1、2018-2019 学年江苏省泰州市高二（上）期末数学试卷（文科）一、填空题（本大题共 14 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 70 分分.请将答案填入答题纸填空题的相应请将答案填入答题纸填空题的相应 答题线上）答题线上） 1 （5 分）命题： “若 a0，则 ab0”的逆否命题是 2 （5 分）已知复数 z2i（i 是虚数单位） ，则|z| 3 （5 分）已知椭圆，则椭圆的焦点坐标是 4 （5 分） “ （x+2） （x1）0”是“3x1”成立的 条件（在“充分不必要” ， “必要不充分” ， “充要” ， “既不充分又不必要”中选一个填写） 5 （5 分）函数 f（x）sinxx
2、，x（0，）的单调递增区间是 6 （5 分）若双曲线 C：（a0，b0）的离心率为，则的值为 7 （5 分）直线 l 过点（0，1） ，且与曲线 yf（x）相切于点（a，3） ，若 f（a）1，则实 数 a 的值是 8 （5 分）古埃及发现如下有趣等式：， 按此规律， （nN*） 9 （5 分）函数 f（x）的定义域为 R，若对任意的 xR，f（x）+xf（x）0，且， 则不等式（x2+1）f（x2+1）1 的解集为 10 （5 分）在实数中：要证明实数 a，b 相等，可以利用 ab 且 ab 来证明：类比到集合 中：要证明集合 A，B 相等，可以利用 来证明 11 （5 分）已知椭圆 C：，
3、过点 P（0，6）的直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点， 若 A 是线段 PB 的中点，则点 A 的坐标为 12 （5 分）若定义在 R 上的函数 f（x）|x33x2+m|有三个不同的单调递增区间，则实数 m 的取值范围是 13 （5 分）已知椭圆 C：的右焦点为 F（2，0） ，F 关于直线的 对称点 Q 在椭圆 C 上，则 b 第 2 页（共 16 页） 14 （5 分）若函数在（l，+）上的最大值为 8，则实数 a 的值为 二、解答题（本大题共二、解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 90 分分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
4、15 （14 分）已知复数 z， （mR，i 是虚数单位） （1）若 z 是纯虚数，求 m 的值； （2）设 是 z 的共轭复数， 在复平面上对应的点在第四象限，求 m 的取值范围 16 （14 分）已知 p：函数 f（x）x22mx+1 在（，1）上单调递减（其中 mR） ，q： xR，x2+2x+m0（其中 mR） （1）如果“p 且 q”为真，求实数 m 的取值范围 （2）如果“p 或 q”为真， “p 且 q”为假，求实数 m 的取值范围 17 （14 分） （1）已知 f（x），x0，+） ，若 x1，x20，+） ，且 x1x2，求证： f （x1）+f（x2）f（） ； （2）用
5、反证法证明：若 f（x）为 R 上的增函数，且 a+f（a）b+f（b） ，求证：ab 18 （16 分）如图，以两条互相垂直的公路所在直线分别为 x 轴，y 轴建立平面直角坐标系， 公路附近有一居民区 EFG 和一风景区，其中 OE1（单位：百米） ，OEF45，风 景区的部分边界为曲线 C，曲线 C 的方程为 y（x5） ，拟在居民和风景区间辟 出一个三角形区域 EMN 用于工作人员办公，点 M，N 分别在 x 轴和 EF 上，且 MN 与曲 线 C 相切于 P 点 （1）设 P 点的横坐标为 t，写出EMN 面积的函数表达式 S（t） ； （2）当 t 为何值时，EMN 面积最小？并求出
6、最小面积 19 （16 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C：的右准线方程 为 x4，右顶点为 A（2，0） 第 3 页（共 16 页） （1）求椭圆 C 的方程； （2）若 M，N 是椭圆 C 上不同于 A 的两点，点 P 是线段 MN 的中点 如图 1，若OPA 为等腰直角三角形且直角顶点 P 在 x 轴上方，求直线 MN 的方程； 如图 2 所示，点 Q 是线段 NA 的中点，若 AMAN 且OPQ 的角平分线与 x 轴垂直， 求直线 AM 的斜率 20 （16 分）已知函数 f（x）xlnx，g（x）ex，h（x）kx2+ex（kR） ，其中 e 为自 然对数的底数 （1）求
