2019-2020学年江苏省南京市高二（上）期中数学试卷（含详细解答）

1、2019-2020 学年江苏省南京市高二（上）期中数学试卷一、选择题：本题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共计分，共计 48 分其中第分其中第 1 至第至第 10 题为单选题，第题为单选题，第 11、12 题为多选题题为多选题 1 （4 分）若直线 ax+2y+10 与直线 x+2y20 互相垂直，则实数 a 的值是（ ） A1 B1 C4 D4 2 （4 分）已知向量 （0，1，1） ， （1，2，1） 若向量 + 与向量 （2，m， 4）平行，则实数 m 的值是（ ） A2 B2 C10 D10 3 （4 分）在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 x21 的渐近线方程是（ ）

2、Ayx Byx Cyx Dyx 4 （4 分）为了解某社区居民的家庭年收入和年支出的关系，随机调查了该社区 5 户家庭， 得到如下统计数据表： 收入 x（万元） 8.3 8.5 10 11.2 12 支出 y（万元） 6 7.5 8 8.5 10 根据上表可得 10， 8，线性回归方程 0.76x+a据此估计，该社区一户年收入 为 20 万元家庭年支出为（ ） A15.2 万元 B15.6 万元 C16 万元 D16.2 万元 5 （4 分）如图，已知一个圆柱的底面半径为，高为 2，若它的两个底面圆周均在球 O 的球面上，则球 O 的表面积为（ ） A B16 C8 D4 6 （4 分）如图，

3、在四面体 ABCD 中，点 M 是棱 BC 上的点，且 BM2MC，点 N 是棱 AD 的中点若x+y+z，其中 x，y，z 为实数，则 xyz 的值是（ ） 第 2 页（共 21 页） A B C D 7 （4 分）在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 过点 P（1，2） ，且被圆 O：x2+y29 截得的弦 长为 4，则直线 l 的方程为（ ） A3x4y+50 B3x+4y110 Cx1 或 3x4y+50 Dx1 或 3x+4y110 8 （4 分）已知 cos（+），则 sin2 的值是（ ） A B C D 9 （4 分）在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 过抛物线 y24x

4、 的焦点，交抛物线于 A，B 两 点，且线段 AB 中点的横坐标为 3，则线段 AB 的长为（ ） A6 B7 C8 D10 10 （4 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 P（4，0） ，点 A，B 在双曲线 C：y2 1 上，且3，则直线 AB 的斜率为（ ） A B C1 D 注：以下两题为多选题，每小题有多个选项符合题意全部选对得注：以下两题为多选题，每小题有多个选项符合题意全部选对得 4 分，选对但不全的得分，选对但不全的得 2 分，错选或不答的得分，错选或不答的得 0 分分 11 （4 分）已知两条直线 l，m 及三个平面 ，下列条件中能推出 的是（ ） Al，l Bl，m，

5、lm C， Dl，m，lm 12 （4 分）在平面直角坐标系 xOy 中，动点 P 到两个定点 F1（1，0）和 F2（1，0）的距 离之积等于 8，记点 P 的轨迹为曲线 E，则（ ） A曲线 E 经过坐标原点 B曲线 E 关于 x 轴对称 C曲线 E 关于 y 轴对称 第 3 页（共 21 页） D若点（x，y）在曲线 E 上，则3x3 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 C：y21 的焦距为 若双曲线 C 的右焦点与抛物线 y22px（p0）的焦点重合，则实数 p 的值为

6、14 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，若椭圆 E：1（ab0）的两个焦点和 短轴的两个端点恰为正方形的四个顶点，则椭圆 E 的离心率是 15 （5 分）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果哥德巴赫 猜想是：每个大于 2 的偶数可以表示为两个质数的和，如 143+11在不超过 15 的质 数中，随机选取 2 个不同的数，其和不等于 16 的概率是 16 （5 分）已知四棱柱 ABCDA1B1C1D1的底面 ABCD 是矩形，底面边长和侧棱长均为 2， A1ABA1AD60，则对角线 AC1的长为 三、解答题：本题共三、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 82 分请

