1、2018-2019 学年江苏省盐城市东台市高二（上）期末数学试卷一、填空题：本大题共 14 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 70 分请把答案填写在答卷纸相应位分请把答案填写在答卷纸相应位 置上置上. 1 （5 分） “若 ab，则 a2b2”的否命题为 2 （5 分）某生物实验室研究利用某种微生物来治理污水，每 10000 个微生物菌种大约能成 功培育出成品菌种 8000 个，根据概率的统计定义，现需要 6000 个成品菌种，大概要准 备 个微生物菌种 3 （5 分）某单位有 260 名职工，现采用系统抽样的方法抽取 13 人做问卷调查，将 260 人 按 1， 2， ， 26
2、0 随机编号， 则抽取的 13 人中， 编号落入区间181， 240的人数为 4 （5 分）椭圆1 的离心率 e，则 m 5 （5 分）根据如图所示的伪代码可知输出 S 的值为 6 （5 分）已知样本 1，2，4，x，y 的平均数是 3，标准差是 2，则 xy 7 （5 分）已知双曲线 C：1 的焦距为 4，点 P（1，）在 C 的渐近线上，则 C 的方程为 8 （5 分）已知点 P 在曲线 yx3+x22x 上， 为曲线在点 P 处的切线的倾斜角，则 的取值范围为 9 （5 分）已知不等式 log2（ax22x+4）3 的解集为（，b）（2，+） ，则不等式 bx2x+3a0 的解集为 10
3、 （5 分）已知函数 f（x）x2+ax+2blnx+c 的两个极值点分别在区间（0，1） ， （1，2） 内，则 b2a 的取值范围为 11 （5 分） 已知函数 f （x） ， 则不等式 f （f （x） ） 8 的解集为 第 2 页（共 20 页） 12 （5 分）已知椭圆 C：1（ab0）的左右焦点分别为 F1、F2，抛物线 y2 4cx（c2a2b2且 cb）与椭圆 C 在第一象限的交点为 P，若 cosPF1F2，则椭圆 C 的离心率为 13 （5 分）设 a，b，c 是三个正实数，且 a+b+2c，则的最大值为 14 （5 分）已知函数 f（x），若函数 g（x）f（x）mx+2
4、m 的图 象与 x 轴的交点个数不少于 2 个，则实数 m 的取值范围为 二、解答题：本大题共二、解答题：本大题共 6 个小题，满分个小题，满分 90 分请在答卷纸指定区域内作答，解答时应写出分请在答卷纸指定区域内作答，解答时应写出 文字说明、证明过程或演算步骤文字说明、证明过程或演算步骤 15 （15 分）2019 年国际篮联篮球世界杯将于 8 月 31 日至 9 月 15 日在中国的北京、广州、 南京、上海、武汉、深圳、佛山、东莞八座城市举行，为了宣传世界杯，某大学从全校 学生中随机抽取 n 位同学， 对是否收看篮球世界杯赛事的情况进行了小程序投票调查 明 确表示有兴趣并会收看的人数如下统
5、计表： 组数 频数 频率 大一组 96 x 大二组 192 0.4 大三组 y 0.2 大四组 96 0.2 合计 n 1.0 （1）求 x，y，n 的值； （2）现从参与小程序投票调查且明确表示有兴趣并会收看的学生中，采用按年级分层抽 样的方法选取 5 人参加 2019 年国际篮联篮球世界杯志愿者宣传活动，应主办方要求，从 被选中的这 5 名志愿者中任意选 2 名作为领队，求选取的 2 名领队中恰有一位是大二组 的概率 16 （15 分）已知椭圆 C 的短轴长为 2，左、右焦点为 F1、F2椭圆 C 上一点与两焦点构 成的三角形的周长为 2+4 （1）求椭圆 C 的标准方程； 第 3 页（共
6、 20 页） （2）设 P 为椭圆 C 上一动点，求的取值范围 17 （15 分）已知集合 Ax|x2（2a1）x+a2a0，Bx|x2+x20 （1）若“xA”是“xB”的充分不必要条件，求 a 的取值范围； （2）设命题 p：xB，x2+（2m+1）x+m2m8，若命题 p 为假命题，求实数 m 的取值 范围 18 （15 分）2018 年末，天猫某商铺为了制定 2019 年营销方案，分析了 2018 年每次促销活 动时某网红产品的销售量 y（单位：千套）与销售价格 x（单位：元/套）的关系关系式为 y+，其中 20x60，m 为常数，已知销售价格为 40 元/套时，每次促 销可售出此产品