7、函数 yf（x）的单调区间； （2）求证：g（x）f（x）+1； （3）若 f（x）+g（x）h（x）恒成立，求实数 k 的取值范围 第 4 页（共 16 页） 2018-2019 学年江苏省泰州市高二（上）期末数学试卷（文科）学年江苏省泰州市高二（上）期末数学试卷（文科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、填空题一、填空题（本大题共（本大题共 14 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 70 分分.请将答案填入答题纸填空题的相应请将答案填入答题纸填空题的相应 答题线上）答题线上） 1 （5 分）命题： “若 a0，则 ab0”的逆否命题是 若 ab0，则 a0 【分析】根据命题
8、的逆否命题 书写即可 【解答】解： “若 a0，则 ab0” 逆否命题：若 ab0，则 a0 故答案为：若 ab0，则 a0 【点评】本题简单的考查了四个命题的概念，准确书写即可 2 （5 分）已知复数 z2i（i 是虚数单位） ，则|z| 【分析】根据复数模长的定义直接进行计算即可 【解答】解：复数 z2i， |z| 故答案为： 【点评】本题主要考查复数的长度的计算，比较基础 3 （5 分）已知椭圆，则椭圆的焦点坐标是 （3，0） ， （3，0） 【分析】根据椭圆的标准方程，利用 c2a2b2，即可求得椭圆的焦点坐标 【解答】解：椭圆，a225，b216 c2a2b29 c3 椭圆的焦点坐标
9、是（3，0） ， （3，0） 故答案为： （3，0） ， （3，0） 【点评】本题考查椭圆的标准方程与几何性质，运用 c2a2b2是关键 4 （5 分） “ （x+2） （x1）0”是“3x1”成立的 充分不必要 条件（在“充分不 必要” ， “必要不充分” ， “充要” ， “既不充分又不必要”中选一个填写） 第 5 页（共 16 页） 【分析】利用不等式的解法、简易逻辑的判定方法即可得出 【解答】解： （x+2） （x1）0，解得2x1 “ （x+2） （x1）0”是“3x1”成立的充分不必要条件 故答案为：充分不必要 【点评】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计
10、算能力， 属于基础题 5 （5 分）函数 f（x）sinxx，x（0，）的单调递增区间是 （0，） 【分析】求出原函数的导函数，由导函数大于 0 求解三角不等式得答案 【解答】解：由 f（x）sinxx，x（0，） ，得 f（x）cosx， 由 f（x）cosx0，得 cosx， x（0，） ，x（0，） ， 则 f（x）的单调递增区间为（0，） 故答案为： （0，） 【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查三角不等式的解法，是基础题 6 （5 分）若双曲线 C：（a0，b0）的离心率为，则的值为 3 【分析】利用双曲线方程，通过离心率转化求解的值即可 【解答】解：双曲线 C：（a0，b
11、0）的离心率为， 可得 e，可得 a2+b210a2，可得3 故答案为：3 【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力 7 （5 分）直线 l 过点（0，1） ，且与曲线 yf（x）相切于点（a，3） ，若 f（a）1，则实 数 a 的值是 2 【分析】利用已知条件求出切线方程，然后求解 a 的值即可 【解答】解：直线 l 经过点（0，1） ，且与曲线 yf（x）相切于点（a，3） 若 f（a） 1， 第 6 页（共 16 页） 切线的斜率为 1，切线方程为：y1x， 所以 31a，解得 a2 故答案为：2 【点评】本题考查曲线的切线方程的求法，切点在切线上也在曲线上，考
12、查计算能力 8 （5 分）古埃及发现如下有趣等式：， 按此规律， +， （nN*） 【分析】先观察再通过计算可归纳推理出答案 【解答】解：由，可归纳出： +， 故答案为：+， 【点评】本题考查了观察能力及归纳推理能力，属简单题 9 （5 分）函数 f（x）的定义域为 R，若对任意的 xR，f（x）+xf（x）0，且， 则不等式（x2+1）f（x2+1）1 的解集为 （，1）（1，+） 【分析】构造函数 g（x）xf（x） ，求导后由已知可知函数为增函数，把原不等式转化 为 g（x2+1）g（2）求解 【解答】解：令 g（x）xf（x） ，则 g（x）f（x）+xf（x）0， 可得 g（x）在（