7、在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的 文字说明，证明过程或演算步骤文字说明，证明过程或演算步骤 17 （12 分）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c已知 12（acosC+ccosA） 13bcosB （1）求 cosB； （2）若 a+c15，且ABC 的面积为 5，求 b 的值 18 （12 分）某家庭记录了未使用节水龙头 30 天的日用水量数据（单位：m3）和使用了节 水龙头 30 天的日用水量数据，得到频数分布表如下： （一）未使用节水龙头 30 天的日用水量频数分布表 日用水量 0.2，0.3） 0.3，0.4）

8、 0.4，0.5） 0.5，0.6） 0.6，0.7 频数 2 3 8 12 5 （二）使用了节水龙头 30 天的日用水量频数分布表 日用水量 0.1，0.2） 0.2，0.3） 0.3，0.4） 0.4，0.5） 0.5，0.6 频数 2 5 11 6 6 （1）估计该家庭使用了节水龙头后，日用水量小于 0.4m3的概率； （2）估计该家庭使用节水龙头后，平均每天能节省多少水？（同一组中的数据以这组数 据所在区间中点的值作代表） 第 4 页（共 21 页） 19 （14 分）如图，已知四棱锥 PABCD 的底面是平行四边形，且PABPDC90 （1）求证：AB平面 PAD； （2）若点 E，

9、F 分别是棱 PD，BC 的中点，求证：EF平面 PAB 20 （14 分）如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，ABAC2，BAC120，AA13 （1）点 D 在棱 AA1上，且 BDA1C，求 AD 的长； （2）求二面角 CA1B1B 的大小 21 （14 分）在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C：1（ab0）的左、右焦点分 别为 F1，F2，离心率 e过 F1的直线 l 与椭圆 C 相交于 A，B 两点，且ABF2的 周长为 12 （1）求椭圆 C 的方程； （2）若点 A 位于第一象限，且 AF1AF2，求ABF2的外接圆的方程 22 （16 分）在平面直角坐标系 xOy 中，

10、点 A（2，0） ，过动点 P 作直线 x4 的垂线， 垂足为 M，且4记动点 P 的轨迹为曲线 E （1）求曲线 E 的方程； （2）过点 A 的直线 l 交曲线 E 于不同的两点 B，C 若 B 为线段 AC 的中点，求直线 l 的方程； 设 B 关于 x 轴的对称点为 D，求ACD 面积 S 的取值范围 第 5 页（共 21 页） 2019-2020 学年江苏省南京市高二（上）期中数学试卷学年江苏省南京市高二（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共计分，共计 48 分其中第分其中第 1 至第

11、至第 10 题为单选题，第题为单选题，第 11、12 题为多选题题为多选题 1 （4 分）若直线 ax+2y+10 与直线 x+2y20 互相垂直，则实数 a 的值是（ ） A1 B1 C4 D4 【分析】由直线相互垂直与斜率之间的关系可得 a+220，解得 a 【解答】解：由 a+220，解得 a4 故选：D 【点评】本题考查了直线相互垂直与斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属 于基础题 2 （4 分）已知向量 （0，1，1） ， （1，2，1） 若向量 + 与向量 （2，m， 4）平行，则实数 m 的值是（ ） A2 B2 C10 D10 【分析】利用向量共线定理即可得出 【解答】

12、解：向量 + （1，1，2） ， 实向量 + 与向量 （2，m，4）平行， 存在实数 k 使得 k（ + ） ， ，解得 m2 故选：A 【点评】本题考查了向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 3 （4 分）在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 x21 的渐近线方程是（ ） Ayx Byx Cyx Dyx 【分析】直接利用双曲线的标准方程，求解渐近线方程即可 第 6 页（共 21 页） 【解答】解：双曲线 x21 的渐近线方程是：yx 故选：A 【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题 4 （4 分）为了解某社区居民的家庭年收入和年支出的关系，随机调查了该

13、社区 5 户家庭， 得到如下统计数据表： 收入 x（万元） 8.3 8.5 10 11.2 12 支出 y（万元） 6 7.5 8 8.5 10 根据上表可得 10， 8，线性回归方程 0.76x+a据此估计，该社区一户年收入 为 20 万元家庭年支出为（ ） A15.2 万元 B15.6 万元 C16 万元 D16.2 万元 【分析】根据样本点中心（ ， ）在回归直线上，可以的 a 的值，进而求出回归方程， 预测年收入为 20 万元家庭年支出 【解答】解：依题意，线性回归方程 0.76x+a 又样本点中心（ ， ）在回归直线上， 所以 80.7610+a，解得 a0.4， 所以当 x20 时

