
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