13、，+）上为增函数， 由，得 g（2）2f（2）1， 不等式（x2+1）f（x2+1）1 化为 g（x2+1）g（2） ， 又 g（x）在（，+）上为增函数， x2+12，得 x1 或 x1 不等式（x2+1）f（x2+1）1 的解集为（，1）（1，+） 故答案为： （，1）（1，+） 【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，构造函数是关键，是中档题 10 （5 分）在实数中：要证明实数 a，b 相等，可以利用 ab 且 ab 来证明：类比到集合 中：要证明集合 A，B 相等，可以利用 AB 且 BA 来证明 【分析】由实数的不等关系类比到集合的包含关系即可 第 7 页（共 16 页） 【解答
14、】解：在实数中：要证明实数 a，b 相等，可以利用 ab 且 ab 来证明：类比到 集合中：要证明集合 A，B 相等，可以利用 AB 且 BA 来证明 故答案为：AB 且 BA 【点评】本题考查了类比推理，实数的不等关系类比到集合的包含关系，属简单题 11 （5 分）已知椭圆 C：，过点 P（0，6）的直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点， 若 A 是线段 PB 的中点，则点 A 的坐标为 （2，3）或（2，3） 【分析】设直线 AB 的方程 ykx+6，设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，根据中点坐标公式可 得 2x1x2，再由，消 y 整理可得（3+4k2）x2+48kx+96
15、0，利用韦达 定理即可求 【解答】解：易知直线的斜率存在，设直线 AB 的方程 ykx+6，设 A（x1，y1） ，B（x2， y2） ， A 是线段 PB 的中点， 2x1x2， 由，消 y 整理可得（3+4k2）x2+48kx+960， x1+x2，x1x2， 由可得， 整理解得 4k29， x124， x12， y13， A（2，3）或（2，3） 故答案为： （2，3）或（2，3） 【点评】本题考查了直线和椭圆的位置关系，考查了韦达定理，考查了运算求解能力， 属于中档题 第 8 页（共 16 页） 12 （5 分）若定义在 R 上的函数 f（x）|x33x2+m|有三个不同的单调递增区间
16、，则实数 m 的取值范围是 （0，4） 【分析】令 g（x）x33x2+m，可得 g（x）在（，0） ， （2，+）递增，在（0，2） 递减 要使函数 f（x）|x33x2+m|有三个不同的单调递增区间，则 g（0）0，g（2）0， 即可求解 【解答】解：令 g（x）x33x2+m，由 g（x）3x26x0 可得，x0 或 x2 g（x）在（，0） ， （2，+）递增，在（0，2）递减 要使函数 f（x）|x33x2+m|有三个不同的单调递增区间，则 g（x）的图象只能如下图 所示， 0m4 故答案为： （0，4） 【点评】本题考查函数的导数与函数的单调性的关系，数形结合思想，属于中档题 13
17、 （5 分）已知椭圆 C：的右焦点为 F（2，0） ，F 关于直线的 对称点 Q 在椭圆 C 上，则 b 2 【分析】设出 Q 的坐标，利用对称知识，集合椭圆方程推出椭圆几何量之间的关系，即 可求出 b 的值 【解答】解：设 Q（m，n） ， 由 F 关于直线的对称点 Q 在椭圆 C 上， 1， （） ， 第 9 页（共 16 页） 解得 m，n， 点 Q 在椭圆上，且 a24+b2， +1， 整理可得 b2（b2+4）2256， b（b2+4）16， 解得 b2， 故答案为：2 【点评】本题考查椭圆的方程简单性质的应用，考查对称知识以及计算能力，属于中档 题 14 （5 分）若函数在（l，+
18、）上的最大值为 8，则实数 a 的值为 【分析】函数在（l，+）上的最大值为 8，可得函数8， 在（l，+）上恒成立化为：a（2x37x2+8x）min，x（l，+） 令 f（x）2x3 7x2+8x，x（l，+） 利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出 【解答】解：函数在（l，+）上的最大值为 8， 函数8，在（l，+）上恒成立 化为：a（2x37x2+8x）min，x（l，+） 令 f（x）2x37x2+8x，x（l，+） 则 f（x）6x214x+82（3x4） （x1） ， 可得 x时，函数 f（x）取得极小值即最小值， 实数 a 的值为 故答案为： 【点评】本题考查了利用导数研究