14、， 0.7620+0.415.6 万元 故选：B 【点评】本题考查了回归直线必过样本点中心（ ， ） ，以及回归直线的应用，属于基 础题 5 （4 分）如图，已知一个圆柱的底面半径为，高为 2，若它的两个底面圆周均在球 O 的球面上，则球 O 的表面积为（ ） A B16 C8 D4 第 7 页（共 21 页） 【分析】本题根据球心，圆柱底面圆心，圆柱与球的一个交点连成一个直角三角形，解 直角三角形即可得 R，可算出球的表面积 【解答】解：根据题意，画图如下： 则 OAR，OAr，OO1， 故在 RtOOA 中，OA2， R2， S球4R242216 故选：B 【点评】本题主要考查球与圆柱的关

15、系，解直角三角形的能力，球表面积的计算本题 属基础题 6 （4 分）如图，在四面体 ABCD 中，点 M 是棱 BC 上的点，且 BM2MC，点 N 是棱 AD 的中点若x+y+z，其中 x，y，z 为实数，则 xyz 的值是（ ） A B C D 【分析】根据空间向量的加法、减法运算，共线向量定理，数形结合，先用向量、 表示出向量，再对比已知条件x+y+z，分别求出 x，y，z 的值，然后 就可以得到 xyz 的值 【解答】解：因 BM2MC，点 N 是棱 AD 的中点，又 ， 第 8 页（共 21 页） +（）+， 又x+y+z，比较两式，则其中 x，y，z， xyz（） （） 故选：C

16、【点评】本题考查了空间向量的加法、减法运算，共线向量定理，考查了推理能力与计 算能力、数形结合，属于基础题 7 （4 分）在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 过点 P（1，2） ，且被圆 O：x2+y29 截得的弦 长为 4，则直线 l 的方程为（ ） A3x4y+50 B3x+4y110 Cx1 或 3x4y+50 Dx1 或 3x+4y110 【分析】分直线 l 的斜率是否存在讨论，斜率不存在时验证；斜率存在时，设斜率为 k， 根据弦心距、半径、半弦长构成的直角三角形利用勾股定理列方程求出 k 即可 【解答】解：依题意，当直线斜率不存在时，直线 l 方程为 x1，圆心到直线的距离 为

17、d1，又圆的半径 r3，半弦长为 t2，满足 r2t2+d2； 当直线斜率存在时，设斜率为 k，则 l 方程为 kxy+2k0， 所以圆心到直线 l 的距离 d，圆的半径 r3，半弦长为 t2， 所以由 r2t2+d2得 9+8，解得 k， 所以直线 l 方程为 3x4y+50 综上直线 l 方程为 x1 或 3x4y+50 故选：C 【点评】本题考查了直线与圆的位置关系考查了圆的弦长，直线的方程，属于基础题 8 （4 分）已知 cos（+），则 sin2 的值是（ ） A B C D 【分析】直接利用三角函数的倍角公式的应用和三角函数的关系式的变换的应用求出结 果 第 9 页（共 21 页）

18、 【解答】解：由于 cos（+）， 所以， 所以 sin2 故选：D 【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，倍角公式的应用，主要考 查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型 9 （4 分）在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 过抛物线 y24x 的焦点，交抛物线于 A，B 两 点，且线段 AB 中点的横坐标为 3，则线段 AB 的长为（ ） A6 B7 C8 D10 【分析】线段 AB 的中点到准线的距离为 4，设 A，B 两点到准线的距离分别为 d1，d2， 由抛物线的定义知|AB|的值 【解答】解：由题设知知线段 AB 的中点到准线的距离为 4， 设 A，B 两

19、点到准线的距离分别为 d1，d2， 由抛物线的定义知： |AB|AF|+|BF|d1+d2248 故选：C 【点评】本题考查抛物线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设 中的隐含条件，积累解题方法 10 （4 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 P（4，0） ，点 A，B 在双曲线 C：y2 1 上，且3，则直线 AB 的斜率为（ ） 第 10 页（共 21 页） A B C1 D 【分析】设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，由直线 AB 经过点 P，且直线 AB 的斜率存在且不 为 0，可设直线 AB 的方程为 xmy+4，联立双曲线的方程，消去 x，可得 y

