1、2019-2020 学年江苏省苏州市高二（上）期末数学试卷一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共计分，共计 40 分在每小题给出的四个选项中，分在每小题给出的四个选项中， 只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1 （5 分）下列不等式中成立的是（ ） A若 ab，则 ac2bc2 B若 ab，则 a2b2 C若 ab0，则 a2abb2 D若 ab0，则 2 （5 分）不等式 x（4x）3 的解集为（ ） Ax|x1 或 x3 Bx|x0 或 x4 Cx|1x3 Dx|0x4
2、 3 （5 分）双曲线离心率为（ ） A B C D 4 （5 分）椭圆的两个焦点分别为 F1（8，0） ，F2（8，0） ，且椭圆上一点到两个焦点的距 离之和是 20，则椭圆的标准方程为（ ） A+1 B+1 C+1 D+1 5 （5 分）等比数列an的前 n 项和为 Sn，若 a11，且 4a1，2a2，a3成等差数列，则 S4 （ ） A7 B8 C15 D16 6 （5 分）已知正方体 ABCDA1B1C1D1中，E 是 CD 的中点，直线 A1E 与平面 B1BC 所成 角的正弦值为（ ） A B C D 7 （5 分）中国古诗词中，有一道“八子分绵”的数学名题： “九百
3、九十六斤绵，赠分八子 作盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言” ，题意是：把 996 斤绵分给 8 个儿子作盘缠， 按照年龄从大到小的顺序依次分绵，相邻两个儿子中，年龄小的比年龄大的多分到 17 斤 绵，那么第 8 个儿子分到的绵是（ ） A201 斤 B191 斤 C184 斤 D174 斤 第 2 页（共 22 页） 8 （5 分）关于 x 的不等式（ax1）2x2恰有 2 个整数解，则实数 a 的取值范围是（ ） A （，（， B （，） C，）（， D，），） 二、多项选择题（本大题共二、多项选择题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共计分，共计
4、20 分在每小题给出的四个选项中，分在每小题给出的四个选项中， 至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 9 （5 分）下列判断中正确的是（ ） A在ABC 中， “B60”的充要条件是“A，B，C 成等差数列” B “x1”是“x23x+20”的充分不必要条件 C命题 p： “x0，使得 x2+x+10” ，则 p 的否定： “x0，都有 x2+x+10” D 若平面内一动点到定点的距离等于它到定直线的距离， 则该动点的轨迹是一条抛物线 10 （5 分）已知向量 （1，2，3）
5、 ， （3，0，1） ， （1，5，3） ，下列等式 中正确的是（ ） A B C D 11 （5 分）已知数列an的前 n 项和为 Sn，且 Sn2（ana） （其中 a 为常数） ，则下列说 法正确的是（ ） A数列an一定是等比数列 B数列an可能是等差数列 C数列Sn可能是等比数列 D数列Sn可能是等差数列 12 （5 分）已知方程 mx2+ny2mn 和 mx+ny+p0（其中 mn0 且 m，nR，p0） ，它们 所表示的曲线在同一坐标系中可能出现的是（ ） A B 第 3 页（共 22 页） C D 三、填空题（本大题共
6、三、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共计分，共计 20 分其中第分其中第 15 题共有题共有 2 空，第一个空，第一个 空空 2 分，第二个空分，第二个空 3 分；其余题均为一空，每空分；其余题均为一空，每空 5 分请把答案填写在答题卡相应位置上）分请把答案填写在答题卡相应位置上） 13 （5 分） 已知向量 （1，4，3） ， （2，t， 6） ，若 ，则实数 t 的值为 14 （5 分）己知正实数 x，y 满足 x+4y1，则的最小值为 15 （5 分）早在一千多年之前，我国已经把溢流孔用于造桥技术，以减轻桥身重量