7、 21 千套 （1）求 m 的值； （2）假设此产品的成本约为每套产品 20 元（只考虑销售出的产品数） ，试确定销售价格 x 的值，使该商铺每次销售此产品所获得的利润最大 19 （15 分）椭圆 C 的中心为坐标原点 O，焦点在 x 轴上，B 为上顶点，F 为右焦点，若点 O 到直线 BF 的距离为焦距的 （1）求椭圆 C 的离心率； （2） 已知直线 l 不垂直于坐标轴且直线 l 过点 F 与椭圆 C 交于 M， N 两点，+与 （9，2）共线 求直线 l 的斜率； 设 P 为椭圆 C 上任意一点，+（，R） ，求 + 的最大值 20 （15 分）已知函数 f（x）ex，g（x）lnx （
8、1）求函数 yg（x）在点 A（e，1）处的切线方程； （2）若存在常数 t1（1，+） ，对任意 x（，+） ，f（x）f （t1）2mx2mt1 恒成立，求实数 m 的取值范围 （3）已知函数 h（x）g（x+t2）f（xt2） （t20）在区间0，+）上的最大值为 1，求实数 t2的值 第 4 页（共 20 页） 2018-2019 学年江苏省盐城市东台市高二（上）期末数学试卷学年江苏省盐城市东台市高二（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、填空题：本大题共一、填空题：本大题共 14 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 70 分请把答案填写在答卷纸相应位
9、分请把答案填写在答卷纸相应位 置上置上. 1 （5 分） “若 ab，则 a2b2”的否命题为 若 ab，则 a2b2 【分析】根据命题若 p，则 q 的否命题是若p，则q，写出它的否命题即可 【解答】解；若 ab，则 a2b2的否命题是 若 ab，则 a2b2 故答案为：若 ab，则 a2b2 【点评】本题考查了命题与它的否命题之间的关系，解题时应熟悉四种命题之间的关系， 是基础题 2 （5 分）某生物实验室研究利用某种微生物来治理污水，每 10000 个微生物菌种大约能成 功培育出成品菌种 8000 个，根据概率的统计定义，现需要 6000 个成品菌种，大概要准 备 7500 个微生物菌种
10、 【分析】现需要 6000 个成品菌种，设大概要准备 n 个微生物菌种，由每 10000 个微生物 菌种大约能成功培育出成品菌种 8000 个，列出方程，能求出结果 【解答】解：现需要 6000 个成品菌种，设大概要准备 n 个微生物菌种， 每 10000 个微生物菌种大约能成功培育出成品菌种 8000 个， ， 解得 n7500 故答案为：7500 【点评】本题考查需要的维生物菌种的个数的求法，考查概率等基础知识，考查运算求 解能力，是基础题 3 （5 分）某单位有 260 名职工，现采用系统抽样的方法抽取 13 人做问卷调查，将 260 人 按 1，2，260 随机编号，则抽取的 13 人
11、中，编号落入区间181，240的人数为 3 【分析】根据系统抽样的定义确定抽样的间距即可求出结论 【解答】解：从 260 人中抽取 13 人， 抽取的间距为 1601320， 第 5 页（共 20 页） 区间181，240内的人数为 240181+160， 则抽取人数为 60203， 故答案为：3 【点评】本题主要考查系统抽样的定义，利用条件确定系统抽样的组距是解决本题的关 键 4 （5 分）椭圆1 的离心率 e，则 m 2 或 【分析】根据椭圆的焦点位置对 m 分类讨论即可，求出 a 的值，根据离心率 e 求出 c 的 值，从而求出 m 的值 【解答】解：若 0m5， 则 e2， m2； 若