20、的二次方程， 运用韦达定理，以及向量共线的坐标表示，可得 m 的方程，解方程可得 m 的值，进而求 得直线 AB 的斜率 【解答】解：设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，又 P（4，0） ，3， 可得y13y2， 即有 y13y2， 由直线 AB 经过点 P，且直线 AB 的斜率存在且不为 0， 可设直线 AB 的方程为 xmy+4， 联立双曲线 C：y21，可得（m24）y2+8my+120， 即有64m248（m24）0，即 m2+120，且 m240， y1+y2，y1y2， 由可得 y2，y22， 可得1，解得 m， 则直线 AB 的斜率为 故选：B 【点评】本题考查双曲线的方

21、程和性质，注意联立直线方程和双曲线方程，运用韦达定 理，结合向量共线的坐标表示，考查化简运算能力，属于中档题 注：以下两题为多选题，每小题有多个选项符合题意全部选对得注：以下两题为多选题，每小题有多个选项符合题意全部选对得 4 分，选对但不全的得分，选对但不全的得 2 分，错选或不答的得分，错选或不答的得 0 分分 11 （4 分）已知两条直线 l，m 及三个平面 ，下列条件中能推出 的是（ ） Al，l Bl，m，lm C， Dl，m，lm 【分析】在 A 中，由面面垂直的判定定理得 ；在 B 中，由面面垂直的判定定理得 ；在 C 中，由面面垂直的判定定理得 ；在 D 中， 相交或平行 【解

22、答】解：由两条直线 l，m 及三个平面 ，知： 第 11 页（共 21 页） 在 A 中，l，l，则由面面垂直的判定定理得 ，故 A 正确； 在 B 中，l，m，lm，则由面面垂直的判定定理得 ，故 B 正确； 在 C 中，则由面面垂直的判定定理得 ，故 C 正确； 在 D 中，l，m，lm，则 ， 相交或平行，故 D 错误 故选：ABC 【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础 知识，考查运算求解能力，是中档题 12 （4 分）在平面直角坐标系 xOy 中，动点 P 到两个定点 F1（1，0）和 F2（1，0）的距 离之积等于 8，记点 P 的轨迹为曲线

23、E，则（ ） A曲线 E 经过坐标原点 B曲线 E 关于 x 轴对称 C曲线 E 关于 y 轴对称 D若点（x，y）在曲线 E 上，则3x3 【分析】 设点 P （x， y， 根据条件可得8， 化简可得 x2+y2 9，逐一排除即可 【解答】解：设 P（x，y） ，则， 所以8， 即（x+1）2+y2（x1）2+y264，经化简可得（x2+y2+7） （x2+y29）0， 所以 x2+y29，即点 P 的轨迹 E 为以（0，0）为圆心，3 为半径的圆， 故关于 x、y 轴均对称，且3x3， 故选：BCD 【点评】本题考查点的轨迹方程，根据条件表示出式子，能运用完全平方公式进行因式 分解进行化简

24、是关键，属于中档题 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 C：y21 的焦距为 4 若双曲线 C 的右焦点与抛物线 y22px（p0）的焦点重合，则实数 p 的值为 4 【分析】利用双曲线的标准方程求解焦距，求出右焦点坐标，得到抛物线的 P 即可 【解答】解：双曲线 C：y21，可得 c2，所以双曲线的焦距为 4； 第 12 页（共 21 页） 双曲线 C 的右焦点与抛物线 y22px（p0）的焦点重合， 双曲线的右焦点坐标（2，0） ， 所以，即 p4 故答案为：4；4 【点评】

25、本题考查双曲线的简单性质以及抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查， 是基础题 14 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，若椭圆 E：1（ab0）的两个焦点和 短轴的两个端点恰为正方形的四个顶点，则椭圆 E 的离心率是 【分析】利用已知条件推出 bc，然后转化求解椭圆的离心率即可 【解答】解：在平面直角坐标系 xOy 中，若椭圆 E：1（ab0）的两个焦 点和短轴的两个端点恰为正方形的四个顶点， 可得 bc，则 a， 所以 e 故答案为： 【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，判断 bc 是解题的关键，考查分析问题解决 问题的能力 15 （5 分）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取