7、和水流 对桥身的冲击，现设桥拱上有如图所示的 4 个溢流孔，桥拱和溢流孔轮廓线均为抛物线 的一部分，且四个溢流孔轮廓线相同根据图上尺寸，在平面直角坐标系 xOy 中，桥拱 所在抛物线的方程为 ，溢流孔与桥拱交点 B 的坐标为 16 （5 分）已知一族双曲线 En：（nN*，且 n2020） ，设直线 x2 与 En 在第一象限内的交点为 An，由 An向 En的两条渐近线作垂线，垂足分别为 Bn，n记 AnBnn的面积为 an，则 a1+a2+a3+a2020 四、解答题（本大题共四、解答题（本大题共 6 小题，共计小题，共计 70 分请在答题卡指定区
8、域内作答解答时应写出文分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤）字说明、证明过程或演算步骤） 17 （10 分）解下列不等式： （1）x24x120； （2） 18 （12 分）已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，公差 d0，且 S3+S550，a1，a4，a13成 等比数列 （1）求数列an的通项公式； 第 4 页（共 22 页） （2）已知数列是首项为 1，公比为 3 的等比数列，求数列bn的前 n 项和 Tn 19 （12 分）如图 1，一个铝合金窗是由一个框架和部分外推窗框组成，其中框架设计如图 2，其结构为上、下两栏，下栏为两个完全相同的矩形，四周框架
9、和中间隔栏的材料为铝 合金，宽均为 8（cm） ，上栏和下栏的框内矩形高度（不含铝合金部分）比为 1：2，此铝 合金窗占用的墙面面积为 20000（cm2） ，设该铝合金窗的宽和高分别 a（cm） ，b（cm） ， 铝合金的透光部分的面积为 S（cm2） （外推窗框遮挡光线部分忽略不计） （1）试用 a，b 表示 S； （2）若要使 S 最大，则铝合金窗的宽和高分别为多少？ 20 （12 分）已知抛物线 x24y，过点 P（4，2）作斜率为 k 的直线 l 与抛物线交于不同的 两点 M，N （1）求 k 的取值范围； （2）若OMN 为直角三角形，且 OMON，求 k 的值 21 （12 分）
10、如图，已知正方形 ABCD 和矩形 ACEF 所在的平面互相垂直，AB，AF t，M 是线段 EF 的中点 （1）求证：AM平面 BDE； （2）若 t1，求二面角 ADFB 的大小； （3）若线段 AC 上总存在一点 P，使得 PFBE，求 t 的最大值 第 5 页（共 22 页） 22 （12 分）如图，已知椭圆1（ab0） ，左、右焦点分别为 F1，F2，右顶点 为 A，上顶点为 B，P 为椭圆上在第一象限内一点 （1）若 求椭圆的离心率 e； 求直线 PF1的斜率 （2）若，成等差数列，且F1BO30，求直线 PF1的 斜率的取值范围 第 6 页（共 22 页） 2019-2020 学
11、年江苏省苏州市高二（上）期末数学试卷学年江苏省苏州市高二（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、单项选择题（本大题共一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共计分，共计 40 分在每小题给出的四个选项中，分在每小题给出的四个选项中， 只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1 （5 分）下列不等式中成立的是（ ） A若 ab，则 ac2bc2 B若 ab，则 a2b2 C若 ab0，则 a2abb2 D若 ab0，则 【分析】运用列举法和不等式的性质，逐一进行
12、判断，即可得到结论 【解答】解：对于 A，若 ab，c0，则 ac2bc2，故 A 不成立； 对于 B，若 ab，比如 a2，b2，则 a2b2，故 B 不成立； 对于 C，若 ab0，比如 a3，b2，则 a2ab，故 C 不成立； 对于 D，若 ab0，则 ab0，ab0，即有0，即，则，故 D 成 立 故选：D 【点评】本题考查不等式的性质和运用，注意运用列举法和不等式的性质是解题的关键 2 （5 分）不等式 x（4x）3 的解集为（ ） Ax|x1 或 x3 Bx|x0 或 x4 Cx|1x3 Dx|0x4 【分析】原不等式可以变形为 x24x+30，结合其对应的二次函数