12、 m5， 则 e2， m m 的值为：2 或 故答案为：2 或 【点评】本题考查了椭圆的标准方程与几何性质的应用问题，是基础题目 5 （5 分）根据如图所示的伪代码可知输出 S 的值为 13 【分析】根据已知中的程序代码，可知本程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S 的值，模拟程序的运行过程，分析各个变量的变化规律，可得答案 【解答】解：模拟程序的运行，可得 S4 第 6 页（共 20 页） 执行循环体，I1，S4+15 执行循环体，I3，S5+38 执行循环体，I5，S8+513 输出 S 的值为 13 故答案为：13 【点评】本题考查了程序语言的应用问题，解题时应模拟程序语言的运行过程
13、，以便得 出输出的结果，是基础题目 6 （5 分）已知样本 1，2，4，x，y 的平均数是 3，标准差是 2，则 xy 10 【分析】根据平均数与标准差的定义，列方程组求得 y1y2的值，再由 x、y 的对称性求得 xy 的值 【解答】解：样本 1，2，4，x，y 的平均数是 3， （1+2+4+x+y）35， 即 x+y8， 又标准差是 2， （13）2+（23）2+（43）2+（x3）2+（y3）222， 即（x3）2+（y3）214， 由联立，消去 x 得 y28y+100， y1y210； 由 x、y 的对称性知，xy10 故答案为：10 【点评】本题考查了平均数与标准差的定义和应用问
14、题，是基础题 7 （5 分）已知双曲线 C：1 的焦距为 4，点 P（1，）在 C 的渐近线上，则 C 的方程为 【分析】利用双曲线 C：1 的焦距为 4，点 P（1，）在 C 的渐近线上，可 确定几何量之间的关系，由此可求双曲线的标准方程 第 7 页（共 20 页） 【解答】解：双曲线 C：1 的渐近线方程为 yx 双曲线 C：1 的焦距为 4，点 P（1，）在 C 的渐近线上，可得：ab， 2c4， c2a2+b2 a23，b21， C 的方程为： 故答案为： 【点评】本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的几何性质，正确运用双曲线的几何 性质是关键 8 （5 分）已知点 P 在曲线 yx3
15、+x22x 上， 为曲线在点 P 处的切线的倾斜角，则 的取值范围为 （， 【分析】由导函数的几何意义可知函数图象在切点处的切线的斜率值即为其点的导函数 值，结合二次函数的值域，再根据 ktan，结合正切函数的图象求出角 的范围 【解答】解：根据题意曲线 yx3+x22x，得 f（x）x2+2x2， 为曲线在点 P 处的切线的倾斜角，ktanx2+2x2（x1）211， 可得 （， 故答案为： （， 【点评】本题考查了导数的几何意义，以及利用正切函数的图象求倾斜角等基础知识， 考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想 9 （5 分）已知不等式 log2（ax22x+4）3 的解集为（
16、，b）（2，+） ，则不等式 bx2x+3a0 的解集为 （3，2） 【分析】先将对数不等式转化为一元二次不等式，再利用韦达定理解出 a2，b1， 再将 a2，b1 代入后解一元二次不等式即可 【解答】解：不等式 log2（ax22x+4）3ax22x+423，即 ax22x40， 第 8 页（共 20 页） a0，且 b 和 2 是一元二次方程 ax22x40 的两个根， ，解得 a2，b1， x2x+60，即 x2+x60 的解集为3x2 故答案为： （3，2） 【点评】本题考查了对数不等式，一元二次不等式的解法，属中档题 10 （5 分）已知函数 f（x）x2+ax+2blnx+c 的两
17、个极值点分别在区间（0，1） ， （1，2） 内，则 b2a 的取值范围为 （2，7） 【分析】先根据导函数的两个根的分布建立 a、b 的约束条件，然后利用线性规划的方法 求出目标函数的取值范围即可 【解答】解：函数 f（x）x2+ax+2blnx+c， f（x）x+a+0 的两个根为 x1，x2， x1，x2分别在区间（0，1）与（1，2）内， ，画出区域图得 b2a（2，7） ， 故答案为： （2，7） 【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及利用线性规划的知识解题，属 于基础题 第 9 页（共 20 页） 11 （5 分）已知函数 f（x），则不等式 f（f（x） ）8 的解集