26、得了世界领先的成果哥德巴赫 猜想是：每个大于 2 的偶数可以表示为两个质数的和，如 143+11在不超过 15 的质 数中，随机选取 2 个不同的数，其和不等于 16 的概率是 【分析】基本事件总数 n15，其和等于 16 包含的基本事件有： （3，13） ， （5，11） ， 共 2 个，其和不等于 16 包含的基本事件个数为 m15213，由此能求出其和不等于 16 的概率 【解答】解：不超过 15 的质数有 2，3，5，7，11，13， 在不超过 15 的质数中，随机选取 2 个不同的数， 基本事件总数 n15， 第 13 页（共 21 页） 其和等于 16 包含的基本事件有： （3，1

27、3） ， （5，11） ，共 2 个， 其和不等于 16 包含的基本事件个数为 m15213， 其和不等于 16 的概率是 p 故答案为： 【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法的性质等基础知识，考查运算求 解能力，是基础题 16 （5 分）已知四棱柱 ABCDA1B1C1D1的底面 ABCD 是矩形，底面边长和侧棱长均为 2， A1ABA1AD60，则对角线 AC1的长为 2 【分析】由题意画出平行六面体的图形，利用向量加法的三角形法则求解平行六面体的 对角线的长 【解答】解：如图，由题意可知，+， 2（ +）2 2+2+2+2 +2+24+4+4+8（cos 90+cos 60+

28、cos 60）20， |2 故答案为：2 【点评】本题考查的知识点是点、线、面间的距离计算，考查空间两点之间的距离运算， 根据已知条件，构造向量，将空间两点之间的距离转化为向量模的运算，是解答本题的 关键，是中档题 三、解答题：本题共三、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 82 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的 文字说明，证明过程或演算步骤文字说明，证明过程或演算步骤 第 14 页（共 21 页） 17 （12 分）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c已知 12（acosC+ccosA） 13bcosB （1）求

29、cosB； （2）若 a+c15，且ABC 的面积为 5，求 b 的值 【分析】 （1）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得 12sinB 13sinBcosB，结合 sinB0，可求 cosB 的值 （2）由（1）利用同角三角函数基本关系式可求 sinB 的值，利用三角形的面积公式可求 ac26，进而由已知利用余弦定理可求 b 的值 【解答】解： （1）因为 12（acosC+ccosA）13bcosB， 由正弦定理得 12（sinAcosC+sinCcosA）13sinBcosB， 因此 12sin（A+C）13sinBcosB， 由于在ABC 中，A+B+C， 所以 12s

30、in（B）13sinBcosB， 于是 12sinB13sinBcosB， 因为 B（0，） ， 所以 sinB0， 所以 cosB （2）由（1）知 cosB，sinB0， 所以 sinB， 因为ABC 的面积为 5，即 SABCacsinB5， 所以ac5，即 ac26， 又因为 a+c15， 所以 b2a2+c22accosBa2+c2ac（a+c）2ac15226125， 因此 b5 【点评】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，三角形的面积公式，余 弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题 18 （12 分）某家庭记录了未使用节水龙头 30 天的日

31、用水量数据（单位：m3）和使用了节 水龙头 30 天的日用水量数据，得到频数分布表如下： 第 15 页（共 21 页） （一）未使用节水龙头 30 天的日用水量频数分布表 日用水量 0.2，0.3） 0.3，0.4） 0.4，0.5） 0.5，0.6） 0.6，0.7 频数 2 3 8 12 5 （二）使用了节水龙头 30 天的日用水量频数分布表 日用水量 0.1，0.2） 0.2，0.3） 0.3，0.4） 0.4，0.5） 0.5，0.6 频数 2 5 11 6 6 （1）估计该家庭使用了节水龙头后，日用水量小于 0.4m3的概率； （2）估计该家庭使用节水龙头后，平均每天能节省多少水？（

32、同一组中的数据以这组数 据所在区间中点的值作代表） 【分析】 （1）根据表格（二） ，估计该家庭使用了节水龙头后，日用水量小于 0.4m3的频 数，由此求出该家庭使用节水龙头后日用水量小于 0.4m3的概率的估计值 （2）先求出该家庭未使用节水龙头 30 天日用水量的平均数和该家庭使用了节水龙头后 30 天日用水量的平均数，由此能求出使用节水龙头后，平均每天能节省的水量 【解答】解： （1）根据表格（二） ，估计该家庭使用了节水龙头后，日用水量小于 0.4m3 的频数为： 2+5+1118， 所以所求的概率约为 0.6， 即该家庭使用节水龙头后日用水量小于 0.4m3的概率的估计值为 0.6