13、yx24x+3 的二次 函数，分析可得答案 【解答】解：根据题意，原不等式可以变形为 x24x+30， （x1） （x3）0， x1 或 x3， 所以：不等式 x（4x）3 的解集为：x|x1 或 x3， 故选：A 【点评】本题考查一元二次不等式的解法，解题时要结合一元二次函数的性质进行分析， 注意答案写成集合或区间的形式 3 （5 分）双曲线离心率为（ ） 第 7 页（共 22 页） A B C D 【分析】求得双曲线的 a，b，c，由离心率公式 e，计算可得所求值 【解答】解：双曲线的 a3，b4，c5， e 故选：A 【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要是离心率的求法，考查运算能力，
14、属于基 础题 4 （5 分）椭圆的两个焦点分别为 F1（8，0） ，F2（8，0） ，且椭圆上一点到两个焦点的距 离之和是 20，则椭圆的标准方程为（ ） A+1 B+1 C+1 D+1 【分析】由题意可得：c8，并且得到椭圆的焦点在 x 轴上，再根据椭圆的定义得到 a 10，进而由 a，b，c 的关系求出 b 的值得到椭圆的方程 【解答】解：两个焦点的坐标分别是 F1（8，0） ，F2（8，0） ， 椭圆的焦点在横轴上，并且 c8， 由椭圆的定义可得：2a20，即 a10， 由 a，b，c 的关系解得 b6， 椭圆方程是+1 故选：C 【点评】本题主要考查椭圆的标准方程与椭圆的定
15、义，以及考查椭圆的简单性质，此题 属于基础题 5 （5 分）等比数列an的前 n 项和为 Sn，若 a11，且 4a1，2a2，a3成等差数列，则 S4 （ ） A7 B8 C15 D16 【分析】利用 a11，4a1，2a2，a3成等差数列，求得等比数列的公比，即可求出 S4的 第 8 页（共 22 页） 值 【解答】解：设等比数列的公比为 q，则 a11，4a1，2a2，a3成等差数列， 4q4+q2， q2 S41+2+4+815 故选：C 【点评】本题考查等比数列的通项与求和，考查等差数列的性质，解题的关键是确定数 列的公比，属于基础题 6 （5 分）已知正方体 ABCDA1B1C1D
16、1中，E 是 CD 的中点，直线 A1E 与平面 B1BC 所成 角的正弦值为（ ） A B C D 【分析】以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DD1为 z 轴，建立空间直角坐标系，利 用向量法能求出直线 A1E 与平面 B1BC 所成角的正弦值 【解答】解：以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DD1为 z 轴，建立空间直角坐标系， 设正方体 ABCDA1B1C1D1中棱长为 2， 则 A1（2，0，2） ，E（0，1，0） ， （2，1，2） ， 平面 B1BC 的法向量 （0，1，0） ， 设直线 A1E 与平面 B1BC 所成角为 ， 则直线
17、 A1E 与平面 B1BC 所成角的正弦值为： sin 故选：B 第 9 页（共 22 页） 【点评】本题考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系 等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 7 （5 分）中国古诗词中，有一道“八子分绵”的数学名题： “九百九十六斤绵，赠分八子 作盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言” ，题意是：把 996 斤绵分给 8 个儿子作盘缠， 按照年龄从大到小的顺序依次分绵，相邻两个儿子中，年龄小的比年龄大的多分到 17 斤 绵，那么第 8 个儿子分到的绵是（ ） A201 斤 B191 斤 C184 斤 D174 斤 【分析】由题意可知，数列为
18、等差数列，公差为 d17，n8，S8996，以第 8 个儿子 为首项，即可求出答案 【解答】解：由题意可知，数列为等差数列， 公差为 d17，n8，S8996，以第 8 个儿子为首项， 8a1+17996， 解得 a1184， 故选：C 【点评】本题考查了等差数列的求和公式的应用，属于基础题 8 （5 分）关于 x 的不等式（ax1）2x2恰有 2 个整数解，则实数 a 的取值范围是（ ） A （，（， B （，） C，）（， D，），） 【分析】二次不等式作差，利用平方差公式因式分解，分析解集的端点范围，结合不等 式恰有两个整数解求另一个端点的范围 【解答】解：由题（