18、为 x|x 2 【分析】利用换元法设 tf（x） ，则不等式等价为 f（t）8，利用分类讨论法分别求 解即可 【解答】解：设 tf（x） ，则不等式等价为 f（t）8， 当 t0 时，由 f（t）8 得， t2+2t8， 得 t22t80，得（t+2） （t4）0 得 t4 或 t2， 此时 t4 当 x0 时，由 t4 得 x24，得 x2 或 x2，此时 x2， 当 x0 时，由 t4 得x2+2x4， 即 x22x+40，此时无解， 当 t0 时，由 f（t）8 得 t28，此时无解， 综上 x2， 即不等式的解集为x|x2， 故答案为：x|x2 【点评】本题主要考查不等式的求解，利用分
19、段函数的表达式，结合换元法进行转化， 利用分类讨论的数学思想是解决本题的关键 12 （5 分）已知椭圆 C：1（ab0）的左右焦点分别为 F1、F2，抛物线 y2 4cx（c2a2b2且 cb）与椭圆 C 在第一象限的交点为 P，若 cosPF1F2，则椭圆 C 的离心率为 第 10 页（共 20 页） 【 分 析 】 作 PE 垂 直 于 抛 物 线 的 准 线 l 于 点 E ， 由 抛 物 线 的 定 义 得 出 ，并设|PF1|5t（t0） ，则|PF2|4t，由椭圆定义可 得出 2a，在PF1F2中利用余弦定理可求出 2c 的值，再由 cb 得出离心率，从 而对 2c 的值分类讨论，
20、可得出椭圆 C 的离心率的值 【解答】解：抛物线 y24cx 的焦点为 F2（c，0） ，如下图所示， 作抛物线的准线 l，则直线 l 过点 F1，过点 P 作 PE 垂直于直线 l，垂足为点 E，由抛物 线的定义知|PE|PF2|， 易知，PEx 轴，则EPF1PF1F2，所以， ， 设|PF1|5t（t0） ，则|PF2|4t，由椭圆定义可知，2a|PF1|+|PF2|9t， 在PF1F2中，由余弦定理可得 ， 整 理 得， 解 得， 或 cb，则 c2b2a2c2，可得离心率 当时，离心率为，合乎题意； 当时，离心率为，不合乎题意 综上所述，椭圆 C 的离心率为 故答案为： 第 11 页
21、（共 20 页） 【点评】本题考查椭圆的性质，考查抛物线的定义以及余弦定理，考查计算能力与推理 能力，属于中等题 13 （5 分）设 a，b，c 是三个正实数，且 a+b+2c，则的最大值为 1 【分析】由题意可得 c，根据 c0，可得 b2a0，则原式可化为 ，设x，则 x2 令 f（x）3x+，利用基本不等式即可求出函数的最小值，则可求出答案 【解答】解：a+b+2c， a2+ab+2acbc， c， c0， b2a0， 即2， ， 第 12 页（共 20 页） 设x，则 x2， 令 f（x）3x+3x+13（x2）+72+76+713， 当且仅当 x3 时取等号， 1， 故答案为：1 【
22、点评】本题考查了基本不等式的应用，考查了转化与化归思想，属于难题 14 （5 分）已知函数 f（x），若函数 g（x）f（x）mx+2m 的图 象与 x 轴的交点个数不少于 2 个，则实数 m 的取值范围为 1，e3，+） 【分析】由题意可得函数 yf（x）的图象与直线 ym（x2）的交点个数至少为 2 个， 分别作出 yf（x）的图象和直线 ym（x2） ，分别求得直线与 x0 的曲线相切，以及 x0 的曲线相切的 m 的值，和经过点（0，1）时 m 的值，结合图象可得 m 的范围 【解答】解：函数 g（x）f（x）mxm 的图象与 x 轴的交点个数不少于 2 个， 即为函数 yf（x）的图