33、（2）该家庭未使用节水龙头 30 天日用水量的平均数为： （20.25+30.35+80.45+120.55+50.65）0.5 该家庭使用了节水龙头后 30 天日用水量的平均数为： （20.15+50.25+110.35+60.45+60.55）0.38， 0.50.380.12 因此，使用节水龙头后，平均每天能节省的水量估计为 0.12 m3 【点评】本题考查概率的求法，考查节水量的估计值的求法，考查频率分布直方图的性 质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题 19 （14 分）如图，已知四棱锥 PABCD 的底面是平行四边形，且PABPDC90 （1）求证：AB平面 PAD； 第 16

34、页（共 21 页） （2）若点 E，F 分别是棱 PD，BC 的中点，求证：EF平面 PAB 【分析】 （1）推导出 ABPA，DCPD，ABDC，从而 ABPD由此能证明 AB平 面 PAD （2）取 AD 的中点 G，连 EG，GF推导出 EGPA从而 EG平面 PAB推导出四边 形 ABFG 是平行四边形， 从而 FGBA进而 FG平面 PAB 平面 EFG平面 PAB 由 此能证明 EF平面 PAB 【解答】证明： （1）在四棱锥 PABCD 中， 因为PABPDC90，所以 ABPA，DCPD 又因为四棱锥 PABCD 的底面是平行四边形，所以 ABDC， 所以 ABPD 因为 PA

35、PDP，PA，PD平面 PAD，所以 AB平面 PAD （2）如图，取 AD 的中点 G，连 EG，GF 在PAD 中，因为 E 是棱 PD 的中点， 所以 EGPA 又 EG平面 PAB，PA平面 PAB， 所以 EG平面 PAB 在平行四边形 ABCD 中，G，F 分别是棱 AD，BC 的中点， 所以 AGBFBC，AGBF，所以四边形 ABFG 是平行四边形， 所以 FGBA 又 FG平面 PAB，AB平面 PAB，所以 FG平面 PAB 因为 EGFGG，EG，FG平面 EFG，所以平面 EFG平面 PAB 又 EF平面 EFG，所以 EF平面 PAB 第 17 页（共 21 页） 【

36、点评】本题考查线面垂直、线面平行的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置 关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 20 （14 分）如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，ABAC2，BAC120，AA13 （1）点 D 在棱 AA1上，且 BDA1C，求 AD 的长； （2）求二面角 CA1B1B 的大小 【分析】 （1）在ABC 中，过 A 作 AB 的垂线交 BC 于 E在直三棱锥 ABCA1B1C1中， AA1平面 ABC，所以 AA1AB，AA1AE分别以 AE，AB，AA1所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系 Axyz，写出对应点的坐标，因为 BDA1C，所

37、以 即可解得 AD 的长 （2）求出平面 ABB1A1的法向量，平面 CA1B1的法向量，则二面角 CA1B1B 的大小与，相等或互补，根据图形得出二面角 CA1B1B 的大小即可 【解答】解： （1）如图，在ABC 中，过 A 作 AB 的垂线交 BC 于 E 在直三棱锥 ABCA1B1C1中，AA1平面 ABC， 所以 AA1AB，AA1AE 分别以 AE，AB，AA1所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴， 建立空间直角坐标系 Axyz 因为 ABAC2，BAC120，AA13， 所以 C（，1，0） ，B（0，2，0） ，A1（0，0，3） ， 第 18 页（共 21 页） 因为点 D 在

38、棱 AA1上，设 D（0，0，a） ，则（0，2，a） ，（，1， 3） 因为 BDA1C，所以 23a0，解得 a 所以 AD （2）平面 ABB1A1的一个法向量为（1，0，0） 又 B1（0，2，3） ，所以 （，1，3） ，（，3，3） 设平面 A1B1C 的一个法向量为（x，y，z） ， 由，得， 所以 y0取 x，则 z1， 所以平面 A1B1C 的一个法向量为（，0，1） |1，|2， 所以 cos， 又，0，从而， 根据图形可知，二面角 CA1B1B 大小的为 【点评】本题考查了空间直线和平面的位置关系，空间向量的应用，属于中档题 第 19 页（共 21 页） 21 （14 分