19、ax1）2x2恰有 2 个整数解，即（ax1）2x20（ （a+1）x 1） （ （a1）x1）0 恰有两个解， 第 10 页（共 22 页） （a+1） （a1）0，即 a1，或 a1 当 a1 时，不等式解为x， （0，） ，恰有两个整数解即：1，2， 23，2a213a3，解得：a； 当 a1 时，不等式解为x， （，0） ，恰有两个整数解即：1，2， 32，2（a+1）13（a+1） ，解得：a， 综上所述：a，或a 故选：B 【点评】此题考查含参数的二次不等式，根据不等式的解集特征求参数范围，关键在于 准确进行分类讨论 二、多项选择题（本大题共二、多项选择题（本大题共 4 小题，每小
20、题小题，每小题 5 分，共计分，共计 20 分在每小题给出的四个选项中，分在每小题给出的四个选项中， 至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 9 （5 分）下列判断中正确的是（ ） A在ABC 中， “B60”的充要条件是“A，B，C 成等差数列” B “x1”是“x23x+20”的充分不必要条件 C命题 p： “x0，使得 x2+x+10” ，则 p 的否定： “x0，都有 x2+x+10” D 若平面内一动点到定点的距离等于它到定直线的距离， 则该动点的轨迹是一条抛物线 【
21、分析】由充分必要条件的判定判断 A 与 B；写出特称命题的否定判断 C；由抛物线的 定义判断 D 【解答】解：对于 A，在ABC 中，A，B，C 成等差数列2BA+C3B180B 60，故 A 正确； 对于 B，由 x1x23x+20，反之，由 x23x+20，不一定得到 x1，“x1” 是“x23x+20”的充分不必要条件，故 B 正确； 对于 C，命题 p： “x0，使得 x2+x+10” ，则 p 的否定： “x0，都有 x2+x+10” ， 故 C 错误； 对于 D，若平面内一动点到定点的距离等于它到定直线的距离，则该动点的轨迹是一条 第 11 页（共 22 页） 直线或一条抛物线，故
22、 D 错误 故选：AB 【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查充分必要条件的判定，考查特称命题的 否定及抛物线的定义，是基础题 10 （5 分）已知向量 （1，2，3） ， （3，0，1） ， （1，5，3） ，下列等式 中正确的是（ ） A B C D 【分析】A左边为向量，右边为实数，显然不相等 B利用向量运算性质、数量积运算性质即可得出 C利用向量运算性质、数量积运算性质即可得出 D利用向量运算性质、数量积运算性质即可得出 【解答】解：A左边为向量，右边为实数，显然不相等，不正确； B左边（4，2，2） （1，5，3）0，右边（1，2，3） （2，
23、5，4）2+10 120，左边右边，因此正确 C（3，7，1） ，左边32+72+（1）259，右边12+22+32+32+0+（1） 2+（1）2+52+（3）259，左边右边，因此正确 D由 C 可得：左边； （1，3，7） ，| |，左 边右边，因此正确 综上可得：BCD 正确 故选：BCD 【点评】本题考查了向量运算性质、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属 于基础题 11 （5 分）已知数列an的前 n 项和为 Sn，且 Sn2（ana） （其中 a 为常数） ，则下列说 法正确的是（ ） 第 12 页（共 22 页） A数列an一定是等比数列 B数列an可能是等差数列 &n
24、bsp;C数列Sn可能是等比数列 D数列Sn可能是等差数列 【分析】结合已知可得 an2an1，n1，然后结合 a 是否为 0 可进行判定是否满足等差 或等比 【解答】解：Sn2（ana） ， 当 n1 时可得，Sn12（an1a） ， 两式相减可得，an2an1，n1， 又 n1 时，S12（a1a）可得，a12a， 若 a0 时，数列an不是等比数列，而是等差数列，其各项都为 0，和也为等差数列 当 a0 时，数列an是等比数列，不是等差数列，而非常数性等比数列的前 n 项和不是 等比， 故选：BD 【点评】本题主要考查了利用递推公式求解数列的通项公式，体现了分类讨论思想的应 用 12 （
25、5 分）已知方程 mx2+ny2mn 和 mx+ny+p0（其中 mn0 且 m，nR，p0） ，它们 所表示的曲线在同一坐标系中可能出现的是（ ） A B C D 【分析】 先将方程转化为标准方程， 结合直线截距， 斜率以及椭圆双曲线中 m， n 的符号， 判断是否对应即可 【解答】解：方程 mx2+ny2mn 等价为+1，mx+ny+p0 的斜截式方程为 y x， 第 13 页（共 22 页） A 中椭圆满足 nm0，则直线斜率 k0截距0，满足条件 B中椭圆满足 mn0，则直线斜率 k0截距0，截距不满足条件 C中双曲线满足 n0，m0，则直线斜率 k0截距0，满足条件 D中