23、象与直线 ym（x2）的交点个数至少为 2 个， 分别作出 yf（x）的图象和直线 ym（x2） ，直线 ym（x2）恒过（2，0）点 当直线与曲线在 x0 相切时，设切点为（s，t） ，ts23s+1 由 yx23x+1 的导数为 y2x3，切线的斜率为：2s3， 可得：s23s+12s2+s+6，解得 a1，a5（舍去） ， 切线的斜率为：231 由函数的图象可知直线 ym（x2） ，经过（0，1）时满足题意， 可得， 则由图象可得 m 的范围是1， 当 x2 时，设切点坐标（s，f（s） ） ，可得 yex，切线的斜率为：，解得 s e3， 切线方程为：ye3e3（x2） ，与 yx23
24、x+1 有 1 个交点，与 yex有一个交点； 综上实数 m 的取值范围为：1，e3，+） 第 13 页（共 20 页） 故答案为：1，e3，+） 【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查分类讨论思想方法和方程思想、以 及数形结合思想方法，属于中档题 二、解答题：本大题共二、解答题：本大题共 6 个小题，满分个小题，满分 90 分请在答卷纸指定区域内作答，解答时应写出分请在答卷纸指定区域内作答，解答时应写出 文字说明、证明过程或文字说明、证明过程或演算步骤演算步骤 15 （15 分）2019 年国际篮联篮球世界杯将于 8 月 31 日至 9 月 15 日在中国的北京、广州、 南京、上海、
25、武汉、深圳、佛山、东莞八座城市举行，为了宣传世界杯，某大学从全校 学生中随机抽取 n 位同学， 对是否收看篮球世界杯赛事的情况进行了小程序投票调查 明 确表示有兴趣并会收看的人数如下统计表： 组数 频数 频率 大一组 96 x 大二组 192 0.4 大三组 y 0.2 大四组 96 0.2 合计 n 1.0 （1）求 x，y，n 的值； （2）现从参与小程序投票调查且明确表示有兴趣并会收看的学生中，采用按年级分层抽 样的方法选取 5 人参加 2019 年国际篮联篮球世界杯志愿者宣传活动，应主办方要求，从 第 14 页（共 20 页） 被选中的这 5 名志愿者中任意选 2 名作为领队，求选取的
26、 2 名领队中恰有一位是大二组 的概率 【分析】 （1）由频率布表列方程组，能求出 x，y，n 的值 （2）采用按年级分层抽样的方法选取 5 人参加 2019 年国际篮联篮球世界杯志愿者宣传 活动，大一组抽中 1 人，大二组抽中 2 人，大三组抽中 1 人，大四组抽中 1 人，从被选 中的这 5 名志愿者中任意选 2 名作为领队，基本事件总数 n10，选取的 2 名领队 中恰有一位是大二组包含的基本事件个数 m6，由此能求出选取的 2 名领队中 恰有一位是大二组的概率 【解答】解： （1）由频率分布表得： ，解得 x0.2，y96，n480 （2）采用按年级分层抽样的方法选取 5 人参加 20
27、19 年国际篮联篮球世界杯志愿者宣传 活动， 大一组抽中：51 人，大二组抽中：52 人， 大三组抽中：51 人，大四组抽中：51 人， 从被选中的这 5 名志愿者中任意选 2 名作为领队， 基本事件总数 n10， 选取的 2 名领队中恰有一位是大二组包含的基本事件个数 m6， 选取的 2 名领队中恰有一位是大二组的概率 p 【点评】本题考查概率的求法及应用，考查频率分布表、分层抽样、古典概型等基础知 识，考查运算求解能力，是基础题 16 （15 分）已知椭圆 C 的短轴长为 2，左、右焦点为 F1、F2椭圆 C 上一点与两焦点构 成的三角形的周长为 2+4 （1）求椭圆 C 的标准方程； （
28、2）设 P 为椭圆 C 上一动点，求的取值范围 第 15 页（共 20 页） 【分析】 （1）由题意可得，解得即可，然后求椭圆 C 的方程； （2）设 P（cos，sin） ，F1（2，0） ，F2（2，0） ，求出向量，利用数量积以及三 角函数的性质求解即可 【解答】解： （1） ：由题意可得，解得 a，b1，c2， 故椭圆的方程为+y21， （2）设 P（cos，sin） ，F1（2，0） ，F2（2，0） 则（2cos，sin） ，（2cos，sin） ， 5cos24+sin23+4cos2， 0cos21， 33+4cos21， 故的取值范围为3，1 【点评】本题考查椭圆的方程的求法