19、函数的单调性极值与最值、等价转化方法、方程与不 等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 二、解答题（本大题共二、解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 90 分分.解答应写出文字说明，证明过程或解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）演算步骤） 15 （14 分）已知复数 z， （mR，i 是虚数单位） 第 10 页（共 16 页） （1）若 z 是纯虚数，求 m 的值； （2）设 是 z 的共轭复数， 在复平面上对应的点在第四象限，求 m 的取值范围 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简 （1）由实部为 0 且虚部不为 0 列式求解； （2）求出 ，由 的实部大于 0 且虚部小于
20、 0 联立不等式组求解 【解答】解：z （1）若 z 是纯虚数，则，即 m2； （2）， 由 在复平面上对应的点在第四象限，得，即2m2 【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数代数形式的乘除运算，是 基础题 16 （14 分）已知 p：函数 f（x）x22mx+1 在（，1）上单调递减（其中 mR） ，q： xR，x2+2x+m0（其中 mR） （1）如果“p 且 q”为真，求实数 m 的取值范围 （2）如果“p 或 q”为真， “p 且 q”为假，求实数 m 的取值范围 【分析】 （1）由二次函数的单调性得：m1，由二次不等式恒成立问题得：（2） 24m0，即 m3，再由复合
21、命题列不等式组得解； （2）由复合命题及其真假，因为“p 或 q”为真， “p 且 q”为假，则 p、q 一真一假，列 不等式组，可得解 【解答】解： （1）当 p 为真时，即函数 f（x）x22mx+1 在（，1）上单调递减， 则 m1， 当 q 为真时，即：xR，x2+2x+m0，则（2）24m0，即 m3， “p 且 q”为真，则 p 为真且 q 为真， 即，即 m3； （2）由“p 或 q”为真， “p 且 q”为假，则 p、q 一真一假， 由（1）得： 即，解得：1m3 第 11 页（共 16 页） 【点评】本题考查了二次函数的单调性及二次不等式恒成立问题、复合命题及其真假， 属简单
22、题 17 （14 分） （1）已知 f（x），x0，+） ，若 x1，x20，+） ，且 x1x2，求证： f （x1）+f（x2）f（） ； （2）用反证法证明：若 f（x）为 R 上的增函数，且 a+f（a）b+f（b） ，求证：ab 【分析】 （1）利用分析法，结合基本不等式的性质进行证明 （2）利用反证法，结合反证法的步骤，构造函数进行证明即可 【解答】解： （1）分析法：要证明f（x1）+f（x2）f（） ； 即证明+2， 即证明（+）2（2）2， 即 x1+x2+242（x1+x2） 即证明 2x1+x2， x1，x20，+） ，且 x1x2， 2x1+x2，成立，即f（x1）+f
23、（x2）f（） ； （2）反证法： 假设结论不成立，即 ab， 若 f（x）为 R 上的增函数， g（x）x+f（x）在 R 上为增函数， 则 g（a）g（b） ，即 a+f（a）b+f（b） ，与已知 a+f（a）b+f（b）矛盾， 即假设不成立，则原命题成立 【点评】本题主要考查不等式的证明，结合分析法以及反证法是解决本题的关键 18 （16 分）如图，以两条互相垂直的公路所在直线分别为 x 轴，y 轴建立平面直角坐标系， 公路附近有一居民区 EFG 和一风景区，其中 OE1（单位：百米） ，OEF45，风 景区的部分边界为曲线 C，曲线 C 的方程为 y（x5） ，拟在居民和风景区间辟
24、出一个三角形区域 EMN 用于工作人员办公，点 M，N 分别在 x 轴和 EF 上，且 MN 与曲 第 12 页（共 16 页） 线 C 相切于 P 点 （1）设 P 点的横坐标为 t，写出EMN 面积的函数表达式 S（t） ； （2）当 t 为何值时，EMN 面积最小？并求出最小面积 【分析】 （1）求出直线 MN 和直线 EF 的方程，求出 M 和 N 的坐标，从而得出 S（t） ； （2）利用导数判断 S（t）的单调性，再计算 S（t）的最小值 【解答】解： （1）由已知可知 P（t，） ，故直线 MN 的斜率为， 直线 MN 的方程为 y（xt）+， 令 y0 可得 x2t，M（2t，