26、双曲线满足 m0，n0，则直线斜率 k0直线斜率不满足条件 故选：AC 【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，结合圆锥曲线中，m，n 的符号以及直线 斜率和截距的关系是否对应是解决本题的关键难度不大 三、填空题（本大题共三、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共计分，共计 20 分其中第分其中第 15 题共有题共有 2 空，第一个空，第一个 空空 2 分，第二个空分，第二个空 3 分；其余题均为一空，每空分；其余题均为一空，每空 5 分请把答案填写在答题卡相应位置上）分请把答案填写在答题卡相应位置上） 13 （5 分）已知向量 （1，4，3） ， （2，t，
27、6） ，若 ，则实数 t 的值为 8 【分析】利用向量垂直的性质直接求解 【解答】解：向量 （1，4，3） ， （2，t，6） ， ， ， 解得 t8， 实数 t 的值为8 故答案为：8 【点评】本题考查实数值的求法，考查向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力， 是基础题 14 （5 分）己知正实数 x，y 满足 x+4y1，则的最小值为 9 【分析】利用已知条件：x+4y1，将+中的 1 换成 x+4y1，相除后用基本不等式即 可 【解答】解：x0，y0，x+4y1， +1+4 5+5+29， 第 14 页（共 22 页） 当且仅当，即 x，y时，等号成立 故答案为：9 【点评】本题考查
28、了基本不等式及其应用属中档题 15 （5 分）早在一千多年之前，我国已经把溢流孔用于造桥技术，以减轻桥身重量和水流 对桥身的冲击，现设桥拱上有如图所示的 4 个溢流孔，桥拱和溢流孔轮廓线均为抛物线 的一部分，且四个溢流孔轮廓线相同根据图上尺寸，在平面直角坐标系 xOy 中，桥拱 所在抛物线的方程为 x280y ，溢流孔与桥拱交点 B 的坐标为 （10，） 【分析】设抛物线的方程为 x22py， （p0） ，右边第一个溢流孔所在方程为（x14） 22p'y（p'0） ，运用待定系数法，求得 p，p'，可得右边第二个溢流孔所在方程，联 立抛物线方程，可得所求 【解答】解：设
29、抛物线的方程为 x22py， （p0） ，右边第一个溢流孔所在方程为（x 14）22p'y（p'0） ， 由它们均过（20，5） ，代入可得 40010p，3610p'， 可得抛物线的方程为 x280y，以及（x14）2y， 则右边第二个溢流孔所在方程为（x7）2y， 由联立解得 B（10，） ， 故答案为：x280y， （10，） 【点评】本题考查抛物线的方程的求法和运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题 16 （5 分）已知一族双曲线 En：（nN*，且 n2020） ，设直线 x2 与 En 在第一象限内的交点为 An，由 An向 En的两条渐近线作
30、垂线，垂足分别为 Bn，n记 AnBnn的面积为 an，则 a1+a2+a3+a2020 第 15 页（共 22 页） 【分析】求得双曲线的渐近线方程，令 x2 可得 y，设 An（2，y） ，运用点到直线的距 离公式可得|AnBn|，|Ann|，运用三角形的面积公式可得 an（） ， 由数列的裂项相消求和计算可得所求和 【解答】解：双曲线 En：（nN*，且 n2020）的渐近线方程为 xy 0，x+y0， 令 x2，可得 y24，设 An（2，y） ，可得|AnBn|，|Ann|， 则 an|AnBn|Ann|4y2|（） ， 可得 a1+a2+a3+a2020（1+）（1） 故答案为：
31、【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程，考查点到直线的距离公式， 以及数列的裂项相消求和，考查化简运算能力，属于中档题 四、解答题（本大题共四、解答题（本大题共 6 小题，共计小题，共计 70 分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤）字说明、证明过程或演算步骤） 17 （10 分）解下列不等式： （1）x24x120； （2） 【分析】 （1）根据题意，不等式变形可得（x6） （x+2）0，解可得不等式的解集，即 可得答案； （2）根据题意，原不等式变形可得0，解可得不等式的解集，即可得答案 【解答】解： （1