29、，向量的数量积的应用，直线与椭圆的位置关系的 综合应用，考查计算能力 17 （15 分）已知集合 Ax|x2（2a1）x+a2a0，Bx|x2+x20 （1）若“xA”是“xB”的充分不必要条件，求 a 的取值范围； （2）设命题 p：xB，x2+（2m+1）x+m2m8，若命题 p 为假命题，求实数 m 的取值 范围 【分析】 （1）求解一元二次不等式化简 A，B，由题意可得 AB，再由两集合端点值间的 关系列不等式组求解； （2）写出特称命题的否定，由命题p 为真命题，可得关于 m 的不等式组，求解得答案 【解答】解： （1）Ax|x2（2a1）x+a2a0x|a1xa，Bx|x2+x2
30、0x|2x1 “xA”是“xB”的充分不必要条件， AB， 第 16 页（共 20 页） 则，解得1a1 a 的取值范围是（1，1） ； （2）命题 p：xB，x2+（2m+1）x+m2m8 的否定为p：xB，x2+（2m+1）x+m2 m8 命题 p 为假命题，命题p 为真命题， 即xB，x2+（2m+1）x+m2m80 恒成立 令 f（x）x2+（2m+1）x+m2m8，则， 即，解得1m2 实数 m 的取值范围是1，2 【点评】本题考查复合命题的真假判定，考查数学转化思想方法，考查一元二次方程根 的分布，是中档题 18 （15 分）2018 年末，天猫某商铺为了制定 2019 年营销方案
31、，分析了 2018 年每次促销活 动时某网红产品的销售量 y（单位：千套）与销售价格 x（单位：元/套）的关系关系式为 y+，其中 20x60，m 为常数，已知销售价格为 40 元/套时，每次促 销可售出此产品 21 千套 （1）求 m 的值； （2）假设此产品的成本约为每套产品 20 元（只考虑销售出的产品数） ，试确定销售价格 x 的值，使该商铺每次销售此产品所获得的利润最大 【分析】 （1）把（40，21）代入函数解析式计算 m 的值； （2）求出利润的函数解析式，利用导数判断函数单调性，得出极大值点 【解答】解： （1）把（40，21）代入 y+， 得：+521， m320 （2）设商
32、铺所获利润为 f（x） ，则 f（x）（x20） +320， 令 g（x）x3140x2+6000x72000，则 g（x）3x2280x+6000， 第 17 页（共 20 页） 令 g（x）0 得 x或 x60， 当 20x时，g（x）0，当x60 时，g（x）0， 当 x时，g（x）取得最大值， 当 x时，f（x）取得最大值 故销售价格为元/套时，该商铺每次销售此产品所获得的利润最大 【点评】本题考查了函数解析式与函数最值的计算，属于中档题 19 （15 分）椭圆 C 的中心为坐标原点 O，焦点在 x 轴上，B 为上顶点，F 为右焦点，若点 O 到直线 BF 的距离为焦距的 （1）求椭圆
33、 C 的离心率； （2） 已知直线 l 不垂直于坐标轴且直线 l 过点 F 与椭圆 C 交于 M， N 两点，+与 （9，2）共线 求直线 l 的斜率； 设 P 为椭圆 C 上任意一点，+（，R） ，求 + 的最大值 【分析】 （1）由点 O 到直线 BF 的距离为焦距的可得，b，即可得椭 圆 C 的离心率 e （2）利用椭圆的离心率，化简椭圆的方程，设出 AB 的方程，代入椭圆方程，利用韦 达定理，中点坐标公式及斜率公式，即可求斜率； 确定坐标之间的关系，利用 M，A，B 在椭圆上，结合韦达定理，即可证明结论 【解答】解： （1）椭圆 C 的中心为坐标原点 O，焦点在 x 轴上，B 为上顶点
34、，F 为右 焦点， 点 O 到直线 BF 的距离为焦距的 ，b，c， 椭圆 C 的离心率 e 第 18 页（共 20 页） （2）直线 l 不垂直于坐标轴且直线 l 过点 F 与椭圆 C 交于 M，N 两点， 设 M（x1，y1） ，N（x2，y2） ，弦 AB 的中点 H（x0，y0） ， +与 （9，2）共线直线 OP 的斜率 kOH ， 两式相减可得 直线 l 的斜率为； 4a29b2 从而椭圆 C 的方程可化为 20x2+45y236c2， 右焦点 F 的坐标为（c，0） ， 据题意有 MN 所在的直线方程为：y2（xc） 联立可得25x245cx+18c20 则 x1+x2，x1x2