25、0） 又 E（1，0） ，OEF45， 直线 EF 的方程为 yx+1， 联立方程组，解得 x，y， yN， S（t）（2t1） （t5） （2）S（t） 当t2 时，S（t）0，当 2t时，S（t）0， 当 t2 时，S（t）取得最小值 S（2） 当 t2 时，EMN 面积最小，最小面积为 【点评】本题考查了导数与函数的关系，函数模型的应用，属于中档题 第 13 页（共 16 页） 19 （16 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C：的右准线方程 为 x4，右顶点为 A（2，0） （1）求椭圆 C 的方程； （2）若 M，N 是椭圆 C 上不同于 A 的两点，点 P 是线段 MN
26、的中点 如图 1，若OPA 为等腰直角三角形且直角顶点 P 在 x 轴上方，求直线 MN 的方程； 如图 2 所示，点 Q 是线段 NA 的中点，若 AMAN 且OPQ 的角平分线与 x 轴垂直， 求直线 AM 的斜率 【分析】 （1）椭圆 C 的右准线为 x4，即4，及其 a2c2+b2，解出 a，b 即可 （2）可得 P（1，1） 由 kMN，可得 k即可得直线 MN 的方程 设 AM 的斜率为 k，可得 kPQk 由 kOP+kPQ0，kMN，可得 设AM的方程为yk （x2） ， 可得， y， x， 由，整理可得：10k4+7k230，解得，k即可 【解答】解： （1）椭圆 C：的右准
27、线方程为 x4，右顶点为 A （2，0） ，a2，c1，b2a2c23， 第 14 页（共 16 页） 椭圆 C 的方程为 （2）OPA 为等腰直角三角形且直角顶点 P 在 x 轴上方 OP 的方程为：yx，AP 的方程为：yx2 由可得 P（1，1） 设 M（x1，y1） ，N（x2，y2） 则 x1+x22，y1+y22 ， 两式相减可得0kMN kOP1，即 k 直线 MN 的方程为 y1（x1） ，即 3x+4y70 设 AM 的斜率为 k，点 P 是线段 MN 的中点，点 Q 是线段 NA 的中点，kPQk OPQ 的角平分线与 x 轴垂直，kOP+kPQ0，kOPk 由可得 kMN
28、， 设 AM 的方程为 yk（x2） 由可得（3+4k2）x216k2x+16k2120 2， x， 以换 k，可得，y， ， 整理可得：10k4+7k230，解得，k 第 15 页（共 16 页） 直线 AM 的斜率为 【点评】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线的圆锥曲线的位置关系，考查 圆的方程及点到直线的距离公式，直线的斜率公式，考查计算能力，解题时要认真审题， 属于中档题 20 （16 分）已知函数 f（x）xlnx，g（x）ex，h（x）kx2+ex（kR） ，其中 e 为自 然对数的底数 （1）求函数 yf（x）的单调区间； （2）求证：g（x）f（x）+1； （3）若 f
29、（x）+g（x）h（x）恒成立，求实数 k 的取值范围 【分析】 （1）求得 f（x）的导数，由导数大于 0，可得增区间；导数小于 0，可得减区间； （2）设 F（x）lnx（x0） ，求得导数，并化简，结合指数函数的单调性， 可得 F（x）在 x0 的单调性，可得最小值，即可得证； （3）f（x）+g（x）h（x）恒成立k恒成立，通过构造函数，求 得单调性，可得最小值，即可得到 k 的范围 【解答】解： （1）函数 f（x）xlnx 的导数为 f（x）1+lnx， 由 f（x）0，可得 x；由 f（x）0，可得 0x； 即 f（x）的增区间为（，+） ，减区间为（0，） ； （2）证明：设
30、F（x）lnx（x0） ， 可得 F（x）+， 当 x1 时，ex1，F（x）0，F（x）递增； 当 0x1 时，ex1，F（x）0，F（x）递减； 可得 F（x）的最小值为 F（1）e10， 即有lnx0，即为 xlnx+1ex，可得 g（x）f（x）+1； （3）f（x）+g（x）h（x）恒成立k恒成立， 第 16 页（共 16 页） 令 m （ x ） ， m （ x ） ， 令 r （ x ） ex lnx+e+1 ， r （ x ） ， 设 G（x）exx+1，可得 G（x）ex1，当 x0 时，G（x）递增，可得 G（x） G（0）0， 即有 exx+1，即有 r（x）0，r（x）在 x0 递增，r（1）0， 而在（0，1）上，r（x）0；m（x）在（0，1）递减； 在1，+）上 r（x）0，m（x）在1，+）递增，可得 m（x）的最小值为 m（1） ，即 k， 综上可得 k 的取值范围是（， 【点评】本题考查导数的综合运用：求单调性和极值、最值，考查构造函数法和参数分 离，以及化简变形能力、推理能力，属于难题
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