32、）根据题意，x24x120（x6） （x+2）0， 解可得：2x6，即不等式的解集为2，6； （2）根据题意，0， 解可得：x3 或 x8，即不等式的解集为x|x3 或 x8 【点评】本题考查一元二次不等式和分式不等式的解法，注意分式不等式的变形，属于 基础题 第 16 页（共 22 页） 18 （12 分）已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，公差 d0，且 S3+S550，a1，a4，a13成 等比数列 （1）求数列an的通项公式； （2）已知数列是首项为 1，公比为 3 的等比数列，求数列bn的前 n 项和 Tn 【分析】 （1）将已知等式用等差数列an的首项、公差表示，列出方程组，求
33、出首项、 公差；利用等差数列的通项公式求出数列an的通项公式 （2）利用等比数列的通项公式求出，进一步求出 bn，根据数列bn通项的特点，选 择错位相减法求出数列bn的前 n 项和 Tn 【解答】解： （1）依题意得 解得， ana1+（n1）d3+2（n1）2n+1， 即 an2n+1 （2）， bnan3n 1（2n+1） 3n1 Tn3+53+732+（2n+1） 3n 1 3Tn33+532+733+（2n1） 3n 1+（2n+1） 3n 2Tn3+23+232+23n 1（2n+1）3n Tnn3n 【点评】解决等差、等比两个特殊数列的问题，一般将已知条件用基本量表示，列出方 程组
34、解决；求数列的前 n 项和，一般先求出数列的通项，根据通项的特点选择合适的求 和方法 19 （12 分）如图 1，一个铝合金窗是由一个框架和部分外推窗框组成，其中框架设计如图 第 17 页（共 22 页） 2，其结构为上、下两栏，下栏为两个完全相同的矩形，四周框架和中间隔栏的材料为铝 合金，宽均为 8（cm） ，上栏和下栏的框内矩形高度（不含铝合金部分）比为 1：2，此铝 合金窗占用的墙面面积为 20000（cm2） ，设该铝合金窗的宽和高分别 a（cm） ，b（cm） ， 铝合金的透光部分的面积为 S（cm2） （外推窗框遮挡光线部分忽略不计） （1）试用 a，b 表示 S； （2）若要使
35、S 最大，则铝合金窗的宽和高分别为多少？ 【分析】 （1） 由已知得 ab20000， 设上栏框内高度为 h （cm） ， 下栏框内高度为 2h （cm） ， 把 h 用含有 b 的代数式表示，可得透光部分的面积 S 与 a 和 b 的关系； （2）直接利用基本不等式求最值 【解答】解： （1）铝合金窗的宽和高分别 a（cm） ，b（cm） ，a0，b0， 由已知 ab20000， 设上栏框内高度为 h（cm） ，下栏框内高度为 2h（cm） ， 则 3h+24b，h 透光部分的面积 S（a24）+（a16）20512（24a+） ； （2）a0，b0， 24a+ S20512（2
36、4a+）20512640014112 当且仅当 24a时上式“”成立，此时，代入得 a，从而 b150 即当 a时，S 取得最大值 第 18 页（共 22 页） 答：铝合金窗的宽为cm，高为 150cm 时，可使透光部分的面积最大 【点评】本题考查根据实际问题选择函数模型，训练了利用基本不等式求最值，是中档 题 20 （12 分）已知抛物线 x24y，过点 P（4，2）作斜率为 k 的直线 l 与抛物线交于不同的 两点 M，N （1）求 k 的取值范围； （2）若OMN 为直角三角形，且 OMON，求 k 的值 【分析】本题第（1）题由题意可知直线 l 方程为 y2k（x4） 联立
37、直线和抛物线方 程，消去 y，整理可得一元二次方程，根据直线 l 与抛物线交于不同的两点可知16k2 32（2k1）0，解出这个一元二次不等式可得 k 的取值范围；第（2）题根据根与系 数的关系，可得 x1+x24k，x1x28（2k1） 设 M（x1，y1） ，N（x2，y2） 由 OM ON 可得0再根据x1x2+y1y2代入计算可得 k 的值，然后根据题意排除 不符合题意的 k 值，即可得到正确结果 【解答】解： （1）由题意，直线 l 方程为 y2k（x4） 联立， 消去 y，整理得 x24kx+8（2k1）0 则16k232（2k1）0， 整理，得 k24k+20 解得 k2，或 k