35、，y1y2 设 P（x，y） ，由+（，R）有： （x，y）（x1，y1）+（x2，y2） ， 故 xx1+x2，yy1+y2（8 分） 又因为点 M 在椭圆 C 上，所以有 20（x1+x2）2+45（y1+y2）236c2 整理可得：2（20x12+45y12）+2（20x22+45y22）+2（20x1x2+45y1y2）36c2 所以 20x1x2+45y1y220450 又点 A，B 在椭圆 C 上，故有 20x12+45y1220x22+45y2236c2 将，代入可得：2+21 （+）22（2+2） ，+ 的最大值为 【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题，
36、一元二次方程的 根与系数的关系、考查了推理能力与计算能力，属于难题 20 （15 分）已知函数 f（x）ex，g（x）lnx （1）求函数 yg（x）在点 A（e，1）处的切线方程； 第 19 页（共 20 页） （2）若存在常数 t1（1，+） ，对任意 x（，+） ，f（x）f （t1）2mx2mt1 恒成立，求实数 m 的取值范围 （3）已知函数 h（x）g（x+t2）f（xt2） （t20）在区间0，+）上的最大值为 1，求实数 t2的值 【分析】 （1）求出函数的导数，计算 k 的值，求出切线方程即可； （2）设函数 h（x）f（x）2mx，问题转化为 h（x）在（1，+）时存在最小
37、值，求 出函数的导数，通过讨论 m 的范围，求出函数的单调区间，确定函数的最小值，从而确 定 m 的范围即可； （3） 根据函数的单调性确定存在唯一 x0 （0， +） ， 使得 h （x0） 0， （*） ，求出 h（x）的最大值，得到关于 t2的方程，解出即可 【解答】解： （1）g（x）lnx，x0， g（x）， kg（e）， 函数 yg（x）在点 A（e，1）处的切线方程为 y1（xe） ，即 xey0； （2）设函数 h（x）f（x）2mx， 若存在常数 t1（1，+） ，对任意 x（，+） ，f（x）f （t1）2mx2mt1恒成 立， 则 h（x）在（1，+）时存在最小值， h（
38、x）ex2mx，h（x）ex2m， m0 时，h（x）在（1，+）递增，无最小值， m0 时，令 h（x）0，解得：xln2m， 由 ln2m1，解得：m， ln21 即 m时， 令 h（x）0，解得：h（x）ln2m， 令 h（x）0，解得：xln2m， 故 h（x）在（1，2m）递减，在（2m，+）递增， h（x）minh（2m） ，符合题意， 第 20 页（共 20 页） 0m时，ln2m1， h（x）在（1，+）递增，无最小值，不合题意， 综上，m； （3）h（x）g（x+t2）f（xt2）ln（x+t2）， （t20） ， h（x），显然 h（x）在（0，+）递减， 故存在唯一 x0（0，+） ，使得 h（x0）0， 即（*） ， 故 x（0，x0）时，h（x）0，h（x）递增， x（x0，+）时，h（x）0，h（x）递减， 故 h（x）最大值h（x0）ln（x0+t2）ln（x0+t2）（t20） ， ln（x0+t2）1，显然 x0+t21 是方程的解， 而 ylnx在（0，+）递增， 方程 ln（x0+t2）1 有且只有唯一的实数解 x0+t21， 把 x01t2代入（*）得：1，解得：t2 【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分 类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题
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