39、）在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C：1（ab0）的左、右焦点分 别为 F1，F2，离心率 e过 F1的直线 l 与椭圆 C 相交于 A，B 两点，且ABF2的 周长为 12 （1）求椭圆 C 的方程； （2）若点 A 位于第一象限，且 AF1AF2，求ABF2的外接圆的方程 【分析】 （1）根据题意，可知焦点在 x 轴上，离心率 e所以，ABF2的 周长为 12所以 4a12，从而求解椭圆方程； （2）设 A 点坐标，根据 AF1AF2，利用斜率从而求解 A，带入直线方程求解 B，即可 求解ABF2的外接圆的方程 【解答】解： （1）因为椭圆 C：1（ab0）的左、右焦点分别为 F1，F

40、2， 离心率 e所以 又ABF2的周长为 12 所以 4a12 联立，解得 a3，c5，从而 b2a2c220， 因此椭圆 C 的方程为 （2）因为点 A 位于第一象限，故设 A（x1，y1） ，其中 x100，y10 因为 AF1AF2，所以，又点 A 在椭圆 C 上， 所以 解得：x129，从而 x13，y14 由（1）知，椭圆 C 的左焦点为 F1（5，0） ，所以直线 l 的方程为 y（x+5） 由得 5x2+18x990，解得 x3 或 第 20 页（共 21 页） 所以 B（，） 因为 AF1AF2，所以ABF2的外接圆就是以 BF2为直径的圆 又椭圆 C 的右焦点为 F2（5，0

41、） ， 所以线段 BF2的中点 M 的坐标为（，） ，此时 MF2， 故ABF2的外接圆的方程为（x+）2+（y+）2 【点评】本题考查椭圆的定义和方程，性质，主要考查离心率公式及方程的运用，注意 联立直线方程，运用直线和椭圆相交的条件：同时考查计算能力，属于中档题 22 （16 分）在平面直角坐标系 xOy 中，点 A（2，0） ，过动点 P 作直线 x4 的垂线， 垂足为 M，且4记动点 P 的轨迹为曲线 E （1）求曲线 E 的方程； （2）过点 A 的直线 l 交曲线 E 于不同的两点 B，C 若 B 为线段 AC 的中点，求直线 l 的方程； 设 B 关于 x 轴的对称点为 D，求A

42、CD 面积 S 的取值范围 【分析】 （1）根据向量的数量积即可求出曲线 E 的方程， （2）设 l：yk（x+2） ，k0，根据韦达定理和中点坐标公式即可求出 k 的值，可得 直线方程， 因为点 B，D 关于 x 轴对称，所以 D（x1，y1） ，根据点到直线的距离公式，三角形 的面积公式即可求出 【解答】解： （1）设 P（x，y） ，则 M（4，y） 因为 A（2，0） ，所以（2，y） ，（x+2，y） ， 因为4，所以2x4+y24，即 y22x 所以曲线 E 的方程为 y22x （2）若直线 l 的斜率不存在，则 l 与曲线 E 无公共点，因此 l 的斜率存在； 若 l 的斜率为

43、0，则 l 与曲线 E 只有一个公共点，因此 l 的斜率不为 0 设 l：yk（x+2） ，k0， 由得 y2y+40，于是160，解得k且 k0 第 21 页（共 21 页） 设 B（x1，y1） ，C（x2，y2） ，则 y1+y2，y1y24 因为 B 为线段 AC 的中点，所以 y22y1 又 y1+y2，所以 y1，y2， 因此 y1y24，所以 k，符合k且 k0， 于是 k，此时直线 l 的方程为 y（x+2） 因为点 B，D 关于 x 轴对称，所以 D（x1，y1） ， 于是点 D 到直线 l 的距离为 d 因为 y1k（x1+2） ，所以 d 又 AC|x2+2|， 所以 S|x2+2|（x2+2）y1|（+2）y1| 因为 y1y24，y1+y2，所以 S|2y2+2y1| 又因为k且 k0，因此 S8， 即ACD 面积 S 的取值范围为（8，+） 【点评】本题主要考查两个向量的数量积的运算，求圆的标准方程，求点的轨迹方程的 方法，属于中档题