38、2+ k 的取值范围为（，2）（2+，+） （2）由题意，设 M（x1，y1） ，N（x2，y2） 则（x1，y1） ，（x2，y2） 由（1） ，根据根与系数的关系，可得 x1+x24k，x1x28（2k1） OMON， 0 x1x2+y1y2 第 19 页（共 22 页） x1x2+ （x1x2）2+x1x2 8（2k1）2+8（2k1） 4（4k21）0 k2，即 k 当 k时，直线过原点，O，M，N 不能构成三角形， k 【点评】本题主要考查直线与抛物线的综合问题，考查了方程思想的应用，解一元二次 不等式，韦达定理的应用，向量的内积知识本题属较难题 21 （12 分）如图，已知正方形
39、ABCD 和矩形 ACEF 所在的平面互相垂直，AB，AF t，M 是线段 EF 的中点 （1）求证：AM平面 BDE； （2）若 t1，求二面角 ADFB 的大小； （3）若线段 AC 上总存在一点 P，使得 PFBE，求 t 的最大值 【分析】 （1）证明 OAME 为平行四边形，进而得到 AMEO，由此得证； （2）建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，利用向量公式得解； （3）求出向量的坐标，由 PFBE 得到 ，t 的关系式，由此得解 【解答】解： （1）证明：设 ACBDO，连接 AM，EO， 矩形 ACEF 中 M 是线段 EF 的中点，O 是线段 AC 的中点， EMAO，
40、EMAO， OAME 为平行四边形， AMEO， 又 AM 不在平面 BDE 内，EO 在平面 BDE 内， 第 20 页（共 22 页） AM平面 BDE； （2）由题意，正方形 ABCD 和矩形 ACEF 所在的平面互相垂直， 平面 ABCD平面 ACEFAC，ECAC， EC平面 ABCD， 以 CD，CB，CE 分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，当 t1 时， 则， ， 易知平面 ADF 的一个法向量为， 设平面 BDF 的一个法向量为，则，则可取 ， 设二面角 ADFB 的平面角为 ，则， 二面角 ADFB 的大小为； （3）因为点 P 在线段 AC 上，而，设，则
41、，从而点 P 的坐标为， 于是，而， 则由 PFBE 可知，即2（1）+t20， t22（1）2，解得，故 t 的最大值为 【点评】本题考查线面平行的判定及利用空间向量解决立体几何问题，考查运算能力及 逻辑推理能力，属于中档题 第 21 页（共 22 页） 22 （12 分）如图，已知椭圆1（ab0） ，左、右焦点分别为 F1，F2，右顶点 为 A，上顶点为 B，P 为椭圆上在第一象限内一点 （1）若 求椭圆的离心率 e； 求直线 PF1的斜率 （2）若，成等差数列，且F1BO30，求直线 PF1的 斜率的取值范围 【分析】 （1）由 SS，可得 2cac，即可点到所求离心率的值； 设 PF1
42、的直线方程为 yk（x+c） ，运用点到直线的距离公式和三角形的面积公式，可得 所求值； （2）设 St，则 St，由条件可得 St，再由等差数 列的中项性质和条件，运用换元法和二次函数的最值求法，可得所求范围 【解答】解： （1）SS，可得|F1F2|F2A|，即有 2cac， 即 a3c，e； 设 PF1的直线方程为 yk（x+c） ， 由 SS可得|PF1|PF1|，即|bkc|2kc， 由 P 在第一象限可得 0k，所以 b3kc， 由 a3c，所以 b2c，所以 k； 第 22 页（共 22 页） （2）设 St，则 St，由 P 在第一象限，所以 k， ，则 St， 若，成等差数列，可得 2tt+t， 所以 4kcakck+bkc，即 k（6ca）b， 所以 k，所以，所以e1， 由F1BO30，可得 sinF1BO，由 sinF1BOe，所以e， 由 k2， 令 m6e1，则 e，k2（1）（）2， 由e，可得m2，5， 所以k224，由 P 为椭圆上在第一象限内的点，可得 k0，则k2 【点评】本题考查椭圆的方程和性质，考查点到直线的距离公式的运用，等差数列的中 项性质，化简运算能力、推理能力，属于难题
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